搜索： a001840-编号：a001840
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1, 4, 32, 512, 32768, 4194304, 1073741824, 1099511627776, 2251799813685248, 9223372036854775808, 151115727451828646838272, 4951760157141521099596496896, 324518553658426726783156020576256, 85070591730234615865843651857942052864
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0,2
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评论
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配方奶粉
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a（n）=2^二项式（n+1,2）*2^楼层（（n+1）（n+2）/6）。
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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1, 2, 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93, 99, 105, 111, 117, 123, 129, 135, 141, 147, 153, 159, 165, 171, 177, 183, 189, 195, 201, 207, 213, 219, 225, 231, 237, 243, 249, 255, 261, 267, 273, 279, 285, 291, 297, 303, 309, 315, 321, 327
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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除了1和2之外，推测存在的唯一值与3 mod 6一致（所有这些值都存在）。
例子：A001840号[6k+4]=A001840号[3（2k+1）+1]=（2k+2）（6k+5）/2=t*（6k+4）表示t=k+7/6+1/[6（3k+2。（结束）
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链接
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M.Janjic和B.Petkovic，计数函数，arXiv 1301.45502013年
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配方奶粉
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G.f.：猜想：2*（1+x）/（1-x）/G（0）+x，其中G（k）=1+1/（1-x*（3*k+1）/（x*（3+k+4）+1/G（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月6日
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例子
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数学
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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1, 2, 5, 8, 14, 20, 31, 42, 60, 78, 105, 132, 171, 210, 264, 318, 390, 462, 556, 650, 770, 890, 1040, 1190, 1375, 1560, 1785, 2010, 2280, 2550, 2871, 3192, 3570, 3948, 4389, 4830, 5341, 5852, 6440, 7028, 7700, 8372, 9136, 9900, 10764, 11628, 12600, 13572
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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配方奶粉
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通用格式：x/（1-x）^5*（1+x）^3*（1-x+x^2）*（1+x+x*2））。
54*a（n）=631/64+405/16*n+3/32*n^4+15/8*n^3+381/32*n^2-（-1）^n*（9/32*n*2+45/16*n+375/64）-A131713号（n） -3个*A057079号（n） ●●●●-R.J.马塔尔2018年6月16日
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例子
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1、0、2、0、3、0、5、0、7、0、9、0、12、0、15、0、。。。
其中部分金额为
1, 1, 3, 3, 6, 6, 11, 11, 18, 18, 27, 27, 39, 39, 54, 54, ...
其中部分金额为
1, 2, 5, 8, 14, 20, 31, 42, 60, 78, 105, 132, 171, 210, 264, 318, ...
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数学
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拖放[Accumulate[Cumulate[Riffle[LinearRecurrence[{2，-1，1，-2，1}，{0，1，2，3，5}，30]，0]]，2]（*或*）LinearReurrence[{2、1，-4，1，2,0，-2，-1，4，-1，-2，1,}，}，[1，2，5，8，14，20，31，42，60，78，105，132}，50](*哈维·P·戴尔，2018年6月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）/*首先计算u=A001840号用零交错，然后v=部分和，然后w=第二部分和*/{m=50；u=向量（m，n，polceoff（x/（1-x^2）^3*（1+x^2+x^4））+x*O（x^（n）），n），m-1，a+=v[n]；w[n]=a）；w}\\克劳斯·布罗克豪斯2009年9月21日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 4, 8, 32, 128, 512, 4096, 32768, 262144, 4194304, 67108864, 1073741824, 34359738368, 1099511627776, 35184372088832, 2251799813685248, 144115188075855872, 9223372036854775808, 1180591620717411303424, 151115727451828646838272
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评论
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a（n）*a（n-4）=2*a（n-1）*a-迈克尔·索莫斯2018年10月19日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=2^层（n+1）（n+2）/6）。
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例子
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G.f.=1+2*x+4*x^2+8*x^3+32*x^4+128*x^5+512*x^6+-迈克尔·索莫斯2018年10月19日
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数学
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a[n]：=2^商[二项式[n+2，2]，3]；(*迈克尔·索莫斯2018年10月19日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=2^（二项式（n+2,2）\3）}/*迈克尔·索莫斯2018年10月19日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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A000217号
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| 三角数：a（n）=二项式（n+1,2）=n*（n+1）/2=0+1+2+…+n.（名词）。
（原名M2535 N1002）
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+10
4552
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0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431
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0.3
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评论
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也称为T（n）或C（n+1,2）或二项式（n+1，2）（首选）。
广义六角形数：n*（2*n-1），n=0，+-1，+-2，+-3。。。广义k边形数是第二个k边形数和交错的k边形数的正项，k>=5。在这种情况下，k=6-奥马尔·波尔2011年9月13日和2012年8月4日
n+1阶完备图的边数，K_{n+1}。
在n个字母的字符串中插入一对括号的合法方法的数量。例如，三个字母有六种写法：（a）bc，（ab）c，（abc），a（b）c，a（bc），ab（c）。证明：有C（n+2,2）种方法可以选择括号的位置，但其中n+1种是非法的，因为括号是相邻的。囊性纤维变性。A002415号.
对于n>=1，a（n）也是n+2次非奇异曲线的亏格，如费马曲线x^（n+2）+y^（n+2）=1.-艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my_deja.com），2001年2月21日
根据哈纳克定理（1876），n阶非奇异曲线的分支数有界于a（n）-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
双n多米诺骨牌中的瓷砖数量-斯科特·布朗2002年9月24日
n个不相同链接的链可以分解的方式数。这是基于蛋白质组学领域的一个类似问题：质谱仪中n个氨基酸残基的肽可以被分解的方式的数量。一般来说，每个氨基酸的质量不同，所以AB和BC的质量不同-詹姆斯·雷蒙德2003年4月8日
三角数-奇数=移位三角数；1, 3, 6, 10, 15, 21, ... - 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... = 0, 0, 1, 3, 6, 10, ... - Xavier Acloque，2003年10月31日[由更正德里克·奥尔2015年5月5日]
居中多边形数是[边数]的结果*A000217号+ 1]. 例如，中心五边形数（1,6,16,31，…）=5*（0,1,3,6，…）+1。居中七元数（1,8,22,43，…）=7*（0,1,3,6，…）+1.-Xavier Acloque，2003年10月31日
n+1平面相交形成的最大线数-罗恩·金2004年3月29日
避开模式132且正好有1个下降的[n]排列数-迈克·扎布罗基2004年8月26日
不允许长度为n-1的三元字的数量带有子字（0,1）、（0,2）和（1,2）-奥利维尔·杰拉德2012年8月28日
可以从集合{0,1,2，…，n}中选择两个不同的数字而不重复，或者，可以在集合{1,2，……，n{中选择二个不同数字并重复的方法。
据推测，只有1、6、120是三角形和阶乘的数字Christopher M.Tomaszewski（cmt1288（AT）comcast.net），2005年3月30日
每对相邻的项组成一个完美的正方形-扎克·塞多夫，2006年3月21日
n+1个字母对称组中的转置数，即除两个元素外，其余元素都保持不变的排列数-杰弗里·克雷策2006年6月23日
对于rho（n）：=exp（i*2*Pi/n）（1的n次方根），对于n>=1，rho（n）^a（n）=（-1）^（n+1）。只需使用平凡性a（2*k+1）==0（mod（2*k+1））和a（2*k）==k（mod（2*k））。
a（n）是（a1+a2+a3）^（n-1）展开式中的项数-塞尔吉奥·法尔孔2007年2月12日
a（n+1）是2个变量中n次完全齐次对称多项式的项数-理查德·巴恩斯，2017年9月6日
等于半群PT_n\S_n的秩（生成集的最小基数），其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2007年5月3日
a（n）给出了从三角形上的一个顶点到该顶点对面绘制cevian时发现的三角形总数，其中n=绘制的cevian数+1。例如，绘制1个cevian，n=1+1=2和a（n）=2*（2+1）/2=3，则图形中总共有3个三角形。如果从一个点到另一侧绘制2个cevians，则n=1+2=3和a（n）=3*（3+1）/2=6，则图中总共有6个三角形。-Noah Priluck（npriluck（AT）gmail.com），2007年4月30日
对于n>=1，a（n）是当项的顺序不同的表示被认为不同时，n-1可以写成三个非负整数之和的方式数。换句话说，对于n>=1，a（n）是方程x+y+z=n-1的非负积分解的个数-阿玛纳斯·穆尔西2001年4月22日（编辑：罗伯特·A·比勒)
a（n）是三维各向同性谐振子的能量为n+3/2的能级数（单位为h*f0，普朗克常数为h，振子频率为f0）。请参阅上文A.Murthy的评论：n=n1+n2+n3，带正整数并排序。o.g.f.的证明见A.Messiah参考-沃尔夫迪特·朗2007年6月29日
数字m>=0，使圆（sqrt（2m+1））-圆（squart（2m））=1。
数字m>=0，这样天花板（2*sqrt（2m+1））-1=1+地板（2*m2（2m））。
数字m>=0，使得fract（sqrt（2m+1））>1/2，fract（m2））<1/2，其中fract（x）是x的小数部分（即x-floor（x），x>=0）。（结束）
如果Y和Z是一个n集X的3个块，那么对于n>=6，a（n-1）是与Y和Z相交的X的（n-2）子集的数目-米兰Janjic2007年11月9日
循环赛中的比赛数量：n*（n-1）/2给出了n名球员所需的比赛数量。每个人都会和其他人比赛一次Georg Wrede（Georg（AT）iki.fi），2008年12月18日
等价于连续四面体数的第一个差值。请参见A000292号.-Jeremy Cahill（jcahill（AT）inbox.com），2009年4月15日
交替幂和的一般公式是以瑞士-刀多项式P（n，x）表示的153641英镑2^（-n-1）（P（n，1）-（-1）^k P（n、2k+1））。因此a（k）=|2^（-3）（P（2,1）-（-1）^k P（2,2k+1））|-彼得·卢什尼2009年7月12日
a（n）是最小的数>a（n-1），使得gcd（n，a（n。如果n是奇数，则gcd是n；如果n是偶数，则为n/2-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年8月6日
弗洛伊德三角形右边的数字是1、3、6、10、15-保罗·穆尔贾迪2010年1月25日
更一般地说，a（2k+1）==j*（2j-1）（mod 2k+2j+1）和
a（2k）==[-k+2j*（j-1）]（模2k+2j）。
列总和：
1 3 5 7 9 ...
1 3 5 ...
1 ...
...............
---------------
1 3 6 10 15 ...
和{n>=1}1/a（n）^2=4*Pi^2/3-12=12小于半径为Pi^（1/3）的球体的体积。
（结束）
（结束）
绘制三个点（0,0）、（a（n）、a（n+1））、（a+1）、a+2）以形成三角形。面积为a（n+1）/2-J.M.贝尔戈2012年5月4日
以a（n）=n*（n+1）/2开头的四个连续三角形数之和减去2等于2*（n+2）^2。a（n）*a（n+2）/2=a（a（n+1）-1）-J.M.贝尔戈2012年5月17日
（a（n）*a（n+3）-a（n+1）*a-J.M.贝尔戈2012年5月18日
a（n）*a（n+1）+a（n+2）*a（n+3）+3=a（n^2+4*n+6）-J.M.贝尔戈2012年5月22日
一般来说，a（n）*a（n+1）+a（n+k）*a-查理·马里恩2012年9月11日
a（n）*a（n+3）+a（n+1）*a-J.M.贝尔戈2012年5月22日
一般来说，a（n）*a（n+k）+a（n+1）*a-查理·马里恩2012年9月11日
a（n）*a（n+2）+a（n+1）*a-J.M.贝尔戈2012年5月22日
三个点（a（n）、a（n+1））、（a（n/1）、a-J.M.贝尔戈2012年5月23日
a（n）+a（n+k）=（n+k）^2-（k^2+（2n-1）*k-2n）/2。对于k=1，我们得到a（n）+a（n+1）=（n+1）^2（见下文）-查理·马里恩2012年10月2日
在n空间中，我们可以定义一个（n-1）非平凡的正交投影。例如，在3空间中有一个（2）=3（即点对线、点对平面、线对平面）-道格拉斯·拉蒂默2012年12月17日
对于n>=1，a（n）等于半群P_n\S_n的秩（生成集的最小基数）和幂等秩（幂等生成集的极小基数），其中P_n和S_n表示[n]上的分区幺半群和对称群。
对于n>=3，a（n-1）等于半群T_n\S_n的秩和幂等秩，其中T_n和S_n表示[n]上的完全变换半群和对称群。
（结束）
对于n>=3，a（n）等于半群PT_n\S_n的秩和幂等秩，其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2013年1月15日
公式a（n）*a（n+4k+2）/2+a（k）=a（a（n+2k+1）-（k^2+（k+1）^2））是Bergot 2012年5月17日评论中公式a（n*a（n+2）/2=a（a+1）-1的推广-查理·马里恩2013年3月28日
对于奇数m=2k+1，我们有递归a（m*n+k）=m^2*a（n）+a（k）。推论：如果数字T在序列中，那么它就是9*T+1-Lekraj Beedassy公司2013年5月29日
欧拉在歌剧《Postuma》第87节中指出，只要T是三角形数，那么9*T+1、25*T+3、49*T+6和81*T+10也是三角形数。一般来说，如果T是三角形数，那么（2*k+1）^2*T+k*（k+1）/2也是三角形数-彼得·巴拉2015年1月5日
使用1/b和1/（b+2）将得到一个边为2*b+2、b^2+2*b和b^2+2*b+2的毕达哥拉斯三角形。设置b=n-1，得到一个边长为2*n、n^2-1和n^2+1的三角形。四分之一周长=a（n），对于n>1-J.M.贝尔戈2013年7月24日
a（n）=A028896美元（n） /6，其中A028896美元（n） =s（n）-s（n-1）是s（n，n）=n^3+3*n^2+2*n-8的第一个差。s（n）可以解释为12个边长加上6个面面积加上n个X（n-1）X（n-2）矩形棱镜的体积之和-J.M.贝尔戈2013年8月13日
A_n型根系中的正根数（对于n>0）-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于k=1到n，k的第r次连续求和的公式是二项式（n+r，r+1）[H.W.Gould]-加里·德特利夫斯2014年1月2日
对于n>=3，a（n-2）是1,2，…，的置换数，。。。，n的上（1）-下（0）个元素的分布为0…011（n-3个零），或者相同，a（n-2）是上下系数{n，3}（参见A060351型). -弗拉基米尔·舍维列夫，2014年2月14日
a（n）是对称n×n矩阵向量空间的维数-德里克·奥尔2014年3月29日
大小为2的{1，…，n+1}的Sidon子集的数目-卡尔·纳杰菲2014年4月27日
Vandermonde行列式V（x_1，x_2，…，x_n）定义中的因子数=Product_{1<=i<k<=n}x_i-x_k-汤姆·科普兰2014年4月27日
假设一个袋子包含一个（n）红色大理石和一个（n+1）蓝色大理石，其中a（n）、a（n+1）是连续的三角形数字。然后，对于n>0，随机选择两个弹珠并得到两个红色或两个蓝色的概率为1/2。一般来说，对于k>2，设b（0）=0，b（1）=1，对于n>1，b（n）=（k-1）*b（n-1）-b（n-2）+1。假设，对于n>0，一个袋子包含b（n）个红色大理石和b（n+1）个蓝色大理石。然后随机选择两个弹珠，得到两个红色或两个蓝色的概率为（k-1）/（k+1）。另请参见A027941号,A061278号,A089817号,A053142号,A092521号. -查理·马里恩2014年11月3日
考虑将自然数从集合S=（1,2,3，…，n）分为若干部分。生成序列的签名的长度（顺序）由三角数给出。例如，对于n＝10，签名长度为55-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月5日
a（n）将（n-1）个未标记对象的分区计算为三（3）个部分（标记为a、b、c），例如，a（5）=15表示（n-1”=4。这些是（aaaa）、（bbbb）、)、（英国广播公司）、（密件抄送）、（英国电视广播公司）-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月21日
推测：序列是指数n为代数曲线的正弦螺旋的亏格。值0对应于Bernoulli Lemniscate n=2的情况。所以推测的公式是（n-1）（n-2）/2-沃尔夫冈·廷特曼2015年8月2日
猜想：设m为任意正整数。然后，对于每个n=1,2,3，。。。集合{Sum{k=s..t}1/k^m:1<=s<=t<=n}具有基数a（n）=n*（n+1）/2；换句话说，所有1<=s<=t的和{k=s.t}1/k^m是两两不同的。（我通过计算机检查了这个猜想，没有发现反例。）-孙志伟2015年9月9日
对于n>=1，a（n）是n+4到n个部分的组成数，避免了第2部分-米兰Janjic2016年1月7日
假设您正在玩保加利亚纸牌（请参阅A242424型以及张伯伦和加德纳的书），如果n>0，则从一堆a（n）卡开始。那么，达到固定状态{n，n-1，…，1}所需的操作数是a（n-1）。例如，{6}->{5,1}->{4,2}->{3,2,1}. -查理·马里恩2016年1月14日
每个完美立方体都是两个连续三角形数的平方差。1^2-0^2 = 1^3, 3^2-1^2 = 2^3, 6^2-3^2 = 3^3. -米奎尔·塞尔达2016年6月26日
对于n>1，a（n）=tau_n（k*），其中tau_n（k）是k的有序n分解数，k*是素数的平方。例如，tau_3（4）=tau_3（9）=tau_3（25）=tau _3（49）=6（参见A007425号)因为4、9、25和49的除数是6，a（3）=6-梅尔文·佩拉尔塔2016年8月29日
对常见的公式a（n）+a（n+1）=（n+1”）^2（2004年2月19日）和a（n”^2+a（n+1）^2=a（（n+1+6a（k-1））-查理·马里恩2016年11月27日
a（n）也是具有n+4个顶点的多面体中可能的最大对角线数-弗拉基米尔·莱茨科2016年12月19日
对于n>0，2^5*（二项式（n+1,2））^2表示2*（2*n+1）^2个连续整数之和中的第一个整数，等于（2*n+1）^6-帕特里克·麦克纳布2016年12月25日
不大于n的正整数的有序三元组（a，b，c）的数量，使得a+b+c=2n+1-阿维埃尔·利维2017年2月13日
最多使用n种颜色的不等四面体面着色数，因此没有颜色只出现一次-大卫·纳辛2017年2月22日
a（n）是顶点位于（1,1）、（n+1，n+2）和（n+1）^2，（n+2，^2）的三角形的面积-阿特·贝克，2018年12月6日
对于n>0，a（n）是最小的k>0，因此n除以（1/a（1）+1/a（2）+…+的分子1/a（n-1）+1/k）。应该注意的是，1/1+1/3+1/6+…+2/（n（n+1））=2n/（n+1-托马斯·奥多夫斯基2019年8月4日
n-齐次超可解线排列中线数的上界（参见Dimca中的定理1.1）-斯特凡诺·斯佩齐亚2019年10月4日
对于n>0，a（n+1）是边长为n的三角形网格上的格点数量-韦斯利·伊万·赫特2020年8月12日
长度为n的字符串的非空子串的最大数目。
求和集A+A的最大基数，其中A是n个数字的集合。（结束）
a（n）是避免模式123、132和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
假设平行画出两行，每行由n个均匀间隔的点组成。假设我们在两行的点之间画出直线。对于n>=1，a（n-1）是线之间可能的最大交点数。等价地，[n]置换中的最大反转数-塞拉·弗里德2023年4月18日
以下等式补充了Bala评论（2015年1月5日）中的概括。（2k+1）^2*a（n）+a（k）=a（（2k+1*n+k）-查理·马里恩2023年8月28日
a（n）+a（n+k）+a。对于k=1，我们有a（n）+a（n+1）=（n+1”）^2-查理·马里恩2023年11月17日
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参考文献
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配方奶粉
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通用：x/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
例如：exp（x）*（x+x^2）。
a（n）=a（-1-n）。
a（n）=（-1）^n*Sum_{k=1..n}（-1）^k*k^2-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
a（n+1）=（n+2）/n）*a（n），和{n>=1}1/a（n=2）-乔恩·佩里，2003年7月13日
对于插值零，这是n*（n+2）*（1+（-1）^n）/16-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a（n+1）是n X n对称帕斯卡矩阵M_（i，j）=二项式（i+j+1，i）的行列式-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a（n）=（（n+1）^3-n^3-1）/6.-Xavier Acloque，2003年10月24日
a（n）=a（n-1）+（1+sqrt（1+8*a（n-1）））/2。当取平方根的负分支时，此递归关系被反转，即a（n）被转换为a（n-1）而不是a（n+1）-卡尔·R·怀特2003年11月4日
a（n）=a（n-2）+2*n-1-保罗·巴里2004年7月17日
a（n）=平方（sqrt（和{i=1..n}和{j=1.n}（i*j）^3））=（和{i=1..n{和{j=1..n}和_{k=1..n}（i*j））^（1/6）-亚历山大·阿达姆楚克2004年10月26日
如果n是奇数，a（n）==1（mod n+2）；如果n是偶数，a-乔恩·佩里2004年12月16日
a（0）=0，a（1）=1，a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a（n）=楼层（（2*n+1）^2/8）-保罗·巴里2006年5月29日
a（n）^2+a（n+1）^2=a（n+1^2）[R B Nelsen，《数学杂志》70（2）（1997），第130页]-R.J.马塔尔2006年11月22日
a（n）*a（n+k）+a（n+1）*a。概括了2006年11月22日之前的公式[以及J.M.贝尔戈日期：2012年5月22日]-查理·马里恩2011年2月4日
（sqrt（8*a（n）+1）-1）/2=n.大卫·W·坎特雷尔（DWCantrell（AT）sigmaxi.net），2007年2月26日
多边形数的一般公式是P（k，n）=（k-2）*（n-1）n/2+n=n+（k-2*A000217号（n-1），对于n>=1，k>=3-奥马尔·波尔2008年4月28日和2013年3月31日
如果我们定义f（n，i，a）=Sum_{j=0..k-1}（二项式（n，k）*Stirling1（n-k，i）*Product_{j=0.0..k-1}（-a-j）），那么当n>=1时，a（n）=-f（n，n-1,1）-米兰Janjic2008年12月20日
4*a（x）+4*a（y）+1=（x+y+1）^2+（x-y）^2-弗拉基米尔·舍维列夫，2009年1月21日
该序列逆的指数生成函数由和{m>=0}（（Pochhammer（1，m）*Pochhamder（1，m））*x^m/（Pochharmer（3，m）*阶乘（m））=（（2-2*x）*log（1-x）+2*x）/x^2给出，其n阶导数具有闭合形式，必须通过将极限取为x->0来计算。A000217号（n+1）=（lim_{x->0}d^n/dx^n（（2-2*x）*log（1-x）+2*x）/x^2）+n*（对数（1-x）+对数（-1/（-1+x）））*（-x+1+n））/x^2））^-1-斯蒂芬·克劳利2009年6月28日
偏移量为1时，a（n）=楼层（n^3/（n+1））/2-加里·德特利夫斯2010年2月14日
a（n）=4*a（楼层（n/2））+（-1）^（n+1）*楼层（n+1，/2）-布鲁诺·贝塞利2010年5月23日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）；a（0）=0，a（1）=1-马克·多尔斯2010年8月20日
a（n）+2*a（n-1）+a（n-2）=n^2+（n-1；和
a（n）+3*a（n-1）+3*a（n-2）+a（n-3）=n^2+2*（n-1。
一般来说，对于n>=m>2，求和{k=0..m}二项式（m，m-k）*a（n-k）=求和{k=0..m-1}二项式（m-1，m-1-k）*（n-k）^2。
a（n）-2*a（n-1）+a（n-2）=1，a。
一般来说，对于n>=m>2，求和{k=0..m}（-1）^k*二项式（m，m-k）*a（n-k）=0。
（结束）
对于n>0，a（n）=1/（积分_{x=0..Pi/2}4*（sin（x））^（2*n-1）*（cos（x），^3）-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
a（n）+a（a（n））+1＝a（a（n）+1）-J.M.贝尔戈2012年4月27日
a（n）*a（n+1）=a（和{m=1..n}A005408号（m） ）/2，对于n>=1。例如，如果n=8，则a（8）*a（9）=a（80）/2=1620-伊万·伊纳基耶夫2012年5月27日
通用公式：x*（1+3x+6x^2+…）=x*产品{j>=0}（1+x^（2^j））^3=x*A（x）*A（x^2）*A。。。，其中A（x）=（1+3x+3x^2+x^3）-加里·亚当森2012年6月26日
G.f.:G（0），其中G（k）=1+（2*k+3）*x/（2*k+1-x*（k+2）*（2*k+1）/（x*（k+2）+（k+1）/G（k+1）））；（连分数，第3类，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年11月23日
通用公式：x+3*x^2/（Q（0）-3*x）其中Q（k）=1+k*（x+1）+3*x-x*（k+1）*（k+4）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a（n）+a（n+1）+…+a（n+8）+6*n=a（3*n+15）-查理·马里恩2013年3月18日
a（n）+a（n+1）+…+a（n+20）+2*n^2+57*n=a（5*n+55）-查理·马里恩2013年3月18日
当n>0时，3*a（n）+a（n-1）=a（2*n）-伊万·伊纳基耶夫2013年4月5日
一般来说，a（k*n）=（2*k-1）*a（n）+a（（k-1）*n-1）-查理·马里恩2015年4月20日
此外，a（k*n）=a（k）*a（n）+a（k-1）*a-罗伯特·伊斯雷尔2015年4月20日
a（n+1）=det（二项式（i+2，j+1），1<=i，j<=n）-米尔恰·梅卡2013年4月6日
a（n）=地板（n/2）+天花板（n^2/2）=n-地板（n/2+）+地板（n^1/2）-韦斯利·伊万·赫特2013年6月15日
a（n）=楼面（（n+1）/（exp（2/（n+1））-1））-理查德·福伯格，2013年6月22日
和{n>=1}a（n）/n！=3*exp（1）/2 by the e.g.f.另请参见A067764美元关于用这种方法计算的二项式系数的比率-理查德·福伯格2013年7月15日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=4*log（2）-2=0.7725887-理查德·福伯格，2014年8月11日
2/（和{n>=m}1/a（n））=m，对于m>0-理查德·福伯格2014年8月12日
设O（n）为长方形数n（n+1）=A002378号（n） 和S（n）平方数n^2=A000290型（n） ●●●●。那么a（n）+a（n+2k）=O（n+k）+S（k）和a（n，n+2k+1）=S（n+k+1）+O（k）-查理·马里恩2015年7月16日
下面是2006年11月22日公式A（n）^2+A（n+1）^2=A（n+1^2）的推广。设T（k，n）=a（n）+k。然后对于所有k，T（k、n）^2+T（k和n+1）^2=T（k（n+1））^2+2*k）-2*k-查理·马里恩2015年12月10日
a（n）^2+a（n+1）^2=a（a（n）+a（n+1））。可从中推断N.J.A.斯隆是a（n）+a（n+1）=（n+1-本·保罗·瑟斯顿2015年12月28日
a（n）^2-a（n-1）^2=n^3-米奎尔·塞尔达，2016年6月29日
a（n）^2+a（n+3）^2+19=a（n^2+4*n+10）-查理·马里恩2016年11月23日
2*a（n）^2+a（n）=a（n^2+n）-查理·马里恩2016年11月29日
通用公式：x/（1-x）^3=（x*r（x）*r（x^3）*r，其中r（x）=（1+x+x^2）^3=（1+3*x+6*x^2+7*x^3+6*x^4+3*x^5+x^6）-加里·亚当森2016年12月3日
a（n）=矩阵Q（n）的逆的元素之和，其中Q（n）有元素Q_i，j=1/（1-4*（i-j）^2）。因此，如果e=由1组成的适当大小的向量，那么a（n）=e’。Q（n）^-1.e-迈克尔·尤基什2017年3月20日
a（n）=和{k=1..n}（2*k-1）*（2*n-2*k-1）！！）/（2*k-2）*（2*n-2*k）！！）-迈克尔·尤基什2017年3月20日
求和{i=0..k-1}a（n+i）=（3*k*n^2+3*n*k^2+k^3-k）/6-克里斯托弗·霍尔2019年2月23日
当n为奇数时，a（n）==0（mod n）（参见De Koninck参考）-伯纳德·肖特2020年1月10日
8*a（k）*a（n）+（（a（k。当k=1时，这个公式简化为众所周知的公式8*a（n）+1=（2*n+1）^2-查理·马里恩2020年7月23日
a（k）*a（n）=和{i=0..k-1}（-1）^i*a（（k-i）*（n-i））-查理·马里恩2020年12月4日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（7）*Pi/2）/（2*Pi）。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=1/3。（结束）
a（n）=和{k=1..2*n-1}（-1）^（k+1）*a（k）*a。例如，对于n=4，1*28-3*21+6*15-10*10+15*6-21*3+28*1=10-查理·马里恩2022年3月23日
2*a（n）=A000384号（n） 通常，如果P（k，n）=第n个k次方数，则（j+1）*a（n）=P（5+j，n）-n^2+（j+1-查理·马里恩2023年3月14日
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例子
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G.f.：x+3*x^2+6*x^3+10*x^4+15*x^5+21*x^6+28*x^7+36*x^8+45*x^9+。。。
当n=3时，a（3）=4*3/2=6。
示例（a（4）=10）：ABCD，其中a、B、C和D是链中的不同链接，或是肽中的不同氨基酸可能片段：a、B，C、D、AB、ABC、ABCD、BC、BCD、CD=10。
a（2）：德川门上的蜀葵叶子，a（4）：毕达哥拉斯四重奏中的分数，a（5）：八球台球中的物体球-布拉德利·克莱2015年8月24日
a（1）=1到a（5）=15个正整数的有序三元组加起来等于n+2（Beeler，McGrath，上文）如下。这些作文按A014311号.
(111) (112) (113) (114) (115)
(121) (122) (123) (124)
(211) (131) (132) (133)
(212) (141) (142)
(221) (213) (151)
(311) (222) (214)
(231) (223)
(312) (232)
(321) (241)
(411) (313)
（322）
(331)
(412)
(421)
（511）
（结束）
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MAPLE公司
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istriangular:=proc（n）局部t1；t1:=楼层（平方米（2*n））；如果n=t1*（t1+1）/2，则返回true，否则返回false；结束条件：；结束进程#N.J.A.斯隆，2008年5月25日
ZL:=[S，{S=Prod（B，B，B），B=Set（Z，1<=卡）}，未标记]：
seq（combstruct[计数]（ZL，大小=n），n=2..55）#零入侵拉霍斯2007年3月24日
isA000217:=进程（n）
issqr（1+8*n）；
结束进程：#R.J.马塔尔2015年11月29日[这是Leonhard Euler在1765年《Vollständige Anleitung zur代数》第七章中提出的食谱。彼得·卢什尼，2022年9月2日]
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数学
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数组[#*（#-1）/2&，54](*零入侵拉霍斯2009年7月10日*）
文件夹列表[#1+#2&，0，范围@50](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*）
系数列表[级数[x/（1-x）^3，{x，0，50}]，x](*文森佐·利班迪2014年7月30日*）
（*对于Mathematica 10.4+*）表[多边形编号[n]，{n，0，53}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*）
线性递归[｛3，-3，1｝，｛0，1，3｝，54](*罗伯特·威尔逊v2016年12月4日*）
（*以下Mathematica程序由Steven J.Miller提供，用于测试序列是否为Benford。要测试不同的序列，只需更改一行即可。这强烈表明三角形数字不是Benford，因为输出的第二列和第三列不一致-N.J.A.斯隆2017年2月12日*）
fd[x_]：=楼层[10^Mod[Log[10，x]，1]]
benfordtest[num_]：=模块[{}，
对于[d=1，d<=9，d++，数字[d]=0]；
对于[n=1，n<=num，n++，
{
d=fd[n（n+1）/2]；
如果[d！=0，数字[d]=数字[d]+1]；
}];
对于[d=1，d<=9，d++，数字[d]=1.0位[d]/num]；
对于[d=1，d<=9，d++，
打印[d，“”，100.0位[d]，“”、100.0日志[10，（d+1）/d]]]；
];
本福德试验[20000]
表[Length[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n，{3}]]，{n，0，15}](*古斯·怀斯曼2020年10月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）列表（lim）=my（v=list（），n，t）；而（t=n*n++/2）<=lim，listput（v，t））；车辆（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年6月18日
（哈斯克尔）
a000217 n=a000217_list！！n个
a000217_list=扫描1（+）[0..]--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月23日
（岩浆）[0..60]]中的[n*（n+1）/2:n//布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
（弧垂）[n*（n+1）/2表示n in（0..60）]#布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
（Scala）（1至53）.左图（0）（_+_）//霍斯特曼（2012），第171页
（Python）对于范围（0，60）中的n：print（n*（n+1）/2，end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚，2018年12月6日
（Python）#用于计算序列的初始段，而不是
#孤立术语。如果在迭代中，线“x，y=x+y+1，y+1”
#被替换为“x，y=x+y+k，y+k”，然后得到图形数，
#对于k=0（自然A001477号)，k=1（三角形），k=2（正方形），k=3（五边形），k=4（六边形）。
定义aList（）：
x、 y=1，1
产量0
为True时：
产量x
x、 y=x+y+1，y+1
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000096号,A000124号,A000292号,A000330号,A000396号,A000668号,A001082号,A001788号,A002024号,A002378号,A002415号,A003056号（反函数），A004526号,A006011年,A007318号,A008953号,A008954号,A010054号（特征函数），A028347号,A036666号,A046092号,A051942号,A055998号,A055999号,A056000型,A056115号,A056119号,A056121美元,A056126号,A062717号,A087475型,2018年1月59日,A109613号,A143320型,A210569型,A245031型,A245300型,A060544号,A016754号.
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A002260号
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| 按行读取的三角形：T（n，k）=k表示n>=1，k=1..n。 |
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+10
457
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1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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1,3
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评论
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旧名称：整数1到k，后跟整数1到k+1等（分形序列）。
开始一次又一次的计数。
PARI函数t1，t2可用于通过向下的反对角线读取方阵T（n，k）（n>=1，k>=1）：n->T（t1（n），t2（n））-迈克尔·索莫斯2002年8月23日
任意分形序列s的上修剪是s，但s的下修剪虽然是分形序列，但不必是s本身。然而A002260号是A002260号（s的上修边是删除每个项第一次出现后剩下的；s的下修边是从序列s-1中删除所有0后剩下的。）-克拉克·金伯利2009年11月2日
这是最大的正整数序列，因此一旦出现整数k，对于序列的其余部分，k的数量总是超过（k+1）的数量，第一次出现的整数是有序的-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2013年10月23日
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参考文献
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克拉克·金伯利（Clark Kimberling），“分形序列和空间分布”，《阿尔斯组合学》（Ars Combinatoria）45（1997）157-168。（介绍上修边、下修边和签名序列。）
M.Myers，Smarandache Crescendo Subsequences，R.H.Wilde，《纪念选集》，布里斯托尔Banner Books出版社，1998年，第19页。
F.Smarandache，《未解决问题中涉及的数字序列》，Hexis，Phoenix，2006年。
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链接
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Jerry Brown等人。，问题4619《学校科学与数学》（美国），第97卷（4），1997年，第221-222页。
Glen Joyce C.Dulatre、Jamilah V.Alarcon、Vhenectit M.Florida和Daisy Ann A.Disu，关于分形序列，DMMMSU-CAS科学监测（2016-2017）第15卷第2期，109-113。
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配方奶粉
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第n项是n-m*（m+1）/2+1，其中m=楼层（sqrt（8*n+1）-1）/2）。
上述公式适用于偏移量0；对于偏移量1，使用a（n）=n-m*（m+1）/2，其中m=楼层（（-1+sqrt（8*n-7））/2）-克拉克·金伯利2011年6月14日
a（k*（k+1）/2+i）=i，对于k>=0和0<i<=k+1-莱因哈德·祖姆凯勒2001年8月14日
a（n）=（2*n+圆（sqrt（2*n））-圆（squart（2xn））^2）/2-布莱恩·坦尼森2003年10月11日
a（n）=n-二项式（楼层（（1+sqrt（8*n））/2），2）-保罗·巴里2004年5月25日
T（n，k）=Sum_{i=1..k}i*二项式（k，i）*二项式（n-k，n-i）（视为三角形，见示例）-米尔恰·梅卡2012年4月11日
T（n，k）=和{i=最大值（0，n+1-2*k）..n-k+1}（i+k）*二项式（i+k-1，i）*二项式（k，n-i-k+1）*（-1）^（n-i-k+1.）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年10月18日
G.f.：x*y/（（1-x）*（1-x*y）^2）=和{n，k>0}T（n，k）*x^n*y^k-迈克尔·索莫斯2014年9月17日
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例子
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前六行：
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
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MAPLE公司
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在：=0；对于n从1到150，do对于i从1到n，do在：=在+1；l打印（在，i）；日期：日期：#N.J.A.斯隆2006年11月1日
seq（seq（i，i=1..k），k=1..13）#彼得·卢什尼，2009年7月6日
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数学
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FoldList[{#1，#2}&，1，Range[2，13]]//平展(*罗伯特·威尔逊v2011年5月10日*）
扁平[表格[范围[n]，{n，20}]](*哈维·P·戴尔2013年6月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）t1（n）=n-二项式（楼层（1/2+sqrt（2*n）），2）/*该序列*/
（哈斯克尔）
a002260 n k=k
a002260_行n=[1..n]
a002260_tabl=迭代（\row->map（+1）（0:row））[1]
（最大值）T（n，k）：=和（（i+k）*二项式（i+k-1，i）*二项式（k，n-i-k+1）*（-1）^（n-i-k+1），i，最大值（0，n+1-2*k），n-k+1）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年10月18日*/
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交叉参考
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关键词
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作者
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Angele Hamel（amh（AT）mathematics.soton.ac.uk）
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扩展
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状态
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经核准的
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A001399号
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| a（n）是n最多分成3部分的分区数；也是n+3的分区，其中最大部分是3；还有3个节点和n条边的未标记多重图的数量。
（原M0518 N0186）
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+10
191
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1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 19, 21, 24, 27, 30, 33, 37, 40, 44, 48, 52, 56, 61, 65, 70, 75, 80, 85, 91, 96, 102, 108, 114, 120, 127, 133, 140, 147, 154, 161, 169, 176, 184, 192, 200, 208, 217, 225, 234, 243, 252, 261, 271, 280, 290, 300, 310, 320, 331, 341
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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0.3
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评论
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还有n个顶点上的三脚架（正好有3片叶子的树）的数量-埃里克·韦斯特因2011年3月5日
也将n+3的分区数精确分成3个部分；最大部分小于或等于3的n个分区的数量；b+2c+3d=n的非负解的个数。
此外，a（n）给出了将n+6划分成3个不同部分的分区数，以及将2n+9划分为3个不同和奇数部分的分区数目，例如，15=11+3+1=9+5+1=7+5+3-乔恩·佩里2004年1月7日
还有带有n+3个珠子的手镯，其中3个是红色的（因此有2种可能带有5个珠子）。
更一般地说，n划分为最多k个部分的数量也是n+k划分为k个正部分的数量，最大部分为k的n+k的划分数量，最大部份小于或等于k的n的划分数量以及n+k（k+1）的划分数量/2精确到k个不同的正部分，b+2c+3d+…+的非负解的个数kz=n和2c+3d+…+的非负解的个数kz<=n-亨利·博托姆利2001年4月17日
同样，当m变为无穷大时，（m选择3）_q的展开中的系数q^n。-Y.Kelly Itakura（yitkr（AT）mta.ca），2002年8月21日
来自Winston C.Yang（Winston（AT）cs.wisc.edu），2002年4月30日：（开始）
写1、2、3、4，。。。在围绕0的六角螺旋中，n＞0的a（n）由折叠点（包括初始1）形成。螺旋开始于：
.
85--84--83--82--81--80
/ \
86 56--55--54--53--52 79
/ / \ \
87 57 33--32--31--30 51 78
/ / / \ \ \
88 58 34 16-15-14 29 50 77
/ / / / \ \ \ \
89 59 35 17 5---4 13 28 49 76
/ / / / / \ \ \ \ \
90 60 36 18 6 0 3 12 27 48 75
/ / / / / / / / / / /
91 61 37 19 7 1---2 11 26 47 74
\ \ \ \ / / / /
62 38 20 8---9--10 25 46 73
\ \ \ / / /
63 39 21--22--23--24 45 72
\ \ / /
64 40--41--42--43--44 71
\/
65--66--67--68--69--70
.
a（p）是一个周长最多为2p+6的多角形中的最大六边形数。（结束）
a（n-3）是n分为3个不同部分的分区数，其中0是允许的一部分。例如，在n=9时，我们可以写8+1+0、7+2+0、6+3+0、4+5+0、1+2+6、1+3+5和2+3+4，即a（6）=7-乔恩·佩里2003年7月8日
a（n）给出了n+6分成<=3部分的分区数，其中每个部分至少使用一次（从n中减去6=1+2+3）-乔恩·佩里2004年7月3日
这也是n+3分为3个部分的分区数（其中最大部分为3的n+3分区数与正好分为三个部分的n/3分区数之间存在1对1的对应关系）-格雷姆·麦克雷2005年2月7日
将Riordan数组（1/（1-x^3），x）应用于floor（（n+2）/2）-保罗·巴里2005年4月16日
此外，可以使用奇数周长3、5、7、9、11…创建的三角形数，。。。所有方面都是整数。请注意，通过将每边增加1，可以从奇数三角形生成周长为偶数的三角形。例如，a（1）=1，因为周长3可以构成{1,1,1}1三角形。a（4）=3，因为周长9可以使{1,4,4}{2,3,4}{3,3,3}成为3个可能的三角形。-Bruce Love（Bruce_Love（AT）ofs.edu.sg），2006年11月20日
Diophantine方程x+2*y+3*z=n的非负解数，参见Pólya/Szegő参考。
另外，a（n-3），n>=3，是由3个珠子组成的非等效项链的数量，每个珠子由n种颜色中的一种绘制而成。
序列{a（n-3），n>=3}解决了k=3情况下关于凸k-gons的所谓Reis问题（参见我们的注释A032279号).
a（n-3）（n>=3）是n阶（0,1）-循环中每行有三个1的恒量的不同值的一个基本上不可改进的上限估计。（结束）
此外，a（n）是5曲线硬币图案的总数（5C4S类型：5曲线覆盖全部4个硬币和对称），填充到硬币库中（n+3）。请参阅链接中的插图-基瓦尔·Ngaokrajang2013年10月16日
此外，a（n）=长度为3的Z_n的最小零序列数的一半[Ponomarenko]-N.J.A.斯隆2014年2月25日
此外，a（n）等于八面体旋转能面幂级数展开中2n阶线性无关项的数目（参见Harter和Patterson）-布拉德利·克莱2015年7月31日
有限Coxeter群D_3和A_3不变量的Molien级数-N.J.A.斯隆2016年1月10日
n+6个相同球在x，y，z三个盒子中的不同分布数，其中0<x<y<z-Ece Uslu公司和Esin Becenen，2016年1月11日
a（n）也是2*n的分区数，其中<=n个部分，无部分>=4。无部分>=4的n的分区的双射是：1<->2，2<->1+3，3<->3+3（遵循这些规则的顺序）。<-方向对具有<=n个部分且没有>=4个部分的2*n的分区使用以下事实：对于每个部分1，都有一个部分3，以及偶数（包括0）的剩余部分3-沃尔夫迪特·朗2019年5月21日
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参考文献
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R.Ayoub，《数字分析理论导论》，Amer。数学。Soc.，1963年；第三章，问题33。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第110页，D（n）；第263页，#18，P_n^{3}。
J.L.Gross和J.Yellen编辑，《图论手册》，CRC出版社，2004年；第517页。
H.Gupta等人，《分区表》。皇家学会数学表，第4卷，剑桥大学出版社，1958年，第2页。
F.Harary和E.M.Palmer，《图形计数》，纽约学术出版社，1973年，第88页，（4.1.18）。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第275页。
R.Honsberger，数学宝石III，数学。美国协会。，1985年，第39页。
J.H.van Lint，组合研讨会Eindhoven，数学讲稿。，382（1974），见第33-34页。
G.Pólya和G.Szegő，分析I中的问题和定理（Springer 1924，1972年再版），第一部分，第一章，第。1、问题25。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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C.Ahmed、P.Martin和V.Mazorchuk，关于d-调分幺半群中主理想的个数，arXiv预印本arXiv:153.06718[math.CO]，2015。
乔纳森·布鲁姆和内森·麦克纽，计数模式-避免整数分区，arXiv:1908.03953[math.CO]，2019年。
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阿克塞尔·克莱因施密特和瓦伦丁·弗什钦，四面体模图函数，J.高能物理学。2017年，第9号，第155号文件，第38页（2017），等式（3.40）。
数学堆栈交换，“pcr”代表什么[这是Comtet的“主循环器”符号。见第109-110页。]
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西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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Devansh Singh和S.N.Mishra，表示K部分整数分区《全球纯粹与应用数学杂志》（GJPAM），第15卷第6期（2019年），第889-907页。
詹姆斯·坦顿，整数三角形《数学盖洛尔》（MAA，2012）第11章。
理查德·维尔（Richard Vale）和谢恩·沃尔德伦（Shayne Waldron），G-不变有限紧框架的构造，J.Four。分析。适用。22 (2016), 1097-1120.
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配方奶粉
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G.f.：1/（（（1-x）*（1-x^2）*（1-x^3））。
a（n）=圆形（（n+3）^2/12）。请注意，这不能是（2*i+1）/2的形式，因此绝对不会出现联系。
对于Z中的所有n，a（n）=1+a（n-2）+a（n-3）-a（n-5）-迈克尔·索莫斯，2006年9月4日
对于Z中的所有n，a（n）=a（-6-n）-迈克尔·索莫斯，2006年9月4日
P（n，3）=（1/72）*（6*n^2-7-9*pcr{1，-1}（2，n）+8*pcr{2，-1，-1}（3，n））（见Comtet）。[此处“pcr”代表“主要循环器”，其定义见Comtet第109页，而公式见第110页-Petros Hadjicostas公司2019年10月3日]
设m>0和-3<=p<=2由n=6*m+p-3定义；那么对于n>-3，a（n）=3*m^2+p*m，对于n=-3，b（n）=3*m^2+p*m+1-楼层van Lamoen2001年7月23日
a（n）=6*t（楼层（n/6））+（n%6）*（楼层（n/6）+1）+（n mod 6==0？1:0），其中t（n）=n*（n+1）/2。
a（n）=天花板（1/12*n^2+1/2*n）+（n mod 6==0？1:0）。
[这里“n%6”表示“n mod 6”，而“（n mod 6==0？1:0）”表示“如果n mod 4==0，则表示1，否则表示0”（如C中所示）。]
（结束）
a（n）=Sum_{i=0..楼层（n/3）}1+楼层（（n-3*i）/2）-乔恩·佩里2003年6月27日
a（n）=和{k=0..n}层（（k+2）/2）*（cos（2*Pi*（n-k）/3+Pi/3）/3+sqrt（3）*sin（2*Pi*（n-k）/3+Pi/3）/3+1/3）-保罗·巴里2005年4月16日
（m选择3）q=（q^m-1）*（q^（m-1）-1）*。
a（n）=总和{k=0..层（n/2）}层（（3+n-2*k）/3）-保罗·巴里2003年11月11日
a（n）=3*Sum_{i=2..n+1}层（i/2）-层（i/3）-托马斯·维德2007年2月11日
与{I，J}整数网格内或边界上的点数相同，由三条直线I=0，I-J=0和I+2J=n限定-乔纳森·沃斯邮报2007年7月3日
长度3序列的欧拉变换[1，1，1]-迈克尔·索莫斯2012年2月25日
a（n）=楼层（n^2+3）/12）+楼层（n+2）/2）-贾科莫·古列里2019年4月2日
设p（n，3）是每个部分都大于0的三部分整数分区数。
那么对于n>=3，p（n，3）等于：
当n是奇数且3不除n时，（n^2-1）/12。
（n^2+3）/12当n是奇数且3除以n时。
（n^2-4）/12当n是偶数且3不除n时。
（n^2）/12当n为偶数并且3除n时。
对于n>=3，p（n，3）=a（n-3）。（结束）
和{n>=0}1/a（n）=15/4-Pi/（2*sqrt（3）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年9月29日
例如：exp（-x）*（9+exp（2*x）*）（47+42*x+6*x^2）+16*exp（x/2）*cos（sqrt（3）*x/2））/72-斯特凡诺·斯佩齐亚2023年3月5日
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例子
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G.f.=1+x+2*x^2+3*x^3+4*x^4+5*x^5+7*x^6+8*x^7+10*x^8+12*x^9+。。。
回想一下，项链中相邻的珠子有不同的颜色。假设我们有n种颜色，标签为1，。。。，n.如果相邻颜色标签之间的距离模n的循环序列具有相同的周期，则珠子的两种颜色是等效的。如果n=4，则所有颜色都是等效的。例如，对于着色{1,2,3}和{1,2,4}，我们具有模4的距离的相同周期{1,1,2}。因此，a（n-3）=a（1）=1。如果n=5，那么我们有两个这样的周期{1,1,3}和{1,2,2}模5。因此a（2）=2-弗拉基米尔·舍维列夫2011年4月23日
a（0）=1，即{1,2,3}6个相同球在x、y和z三个盒子中的不同分布数，其中0<x<y<z-Ece Uslu公司，Esin Becenen，2016年1月11日
a（3）=3，即{1,2,6}，{1,3,5}，}2,3,4}9个相同球在x，y和z三个盒子中的不同分布数，其中0<x<y<z-Ece Uslu公司，Esin Becenen，2016年1月11日
以下是n的a（0）=1到a（8）=10整数分区，最多由三部分组成。这些分区的Heinz数由下式给出A037144美元.
() (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
(11) (21) (22) (32) (33) (43) (44)
(111) (31) (41) (42) (52) (53)
(211) (221) (51) (61) (62)
(311) (222) (322) (71)
(321) (331) (332)
(411) (421) (422)
(511) (431)
(521)
(611)
以下是n+3的a（0）=1到a（7）=8整数分区，其最大部分为3。这些分区的Heinz数由下式给出A080193号.
(3) (31) (32) (33) (322) (332) (333) (3322)
（311）（321）（331）（3221）（3222）（3331）
(3111) (3211) (3311) (3321) (32221)
(31111) (32111) (32211) (33211)
(311111) (33111) (322111)
(321111) (331111)
(3111111) (3211111)
(31111111)
具有3个顶点和n条边的a（0）=1到a（5）=5未标记多重图的非同构表示如下。
{} {12} {12,12} {12,12,12} {12,12,12,12} {12,12,12,12,12}
{13,23} {12,13,23} {12,13,23,23} {12,13,13,23,23}
{13,23,23} {13,13,23,23} {12,13,23,23,23}
{13,23,23,23} {13,13,23,23,23}
{13,23,23,23,23}
具有三个部分的n-6的a（0）=1到a（8）=10严格整数分区如下（a=10，B=11）。这些分区的Heinz数由下式给出A007304型.
(321) (421) (431) (432) (532) (542) (543) (643) (653)
(521) (531) (541) (632) (642) (652) (743)
(621) (631) (641) (651) (742) (752)
(721) (731) (732) (751) (761)
(821) (741) (832) (842)
(831) (841) (851)
(921) (931) (932)
（A21）（941）
（A31）
（B21）
以下是n+3的a（0）=1到a（8）=10整数分区，分为三部分。这些分区的Heinz数由下式给出A014612号.
（111）（211）（221）（222）（322）（332）（333）（433）（443）
(311) (321) (331) (422) (432) (442) (533)
(411) (421) (431) (441) (532) (542)
(511) (521) (522) (541) (551)
(611) (531) (622) (632)
(621) (631) (641)
(711) (721) (722)
(811) (731)
(821)
(911)
以下是n的a（0）=1到a（8）=10整数分区，其中n的最大部分<=3。这些分区的Heinz数由下式给出A051037号.
() (1) (2) (3) (22) (32) (33) (322) (332)
(11) (21) (31) (221) (222) (331) (2222)
(111) (211) (311) (321) (2221) (3221)
（1111）（2111）（2211）（3211）（3311）
(11111) (3111) (22111) (22211)
(21111) (31111) (32111)
(111111) (211111) (221111)
(1111111) (311111)
(2111111)
(11111111)
a（0）=1到a（6）=7个2n+9的严格整数分区，包含3个部分，所有部分都是奇数，如下所示。这些分区的Heinz数由下式给出A307534型.
(5,3,1) (7,3,1) (7,5,1) (7,5,3) (9,5,3) (9,7,3) (9,7,5)
(9,3,1) (9,5,1) (9,7,1) (11,5,3) (11,7,3)
(11,3,1) (11,5,1) (11,7,1) (11,9,1)
(13,3,1) (13,5,1) (13,5,3)
（15,3,1）（13,7,1）
(15,5,1)
(17,3,1)
a（0）=1到a（8）=10个n+3的严格整数分区，其中允许0作为一部分（a=10）：
(210) (310) (320) (420) (430) (530) (540) (640) (650)
(410) (510) (520) (620) (630) (730) (740)
(321) (610) (710) (720) (820) (830)
(421) (431) (810) (910) (920)
（521）（432）（532）（A10）
(531) (541) (542)
(621) (631) (632)
(721) (641)
(731)
(821)
n+6的a（0）=1到a（7）=7整数分区（其不同部分为1、2和3）如下。这些分区的Heinz数由下式给出A143207号.
(321) (3211) (3221) (3321) (32221) (33221) (33321)
(32111) (32211) (33211) (322211) (322221)
(321111) (322111) (332111) (332211)
(3211111) (3221111) (3222111)
(32111111) (3321111)
(32211111)
(321111111)
（结束）
2*n的分区，其中<=n个部分，无部分>=4：a（3）=3分别从（2^3）、（1,2,3）和（3^2）映射到（1^3），（1,2）和（3），3的分区中无部分>=4-沃尔夫迪特·朗2019年5月21日
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MAPLE公司
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[seq（1+楼层（（n^2+6*n）/12），n=0..60）]；
对于从1到20的n，do结果：=0：对于从2到n+1的i，do效果：=结果+（地板（i/2）-地板（i/3））；od；结果；od#托马斯·维德2007年2月11日
with（combstruct）：ZL4：=[S，{S=集合（循环（Z，卡<4））}，未标记]：seq（计数（ZL4，大小=n），n=0..61）#零入侵拉霍斯2007年9月24日
B： =[S，{S=集合（序列（Z，1<=卡），卡<=3）}，未标记]：seq（组合结构[计数]（B，大小=n），n=0..61）#零入侵拉霍斯2009年3月21日
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数学
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系数列表[级数[1/（（1-x）*（1-x^2）*（1-x^3）），{x，0，65}]，x]
k=3；表[（应用[Plus，Map[EulerPhi[#]二项式[n/#，k/#]&，Divisors[GCD[n，k]]]/n+二项式[Cf[OddQ[n]，n-1，n-If[OrdQ[k]，2，0]]/2，If[OddQ[k'，k-1，k]/2]）/2，{n，k，50}](*罗伯特·拉塞尔2004年9月27日*）
线性递归[{1，1，0，-1，-1，1}，{1，1,2，3，4，5}，70](*哈维·P·戴尔2012年6月21日*）
a[n_]：=带[{m=Abs[n+3]-3}，长度[整数分区[m，3]]]；(*迈克尔·索莫斯2014年12月25日*）
k=3（*手镯问题中的红色珠子数量*）；系数列表[级数[（1/k加@@（EulerPhi[#]（1-x^#）^（-（k/#）））和/@除数[k]）+（1+x）/（1-x*2）^楼层[（k+2）/2]，{x，0，50}]，x](*赫伯特·科西姆巴2016年11月4日*）
表[Length[Select[Integer Partitions[n，{3}]，UnsameQ@#&]]，{n，0，30}](*古斯·怀斯曼2019年4月15日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=圆形（（n+3）^2/12）}/*迈克尔·索莫斯，2006年9月4日*/
（哈斯克尔）
a001399=p[1,2,3]其中
p _ 0=1
p[]_=0
p ks'@（k:ks）m=如果m<k，则0，否则p ks'（m-k）+p ks m
（岩浆）I:=[1,1,2,3,4,5]；[n le 6在[1..80]]中选择I[n]else Self（n-1）+Self//文森佐·利班迪2015年2月14日
（岩浆）[#RestrictedPartitions（n，{1,2,3}）：[0.62]中的n//马吕斯·A·伯蒂，2019年1月6日
（岩浆）[圆形（（（n+3）^2/12）：n英寸[0..70]//马吕斯·A·伯蒂，2019年1月6日
（Python）[print（round（（n+3）**2/12），end='，'）for n in range（0，62）]#亚平路2024年1月24日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A008724号,A003082号,A117485号,A026810号,A026811号,A026812号,A026813美元,A026814号,A026815号,A026816号,A000228号,A036496美元,A008619号,A001400号,A001401号,A069905号,A008615号，第3行，共行A192517号.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A007304型
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| Sphenic数：三个不同素数的乘积。
（原名M5207）
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+10
187
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30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, 230, 231, 238, 246, 255, 258, 266, 273, 282, 285, 286, 290, 310, 318, 322, 345, 354, 357, 366, 370, 374, 385, 399, 402, 406, 410, 418, 426, 429, 430, 434, 435, 438
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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还有一块蝶骨砖的体积。蝶骨砖是一个矩形平行六面体，其边是蝶骨数的组成部分，即其边是三个不同的素数。例如：不同的素三元组（3,5,7）产生一个3x5x7单位的砖，其体积为105立方单位。二维的三维模拟A037074号根据Cino Hilliard的评论，双素数的乘积。与三维比较A107768号金色3-几乎素数=砖的体积（矩形平行六面体），每个砖的表面都有金色的半素数区域-乔纳森·沃斯邮报2007年1月8日
求和（n>=1，1/a（n）^s）=（1/6）*（P（s）^3-P（3*s）-3*（P）*P（2*s）-P（3*s）），其中P是素数Zeta函数-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2012年6月28日
n=265550是最小的n，a（n）（=1279789）<A006881号（n） （=1279793）-彼得·多兰2020年4月11日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
“Sphenic”，《美国传统英语词典》，第四版，霍顿-米夫林公司，2000年。
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链接
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配方奶粉
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例子
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严格整数的Heinz数也分为三部分，其中分区的Heinx数（y_1，…，y_k）是素数（y_1）**质数（yk）。这些分区的计数依据A001399号（n-6）=A069905号（n-3），带订购版本A001399号（n-6）*6。术语序列及其基本指数开始于：
30: {1,2,3} 182: {1,4,6} 286: {1,5,6}
42: {1,2,4} 186: {1,2,11} 290: {1,3,10}
66: {1,2,5} 190: {1,3,8} 310: {1,3,11}
70: {1,3,4} 195: {2,3,6} 318: {1,2,16}
78: {1,2,6} 222: {1,2,12} 322: {1,4,9}
102: {1,2,7} 230: {1,3,9} 345: {2,3,9}
105: {2,3,4} 231: {2,4,5} 354: {1,2,17}
110: {1,3,5} 238: {1,4,7} 357: {2,4,7}
114: {1,2,8} 246: {1,2,13} 366: {1,2,18}
130: {1,3,6} 255: {2,3,7} 370: {1,3,12}
138: {1,2,9} 258: {1,2,14} 374: {1,5,7}
154: {1,4,5} 266: {1,4,8} 385: {3,4,5}
165:｛2,3,5｝273:｛2,4,6｝399:｛2,4,8｝
170: {1,3,7} 282: {1,2,15} 402: {1,2,19}
174: {1,2,10} 285: {2,3,8} 406: {1,4,10}
（结束）
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MAPLE公司
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使用（数字理论）：a：=proc（n）如果bigomega（n）=3和nops（因子集（n））=3，则n其他fi结束：seq（a（n），n=1..450）#Emeric Deutsch公司
选项记忆；
局部a；
如果n=1，则
30；
其他的
对于来自procname（n-1）+1 do的a
如果bigomega（a）=3且nops（因子集（a））=3，则
返回a；
结束条件：；
结束do：
结束条件：；
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数学
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并集[展平[表[素数[n]*素数[m]*素素[k]，{k，20}，{n，k+1，20}，{m，n+1，20{]]
取[Sort@Flatten@Table[素数@i 素数@j 底漆@k，{i，3，21}，{j，2，i-1}，{k，j-1}]，53](*罗伯特·威尔逊v*)
使用[{upto=500}，排序[Select[Times@@@Subsets[Prime[Range[Ceiling[upto/6]]]，{3}]，#<=upto&]]](*哈维·P·戴尔2015年1月8日*）
选择[Range[100]，SquareFreeQ[#]&&PrimeOmega[#]==3&](*古斯·怀斯曼2020年11月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=1，1e4，如果（bigomega（n）==3&&omega（n）==3，打印1（n“，”））\\查尔斯·格里特豪斯四世，2011年6月10日
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），t）；对于素数（p=2，（lim）^（1/3）），对于素数来说（q=p+1，sqrt（lim\p），t=p*q；forprime（r=q+1，lim\t，listput（v，t*r））；向量排序（Vec（v））\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月20日
（哈斯克尔）
a007304 n=a007304列表！！（n-1）
a007304_list=过滤器f[1..]，其中
f u=p<q&&q<w&&a010051 w==1，其中
p=a020639 u；v=div u p；q=a020639伏；w=div v q
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002033号,A010051型,A020639美元,A037074号,A046393号,A061299型,A067467号,A071140型,A096917型,A096918号,A096919号,A100765号,A103653号,A107464号,A107768号,A179643号,A179695号.
对于以下内容，NNS表示“不一定严格”。
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000389号
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| 二项式系数C（n，5）。
（原名M4142 N1719）
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+10
152
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0, 0, 0, 0, 0, 1, 6, 21, 56, 126, 252, 462, 792, 1287, 2002, 3003, 4368, 6188, 8568, 11628, 15504, 20349, 26334, 33649, 42504, 53130, 65780, 80730, 98280, 118755, 142506, 169911, 201376, 237336, 278256, 324632, 376992, 435897, 501942, 575757, 658008, 749398
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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0.7
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评论
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a（n+4）是在120阶全对称群S_5下，用循环指数（x1^5+10*x1^3*x2+20*x1^2*x3+15*x1*x2^2+30*x1*x4+20*x2*x3+24*x5）/120，用n种颜色给正四维单形的顶点着色的不等方法的数目。
基于5维正则单纯形计算数字。根据Hyun Kwang Kim的说法，似乎每个非负整数都可以表示为这些5个单纯形（n）数的g=10之和（相比之下，三角形数的g=3，四面体数的g=5，五角形数的g=8）-乔纳森·沃斯邮报2004年11月28日
a（n）是（a1+a2+a3+a4+a5+a6）^n展开式中的项数-塞尔吉奥·法尔孔2007年2月12日
等于[1,5,10,10,5,1,0,0，…]的二项式变换-加里·亚当森2009年2月2日
对于一支有n名篮球运动员（n>=5）的球队，这个序列是5名球员可能首发阵容的数量，而不考虑球员的位置（中锋、前锋、后卫）-穆罕默德·阿扎里安2009年9月10日
a（n）是投掷（n-5）6面骰子时，无论顺序如何，不同图案的数量。例如，一个模具可以显示6个数字1、2、…、。。。，6; 两个骰子可以显示21个数字对11、12、…、。。。，56, 66. -伊恩·达夫，2009年11月16日
和{n>=0}a（n）/n！=e/120。和{n>=4}a（n）/（n-4）！=501*e/120。请参见A067764美元关于第二个比率-理查德·福伯格2013年12月26日
对于一组整数{1,2，…，n}，a（n）是每个子集的2个最小元素与4个元素的和，即3*C（n+1,5）（对于n>=4），因此a（n*A000389号（n+1）-塞哈特·布鲁特2015年3月11日
a（n）=fallfac（n，5）/5！也是秩为5且维数n>=1的反对称张量的独立分量数。这里falfac是下降阶乘-沃尔夫迪特·朗2015年12月10日
n+1的组合数（有序分区）精确到6个部分-尤根·威尔2016年1月2日
n-5的弱组分（有序弱分区）的数量精确到6个部分-尤根·威尔2016年1月2日
a（n+3）可以是与Petersen图同胚的所有直径n>=2的大地测量图的总数-卡洛斯·恩里克·弗雷泽2018年5月24日
a（n）是使用一组n个颜色子集的规则4-D单纯形（5-细胞，五弦，Schläfli符号{3,3,3}）的5个四面体面（或顶点）的手性着色对的数目。手性对的每一个成员都是另一个的反射，而不是旋转。
a（n+4）是使用一组n种颜色的子集的正则4-D单纯形（5单元，五叉子）的5个四面体面的无方向着色的数量。在列举无定向排列时，每个手性对都算作一对。（结束）
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第828页。
A.H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约州多佛，1964年，第196页。
L.E.Dickson，《数论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第2卷，第7页。
汉斯拉吉·古普塔；将j部分数字分成十二个或更少的部分。在P.L.Bhatnagar教授六十岁生日之际，为他撰写的文章集。数学。学生40（1972），401-441（1974）。
J.C.P.Miller，编辑，二项式系数表。英国皇家学会数学表格，第3卷，剑桥大学出版社，1954年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
C.E.Frasser和G.N.Vostrov，大地图同胚于给定大地图，arXiv:1611.01873[cs.DM]，2016年。[第27页]
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Rajesh Kumar Mohapatra和Tzung-Pei Hong，整数序列分析中有限模糊子集的个数《数学》（2022）第10卷，第7期，第1161页。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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通用格式：x^5/（1-x）^6。
a（n）=n*（n-1）*（n-2）*（n-3）*（n-4）/120。
a（n）=（n^5-10*n^4+35*n^3-50*n^2+24*n）/120。（将循环索引中的所有x_i替换为n。）
a（n+3）=（1/2！）*（d^2/dx^2）S（n，x）|{x=2}，n>=2，在x=2处求值的切比雪夫S多项式二阶导数的一半。请参见A049310型. -沃尔夫迪特·朗2007年4月4日
和{n>=5}1/a（n）=5/4-R.J.马塔尔2009年1月27日
对于n>4，a（n）=1/（积分_{x=0..Pi/2}10*（sin（x））^（2*n-9）*（cos（x），^9）-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
和{n>=5}（-1）^（n+1）/a（n）=80*log（2）-655/12=0.868441114-理查德·福伯格，2014年8月11日
对于Z中的所有n，a（n）=-a（4-n）-迈克尔·索莫斯2014年10月7日
对于Z中的所有n，0=a（n）*（+a（n+1）+4*a（n+2））+a（n+1*（-6*a（n+1）+a（n+2）-迈克尔·索莫斯2014年10月7日
例如：x^5*exp（x）/120。
a（n+4）=1*C（n，1）+4*C（n，2）+6*C（m，3）+4*C。
（结束）
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例子
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G.f.=x^5+6*x^6+21*x^7+56*x^8+126*x^9+252*x^10+462*x^11+。。。
对于A={1,2,3,4}，唯一包含4个元素的子集是{1,2,3.4}；该子集的2个最小元素之和：a（4）=1+2=3=3*C（4+1.5）。
对于A={1,2,3,4,5}，具有4个元素的子集是{1,2,3.4}，{1,2,3.5}，}1,2,4,5{，1,3,45}和{2,3,4.5}；每个子集的2个最小元素之和：a（5）=（1+2）+-塞哈特·布鲁特2015年3月11日
a（6）=6来自反对称张量a的六个独立分量，其秩为5，维数为6：a（1,2,3,4,5），a（1,2,3,46,6），a。请参阅2015年12月10日的评论-沃尔夫迪特·朗2015年12月10日
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MAPLE公司
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f： =n->（1/120）*（n^5-10*n^4+35*n^3-50*n^2+24*n）：序列（f（n），n=0..60）；
ZL:=[S，{S=Prod（B，B，B、B、B，B），B=Set（Z，1<=卡）}，未标记]：seq（combstruct[计数]（ZL，大小=n+1），n=0..42）#零入侵拉霍斯2007年3月13日
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数学
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系数列表[级数[x^5/（1-x）^6，{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2015年3月12日*）
线性递归[{6，-15，20，-15、6，-1}，{0，0，0、0，1}，50](*哈维·P·戴尔，2016年7月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）（conv（u，v）=局部（w）；w=向量（长度（u），i，和（j=1，i，u[j]*v[i+1-j]））；w） ；
（t（n）=n*（n+1）/2）；u=矢量（10，i，t（i））；转换（u，u）
（哈斯克尔）
a000389 n=a000389列表！！n个
a000389_list=0:0:f[]a000217_list，其中
f xs（t:ts）=（总和$zipWith（*）xs a000217_list）：f（t:xs）ts
（岩浆）[二项式（n，5）:n in[0..40]]//文森佐·利班迪2015年3月12日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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我将偏移量更改为0。这将需要对公式进行进一步调整-N.J.A.斯隆2010年8月1日
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状态
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经核准的
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A002623号
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| 1/（（1-x）^4*（1+x））的展开。
（原名M2640 N1050）
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+10
91
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1, 3, 7, 13, 22, 34, 50, 70, 95, 125, 161, 203, 252, 308, 372, 444, 525, 615, 715, 825, 946, 1078, 1222, 1378, 1547, 1729, 1925, 2135, 2360, 2600, 2856, 3128, 3417, 3723, 4047, 4389, 4750, 5130, 5530, 5950, 6391, 6853, 7337, 7843, 8372, 8924, 9500
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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0,2
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评论
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也可以由长度为1、2、3、4……的杆制成的可外接（或可外接）四边形的数量，。。。，n.-Antreas P.Hatzipolakis（xpolakis（AT）otenet.gr）
还有行和列置换之前的2Xn二进制矩阵的数量（请参阅链接：行和列排列之前的二进制矩阵）-弗拉德塔·乔沃维奇
也是交替三角数（1、3、1+6、3+10、1+6+15、3+10+21等）的部分和；以及在n+2边的三角形火柴棒排列中，指向与最大三角形相反方向的三角形的数量（参见。A002717号，也是Larsen文章）-亨利·博托姆利2000年8月8日
也是二阶循环群的某些4-D表示的Molien级数-N.J.A.斯隆2004年6月12日
来自Radu Grigore（radugcragie（AT）gmail.com），2004年6月19日：（开始）
a（n）=地板（（n+2）*（n+4）*2n+3）/24）。例如，a（2）=地板（4*6*7/24）=7，因为火柴杆图形中有7个倒置三角形（6个大小为1，1个大小为2）：
/\
/\/\
/\/\/\
/\/\/\/\
（结束）
具有正整数边（梯形）和周长2n+5的非平行非相接梯形的数量。周长2n+8-迈克尔·索莫斯2005年5月12日
还有具有n个点和2条线的非同构平面的数量。例如，a（0）=1，因为没有点，我们只有两条空行。a（1）=3，因为一个点可能属于0、1或2条直线。a（2）=7，因为有7种方法可以确定2个点中的哪一个属于2条线中的哪条，直到同构为止，即，在点集上达到双射f，在线集上实现双射g，这样a属于iff（a）属于g（a）Bjorn Kjos-Hanssen（Bjorn（AT）math.uconn.edu），2005年11月10日
a（n-2）是从长度为n的单词中选择两个长度相等且非零的非重叠子单词的方法数。例如，a（5-2）=a（3）=13，因为长度为5的单词12345具有以下子单词对：1,2；1,3; 1,4; 1,5; 2,3; 2,4; 2,5; 3、4；3,5; 4,5; 12,34; 12、45；23,45. -迈克尔·索莫斯2006年10月22日
的部分总和A002620型.-G.H.J.van Rees（vanrees（AT）cs.umanitoba.ca），2007年2月16日
来自Philippe LALLOUET（philip.LALLOUET（AT）orange.fr），2007年10月19日：（开始）
用单位正方形建造的n级楼梯中任何尺寸的正方形数量：
__
|__|__
|__|__|__
|__|__|__|
对于3个台阶的楼梯，6个尺寸为1的正方形和1个尺寸为2的正方形，因此c（3）=7。
列总和：
1 3 6 10 15 21 28 ...
1 3 6 10 15 ...
1 3 6。。。
1 ...
---------------------
1 3 7 13 22 34 50 ...
（结束）
a（n）=第n行之和+三角形的1A134446号还有[1，2，2，0，1，-2，4，-8，16，-32，…]的二项式变换-加里·亚当森，2007年10月25日
设b（n）是四元组（w，x，y，z）的个数，所有项都在{1，…，n}中，2w=x+y+z+n；则b（n+3）=a（n），对于n>=0-克拉克·金伯利2012年5月8日
a（n）是具有{0，…，n}和w>=x+y和x<=y中所有项的3元组（w，x，y）的数目-克拉克·金伯利2012年6月4日
另外，具有两个左顶点和n个右顶点的未标记二部图的数目-亚武兹·奥鲁克，2018年1月14日
还有0<x<=y<=z<=n+1，x+y>z的三元组数（x，y，z）-拉尔夫·斯坦纳2020年2月6日
平分法A002412号和A016061号：a（2*k）=k*（k+1）*（4*k-1）/3！和a（2*k+1）=（k+1）*（k+2）*（4*k+9）/3！，对于k>=0。参见Woolhouse链接，II。Stephen Watson的解决方案，第65页，索引偏移-莫莉2020年4月2日
此外，路径图P_（n+2）的平方的维纳指数-艾伦·比克2020年8月1日
具有n+2个顶点的所有极大2-退化图的最大维纳指数。（通过在两个现有顶点附近迭代添加一个新的2叶（2次顶点），可以从2团构造一个最大的2退化图。）极值图是路径的平方，因此界限也适用于2-树和最大外平面图-艾伦·比克2022年9月15日
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参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第74页，问题7。
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
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链接
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哈里森硕士，关于二元矩阵类的个数，IEEE传输。计算机，22（1973），1048-1051。doi:10.1109/T-C.1973.223649。
哈里森硕士，关于二元矩阵类的个数，IEEE计算机汇刊，C-22.12（1973），1048-1052。（带注释的扫描副本）
A.科伯，数学实验圣母院Lotharingien de Combinatoire。数学研究所。阿凡塞，路易斯·巴斯德大学，斯特拉斯堡，《学报》第19卷（1988年），第77-83页。[带注释的扫描副本]。见第79页。
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西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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a（n+1）=a（n）+{（k-1）*k如果n=2*k}或{k*k如果n=2*k+1}。
另外：a（n）=C（n+3,3）-a（n-1），a（0）=1-拉博斯·埃利默2003年4月26日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*C（k+3,3）。
签名版本1、-3、7。。。公式如下：
a（n）=（4*n^3+30*n^2+68*n+45）*（-1）^n/48+1/16。
a（n）=总和{k=0..n}层（（k+2）^2/4）。
a（n）=和{k=0..n}和{j=0..k}和}i=0..j}（1+（-1）^i）/2。（结束）
a（n）=a（n-2）+（n*（n-1））/2，其中n>2，a（1）=0，a（2）=1；a（n）=（4*n^3+6*n^2-4*n+3*（-1）^n-3）/48，偏移量为2.-Cecilia Rossiter（Cecilia（AT）notificatingnumbers.net），2004年12月14日（公式简化为布鲁诺·贝塞利2013年8月29日）
a（n）=（（2*n+3）*（n+2）*杰里·刘易斯（JLewis（AT）wyeth.com），2005年3月23日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+1+楼层（n/2）Bjorn Kjos Hanssen（比约恩（AT）数学.uconn.edu），2005年11月10日
对于Z中的所有n，a（n）=-a（-5-n）-迈克尔·索莫斯，2006年9月4日
设P（i，k）是n分为k个部分的整数分区数，然后在k=2时，我们得到a（n）=sum_{m=1}^{n}sum_}i=k}^{m}P（i、k）。对于k=1，我们得到A000217号=三角形数字-托马斯·维德2007年2月18日
a（n）=（n+（3+（-1）^n）/2）*（n+Philippe LALLOUET（philip.LALLOUET（AT）orange.fr），2007年10月19日（更正人：布鲁诺·贝塞利2013年8月30日）
a（0）=1，a（1）=3，a（2）=7，a（3）=13，a（4）=22；对于n>4，a（n）=3*a（n-1）-2*a（n2）-2*a（n-3）+3*a（n-4）-a（n-5）-哈维·P·戴尔2011年7月19日
a（n）=Sum_{i=0..n+2}地板（i/2）*天花板（i/2）-布鲁诺·贝塞利2013年8月30日
a（n）=15/16+（1/16）*（-1）^n+（17/12）*n+（5/8）*n^2+（1/12）*n*3-罗伯特·伊斯雷尔2014年7月7日
a（n）=总和{i=0..n+2}（n+1-i）*楼层（i/2+1）-布鲁诺·贝塞利2017年4月4日
a（n）=1+楼层（（2*n^3+15*n^2+34*n）/24）-艾伦·比克2020年8月1日
例如：（24+51*x+21*x^2+2*x^3）*cosh（x）+（21+51*x+21*x ^2+2*x^3，*sinh（x））/24-斯特凡诺·斯佩齐亚2021年6月2日
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例子
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G.f.=1+3*x+7*x^2+13*x^3+22*x^4+34*x^5+50*x^6+70*x^7+95*x^8+。。。
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MAPLE公司
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A002623号：=n->（1/16）*（1+（-1）^n）+（n+1）/8+二项式（n+2,2）/4+二项法（n+3,3）/2；
seq（（2*n+3）*（n+2）*刘易斯
a:=n->（（-1）^n*3+45+68*n+30*n^2+4*n^3）/48:
seq（a（n），n=0..46）#彼得·卢什尼，2018年1月22日
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数学
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系数列表[级数[1/（（1-x）^3（1-x^2）），{x，0，50}]，x]（*或*）线性递归[{3，-2，-2，3，-1}，{1，3，7，13，22}，50](*哈维·P·戴尔2011年7月19日*）
表[（2 n^3+15 n^2+34 n+45/2+（3/2）（-1）^n）/24），｛n，0100｝](*文森佐·利班迪2018年1月15日*）
a[n_]：=楼层[（n+2）*（n+4）*2*n+3）/24]；(*迈克尔·索莫斯2024年2月19日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=（8+34/3*n+5*n^2+2/3*n^3）\8}/*迈克尔·索莫斯1999年9月4日*/
（PARI）x='x+O（'x^50）；Vec（1/（（1-x）^3*（1-x^2））\\因德拉尼尔·戈什2017年4月4日
（Python）
定义A002623号（n） ：返回（（n+2）*（n+4）*（（n<<1）+3）>>3）//3#柴华武2024年3月25日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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