搜索： a001719-编号：a001719
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1, -4, 1, 20, -9, 1, -120, 74, -15, 1, 840, -638, 179, -22, 1, -6720, 5944, -2070, 355, -30, 1, 60480, -60216, 24574, -5265, 625, -39, 1, -604800, 662640, -305956, 77224, -11515, 1015, -49, 1, 6652800, -7893840, 4028156, -1155420, 203889
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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a（n，m）=^4P_n^m，用a（0,0）：=1表示给定引用。
一元行多项式s（n，x）：=和（a（n，m）*x^m，m=0..n），即s（n、x）=积（x-（4+k），k=0..n-1），n>=1和s（0，x）=1满足s（n），x+y）=和（二项式（n，k）*s（k，x）*S1（n-k，y），k=0..n(A008275号（n，m）*x^m，m=1..n）和S1（0，x）=1。
在本影演算中（参见中给出的S.Roman参考A048854号)s（n，x）多项式称为（exp（4*t），exp（t）-1）的Sheffer。
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参考文献
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米特里诺维奇，D.S。；米特里诺维奇，R.S。；名字分类表依赖于斯特灵的名字。贝尔格莱德大学。普比。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。1962年第77期，77页。
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链接
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配方奶粉
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a（n，m）=a（n-1，m-1）-（n+3）*a（n-1,m），n>=m>=0；a（n，m）：=0，n<m；a（n，-1）：=0，a（0，0）=1。例如，对于有符号三角形的第m列：（log（1+x））^m）/（m！*（1+x）^4）。
三角形（有符号）=[-4，-1，-5，-2，-6，-3，-7，-4，-8，…]三角形[1，0，1，0，0，…]；三角形（无符号）=[4，1，5，2，6，3，7，4，8，5，…]DELTA[1，0，1，0，1,0，1,0，…]；其中DELTA是Deléham的运算符，定义于A084938号（中的无符号版本A143493号).
如果我们定义f（n，i，a）=和（二项式（n，k）*stirling1（n-k，i）*乘积（-a-j，j=0..k-1），k=0..n-i），那么T（n，i）=f（n、i、4），对于n=1,2，。。。；i=0…n-米兰Janjic2008年12月21日
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例子
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1;
-4, 1;
20, -9, 1;
-120, 74, -15, 1;
840, -638, 179, -22, 1;
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MAPLE公司
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A049459号_行：=n->seq（（-1）^（n-k）*系数（展开（pochhammer（x+4，n）），x，k），k=0..n）：seq（打印(A049459号_行（n）），n=0..8）#彼得·卢什尼2013年5月16日
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数学
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a[n_，m_]/；0<=m<=n:=a[n，m]=a[n-1，m-1]-（n+3）*a[n-1，m]；
a[n_，m_]/；n<m=0；
a[_，-1]=0；a[0,0]=1；
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程序
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（哈斯克尔）
a049459 n k=a049459_tabl！！不！！k
a049459_row n=a049459 _ tabl！！n个
a049459_tabl=映射fst$迭代（\（行，i）->
（zipWith（-）（[0]++行）$map（*i）（行++[0]），i+1））（[1]，4）
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1, 4, 1, 20, 9, 1, 120, 74, 15, 1, 840, 638, 179, 22, 1, 6720, 5944, 2070, 355, 30, 1, 60480, 60216, 24574, 5265, 625, 39, 1, 604800, 662640, 305956, 77224, 11515, 1015, 49, 1, 6652800, 7893840, 4028156, 1155420, 203889, 22680, 1554, 60, 1, 79833600
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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4,2
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评论
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两种r-Stirling数的理论都是在[Broder]中发展起来的。有关相关4-Lah编号的详细信息，请参阅A143499号.
当偏移量n=0且k=0时，这是谢弗三角形（1/（1-x）^4，-log（1-x））（在S.Roman书的本影符号中，这将被称为谢弗（exp（-4*t），1-exp（-t））。参见下面给出的示例f。也可与例如f.的签名版本进行比较A049459号. -沃尔夫迪特·朗2011年10月10日
偏移量n=0和k=0：三角形T（n，k），按行读取，由（4,1,5,2,6,3,7,4,8,5,9,6，…）DELTA（1,0,1,0,1,1,0,0,0,1.0，…）给出，其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆2011年10月31日
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链接
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阿斯卡·朱马迪尔·达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫，行走、分区和正常排序《组合数学电子杂志》，22（4）（2015），#P4.10。
Michael J.Schlosser和Meesue Yoo，椭圆车号和文件号，《组合数学电子杂志》，24（1）（2017），#P1.31。
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配方奶粉
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T（n，k）=（n-4）！*求和{j=k-4..n-4}C（n-j-1,3）*|stirling1（j，k-4）|/j！。
递归关系：对于n>4，T（n，k）=T（n-1，k-1）+（n-1）*T；T（4,4）=1；当k>4时，T（4，k）=0。
特殊情况：
T（n，4）=（n-1）/三！。
T（n，5）=（n-1）/3!*（1/4+…+1/（n-1））。
T（n，k）=和{4<=i_1<…<i_（n-k）<n}（i_1*i_2*…*i_（n-k））。例如，T（7,5）=Sum_{4<=i<j<7}（i*j）=4*5+4*6+5*6=74。
行g.f.：求和{k=4..n}T（n，k）*x^k=x^4*（x+4）*（x+5）**（x+n-1）。
例如，对于列（k+4）：求和{n=k..inf}T（n+4，k+4，*x^n/n！=1/k*1/（1-x）^4*（对数（1/（1-x）））^k。
例如：（1/（1-t））^（x+4）=和{n=0..inf}和{k=0..n}t（n+4，k+4）*x^k*t^n/n！=1+（4+x）*t/1！+（20+9*x+x^2）*t^2/2！+。。。。这个数组是矩阵乘积St1*P^3，其中St1表示第一类无符号斯特林数的下三角数组abs(A008275号)P表示帕斯卡三角形，A007318号。行和为n/4! (A001720号). 交替行和为（n-2）/2!.
如果我们定义f（n，i，a）=和（二项式（n，k）*stirling1（n-k，i）*乘积（-a-j，j=0..k-1），k=0..n-i），那么T（n+4，i）=|f（n、i、3）|，对于n=1,2，。。。；i=0…n-米兰Janjic2008年12月21日
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例子
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三角形开始
n\k|。。。。。4.....5.....6.....7.....8.....9
=======================================
4..|。。。。。1
5..|.....4.....1
6..|....20.....9.....1
7..|...120....74....15.....1
8..|...840...638...179....22.....1
9..|..6720..5944..2070...355....30.....1
...
T（6.5）=9。{1,2,3,4,5,6}的9个排列具有5个循环，使得1、2、3和4属于不同的循环：（1 5）（2）（3）（4}（6）、（1,6）（2（6），（4,6）（1）（2）（3）（5）和（5,6）。
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MAPLE公司
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组合：T:=（n，k）->（n-4）！*加（二项式（n-j-1，3）*abs（stirling1（j，k-4））/j！，j=k-4..n-4）：对于从4到13的n do seq（T（n，k），k=4..n）end do；
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1, 18, 245, 3135, 40369, 537628, 7494416, 109911300, 1698920916, 27679825272, 474957547272, 8572072384512, 162478082312064, 3229079010579072, 67177961946534528, 1460629706845766400, 33139181950164806400, 783398920650352012800, 19268391564147377318400
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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高阶指数积分E（x，m=4，n=3）~exp（-x）/x^4*（1-18/x+245/x^2-3135/x^3+40369/x^4-537628/x^5+…）的渐近展开导致了上述序列。请参见A163931号和A163934号了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
对于非负整数n，m和复数a，b（b<>0），数字R_n^m（a，b）是由Mitrinovic（1961）和Mitrinovi及Mitrinovis（1962）使用稍微不同的符号引入的。
这些数字是通过g.f.Product_{r=0..n-1}（x-（a+b*r））=Sum_{m=0..n}r_n^m（a，b）*x^m定义的，对于n>=0。
因此，当n>=m>=1时，R_n^m（a，b）=R_{n-1}^{m-1}（a，b）-（a+b*（n-1））*R_{n-1}^m（a，b。
在a=0和b=1的条件下，我们得到了第一类Stirling数S1（n，m）=R_n^m（a=0，b=1）=A048994号（n，m）对于n，m>=0。
对于n>=m>=0，我们有R_n^m（a，b）=Sum_{k=0}^{n-m}（-1）^k*a^k*b^（n-m-k）*二项式（m+k，k）*S1（n，m+k）。
对于当前序列，对于n>=0，a（n）=R{n+3}^3（a=-3，b=-1）。（结束）
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。，第77号（1962年），1-77[jstor稳定版]。
D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。第77号（1962年），1-77。
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配方奶粉
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a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n+k）*二项式（k+3，3）*3^k*斯特林1（n+3，k+3）Borislav Crstici（bcrstici（AT）etv.utt.ro），2004年1月26日
如果我们定义f（n，i，a）=Sum_{k=0..n-i}二项式（n，k）*Stirling1（n-k，i）*Product_{j=0..k-1}（-a-j），那么对于n>=3，a（n-3）=|f（n、3,3）|-米兰Janjic2008年12月21日
a（n）=[x^3]Product_{r=0}^{n+2}（x+3+r）=（Product_{r=0}^{n=2}（r+3））*Sum_{0<=i<j<=n+2}1/（（3+i）*（3+j）*（3+k））。
由于a（n）=R_{n+3}^3（a=-3，b=-1），A001712号（n） =R_{n+2}^2（a=-3，b=-1），以及A001711号（n） =R_｛n+1｝^1（a=-3，b=-1），方程R_｛n+3｝^3（a=-3，b=-1）=R_｛n+2｝^2（a=-3，b=-1）+（n+5）*R_｛n+2｝^3（a=-3，b=-1）暗示如下：
（i） a（n）=A001712号（n） 当n>=1时，为+（n+5）*a（n-1）。
（ii）a（n）=A001711号（n） 当n>=2时，+（2*n+9）*a（n-1）-（n+4）^2*a（n-2）。
（iii）a（n）=（n+2）/当n>=3时，2+3*（n+4）*a（n-1）-（3*n^2+21*n+37）*a。
（iv）a（n）=2*（2*n+7）*a（n-1）-（6*n^2+36*n+55）*a。（结束）
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数学
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nn=23；t=范围[0，nn]！系数列表[级数[-Log[1-x]^3/（6*（1-x）^3），{x，0，nn}]，x]；下降[t，3](*T.D.诺伊2012年8月9日*）
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程序
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（PARI）a（n）=总和（k=0，n，（-1）^（n+k）*二项式（k+3，3）*3^k*stirling（n+3，k+3,1））\\米歇尔·马库斯2016年1月20日
（PARI）b（n）=产品（r=0，n+2，r+3）；
c（n）=sum（i=0，n+2，sum（j=i+1，n+2，sum（k=j+1，n+2，1/（（3+i）*（3+j）*（3+k））））；
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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已批准
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A307419型
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| 调和数T（n，k）=[T^n]Gamma（n+k+T）/Gama（k+T。 |
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+10
2
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1, 0, 1, 0, 3, 1, 0, 11, 9, 1, 0, 50, 71, 18, 1, 0, 274, 580, 245, 30, 1, 0, 1764, 5104, 3135, 625, 45, 1, 0, 13068, 48860, 40369, 11515, 1330, 63, 1, 0, 109584, 509004, 537628, 203889, 33320, 2506, 84, 1, 0, 1026576, 5753736, 7494416, 3602088, 775929, 81900, 4326, 108, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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链接
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配方奶粉
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例如：（1-t）^（-x/（1-t。
T（n，k）=n*和{L1+L2+…+Lk=n}H（L1）H（L2）。。。Li>0的H（Lk），其中H（n）是谐波数A001008号.
T（n，k）=n*求和{i=0..n-k}abs（斯特林1（n-i，k））/（n-i）*二项式（i+k-1，i）。
T（n，k）=k！[x^k]（d^n/dx^n）（（对数（1-x）/（x-1））^n/n！），例如，对于k列，其中Col（k）=[T（n+k，k）表示n=0，1，2，…]-彼得·卢什尼，2019年4月12日
T（n，k）=和{j=k.n}（-1）^（n-j）*二项式（j，k）*斯特林1（n，j）*k^（j-k）-彼得·卢什尼2022年6月9日
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例子
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三角形起点：
0: [1]
1: [0, 1]
2: [0, 3, 1]
3: [0, 11, 9, 1]
4: [0, 50, 71, 18, 1]
5:[0，274，580，245，30，1]
6: [0, 1764, 5104, 3135, 625, 45, 1]
7: [0, 13068, 48860, 40369, 11515, 1330, 63, 1]
8: [0, 109584, 509004, 537628, 203889, 33320, 2506, 84, 1]
9: [0, 1026576, 5753736, 7494416, 3602088, 775929, 81900, 4326, 108, 1]
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MAPLE公司
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#请注意，对于n>16，Maple无法（至少在某些版本中）计算
#条款。插入“简化”或数值计算可能会有所帮助。
A307419行：=proc（n）local ogf，ser；ogf:=（n，k）->GAMMA（n+k+x）/GAMMA（k+x；
ser:=（n，k）->级数（ogf（n，k），x，k+2）；seq（coeff（ser（n，k），x，k），k=0..n）结束：seq（A307419行（n），n=0..9）；
#或者通过k列的egf：
A307419Col:=进程（n，len）局部f，egf，ser；f:=（n，x）->（对数（1-x）/（x-1））^n/n！；
egf：=（n，x）->差异（f（n，x），[x$n]）；ser:=n->系列（egf（n，x），x，len）；
seq（k！*系数（ser（n），x，k），k=0..len-1）结束：
seq（打印（A307419Col（k，10）），k=0..9）#彼得·卢什尼2019年4月12日
T:=（n，k）->加上（（-1）^（n-j）*二项式（j，k）*斯特林1（n，j）*k^（j-k），j=k.n）：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..9）#彼得·卢什尼2022年6月9日
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数学
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f[n_，x_]：=f[n，x]=D[（对数[1-x]/（x-1））^n/n！，{x，n}]；
T[n_，k_]：=（n-k）！级数系数[f[k，x]，{x，0，n-k}]；
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程序
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（最大值）T（n，k）：=n*和（二项式（k+i-1，i）*abs（stirling1（n-i，k））/（n-i）！，i、 0，n-k）
（极大值）泰勒（（1-t）^（-x/（1-t；
（最大值）T（n，k）：=系数（泰勒（γ（n+k+T）/γ（k+T，T，0，10），T，k）；
（PARI）T（n，k）=n*求和（i=0，n-k，abs（stirling（n-i，k，1））*二项式（i+k-1，i）/（n-i）！）\\米歇尔·马库斯2019年4月13日
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