搜索： a002266-编号：a002266
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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给定一个由变量b（0）到b（5）定义的序列b（n），递归b（n*b（n-2））。b（n+1）的分母有一个因子（b（1）*b（3）^3-b（2）^3*b（4））^a（n+1）。例如，如果b（0）=2，b（1）=b（2）=b-迈克尔·索莫斯2023年11月15日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=楼层（n/5）*（2*n-3-5*楼层（n/5））/2。
通用公式：x^5/（（1-x^5）*（1-x）^2）=x^5/（（1+x+x^2+x^3+x^4）*（1x）^3）。
a（n）=地板（n-1）*（n-2）/10）-米奇·哈里斯2008年9月8日
a（n）=圆形（n*（n-3）/10）=天花板（n+1）*（n-4）/10-米尔恰·梅卡2010年11月28日
a（n）=a（n-5）+n-4，n>4-米尔恰·梅卡2010年11月28日
求和{n>=5}1/a（n）=518/45-2*sqrt（2*（sqrt）+5））*Pi/3。
求和{n>=5}（-1）^（n+1）/a（n）=8*sqrt（5）*arccoth（3/sqrt）/3+92*log（2）/15-418/45。（结束）
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MAPLE公司
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seq（楼层（n-1）*（n-2）/10），n=0..70）#G.C.格鲁贝尔2019年8月31日
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数学
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累计[Floor[范围[0，70]/5]](*哈维·P·戴尔2016年5月25日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[圆形（n*（n-3）/10）：n in[0..70]]//文森佐·利班迪2011年6月25日
（PARI）a（n）=总和（k=0，n，k\5）\\米歇尔·马库斯2016年5月13日
（弧垂）[（0..70）中n的地板（（n-1）*（n-2）/10）]#G.C.格鲁贝尔2019年8月31日
（GAP）列表（[0..70]，n->Int（（n-1）*（n-2）/10））#G.C.格鲁贝尔，2019年8月31日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35, 35, 36, 36
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.5
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评论
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集合{k:1<=2k<=n}中的元素数。
Gamma_0（2）的重量空间2n+4尖形式的维数。
Gamma_1（n+1）的权重为1的空间的模形式的维数。
2^n表示为r^2-s^2且s>0的方式数。证明：（r+s）和（r-s）都应该是2的幂，偶数且不同，因此a（2k）=a（2k-1）=（k-1）等-阿玛纳斯·穆尔西2002年9月20日
将n+1划分为两个不同（非零）部分的分区数。例如：a（8）=4，因为我们有[8,1]、[7,2]、[6,3]和[5,4]-Emeric Deutsch公司2006年4月14日
由n个珠子组成的二进制手镯的数量，其中两个为0。对于n>=2，a（n-2）是n个珠子的二进制手镯数，其中两个为0，禁止为00-华盛顿·邦菲姆2008年8月27日
设A是Hessenberg n X n矩阵，定义为：A[1，j]=j mod 2，A[i，i]：=1，A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n+1）=（-1）^n det（a）-米兰Janjic2010年1月24日
n个循环的直径（最长路径）-凯德·赫伦2011年4月14日
对于n>=3，a（n-1）是由n个珠子组成的双色手镯的数量，其中三个是黑色的，直径对称-弗拉基米尔·舍维列夫，2011年5月3日
二阶二面体群（n+1）的二次不可约字符数-埃里克·施密特2013年2月12日
对于n>=3，序列a（n-1）是绘制了所有对角线的规则n边形外部具有无限区域的非相接区域的数量。请参见217748英镑. -马丁·瑞诺2013年3月23日
a（n）是2n分为2个偶数部分的分区数。a（n+1）是将2n划分成正好2个奇数部分的分区数。这只是改写了上文E.Deutsch的评论-韦斯利·伊万·赫特2013年6月8日
对于偶数n和n>=4，规则n边形中不同矩形和正方形的数量为a（n/2）。对于奇数n，此数字为零，请参阅链接中的插图-基瓦尔·Ngaokrajang2013年6月25日
分别在y=n和y=x线上进行n次反射后，点（0，-1）图像的x坐标（交替，以便在每个步骤上应用一次反射）：（0，-1）->（0,1）->（1,0）->（2,2）->（2.1）->（2.3）->-韦斯利·伊万·赫特2013年7月12日
a（n）是将2n划分为正好两个不同的奇数部分的数目。a（n-1）是2n分为两个完全不同的偶数部分的分区数，n>0-韦斯利·伊万·赫特2013年7月21日
a（n）是长度n避开213、231和312，或经典意义上避开213，312和321的排列数，这些排列是递增一元二叉树的宽度第一搜索读取单词。有关更多详细信息，请参阅避免231排列的条目A245898型. -曼达·里尔2014年8月5日
定向K_n的最小进出角度（请参阅链接）-乔恩·佩里2014年11月22日
对于n>=3，a（n+4）是最小正整数m，使得{1,2，…，n}的每个m元素子集包含不同的i，j，k，其中i+j=k（等价地，i-j=k）-里克·L·谢泼德，2016年1月24日
更一般地说，重复k次的整数的普通生成函数是x^k/（（1-x）（1-x^k））-伊利亚·古特科夫斯基2016年3月21日
a（n）是F（n+3）和F（n+4）之间F（i）*F（j）形式的数字数，其中2<i<j和F=A000045号（斐波那契数列）-克拉克·金伯利2016年5月2日
考虑数字1、2、…、。。。，n；a（n）是最大的整数t，因此这些数字可以排成一行，以便所有连续项相差至少t。例如：a（6）=a（7）=3，因为分别是（4、1、5、2、6、3）和（1、5，2、6，3、7、4）（参见链接BMO-问题2）-伯纳德·肖特2020年3月7日
a（n-1）也是边a<b<c为算术级数且中间边b=n的整数边三角形的数目（参见A307136型). 例如，对于b=4，存在一个（3）=1这样的三角形，对应于勾股三元组（3，4，5）。有关三元组、其他属性和引用，请参见A336750型. -伯纳德·肖特2020年10月15日
由规则n边形的顶点构成的不协调直角三角形的数量由n偶数的a（n/2）给出。对于n个奇数，这样的数字是零。对于规则n边形，由其顶点形成的不协调三角形的数量由下式给出A069905号（n） 。不一致的锐角三角形的数量由下式给出A005044号（n） 。不协调钝角三角形的数量由下式给出A008642号（n-4）对于n>3，否则为0，偏移量为0-弗兰克·M·杰克逊2022年11月26日
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参考文献
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G.L.Alexanderson等人，William Powell Putnam数学竞赛-问题与解决方案：1965-1984，M.A.A.，1985；参见第27届比赛的问题A-1。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第120页，p（n，2）。
Graham，Knuth和Patashnik，混凝土数学，Addison Wesley，NY，1989，第77页（n最多分为2部分）。
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链接
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乔纳森·布鲁姆和内森·麦克纽，计数模式-避免整数分区，arXiv:1908.03953[math.CO]，2019年。
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配方奶粉
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通用格式：x^2/（（1+x）*（x-1）^2）。
a（n）=地板（n/2）。
a（n）=1+a（n-2）。
a（n）=a（n-1）+a（n-2）-a（n-3）。
a（2*n）=a（2*n+1）=n。
对于n>0，a（n）=和{i=1..n}（1/2）/cos（Pi*（2*i-（1-（-1）^n）/2）/（2*n+1））-贝诺伊特·克洛伊特2002年10月11日
a（n）=（2*n-1）/4+（-1）^n/4；a（n+1）=和{k=0..n}k*（-1）^（n+k）-保罗·巴里，2003年5月20日
例如：（2*x-1）*exp（x）+exp（-x））/4-保罗·巴里，2003年9月3日
G.f.：（1/（1-x））*和{k>=0}t^2/（1-t^4），其中t=x^2^k-拉尔夫·斯蒂芬2004年2月24日
对于n>=2，a（n）=地板（log_2（2^a（n-1）+2^a（n-2）））-弗拉基米尔·舍维列夫，2010年6月22日
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例子
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G.f.=x ^2+x ^3+2*x ^4+2*x^5+3*x ^6+3*x^7+4*x ^8+4*x^9+5*x ^10+。。。
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MAPLE公司
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A004526号：=n->楼层（n/2）；seq（地板（i/2），i=0..50）；
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数学
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表[（2n-1）/4+（-1）^n/4，{n，0，70}](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月2日*）
f[n_]：=如果[OddQ[n]，（n-1）/2，n/2]；数组[f，74，0](*罗伯特·威尔逊v2012年4月20日*）
带有[{c=Range[0，40]}，Riffle[c，c]](*哈维·P·戴尔，2013年8月26日*）
系数列表[级数[x^2/（1-x-x^2+x^3），{x，0，75}]，x](*罗伯特·威尔逊v2015年2月5日*）
线性递归[{1，1，-1}，{0，0，1}，75](*罗伯特·威尔逊v2015年2月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^100）；concat（[0,0]，Vec（x^2/（（1+x）*（x-1）^2））\\阿尔图·阿尔坎2016年3月21日
（哈斯克尔）
a004526=（`div`2）
a004526_list=concatMap（\x->[x，x]）[0..]
（Maxima）临时清单（楼层（n/2），n，0，50）/*马丁·埃特尔，2012年10月17日*/
（Sage）def a（n）：返回（dimension_cusp_forms（Gamma0（2），2*n+4））#迈克尔·索莫斯2014年7月3日
（Sage）定义a（n）：返回（维度_模块_形式（Gamma1（n+1），1））#迈克尔·索莫斯2014年7月3日
（岩浆）[底板（n/2）:n in[0..100]]//文森佐·利班迪，2014年11月19日
（Python）
定义a（n）：返回n//2
打印（[a（n）代表范围（74）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年4月30日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A010888型
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| n的数字根（重复添加n的数字，直到达到一个数字）。 |
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+10
267
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0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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这有时也称为n的加法数字根。
13717421/11111111的十进制展开为0.12345678912345678912456789……带句点9-埃里克·德斯比亚2008年5月19日
13717421/111111111的十进制展开式0=0.0[123456789]（周期）-丹尼尔·福格斯2017年2月27日
我的朋友贾汉格·科尔迪发现19是最小的素数p，因此对于每个数字n，a（p*n）=a（n）。事实上，我们有：a（m*n）=a（a（m）*a（n）），所以所有数字根为1的数字（形式为9k+1的数字）都有这个性质。请参阅的注释行A017173号还有a（m+n）=a（a（m）+a（n））-法里德·菲鲁兹巴赫特2010年7月23日
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参考文献
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马丁·加德纳，《数学、魔法与神秘》，1956年。
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链接
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配方奶粉
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如果n=0，则a（n）=0；否则a（n）=（n减少mod 9），但如果答案为0，则将其更改为9。
等价地，如果n=0，则a（n）=0，否则a（n”）=（n-1约化模9）+1。
如果忽略初始0项，则序列为周期9。
G.f.：G（x）=x*（和{k=0..8}（k+1）*x^k）/（1-x^9）。还有：g（x）=x（9x^10-10x^9+1）/（（1-x^9）（1-x）^2）。（结束）
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例子
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37的数字是3和7，3+7=10。10的数字是1和0，1+0=1，所以a（37）=1。
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MAPLE公司
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数学
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联接[{0}，数组[Mod[#-1，9]+1&，104]](*罗伯特·威尔逊v2006年1月4日*）
联接[{0}，LinearRecurrence[{0，0，0(*雷·钱德勒2015年8月26日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a010888=直到（<10）a007953
（Python）
如果n else为0，则返回1+（n-1）%9#柴华武2014年8月23日，2023年4月23日
（岩浆）[0..110]]中的[n eq 0选择0其他1+（n-1）mod 9:n//布鲁诺·贝塞利2016年3月18日
（Scala）0:：List.fill（10）（1到9）.flatten//阿隆索·德尔·阿特2020年2月1日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A007953号,A007954号,A031347号,A113217号,A113218号,A010878号（n mod 9），A010872号,A010873号,A010874号,A010875号,A010876美元,A010877号,A010879号,A004526号,A002264号,A002265号,A002266号,A017173号,A031286号（n的加性持久性），（n的乘法数字根），A031346号（n的乘法持久性）。
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关键字
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非n,容易的,美好的,基础
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作者
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状态
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经核准的
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0, 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, 128, 162, 200, 242, 288, 338, 392, 450, 512, 578, 648, 722, 800, 882, 968, 1058, 1152, 1250, 1352, 1458, 1568, 1682, 1800, 1922, 2048, 2178, 2312, 2450, 2592, 2738, 2888, 3042, 3200, 3362, 3528, 3698, 3872, 4050, 4232, 4418
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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“如果周期系统中的每个周期都以稀有气体结束……，则一个周期中元素的数量可以通过以下公式从该周期的序数n中求得：L=（（2n+3+（-1）^n）^2）/8……”——《自然》，1951年6月9日；《自然》411（2001年6月7日），第648页。这使当前序列加倍。
设z（1）=i=sqrt（-1），z（k+1）=1/（z（k）+2i）；则a（n）=（-1）*图像（z（n+1））/实数（z（n+1））-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月6日
成对三角形数的算术平均数：（1+3）/2，（6+10）/2，（15+21）/2-阿玛纳斯·穆尔西2005年8月5日
这些数字在乌拉姆螺旋上形成了类似于三角形数字的图案G.Roda，2010年10月20日
具有有理支的等腰直角三角形的积分面积（支为2n，且当n>0时三角形是非退化的）-里克·L·谢泼德2009年9月29日
按照美国国旗分布时的恒星数量：n行n+1颗星，每对之间有一行n颗星（即其中的n-1），即n*（n+1）+（n-1）*n=2*n^2=A001105号（n） ●●●●-塞萨尔·埃利乌德·洛扎达2012年9月17日
显然，具有半长度n+3和奇数个峰值的Dyck路径的数量以及具有高度n-3的中心峰值-大卫·斯卡布勒2013年4月29日
B_n和C_n型根系中的根数（当n>1时）-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于n>=0的Clifford代数Cl_2，这个序列也作为[n，n，n+1，n+1]的平方的四重奏[a（n），a（n。p（n）=A046092号（n） 。请参阅2014年10月15日的评论147973英镑其中还给出了参考-沃尔夫迪特·朗2014年10月16日
a（n）表示连续整数之和中的第一项，该整数等于（2n+1）^3-帕特里克·麦克纳布2016年12月24日
同时给出了（n+4）三角形蜂窝钝骑士图中3个圈的个数-埃里克·韦斯特因2017年7月29日
以数字B为基数的回文242表示的数字，包括B=2（二进制）、3（三元）和4:242（2）=18、242（3）=32、242。。。242(9)=200, 242(10)=242, ... -罗恩·诺特2017年11月14日
a（n）是等腰直角三角形斜边的平方，其边等于n-托马斯·M·格林2019年8月20日
发件人伯纳德·肖特，2021年8月31日和2021年9月16日：（开始）
证明：每n=2^q*（2k+1），q，k>=0，则2*n^2=2^（2q+1）*（2k+1）^2；现在，gcd（2，2k+1）=1，tau（2^（2q+1））=2q+2和tau（（2k+1。
2^（2q+1）的2q+2除数是{1，2，2^2，2|3，…，2^，（2q*1）}，所以2^。
结论：这两个2q+1偶数除数是由（2k+1）^2的2u+1奇数除数精确地生成（2q+1）*（2u+1）2*n^2的偶数除法，并且（2q+1）*（2 u+1）是奇数。（结束）
n>0的a（n）是保加利亚和曼卡拉纸牌游戏中周期长度为2的数字-保罗·魏森霍恩2022年1月29日
L1距离处的点数=2，距离Z^n中的任何给定点-谢尔·卡潘2023年2月25日
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参考文献
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Arthur Beiser，《现代物理概念》，第二版，McGraw-Hill，1973年。
马丁·加德纳（Martin Gardner），《数学巨著，经典难题，悖论和问题》，第2章，题为“有限差分的微积分”，W.W.Norton and Company，纽约，2001年，第12-13页。
L.B.W.Jolley，“系列总结”，多佛出版社，1961年，第44页。
阿兰·罗伯特（Alain M.Robert），《p-adic分析课程》，斯普林格·弗拉格出版社，2000年，第213页。
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链接
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Milan Janjić，限制性三元词和插入词，arXiv:1905.04465[math.CO]，2019年。
米兰·扬基奇和鲍里斯·佩特科维奇，计数函数，arXiv:1301.4550[math.CO]，2013年-N.J.A.斯隆2013年2月13日
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv:1406.3081[math.CO]，2014年。
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配方奶粉
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总尺寸：2*x*（1+x）/（1-x）^3。
对于n>0，在1/（cos（x）+n-1）的Maclaurin展开式中，a（n）=1/x^2的系数-弗朗西斯科·达迪2011年8月4日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）-阿图尔·贾辛斯基2011年11月24日
a（n）=楼层（1/（1-cos（1/n））），n>0-克拉克·金伯利2014年10月8日
a（n）=总和{j=1..n}总和{i=1..nneneneep上限（（i+j-n+4）/3）-韦斯利·伊万·赫特2015年3月12日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=sqrt（2）*sinh（Pi/sqrt（3））/Pi。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=sqrt（2）*sin（Pi/sqrt（1））/Pi。（结束）
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例子
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a（3）=18；因为2（3）=6有3个分区，正好有两部分：（5,1），（4,2），（3,3）。将所有部分相加，我们得到：1+2+3+4+5=18-韦斯利·伊万·赫特2013年6月1日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{3，-3，1}，{2，8，18}，｛0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年7月28日*）
2多边形编号[4，范围[0，20]](*埃里克·韦斯特因2017年7月28日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..50]]中的[2*n^2:n//文森佐·利班迪2011年4月30日
（哈斯克尔）
a001105=a005843。a000290美元--莱因哈德·祖姆凯勒2012年12月12日
（鼠尾草）[2*n^2代表n in（0..20）]#G.C.格鲁贝尔2019年2月22日
（GAP）列表（[0..50]，n->2*n^2）#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年2月24日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,改变
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作者
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伯恩德。沃尔特（AT）法兰克福.netsurf.de
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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此外，137174210/111111111的十进制展开式=0.123456789012345678791212345678901234-杰森·厄尔斯2001年3月19日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=n mod 10。
周期为10。
复表示：a（n）=1/10*（1-r^n）*和{1<=k<10，k*积{1<=m<10，m<>k，（1-rqu（n-m））}其中r=exp（Pi/5*i）和i=sqrt（-1）。
三角表示：a（n）=（256/5）^2*（sin（n*Pi/10）。
通用公式：G（x）=（总和{1<=k<10，k*x^k}）/（1-x^10）=-x*（1+2*x+3*x^2+4*x^3+5*x^4+6*x^5+7*x^6+8*x^7+9*x^8）/（（x-1）*（1+x）*（x^4+x^3+x^2+x+1）*。
另外：g（x）=x（9x^10-10x^9+1）/（（1-x^10）（1-x）^2）。
a（n）=n ^k mod 10，对于k>0，其中k mod 4=1-道格·贝尔2015年6月15日
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MAPLE公司
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n模块10；
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数学
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线性递归[{0，0，0(*雷·钱德勒2015年8月26日*）
PadRight[{}，100，范围[0，9]](*哈维·P·戴尔，2021年10月4日*）
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黄体脂酮素
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（弧垂）[范围（0，81）内n的power_mod（n，5，10）]#零入侵拉霍斯2009年11月4日
（哈斯克尔）
a010879=（`mod`10）
（岩浆）【n mod（10）：n in[0..90]]//文森佐·利班迪2015年6月17日
（Python）def a（n）：返回n%10#马丁·格尔戈夫2022年10月17日
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交叉参考
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关键字
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非n,基础,容易的
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作者
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经核准的
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0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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形态0->01，1->20，2->12的不动点。
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链接
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拉尔夫·格里斯沃尔德，轴顺序[取自Wayback机器]
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配方奶粉
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a（n）=n-3*楼层（n/3）=a（n-3）。
G.f.：（2*x^2+x）/（1-x^3）.-马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2003年1月8日
a（n）＝1+（1-2*cos（2*Pi*（n-1）/3））*sin（2*Pi*（n-1）/3））/sqrt（3）。
a（n）=（16/9）*（（sin（Pi*（n-2）/3））^2+2*（sin。
a（n）=（4/3）*（|sin（Pi*（n-2）/3）|+2*|sin。
a（n）=（4/9）*（（1-cos（2*Pi*（n-2）/3））+2*（1-cos（2*Pi*（n-1）/3）。这些公式可以很容易地用于表示任何周期序列-Hieronymus Fischer公司2007年6月1日
当n>1时，a（n）=3-a（n-1）-a（n-2）-莱因哈德·祖姆凯勒2008年4月13日
a（n）=1-2*sin（4*Pi*（n+2）/3）/sqrt（3）-杰姆·奥利弗·拉丰，2008年12月5日
a（n）=1-0^（（-1）^（n/3）-（-1）*n）+0^（-1）*（（n+1）/3）+（-1）|n）。
a（n）=1+（-1）^（（2*n+4）/3）/3+（-1。
a（n）=1+2*cos（Pi*（2*n+4）/3）/3+4*cos。（结束）
例如：exp（x）-exp（-x/2）*（cos（sqrt（3）*x/2）+sin（sqrt（3）*x/2）/sqrt（3））-斯特凡诺·斯佩齐亚2020年3月1日
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例子
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G.f.=x+2*x ^2+x ^4+2*x ^5+x ^7+2*x^8+x ^10+2*x^11+x ^13+。。。
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MAPLE公司
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数学
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嵌套[函数[l，{扁平[（l/.{0->{0，1}，1->{2，0}，2->{1，2}}）]}]，{0}(*罗伯特·威尔逊v2005年2月28日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a010872=（`mod`3）
（岩浆）[0..100]]中的n mod 3:n//韦斯利·伊万·赫特2015年5月27日
（PARI）x='x+O（'x^200）；concat（0，Vec（（2*x^2+x）/（1-x^3））\\阿尔图·阿尔坎2016年3月23日
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交叉参考
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关键字
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容易的,非n
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作者
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经核准的
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0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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这种类型的周期序列也可以通过a（n）=floor（q/（p^m-1）*p^n）mod p计算，其中q是表示周期数字模式的数字，m是周期长度。p和q可以计算如下：设D是表示要重复的数字模式的数组，m=D的大小，max=D中元素的最大值。然后p:=max+1和q:=p^m*sum_{i=1..m}D（i）/p^i。例如：对于这个序列，D=（0，1，2，3），p=4和q=57-Hieronymus Fischer公司2013年1月4日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（1/2）*（3-（-1）^n-2*（-1）*楼层（n/2））；
同时a（n）=（1/2）*（3-（-1）^n-2*（-1）（（2n-1+（-1）*n）/4））；
同时a（n）=（1/2）*（3-（-1）^n-2*sin（Pi/4*（2n+1+（-1））^n））。
三角表示：a（n）=2^2*（sin（n*Pi/4））^2*和{1<=k<4，k*积{1<=m<4，m<>k，（sin。显然，平方项可以用其绝对值“|.|”代替。
复表示：a（n）=1/4*（1-r^n）*和{1<=k<4，k*积{1<=m<4，m<>k，（1-rqu（n-m））}，其中r=exp（Pi/2*i）=i=sqrt（-1）。所有这些公式都可以很容易地适用于表示任何周期序列。
当n>2时，a（n）=6-a（n-1）-a（n-2）-a（n-3）-莱因哈德·祖姆凯勒2008年4月13日
a（n）=3/2+cos（（n+1）pi）/2+sqrt（2）cos（2n+3）pi/4）[杰姆·奥利弗·拉丰，2008年12月5日]
a（n）=地板（41/3333*10^（n+1））模块10。
a（n）=地板（19/85*4^（n+1））模块4。（结束）
例如：2*sinh（x）-sin（x）+cosh（x）-cos（x）-斯特凡诺·斯佩齐亚2021年4月20日
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MAPLE公司
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seq（chrem（[n，n]，[1,4]），n=0..80）#零入侵拉霍斯2009年3月25日
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数学
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nn=40；系数列表[级数[（x+2x^2+3x^3）/（1-x^4），{x，0，nn}]，x](*杰弗里·克雷策2013年7月26日*）
表[Mod[n，4]，{n，0，100}](*T.D.诺伊2013年7月26日*）
PadRight[{}，120，{0，1，2，3}](*哈维·P·戴尔，2018年3月29日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a010873 n=（`mod`4）
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,7
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评论
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Chvátal证明，给定一个任意的n-gon，存在一个（n）点，这样内部的所有点都可以从这些点中的至少一个点看到；此外，对于所有n>=3，存在一个不能用少于a（n）个点以这种方式覆盖的n-gon。这就是所谓的“美术馆问题”-查尔斯·格里特豪斯四世2012年8月29日
二项式逆变换是0、0、0，1、-3、6、-9、9、0、-27、81、-162、243、-243、0、729，。。（请参见A000748号). -R.J.马塔尔2023年2月25日
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链接
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瓦克拉夫·查瓦塔尔，平面几何中的一个组合定理《组合理论杂志》，B系列18（1975），第39-41页，doi:10.1016/0095-8956（75）90061-1。
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配方奶粉
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a（n）=地板（n/3）。
a（n）=（n-1+2*sin（4*（n+2）*Pi/3）/sqrt（3））/3-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月5日
对于n>=3，a（n）=地板（log_3（3^a（n-1）+3^a（n-2）+3^a（n-3）））-弗拉基米尔·舍维列夫2010年6月22日
a（n）=n-2-a（n-1）-a（n-2），对于n>1，a（0）=a（1）=0-德里克·奥尔2015年4月28日
a（n）=a（n-1）+a（n-3）-a（n-4），n>4。
a（n）=（n-1+0^（（-1）^（n/3）-（-1））^n）-0^（-1-）^。（结束）
例如：exp（x）*（x-1）/3+exp（-x/2）*（3*cos（sqrt（3）*x/2）+sqrt-斯特凡诺·斯佩齐亚，2022年10月17日
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MAPLE公司
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数学
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扁平[表[{n，n，n}，{n，0，25}]](*哈维·P·戴尔2013年6月9日*）
表[楼层[n/3]，{n，0，20}]（*~~*）
表[（n-Cos[2（n-2）Pi/3]+Sin[2（n-2）Pi/3）/Sqrt[3]-1）/3，{n，0，20}](*埃里克·韦斯特因2023年8月12日*）
表[（n-ChebyshevU[n-2，-1/2]-1）/3，{n，0，20}](*埃里克·韦斯特因2023年8月12日*）
线性递归[{1，0，1，-1}，{0，0，0,1}，20](*埃里克·韦斯特因2023年8月12日*）
系数列表[级数[x^3/（（-1+x）^2（1+x+x^2）），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2023年8月12日*）
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黄体脂酮素
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（弧垂）[范围（0，79）内n的地板（n/3）]#零入侵拉霍斯2009年12月1日
（哈斯克尔）
a002264 n=a002264_列表！！n个
a002264_list=0:0:0:map（+1）a002264列表
（PARI）v=[0,0]；对于（n=2,50，v=concat（v，n-2-v[#v]-v[#v-1]））；v（v）\\德里克·奥尔2015年4月28日
（岩浆）[底板（n/3）:n in[0..100]]//文森佐·利班迪2015年4月29日
（Magma）&cat[[n，n，n]：n在[0..30]]中//布鲁诺·贝塞利2015年4月29日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001477号,A002265号,A002266号,A004526号,A008615号,A008620型,A010761号,A010762号,A010872号,A010873号,A010874号,A022003号,A110532号,A110533号,A137221号（二进制事务处理）。
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A010766号
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| 按行读取三角形：第n行给出数字楼层（n/k），k=1..n。 |
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+10
78
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1, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 2, 1, 1, 5, 2, 1, 1, 1, 6, 3, 2, 1, 1, 1, 7, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 8, 4, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 9, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 5, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 5, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 6, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 6, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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第n行是分区，其Young图是n的所有分区的Young图的并集（改写Franklin T.Adams-Waters的评论）-哈里·里奇曼2022年1月13日
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链接
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配方奶粉
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通用系数：1/（1-x）*Sum_{k>=1}x^k/（1-y*x^k）-弗拉德塔·乔沃维奇2004年2月5日
T（n，k）=1+T（n-k，k）（其中，如果n<2*k，T（n-k，k）=0）-罗伯特·伊斯雷尔，2014年9月1日
如果k>1，T（n，k）=T（楼层（n/k），1）；T（n，1）=1-和{i=2..n}A008683号（i） *T（n，i）。如果我们将公式修改为T（n，1）=1-求和{i=2..n}A008683号（i） *T（n，i）/i^s，其中s是复变量，则第一列成为Riemann zeta函数的部分和-Mats Granvik公司2016年4月27日
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例子
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三角形开始：
1: 1;
2: 2, 1;
3: 3, 1, 1;
4: 4, 2, 1, 1;
5: 5, 2, 1, 1, 1;
6: 6, 3, 2, 1, 1, 1;
7: 7, 3, 2, 1, 1, 1, 1;
8: 8, 4, 2, 2, 1, 1, 1, 1;
9: 9, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1;
10:10、5、3、2、2、1、1、1、1、1；
11: 11, 5, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1;
12: 12, 6, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1;
13: 13, 6, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1;
14: 14, 7, 4, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1;
15: 15, 7, 5, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1;
16: 16, 8, 5, 4, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1;
17: 17, 8, 5, 4, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1;
18: 18, 9, 6, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1;
19:19、9、6、4、3、2、2、2、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1；
20: 20, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1;
...
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MAPLE公司
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seq（seq（楼层（n/k），k=1..n），n=1..20）#罗伯特·伊斯雷尔2014年9月1日
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数学
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扁平[桌子[地板[n/k]，{n，20}，{k，n}]](*哈维·P·戴尔2012年11月3日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a010766=div
a010766_当前n=a010766_启用！！（n-1）
a010766_tabl=zipWith（map.div）[1..]a002260_tabl
（PARI）a（n）=t=楼层（（-1+平方米（1+8*（n-1）））/2）；（t+1）\\爱德华·江2014年9月10日
（PARI）T（n，k）=总和（i=1，n，（i%k）==0）\\米歇尔·马库斯，2017年4月8日
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交叉参考
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此三角形的列：
T（n，1）=n，
此三角形的行（后面有无限个零）：
...
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0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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配方奶粉
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复数表示：a（n）=（1/5）*（1-r^n）*和{1<=k<5，k*积{1<=m<5，m<>k，（1-rqu（n-m））}}其中r=exp（2*Pi/5*i）和i=sqrt（-1）。
三角表示：a（n）=（16/5）^2*（sin（n*Pi/5））^2*Sum{1<=k<5，k*Product{1<=m<5，m<>k，（sin。显然，平方项可以用其绝对值“|.|”代替。这个公式可以很容易地用于表示任何周期序列。
a（n）=-cos（4/5*Pi*n）-cos（2/5*Pi*n）+1/20*5^（1/2）*（10+2*5^（1/2））^（1/2）*sin（2/5*Pi*n）+2-列奥尼德·贝德拉图克，2012年5月14日
当n>4时，a（n）=a（n-5）。
a（n）=4*（1-楼层（n/5））+总和{k=1..4}楼层（（n-k）/5）。
a（n）=4-4*层（n/5）+层（n-1）/5）+floor（n-2）/5。
a（n）=n-5*层（n/5）。（结束）
a（n）=2+（2/5）*Sum_{k=1..4}k*（（cos（2*（n-k）*Pi/5）+cos（4*（n-k）*Pi/5））-韦斯利·伊万·赫特2018年9月27日
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MAPLE公司
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seq（chrem（[n，n]，[1,5]），n=0..80）#零入侵拉霍斯2009年3月25日
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..100]]中的n mod 5:n//韦斯利·伊万·赫特2016年7月23日
（GAP）列表（[0..100]，n->n mod 5）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年9月28日
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交叉参考
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非n,容易的
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