搜索： a002377-编号：a002377
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1, 259, 518, 777, 3402, 3645, 3726, 7045, 7243, 12683, 16441, 13723, 13792, 21631, 20202, 23002, 24135, 27162, 28870, 28215, 33230, 39629, 36510, 41561, 43241, 29563, 47401, 41310, 47150, 47790, 56749, 43962, 48750, 62681, 65069, 50442
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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这个序列不是单调递增的：a（21）=33230>a（26）=29563。
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例子
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a（1）=1，因为1=1^4（1路，最小表示）
a（2）=259，因为259=1^4+1^4+1 ^4+4^4=2^4+3^4+3 ^4（2种方式，最小表示）
a（3）=518，自518起=1^4+1^4+1^4+1 ^4+1 ^4+1^4+1 ^4+4 ^4=1 ^4+1 ^4+14 ^4+2 ^4+3 ^4+3^4+4^4=2 ^4+2^4+3^4+34
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数学
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t=表[r=功率表示[n，19，4]；排序[Tally[19计数[#，0]&&@r]][[1，2]]，{n，800}]；u=联合[t]；c=补码[范围[Max[u]]，u]；如果[c=={}，mx=u[[-1]]，mx=c[[1]]-1]；压扁[表格[位置[t，n，1，1]，{n，mx}]]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A002804号
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| （假定）Waring问题的解决方案：g（n）=2^n+floor（（3/2）^n）-2。
（原名M3361 N1353）
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1、4、9、19、37、73、143、279、548、1079、2132、4223、8384、16673、33203、66190、132055、263619、5260502、1051899、2102137、4201783、8399828、16794048、33579681、67146738、134274541、268520676、536998744、1073933573、21477771272、4295398733、8590581749
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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g（n）是最小的数s，使得每个自然数最多是自然数的s次幂之和。
众所周知（Kubina和Wunderlich，1990），g（n）=2^n+floor（（3/2）^n）-2代表所有n<=471600000。推测此公式对所有n都是正确的（参见A174420号).
马勒表明，只有有限多的n是这个公式失败的-山田友弘2017年9月23日
这个序列（对应于Waring的原始猜想）比A079611号对于几乎所有（=足够大的）整数，寻找最小s=G（n）的问题。请参阅维基百科（Wikipedia），以获得一个单行证明，即J.a.Euler在1772年猜测的g（n）的值确实是一个下限；已知2^n*frac（（3/2）^n）+floor（（3/2）^ n）<=2^n是紧的，且此不等式没有反例-M.F.哈斯勒2014年6月29日
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参考文献
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卡尔文·C·克劳森（Calvin C.Clawson），《数学的奥秘：数字的美丽和魔力》（1996年基础图书）252-257。
G.H.Hardy，《论文集》。卷。1-，牛津大学出版社，1966-；见第一卷，第668页。
哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第337页。
S.Pillai，《关于Waring问题》，《印度数学杂志》。《社会学杂志》，第2期（1936年），第16-44页
J.Roberts，《整数的诱惑》，数学。美国协会，1992年，第138页。
P.Ribenboim，《素数记录簿》。Springer-Verlag，纽约州，第二版，1989年，第239页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.C.Vaughan和T.D.Wooley，《Waring的问题：一项调查》，第285-324页，《数论调查》（Urbana，2000年5月21日），编辑M.a.Bennett等人，彼得斯，2003年。
爱德华·沃林（Edward Waring），《代数沉思录》（Meditations algebraicae），坎塔布里吉亚：典型的学术，不包括J·执事，1770年。
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链接
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A.V.Kumchev和D.I.Tolev，加法数论邀请函，arXiv:math/0412220[math.NT]，2004年。
拉明·塔克鲁-比哈什，几何呢？，《毕达哥拉斯数论导论》，《数学本科生教材》，查姆斯普林格，2018，165-185。
M.Waldschmidt，开放性丢番图问题，arXiv:math/0312440[math.NT]，2003-2004。
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MAPLE公司
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数学
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a[n_]：=2^n+楼层[（3/2）^n]-2；数组[a，31](*罗伯特·威尔逊v2013年10月29日*）
x[n]：=-（1/2）+（3/2）^n+ArcTan[Cot[（3/2，^n Pi]]/Pi；a[n]：=2^n+x[n]-2；数组[a，31](*弗雷德·丹尼尔·克莱恩2018年1月11日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[2^n+楼层（（3/2）^n）-2:n in[1..40]]//文森佐·利班迪2015年8月15日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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一般来说，n的完全s次幂（s>=1）的划分数渐近于（2*Pi）^（-（s+1）/2）*sqrt（s/（s+1”）*k*n^-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年12月29日
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参考文献
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H.P.Robinson，致N.J.A.Sloane的信，1974年1月4日。
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链接
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G.H.Hardy和S.Ramanujan，组合分析中的渐近公式《伦敦数学学会会刊》，第2期，第十六期，1917年，第373页。
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配方奶粉
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a（n）~exp（5*（伽马（1/4）*泽塔（5/4））^（4/5）*n^（1/5）/2^-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年12月29日
通用公式：求和{i>=1}x ^（i^4）/产品{j=1..i}（1-x^（j^4））-伊利亚·古特科夫斯基2017年5月7日
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例子
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a（33）=3，因为我们有[16,16,1]，[16,1,1，…，1]（17 1's）和[1,1，..，1]，（33 1's））。
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MAPLE公司
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g： =-1+1/乘积（1-x^（j^4），j=1..10）：gser:=系列（g，x=0.105）：seq（系数（gser，x，n），n=1.102）#Emeric Deutsch公司2006年4月6日
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数学
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g=-1+1/乘积[1-x^（j^4），{j，1，10}]；（德国）通用电器公司=
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a046042=p$tail a000583_list，其中
p _ 0=1
p ks'@（k:ks）m=如果m<k，则0，否则p ks'（m-k）+p ks m
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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47, 62, 63, 77, 78, 79, 127, 142, 143, 157, 158, 159, 207, 222, 223, 237, 238, 239, 287, 302, 303, 317, 318, 319, 367, 382, 383, 397, 398, 399, 447, 462, 463, 477, 478, 479, 527, 542, 543, 557, 558, 559, 607, 622, 623, 687, 702, 703, 752, 767, 782, 783
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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序列中有96个成员，最大的是13792个，见Deshouillers等人的参考文献。
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链接
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J.-M.Deshouillers、K.Kawada和T.D.Wooley，关于十六个双平方和，梅姆。Soc.数学。法国巴黎，2005年。
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例子
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62是17个4次方的总和，不少于17个，所以62是一个成员。
63是18个第四权力的总和，不少于18个，所以63是一个成员，尽管它不是A046048号.
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数学
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f[n_]：=f[n]=（k=0；While[k++；幂表示[n，k，4]=={}]；k）；选择[范围[800]，f[#]>=17&](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2011年9月2日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,完成,满的,美好的
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作者
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a（25）由368更改为367T.D.诺伊2006年9月7日
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状态
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经核准的
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A079611号
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| 沃林问题：G（n）的猜想值，最小的数m，使得每个足够大的数最多是正整数的m次幂的和。 |
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1, 4, 4, 16, 6, 9, 8, 32, 13, 12, 12, 16, 14, 15, 16, 64, 18, 27, 20, 25
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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唯一确定的值是G（1）=1、G（2）=4和G（4）=16。
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参考文献
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G.H.Hardy和E.M.Wright，《数字理论导论》，第5版，牛津大学出版社，1979年，第395页（显示G（4）>=16）。
R.C.Vaughan和T.D.Wooley，《Waring的问题：一项调查》，第285-324页，《数论调查》（Urbana，2000年5月21日），编辑M.a.Bennett等人，彼得斯，2003年。
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链接
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H.Davenport，论华林的第四大国问题，《数学年鉴》，第40期（1939年），731-747页。（表示G（4）<=16。）
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例子
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众所周知，每个足够大的数都是16的四次幂之和，16是具有这个性质的最小数，因此a（4）=G（4）=16。（数字16^k*31不是小于16的四次幂的和。）
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非n,坚硬的,更多
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作者
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经核准的
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13, 28, 43, 58, 73, 93, 108, 123, 138, 153, 173, 188, 203, 208, 218, 233, 253, 268, 283, 298, 313, 333, 348, 363, 378, 393, 413, 428, 443, 448, 458, 473, 493, 508, 523, 538, 553, 573, 588, 603, 618, 637, 653, 668, 683, 688, 698, 717, 733, 748, 763, 778, 797
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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数学
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isSumQ[n_]：=Do[pr=PowersRepresentations[n，k，4]；如果[k<13，如果[pr！={}，返回[False]]，如果[k==13&&pr！={}、返回[True]、返回[False]]，{k，1，13}]；收获[For[n=1，n<=800，n++，If[isSumQ[n]，Print[n]；母猪[n]]][[2,1]](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2012年10月25日*）
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非n
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作者
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来自Arlin Anderson（starship1（AT）gmail.com）的更多条款
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经核准的
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47, 62, 77, 127, 142, 157, 207, 222, 237, 287, 302, 317, 367, 382, 397, 447, 462, 477, 527, 542, 557, 607, 622, 687, 702, 752, 767, 782, 847, 862, 927, 942, 992, 1007, 1022, 1087, 1102, 1167, 1182, 1232, 1247, 1327, 1407, 1487, 1567, 1647, 1727, 1807, 2032
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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例子
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62是17次四次方的总和，不少于，所以62是一个术语。
63是18个四次幂的总和，不少于18个四元幂，所以63不是一个项，尽管它是一个A099591号.
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数学
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lim=2100；f[n]：=f[n]=（k=0；而[k++；k<=17&&PowersRepresentations[n，k，4]=={}]；k）；选择[Range[lim]，f[#]==17&](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2011年9月8日*）
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关键词
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非n,完成,满的,美好的
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经核准的
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14, 29, 44, 59, 74, 94, 109, 124, 139, 154, 174, 189, 204, 219, 224, 234, 254, 269, 284, 299, 314, 334, 349, 364, 379, 394, 414, 429, 444, 459, 464, 474, 494, 509, 524, 539, 554, 574, 589, 604, 619, 638, 654, 669, 684, 699, 704, 718, 734, 749, 764, 779, 798
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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关键词
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非n
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作者
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来自Arlin Anderson（starship1（AT）gmail.com）的更多条款
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经核准的
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3, 18, 33, 48, 83, 98, 113, 163, 178, 243, 258, 273, 288, 338, 353, 418, 513, 528, 593, 627, 642, 657, 707, 722, 768, 787, 882, 897, 962, 1137, 1251, 1266, 1298, 1313, 1328, 1331, 1378, 1393, 1458, 1506, 1553, 1568, 1633, 1808, 1875, 1922, 1937, 2002, 2177
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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配方奶粉
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MAPLE公司
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N： =3000:#对于术语<=N
F1:={seq（i^4，i=1..层（N^（1/4）））}:n1:=nops（F1）：
F2：=选择（`<=`，{seq（seq（F1[i]+F1[j]，i=1..j），j=1..nops（F1））}，N）：
F3:=选择（`<=`，{seq（seq（s+t，s=F1），t=F2）}，N）：
A： =排序（转换（F3减去（F2联合F1，列表））#罗伯特·伊斯雷尔2020年7月24日
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黄体脂酮素
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（Python）
定义缺陷（lim）：
p1=如果i**4<=lim，则设置（i**4代表范围（1，int（lim**.25）+2）中的i）
p2=设置（如果a+b<=lim，则p1中a的a+b代表p1中b的b）
p3=设置（如果apb+c<=lim，则apb+c代表p2中的apb，c代表p1中的c）
返回排序（p3-p2-p1）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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阿林·安德森（starship1（AT）gmail.com）
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经核准的
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15, 30, 45, 60, 75, 95, 110, 125, 140, 155, 175, 190, 205, 220, 235, 240, 255, 270, 285, 300, 315, 335, 350, 365, 380, 395, 415, 430, 445, 460, 475, 480, 495, 510, 525, 540, 555, 575, 590, 605, 620, 639, 655, 670, 685, 700, 719, 720, 735, 750, 765, 780, 799
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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来自Arlin Anderson（starship1（AT）gmail.com）的更多条款
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经核准的
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