搜索: a001715-编号:a001715
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A001710号
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1, 1, 1, 3, 12, 60, 360, 2520, 20160, 181440, 1814400, 19958400, 239500800, 3113510400, 43589145600, 653837184000, 10461394944000, 177843714048000, 3201186852864000, 60822550204416000, 1216451004088320000, 25545471085854720000, 562000363888803840000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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对于n>=3,a(n-1)也是对称群S_n中的3个循环可以写成2个长循环(长度为n)的乘积的次数艾哈迈德·法尔斯(ahmedfares(AT)my-deja.com),2001年8月14日
a(n)是无向图的nXn邻接矩阵的哈密顿回路掩码数-乍得酿酒师2003年1月31日
a(n-1)是用n个不同的珠子可以制作的项链数量:n!珠子排列,除以2表示翻转项链,除以n表示旋转项链。与第一类斯特林数,斯特林循环有关-乍得酿酒师2003年1月31日
在[n-1]的所有排列中递增的游程数(n>=2)。例如:a(4)=12,因为我们在[3]的所有排列中有12个递增运行(如括号所示):(123),(13)(2),(3)(12),(2)(13),(23)(1)-Emeric Deutsch公司2004年8月28日
所有n×n(0,1)-矩阵上的最小永久值精确为n/2个零-西蒙·塞韦里尼2004年10月15日
对于n>=1,1..n的置换数为0,1,3,12,60,360,2520,20160-乔恩·佩里2008年9月20日
起始(1,3,12,60,…)=的二项式变换A000153号: (1, 2, 7, 32, 181, ...). -加里·亚当森2008年12月25日
高阶指数积分E(x,m=1,n=3)~exp(-x)/x*(1-3/x+12/x^2-60/x^3+360/x^4-2520/x^5+20160/x^6-81440/x^7+…)的渐近展开导致了上述序列。请参见A163931号和A130534型了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
起始(1、3、12、60…)=三角形的特征序列A002260号,(给定k=1,2,3,…,每行中k项为(1,2,3,..)的三角形)。示例:a(6)=360,由(1,2,3,4,5)点(1,1,3,12,60)=(1+2+9+48+300)生成-加里·亚当森2010年8月2日
a(n-1)是指,当n>=2时,带有n个珠子(只有C_n对称,没有翻边)的项链数量,带有n-1个不同颜色和签名C[.]^2c[.]^(n-2)。这意味着两个珠子具有相同的颜色,对于n=2,忽略第二个因子。也就是说,循环(c[1]c[1]c[2]c[3]…c[n-1]),简而言之,1123…(n-1),是循环的。例如,n=2:11,n=3:112,n=4:1123,1132,1213,n=5:11234,11243,11324,11342,11423,11432,12134,12143,13124,13142,14123,14132。参见代表性项链分区数组第n>=2行中的倒数第二项A212359型. -沃尔夫迪特·朗,2012年6月26日
阶乘基数(A007623号)这些数字有一个简单的模式:1,1,11,200,2200,30000,330000,4000000,44000000,500000000,5500000000,600000000000,66000000000,700000000000,770000000000,80000000000000000,880000000000000,9000000000000,9900000000000000等。另请参阅基于此观察的公式,如下所示-安蒂·卡图恩2015年12月19日
包含偶数个偶数圈的n个字母的排列数-迈克尔·索莫斯2018年7月11日
与Brewbaker和Sykora的注释等效,a(n-1)是覆盖n个标记顶点的无向循环数,因此是A002135号. -古斯·怀斯曼2018年10月20日
a(n)是固定单反射s在s_n上的弱阶形式[s,w]的格数-布里吉特·坦纳2020年1月16日
对于n>3,a(n)=p_1^e_1**p_m^e_m,其中p_1=2和e_m=1。存在p_1^x,其中x<=e_1,因此p_1^x*p_m^e_m是原始Zumkeller数(A180332号)p_1^e_1*p_m^e_m是Zumkeller数(A083207号). 因此,对于n>3,a(n)=p_1^e_1*p_m^e_m*r,其中r是p_1*p_m的相对素数,也是一个Zumkeller数-伊万·伊纳基耶夫2020年3月11日
对于n>1,a(n)是[n]的置换数,其中1和2是循环配对,即1和2包含在[n]置换的循环表示的相同循环中。例如,a(4)将带有1和2的12个排列作为循环配对进行计数,即(1 2 3 4)、(1 2 4 3)、(13 2 4)、、(1 3 4 2)、(14 2 3)、。由于a(n+2)=的行和A162608型,我们的结果随之而来-丹尼斯·沃尔什2020年5月28日
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参考文献
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J.Riordan,《组合分析导论》,威利出版社,1958年,第87-8页,第20页。(a) ,c_n^e(t=1)。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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索马亚·巴拉蒂、贝塔·贝尼、阿巴斯·贾法扎德和丹尼尔·雅库比,混合限制斯特林数,arXiv:1812.02955[math.CO],2018年。
乔纳森·比格利和劳拉·普德威尔,彩色瓷砖和排列《整数序列杂志》,第24卷(2021年),第21.10.4条。
Olivier Bodini、Antoine Genitrini和Mehdi Naima,等级Schröder树,arXiv:1808.08376[cs.DS],2018年。
奥利维尔·博迪尼(Olivier Bodini)、安托万·杰尼特里尼(Antoine Genitrini)、塞西尔·梅勒(Cécile Mailler)和梅迪·奈玛(Mehdi Naima),进化过程中产生的严格单调树:组合和概率研究,hal-02865198[math.CO]/[math.PR]/[cs.DS]/[c.DM],2020年。
谢拉利·卡德罗夫(Shirali Kadyrov)和法鲁赫·马斯胡洛夫(Farukh Mashurov),Pi和E的广义连分式展开,arXiv:1912.03214[math.NT],2019年。
Chanchal Kumar和Amit Roy,整数序列与单项式理想,arXiv:2003.10098[math.CO],2020年。
D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic,斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。第77号(1962年),1-77。
S-Z Song、S-G Hwang、S-H Rim和G-S Cheon,(0,1)-矩阵的永久数极值,组合矩阵理论会议特刊(浦项,2002年)。线性代数应用。373 (2003), 197-210.
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配方奶粉
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带递归的D-有限:a(0)=a(1)=a(2)=1;当n>2时,a(n)=n*a(n-1)-乍得酿酒师,2003年1月31日[更正人N.J.A.斯隆2008年7月25日]
a(0)=0,a(1)=1;a(n)=和{k=1..n-1}k*a(k)-阿玛纳斯·穆尔西2002年10月29日
a(n)=0^n+Sum_{k=0..n}(-1)^(n-k-1)*T(n-1,k)*cos(Pi*(n-k-1)/2)^2。
例如:(2-x^2)/(2-2*x)。
例如,a(n+2),n>=0,等于1/(1-x)^3。
例如:1+sinh(log(1/(1-x)))-杰弗里·克里策2010年12月12日
a(n)=n/n>=2时为2(例如f的证明)-沃尔夫迪特·朗2010年4月30日
O.g.f.:1+x*Sum_{n>=0}n^n*x^n/(1+n*x)^n-保罗·D·汉纳2011年9月13日
a(n)=如果n<2,则为1,否则为Pochhammer(n,n)/二项式(2*n,n)-彼得·卢什尼2011年11月7日
a(n)=和{k=0..floor(n/2)}s(n,n-2*k),其中s(n、k)是第一类斯特林数,A048994号. -米尔恰·梅卡2012年4月7日
a(n-1),n>=3,是M_1([2,1^(n-2)])/n=(n-1/2,对于n的给定n-1部分分区,使用M_1多项式数。请参见第n行中倒数第二项A036038型以及上述W·朗的项链评论-沃尔夫迪特·朗2012年6月26日
G.f.:A(x)=1+x+x^2/(G(0)-2*x)其中G(k)=1-(k+1)*x/(1-x*(k+3)/G(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月26日。
通用系数:1+x+(Q(0)-1)*x^2/(2*(sqrt(x)+x)),其中Q(k)=1+(k+2)*sqrt;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月15日
G.f.:1+x+(x*Q(x)-x^2)/(2*(sqrt(x)+x)),其中Q(x)=Sum_{n>=0}(n+1)*x^n*sqrt(x)*(平方(x)+x*(n+2))-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月15日
通用系数:1+x/2+(Q(0)-1)*x/(2*(sqrt(x)+x)),其中Q(k)=1+(k+1)*sqrt;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月15日
G.f.:1+x+x^2*G(0)/2,其中G(k)=1+1/(1-x/(x+1/(k+3)/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月1日
G.f.:1+x+x^2*W(0),其中W(k)=1-x*(k+3)/(x*(k+3)-1/(1-x*(k+1)/(x*(k+1)-1/W(k+)));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月26日
a(0)=a(1)=1;之后,对于偶数n:a(n)=(n/2)*(n-1)!,对于奇数n:a(n)=(n-1)/2*((n-1(n-2)!)。[该公式是在阶乘基础上查看这些数字后根据经验得出的,A007623号,并且通过考虑上述Lang(2010年4月30日)和Detlefs(2010年5月21日)的公式很容易证明。]
对于n>=1,a(2*n+1)=a(2*n)+A153880号(a(2*n))。[从上往下看。](结束)
a(n)~sqrt(Pi/2)*n^(n+1/2)/exp(n)-伊利亚·古特科夫斯基2016年8月7日
o.g.f.A(x)满足Riccati方程x^2*A'(x)+(x-1)*A(x。
通用公式:A(x)=1+x+x^2/(1-3*x/(1-x/(1-4*x/。
A(x)=1+x+x^2/(1-2*x-x/(1-3*x/(1-4*x/。(结束)
和{n>=0}1/a(n)=2*(e-1)。
和{n>=0}(-1)^n/a(n)=2/e。(结束)
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例子
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G.f.=1+x+x^2+3*x^3+12*x^4+60*x^5+360*x^6+2520*x^7+。。。
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MAPLE公司
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seq(mul(k,k=3..n),n=0..20)#零入侵拉霍斯2007年9月14日
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数学
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a[n_]:=如果[n>2,n!/2,1];数组[a,21,0]
a[n_]:=如果[n<3,1,n*a[n-1]];数组[a,21,0];(*罗伯特·威尔逊v2011年4月16日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,n!级数系数[(2-x^2)/(2-2x),{x,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2014年5月22日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,n!序列系数[1+Sinh[-Log[1-x]],{x,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2014年5月22日*)
表[GroupOrder[AlternatingGroup[n]],{n,0,20}](*埃里克·韦斯特因2017年5月21日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<2,n>=0,n!/2)};
(PARI)a(n)=polceoff(1+x*和(m=0,n,m^m*x^m/(1+m*x+x*O(x^n))^m),n)\\保罗·D·汉纳
(Scheme,使用可在中找到实现的内存化宏定义http://oeis.org/wiki/Memoization网站 )
(Python)
从数学导入阶乘
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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Larry Reeves(larryr(AT)acm.org)提供的更多术语,2001年8月20日
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 0, 6, 11, 6, 1, 0, 24, 50, 35, 10, 1, 0, 120, 274, 225, 85, 15, 1, 0, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1, 0, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1, 0, 40320, 109584, 118124, 67284, 22449, 4536, 546, 36, 1, 0, 362880, 1026576, 1172700
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,8
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评论
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另一个名称:第一类无意义斯特林数三角形。
三角形T(n,k),0<=k<=n,由[0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,…]DELTA[1,0,1,0,1,1,0,1,…]给出的行读取,其中DELTA是在A084938号.
指数Riordan数组[1/(1-x),log(1/(1-x))]-拉尔夫·斯蒂芬2014年2月7日
这是相关或Jabotinsky类型的下三边形Sheffer矩阵|S1|=(1,-log(1-x))(请参阅下面的W.Lang链接A006232号表示法和参考)。这意味着下面给出的示例f.s|S1|是从单项基{x^n}到上升阶乘基{risefac(x,n)}的转移矩阵,n>=0-沃尔夫迪特·朗2017年2月21日
对于n>=k>=1,T(n,k)也是由从集合{1,2,…,n-1}中选择的成对不同长度的n-k个正交向量构建的n-k维单元(多面体)的总体积。参见T(n,k)的基本对称函数公式和下面的示例-沃尔夫迪特·朗2017年5月28日
y=y(t;x)=x*(1-t(-log(1-x)/x))=x+t*log(1-x)的组成逆w.r.t.x是x=x(t;y)=ED(y,t):=Sum_{d>=0}d(d,t)*y^(d+1)/(d+1)!,当前三角形对角序列的o.g.f.s D(D,t)的e.g.f=Sum{m>=0}t(D+m,m)*t^m。参见P.Bala链接以获得证明(其中d=n-1,n>=1是对角线的标签)。
这个反演得到D(D,t)=P(D,t)/(1-t)^(2*D+1),分子多项式P(D、t)=Sum_{m=0..D}A288874型(d,m)*t^m。参见下面的示例。另请参见中的P.Bala公式A112007号.(结束)
对于n>0,T(n,k)是从1到n的整数的排列数,当从特定的一端查看时,这些整数有k个可见数字,从这个意义上讲,较高的值会在随后的位置隐藏较低的值-伊恩·达夫,2019年7月12日
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参考文献
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Miklos Bona,编辑,《枚举组合数学手册》,CRC出版社,2015年,第31、187、441、996页。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik,《具体数学》。Addison-Wesley,马萨诸塞州雷丁,第二名。编辑,表259,第259页。
Steve Roman,《数学微积分》,多佛出版社,纽约(1984年),第149-150页
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链接
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J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor,一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构,arXiv:1307.2010[math.CO],2013年。
W.S.Gray和M.Thitsa,系统互连与组合整数序列,in:系统理论(SSST),2013年第45届东南研讨会,会议日期:2013年3月11日至11日,数字对象标识符:10.1109/SSST.2013.6524939。
T.Khovanova和J.B.Lewis,摩天大楼数量,J.国际顺序。16 (2013) #13.7.2
谢尔盖·基塔耶夫(Sergey Kitaev)和菲利普·张(Philip B.Zhang),短长网格图案的分布,arXiv:11811.07679[math.CO],2018年。
X.-T.Su、D.-Y.Yang和W.-W.Zhang,关于广义阶乘的一个注记《澳大利亚组合数学杂志》,第56卷(2013年),第133-137页。
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配方奶粉
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T(n,k)=T(n-1,k-1)+(n-1)*T(n-1,k),n,k>=1;T(n,0)=T(0,k);T(0,0)=1。
展开1/(1-t)^x=Sum_{n>=0}p(x,n)*t^n/n!;然后p(x,n)的系数产生三角形-罗杰·巴古拉2008年4月18日
求和{k=0..n}x^k*T(n,k)=x*(1+x)*(2+x)*(n-1+x),n>=1-菲利普·德尔汉姆2008年10月17日
例如,第k列:(-log(1-x))^k,k>=0。
例如,三角形(见2008年4月18日Baluga的评论):exp(-x*log(1-z))。
行多项式R(n,x)=Sum_{k=0..n}T(n,k)*x^k,对于n>=0,是R(n,x)=risefac(x,n-1):=Product_{j=0..n-1}x+j,其中n=0的空乘积为1。见上文2017年2月21日的评论。这意味着:
T(n,k)=sigma^{(n-1)}_(n-k),对于n>=k>=1,在n-1符号1,2,…,n-1中使用阶数为m的基本对称函数sigma_{(n-1))_m,使用二项式(n-1,m)项。见下面的示例。(结束)
列序列k的Boas-Buck型递归:T(n,k)=(n!*k/(n-k))*Sum_{p=k.n.n-1}β(n-1-p)*T(p,k)/p!,对于n>k>=0,输入T(k,k)=1,β(k)=A002208号(k+1)/A002209号(k+1)。请参阅中的注释和参考A286718型. -沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
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例子
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三角形T(n,k)开始于:
1;
0, 1;
0, 1, 1;
0, 2, 3, 1;
0, 6, 11, 6, 1;
0, 24, 50, 35, 10, 1;
0, 120, 274, 225, 85, 15, 1;
0、720、1764、1624、735、175、21、1;
0, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1;
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生产矩阵为
0, 1
0, 1, 1
0, 1, 2, 1
0, 1, 3, 3, 1
0, 1, 4, 6, 4, 1
0, 1, 5, 10, 10, 5, 1
0, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
0, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
...
三期复发:50=T(5,2)=1*6+(5-1)*11=50。
Sheffer a序列的递归[1,1/2,1/6,0,…]:50=T(5,2)=(5/2)*(二项式(1,1)*1*6+二项式。消失的z序列从T(0,0)=1生成k=0列。(结束)
初等对称函数T(4,2)=sigma^{(3)}_2=1*2+1*3+2*3=11。这里的单元格(多面体)是3个矩形,总面积为11-沃尔夫迪特·朗2017年5月28日
对角线的O.g.f.s:d=2(第三对角线)[0,6,50,…]有d(2,t)=P(2,t)/(1-t)^5,其中P(2、t)=2+t,n=2行A288874型. -沃尔夫迪特·朗2017年7月20日
列k=2和n=5的Boas-Buck递推:T(5,2)=(5!*2/3)*((3/8)*T(2,2)/2!+(5/12)*T(3,2)/3!+(1/2)*T(4,2)/4!)=(5!*2/3)*((3/16 + (5/12)*3/3! + (1/2)*11/4!) = 50.测试序列开始:{1/2,5/12,3/8,…}-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
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MAPLE公司
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a132393_row:=进程(n)局部k;seq(系数(展开(pochhammer(x,n)),x,k),k=0..n)结束:#彼得·卢什尼2010年11月28日
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数学
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p[t_]=1/(1-t)^x;表[ExpandAll[(n!)SeriesCoefficient[Series[p[t],{t,0,30}],n]],{n,0,10}];a=表[(n!)*系数列表[系列系数[系列[p[t],{t,0,30}],n],x],{n,0,10}];压扁[a](*罗杰·巴古拉2008年4月18日*)
压扁[表[Abs[StirlingS1[n,i]],{n,0,10},{i,0,n}]](*哈维·P·戴尔2014年2月4日*)
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黄体脂酮素
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(最大值)create_list(abs(stirling1(n,k)),n,0,12,k,0,n)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/
(哈斯克尔)
a132393 n k=a132393_tabl!!不!!k个
a132393_row n=a132393-tabl!!n个
a132393_tabl=地图(地图abs)a048994_tabl
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交叉参考
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关键词
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作者
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菲利普·德尔汉姆,2007年11月10日,2008年10月15日,2007年10月17日
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状态
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经核准的
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A094638号
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| 按行读取的三角形:T(n,k)=|s(n,n+1-k)|,其中s(n、k)是第一类有符号的斯特林数A008276号(1<=k<=n;换句话说,第一类无符号斯特林数的顺序相反)。 |
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1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 6, 11, 6, 1, 10, 35, 50, 24, 1, 15, 85, 225, 274, 120, 1, 21, 175, 735, 1624, 1764, 720, 1, 28, 322, 1960, 6769, 13132, 13068, 5040, 1, 36, 546, 4536, 22449, 67284, 118124, 109584, 40320, 1, 45, 870, 9450, 63273, 269325, 723680, 1172700, 1026576, 362880
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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多项式(x+1)(x+2)的系数三角形。。。(x+n),按x的递减幂展开-T.D.诺伊2008年2月22日
T(n,k)是高度为n且具有k列的装饰多柱体的数量。装饰多面体是一种定向柱-凸多面体,其中沿对角线测量的高度仅在最后一列中获得。例如:T(2,1)=1和T(2,2)=1,因为高度为2的装饰性多面体是垂直和水平多米诺骨牌,分别有1根和2根柱子-Emeric Deutsch公司2006年8月14日
设三角形U(n,k),0<=k<=n,按行读取,由[1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,…]DELTA[1,1,2,3,3,4,5,6,…]给出,其中DELTA是在A084938号; 则T(n,k)=U(n-1,k-1)-菲利普·德尔汉姆2007年1月6日
考虑c(t)=列向量(1,t,t^2,t^3,t^4,t^5,…)。
从1开始,对右侧的每个整数进行采样,我们得到(1,2,3,4,5,…)。T*c(1)=(1,1*2,1*2*3,1*3*4,…),给出n!对于n>0。将此序列称为右阶乘(n+)!。
从1开始,对左边的每个整数进行采样,我们得到(1,0,-1,-2,-3,-4,-5,…)。而T*c(-1)=(1,1*0,1*0*-1,1*0*-1*-2,…)=(1,0,0,…),左阶乘(n-)!。
每隔一个整数向右取样,我们得到(1,3,5,7,9,…)。T*c(2)=(1,1*3,1*3*5,…)=(1,3,15105945,…),给出A001147号对于n>0,右双阶乘,(n+)!!。
每隔一个整数向左取样,我们得到(1,-1,-3,-5,-7,…)。T*c(-2)=(1,1*-1,1*-1*-3,1*-1-3*-5,…)=(1,-1,3,-15105,-945,…)A001147号,左双阶乘,(n-)!!。
向右每3步取样,我们得到(1,4,7,10,…)。T*c(3)=(1,1*4,1*4*7,…)=(1,4,28280,…),给出A007559号对于n>0,右边的三重阶乘,(n+)!!!。
向左每3步取样,我们得到(1,-2,-5,-8,-11,…),给出T*c(-3)=(1,1*-2,1*-2*-5,1*-2-5*-8A008544号,左三重阶乘,(n-)!!!。
列表分区转换A133314号对于[1,T*c(T)],给出[1,T*c(-T)],所有奇数项取反;例如,LPT[1,T*c(2)]=(1,-1,-1,-3,-15,-105,-945,…)=(1-A001147号). 例如,对于[1,T*c(T)]=(1-xt)^(-1/T)。
上述结果适用于任何实数或复数。(结束)
设R_n(x)为乘积的实部,I_n(x)为乘积的虚部{k=0..n}(x+I*k)。然后,对于n=1,2,。。。,我们有R_n(x)=Sum_{k=0..floor(n+1)/2)}(-1)^k*Stirling1(n+1,n+1-2*k)*x^(n+1-2*k),I_n-米兰Janjic2008年5月11日
T(n,k)也是具有“反射长度”k的n的置换数(即,通过k从12..n获得的置换数不一定是相邻的置换数)。例如,当n=3时,132、213、321是通过一次转置获得的,而231和312需要两次转置-凯尔·彼得森2008年10月15日
[x^(y+1)D]^n=x^。
例如,[x^(y+1)D]^4=x^。
(xD)^m可以根据第二类斯特林数和形式为x^j D^j的算符进一步展开。(End)
偏移量为0时,0<=k<=n:T[n,k)是{1,2,…,n}的每个大小k子集的乘积之和。例如,T(3,2)=11,因为有三个大小为2的子集:{1,2},{1,3},}2,3}.1*2+1*3+2*3=11-杰弗里·克里策2011年2月4日
T(n+1,k+1)是初等对称函数a_k(1,2,…,n),n>=0,k>=0(a_0(0):=1)。请参阅T.D.诺伊和杰弗里·克里策上述意见。有关证明,请参阅斯坦利参考,第19页,第二证明-沃尔夫迪特·朗2011年10月24日
设g(t)=1/d(log(P(j+1,-t))/dt(见汤姆·科普兰的2007年公式)。t*Dirac[g(t)]的梅林变换(t到s)给出了求和{n=1..j}n^(-s),当j趋于无穷大时,给出了Re(s)>1的黎曼zeta函数。Dirac(x)是Diracδ函数。沿着以z=1为中心的半径为1的圆的复轮廓积分给出了相同的结果-汤姆·科普兰2011年12月2日
行是Pochhammer符号的多项式展开式的系数,或上升阶乘,Pch(n,x)=(x+n-1)/(x-1)!。多项式中Pch(n,xD)=Pch(n,Bell(.,:xD:))的展开式,其项为:xD:^k=x^k*D^k,给出了Lah数A008297号Bell(n,x)是第二类无符号Bell多项式或Stirling多项式A008277号. -汤姆·科普兰2014年3月1日
纯辫子群上同调的Betti数或维数。见海德和拉加里亚斯链接第12和13页。
行多项式及其乘积出现在R.Stanley的Jack对称函数的表示中。请参阅Witt差分发电机上的Copeland链接。
(结束)
科普兰在公式部分给出的e.g.f.出现在Thm中叶芝量子场论的组合Dyson-Schwinger方程中。第62页的第2页与根树的Hopf代数有关。另见第70页的格林函数。
根据以上注释,此数组包含上升阶乘Pch(n,xD)=(xD+n-1)的Euler多项式展开式或状态数运算符xD中的系数/(xD-1)!=x[:Dx:^n/n!]x^{-1}=L_n^{-1{(-:xD:),其中:Dx:^n=D^n x^n和:xD:^n=x^n D^n。多项式L_n^}是-1阶拉盖尔多项式,即正规化Lah多项式。
Witt微分算子L_n=x^(n+1)D和行例如f.s出现在Foissy提出的Hopf和对偶Hopf代数关系中。对于对偶Hopf代数,Witt算子满足L_nL_k-L_kL_n=(k-n)L_(n+k)。(结束)
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参考文献
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M.Miyata和J.W.Son,《关于置换的复杂性和双射的度量空间》,Tensor,60(1998),第1期,109-116(MR1768839)。
R.P.Stanley,《枚举组合数学》,第1卷,剑桥大学出版社,1997年。
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链接
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F.Bergeron,Ph.Flajolet和B.Salvy,增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷,J.-C.Raoult编辑,施普林格1992年,第24-48页。添加日期:2014年3月1日
F.Bergeron、Philippe Flajolet和Bruno Salvy,增加树木的种类2014年3月1日增补
F.Hivert、J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon,二叉搜索树代数《理论计算机科学》,339(2005),129-165。
K.叶芝,量子场论的组合观《SpringerBriefs in Mathematical Physics》,2017年第15卷。
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配方奶粉
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P(n,t)=Sum_{k=0..n-1}t(n,k+1)*t^k=1*(1+t)*(1+2t)。。。(1+(n-1)*t)和P(0,t)=1,exp[P(.,t)*x]=(1-tx)^(-1/t)。在T=x=0时评估的T(n,k+1)=(1/k!)(D_T)^k(D_x)^n[(1-tx)^(-1/T)-1]。(1-tx)^(-1/t)-1是当t=m-1时平面多叉树的例子。参见Bergeron等人在“增加树木的种类”中的文章-汤姆·科普兰2007年12月9日
上面的第一条注释和公式被重新表述为行n:Product_{i=0…n}(1+i*x)的o.g.f-杰弗里·克里策2011年2月4日
带交替符号的第n行多项式是(n-1)x(n-1”矩阵的特征多项式,其中1在超对角线中,(1,2,3,…)在主对角线,其余为零。例如,[1,1,0;0,2,1;0,0,3]的特征多项式是x^3-6*x^2+11*x-6-加里·亚当森2011年6月28日
例如:A(x,y)=x*y/(1-x*y)^(1+1/y)=Sum_{n>=1,k=1..n}T(n,k)*x^n*y^k/(n-1)-保罗·D·汉纳2011年7月21日
如果F(x,t)=(1-t*x)^(-1/t)-1,例如,对于A094638号当P(0,t)=0时,G(x,t)=[1-(1+x)^(-t)]/t是补偿。在x中求逆。因此,H(x,t)=1/(dG(x,t)/dx)=(1+x)^(t+1),
P(n,t)=[(H(x,t)*d/dx)^n]x在x=0时计算;即。,
F(x,t)=exp[x*P(.,t)]=exp[x*H(u,t)*d/du]u,在u=0时计算。
此外,dF(x,t)/dx=H(F(x、t),t)-汤姆·科普兰2011年9月20日
该条目的行多项式是A143491号乘以(1+x)。例如,(1+x)(1+5x+6x^2)=(1+6x+11x^2+6x^3)-汤姆·科普兰2016年12月11日
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例子
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三角形开始:
1;
1, 1;
1, 3, 2;
1, 6, 11, 6;
1, 10, 35, 50, 24;
...
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MAPLE公司
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T: =(n,k)->abs(斯特林1(n,n+1-k)):对于从1到10的n,do seq(T(n,k),k=1..n)od;#生成三角形形式的序列#Emeric Deutsch公司2006年8月14日
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数学
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表[系数列表[系列[产品[1+i x,{i,n}],{x,0,20}],x],{n,0,6}](*杰弗里·克里策2011年2月4日*)
表[斯特林S1时的绝对值[n,n-k+1],{n,10},{k,n}]//扁平(*迈克尔·德弗利格2015年8月29日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){T(n,k)=如果(n<1||k>n,0,(n-1)!*polceoff(polceof(x*y/(1-x*y+x*O(x^n))^(1+1/y),n,x),k,y))}/*保罗·D·汉纳2011年7月21日*/
(最大值)create_list(abs(stirling1(n+1,n-k+1)),n,0,10,k,0,n);/*伊曼纽尔·穆纳里尼2012年6月1日*/
(哈斯克尔)
a094638 n k=a094638_tabl!!(n-1)!!(k-1)
a094638_row n=a094638 _ tabl!!(n-1)
a094638_tabl=地图背面a130534_tabl
(岩浆)[(-1)^(k+1)*StirlingFirst(n,n-k+1):k in[1..n],n in[1..10]]//G.C.格鲁贝尔2019年12月29日
(Sage)[[stirling_number1(n,n-k+1)for k in(1..n)]for n in(1..10)]#G.C.格鲁贝尔2019年12月29日
(GAP)平面(列表([1..10],n->List([1..n],k->Stirling1(n,n-k+1)))#G.C.格鲁贝尔2019年12月29日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A130534型
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| 三角形T(n,k),0<=k<=n,按行读取,给出多项式(x+1)(x+2)的系数。。。(x+n),以x的递增幂展开,T(n,k)也是无符号斯特林数|s(n+1,k+1)|,表示正好包含k+1圈的n+1元素上的置换数。 |
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+10 60
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1, 1, 1, 2, 3, 1, 6, 11, 6, 1, 24, 50, 35, 10, 1, 120, 274, 225, 85, 15, 1, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1, 40320, 109584, 118124, 67284, 22449, 4536, 546, 36, 1, 362880, 1026576, 1172700, 723680, 269325, 63273, 9450, 870, 45, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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或者,三角形T(n,k),0<=k<=n,由[1,1,2,2,3,3,4,5,5,6,6,…]DELTA[1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,…]给出的行读取,其中DELTA是在A084938号.
高阶指数积分E(x,m,n)定义于A163931号.指数积分E(x,m=1,n)~(exp(-x)/x)*(1-n/x+n*(n+1)/x^2-n*(n+1)*(n+2)/x ^3+…)的渐近展开式,见阿布拉莫维茨和斯特根。这个公式是根据渐近展开的一般公式得出的,参见A163932号.我们重写了E(x,m=1,n)~(exp(-x)/x)*(1-n/x+(n^2+n)/x^2-(2*n+3*n^2+n^3)/x^3+(6*n+11*n^2+6*n^3+n^4)/x ^3-…)并观察到T(n,m)是分母中的多项式系数。看看的a(n,m)公式A028421号,A163932号和A163934号,将上面给出的偏移量移动到1,我们可以写出T(n-1,m-1)=a(n,m)=(-1)^(n+m)*Stirling1(n,m),参见Maple程序。
(结束)
置换中i左边大于i的元素的数量给出了反演向量的第i个元素。(Skiena-Pemmaraju 2003,p.69。)T(n,k)是在其反转向量中正好具有k 0的n个置换数。参见下面Mathematica代码中的证据-杰弗里·克里策2010年5月7日
T(n,k)统计具有n+2个节点的“自然生长”有根树森林中具有k+1个树干的有根树。这对应于表示向量、李导数或流场和形式群律的无穷小生成器的迭代导数的系数之和。参考中的链接139605英镑. -汤姆·科普兰2014年3月23日
初始n=1,T的行多项式为p(n,x)=x(x+1)。。。(x+n-1),x的幂对应于上述“自然生长”森林中有根树的树干数。对于允许m种颜色的每个树干,p(n,m)给出了森林中此类非车道颜色树的数量,每棵树有n+1个顶点。
从Joni等人的链接来看,p(n,m)还表示n个可分辨标志在m个可分辨旗杆上的分布。
完整图K_n的色多项式是下降阶乘,它对K_n中n个顶点的着色进行编码,并给出p(n,m)的移位形式。
行多项式的E.g.f.:(1-y)^(-x)。
(结束)
不定项c(1)到c(n)中n X n Vandermonde矩阵V(n)的行列式|V(n
|V(n)|=产品{1<=j<k<=n}(c(j)-c(k))。设W(n,x)=|V(n)|*(c(1)c(2)。。。c(n))^x,则p(n,x)=W^(-1)[c(1)d/dc(1。参见Chervov链接,第47页-汤姆·科普兰2014年4月10日
让M表示下单位三角形数组A094587号对于k=0,1,2,。。。将M(k)定义为下单位三角形块数组
/确定0(_k)\
\0百万/
将k X k单位矩阵I_k作为左上块;特别地,M(0)=M。那么现在的三角形等于无限矩阵乘积M(0,M(1)*M(2)*。。。(定义明确)。请参阅示例部分。(结束)
关于这个上升阶乘与维诺的拉盖尔故事时刻的关系,请参阅Hetyei链接,第4页-汤姆·科普兰,2015年10月1日
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参考文献
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Sriram Pemmaraju和Steven Skiena,《计算离散数学》,剑桥大学出版社,2003年,第69-71页。[杰弗里·克里策,2010年5月7日]
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。第55辑,第十次印刷,1972年,第5章,第227-251页。[发件人约翰内斯·梅耶尔2009年10月7日]
伊戈尔·维克托维奇·斯塔森科,关于广义特殊数三角形的序数《创新科学》第2-2期,国家Ufa出版社,埃特纳出版社,2024年,第15-19页。俄语。
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配方奶粉
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T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k>n或如果n<0,T(n,k)=T(n-1,k-1)+n*T(n-1,k)。T(n,0)=n=A000142号(n) ●●●●。T(2*n,n)=A129505号(n+1)。求和{k=0..n}T(n,k)=(n+1)=A000142号(n+1)。总和_{k=0..n}T(n,k)^2=A047796号(n+1)。T(n,k)=|箍筋1(n+1,k+1)|,参见A008275美元.(x+1)(x+2)。。。(x+n)=和{k=0..n}T(n,k)*x^k阿里·博斯2008年7月11日]
对于k=1..n,设A={A_1,A_2,…,A_k}表示{1,2,…,n}的size-k子集。然后T(n,n-k)=总和(Product_{i=1..k}a_i),其中总和覆盖所有子集a。例如,T(4,1)=50,因为1*2*3+1*2x4+1*3*4+2*3*4=50-丹尼斯·沃尔什2011年1月25日
前面的公式表示T(n,k)=sigma_{n-k}(1,2,3,…,n),其中第(n-k)个初等对称函数sigma的不定项选择为1,2,。。。,n.参见2011年10月24日的评论A094638号sigma在那里被称为a-沃尔夫迪特·朗2013年2月6日
三角形的第n行=M^n的顶行,其中M是生产矩阵:
1, 1;
1、2、1;
1, 3, 3, 1;
1, 4, 6, 4, 1;
…(结束)
指数Riordan数组[1/(1-x),log(1/(1-x))]。递归:T(n+1,k+1)=Sum_{i=0..n-k}(n+1)/(n+1-i)*T(n-i,k)-彼得·巴拉2014年7月21日
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例子
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三角形T(n,k)开始于:
n \ k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n=0:1
n=1:1 1
n=2:2 3 1
n=3:6 11 6 1
n=4:24 50 35 10 1
n=5:120 274 225 85 15 1
n=6:720 1764 1624 735 175 21 1
n=7:5040 13068 13132 6769 1960 322 28 1
n=8:40320 109584 118124 67284 22449 4536 546 36 1
n=9:362880 1026576 1172700 723680 269325 63273 9450 870 45 1个
n=10:3628800 10628640 12753576 8409500 3416930 902055 157773 18150 1320 55 1
T(3,2)=6,因为有6个{1,2,3,4}的置换在它们的反转向量中正好有2个0:{1,2,4,3},{1,3,2,4},},2,1,3。各自的反演向量是{0,0,1},{0,1,0},}-杰弗里·克里策2010年5月7日
T(3,1)=11,因为{1,2,3,4}正好有11个置换,有2个循环,即(1)(234),(1),(243),(2)(134),(3)(124)-丹尼斯·沃尔什2011年1月25日
使用注释部分中定义的数组M(k),无穷乘积M(0*)M(1)*M(2)*。。。开始
/ 1 \/1 \/1 \ / 1 \
| 1 1 ||0 1 ||0 1 | | 1 1 |
| 2 2 1 ||0 1 1 ||0 0 1 |... = | 2 3 1 |
| 6 6 3 1 ||0 2 2 1 ||0 0 1 1 | | 6 11 6 1 |
|24 24 12 4 1||0 6 6 3 1||0 0 2 2 1| |24 50 35 10 1|
|... ||... ||... | |... |
(结束)
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MAPLE公司
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使用(组合):A130534型:=进程(n,m):(-1)^(n+m)*stirling1(n+1,m+1)结束进程:seq(seq(A130534型(n,m),m=0..n),n=0..10)#约翰内斯·梅耶尔,2009年10月7日,2012年9月11日修订
#将(1,0,0,…)添加为列0(并移动枚举)。
BellMatrix(n->n!,9)#彼得·卢什尼2016年1月27日
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数学
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表[Table[Length[Select[Map[ToInversionVector,置换[m]],计数[#,0]=n&]],{n,0,m-1}],{m,0,8}]//网格(*杰弗里·克里策2010年5月7日*)
行=10;
t=范围[0,行]!;
T[n_,k_]:=腹部[n,k,T];
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a130534 n k=a130534_tabl!!不!!k个
a130534_row n=a130534-tabl!!n个
a130534_tabl=地图(地图abs)a008275_tabl
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交叉参考
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(结束)
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 5, 30, 210, 1680, 15120, 151200, 1663200, 19958400, 259459200, 3632428800, 54486432000, 871782912000, 14820309504000, 266765571072000, 5068545850368000, 101370917007360000, 2128789257154560000, 46833363657400320000, 1077167364120207360000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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4,2
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评论
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高阶指数积分E(x,m=1,n=5)~exp(-x)/x*(1-5/x+30/x^2-210/x^3+1680/x^4-15120/x^5+151200/x^6-1663200/x^7+…)的渐近展开导致了这个序列。请参见A163931号和A130534型了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
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参考文献
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N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic,斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。第77号(1962年),1-77。
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配方奶粉
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例如,如果偏移量为0:1/(1-x)^5。
和{n>=4}1/a(n)=24*e-64。
和{n>=4}(-1)^n/a(n)=24/e-8。(结束)
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数学
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黄体脂酮素
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(Magma)[因子(n)/24:n在[4.25]]中]//文森佐·利班迪2011年7月20日
(哈斯克尔)
a001720=(翻转div 24)。a000142号--莱因哈德·祖姆凯勒2014年8月31日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A173333号
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| 按行读取三角形:T(n,k)=n!/k!,1<=k<=n。 |
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+10 30
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1, 2, 1, 6, 3, 1, 24, 12, 4, 1, 120, 60, 20, 5, 1, 720, 360, 120, 30, 6, 1, 5040, 2520, 840, 210, 42, 7, 1, 40320, 20160, 6720, 1680, 336, 56, 8, 1, 362880, 181440, 60480, 15120, 3024, 504, 72, 9, 1, 3628800, 1814400, 604800, 151200, 30240, 5040, 720, 90, 10, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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1<k<=n:T(n,k)=T(n、k-1)/k;
T(n-1,k),k=1,。。。,n-1,给出了具有n个珠子(C_n对称)、n+1-k不同颜色的代表性项链的数量,例如C[1]、C[2]、…、,。。。,c[n-k+1],对应于由n的分区k,1^(n-k)确定的颜色特征。代表性项链有k个颜色为c[1]的珠子。例如,n=4,k=2:分区2,1,1,颜色签名(部分作为指数)c[1]c[1]c[2]c[3],3=T(3,2)项链(为颜色c[j]写j):循环(1123)、循环(1132)和循环(1213)。请参见A212359型用于一般分区或彩色签名的数字。(结束)
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链接
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配方奶粉
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例如:(exp(x*y)-1)/(x*(1-y))-奥利维尔·杰拉德2011年7月7日
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例子
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三角形开始:
n\k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
1 1
2 2 1
3 6 3 1
4 24 12 4 1
5 120 60 20 5 1
6 720 360 120 30 6 1
7 5040 2520 840 210 42 7 1
8 40320 20160 6720 1680 336 56 8 1
9 362880 181440 60480 15120 3024 504 72 9 1
10 3628800 1814400 604800 151200 30240 5040 720 90 10 1
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数学
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a173333 n k=a173333_tabl!!(n-1)!!(k-1)
a173333_row n=a173333-tabl!!(n-1)
a173333_tabl=映射fst$迭代f([1],2)
其中f(行,i)=(映射(*i)行++[1],i+1)
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1、8、72、720、7920、95040、1235520、17297280、259459200、4151347200、70572902400、1270312243200、24135932620800、482718652416000、10137091700736000、223016017416192000、51293684007572416000、123104841613737984000、3077621040343449600000、80018147048929689600000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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高阶指数积分E(x,m=1,n=8)~exp(-x)/x*(1-8/x+72/x^2-720/x^3+7920/x^4-95040/x^5+235520/x^6-17297280/x^7+…)的渐近展开导致了上述序列。请参见A163931号和A130534型了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
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链接
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配方奶粉
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a(n)=(n+7)/7!.
例如:1/(1-x)^8。
和{n>=0}1/a(n)=5040*e-13699。
和{n>=0}(-1)^n/a(n)=1855-5040/e。(结束)
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数学
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((范围[0,20]+7)!)/7! (*哈维·P·戴尔2012年7月31日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[阶乘(n+7)/5040:n in[0..25]]//文森佐·利班迪2011年7月20日
(哈斯克尔)
a049388=(翻转div 5040)。a000142。(+ 7)
(PARI)向量(20,n,n-;(n+7)/7!) \\G.C.格鲁贝尔,2018年8月15日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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A245334型
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| 行读取的类阶乘三角形:T(0,0)=1;T(n+1,0)=T(n,0)+1;T(n+1,k+1)=T(n,0)*T(n、k),k=0..n。 |
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+10 25
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1, 2, 1, 3, 4, 2, 4, 9, 12, 6, 5, 16, 36, 48, 24, 6, 25, 80, 180, 240, 120, 7, 36, 150, 480, 1080, 1440, 720, 8, 49, 252, 1050, 3360, 7560, 10080, 5040, 9, 64, 392, 2016, 8400, 26880, 60480, 80640, 40320, 10, 81, 576, 3528, 18144, 75600, 241920, 544320
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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行(0)={1};行(n+1)=行(n)乘以n并加上(n+1;
T(n,0)=n+1;
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链接
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配方奶粉
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T(n,k)=n*(n+1-k)/(n-k)-沃纳·舒尔特2017年9月9日
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例子
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. 0: 1;
. 1: 2, 1;
.2:3、4、2;
. 3: 4, 9, 12, 6;
. 4: 5, 16, 36, 48, 24;
. 5: 6, 25, 80, 180, 240, 120;
. 6: 7, 36, 150, 480, 1080, 1440, 720;
. 7: 8, 49, 252, 1050, 3360, 7560, 10080, 5040;
. 8: 9, 64, 392, 2016, 8400, 26880, 60480, 80640, 40320;
. 9: 10, 81, 576, 3528, 18144, 75600, 241920, 544320, 725760, 362880.
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数学
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表[(n!)/((n-k)!)*(n+1-k),{n,0,9},{k,0,n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2017年9月10日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a245334 n k=a245334_tabl!!不!!k个
a245334_row n=a245334 _ tabl!!n个
a245334_tabl=迭代(\row@(h:_)->(h+1):映射(*h)行)[1]
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A001909号
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| a(n)=n*a(n-1)+(n-4)*a(n-2),a(2)=0,a(3)=1。 (原名M3576 N1450)
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+10 24
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0、1、4、21、134、1001、8544、81901、870274、10146321、128718044、1764651461、25992300894、409295679481、6860638482424、121951698034461、2291179503374234、45361686034627361、94389529274746534964、20592893110265899381、470033715095287415734
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,3
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评论
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偏移量为1时,永久值为(0,1)-矩阵的大小为n X(n+d),d=4,n个零不在一条线上。这是Seok-Zun Song等人定理2.3的特例。(0,1)-矩阵的永久数极值,第201-202页-Jaap间谍2003年12月12日
a(n+3)=:b(n),n>=1,列举了在一组(无序)项链上分配n个不同标签的珠子的方法,不包括只有一个珠子的项链,以及四个不可区分的、有序的固定绳索,每个绳索允许有任意数量的珠子。无珠项链和无珠绳索在计数中各占一个因子,例如b(0):=1*1=1。请参见A000255号用于描述带珠子的固定绳索。
这就产生了b(n)子因子序列的指数(又称二项式)卷积{A000166号(n) }和序列{A001715号(n+3)}。请参阅中的项链和绳索问题注释A000153号因此,b(-1)=0和b(0)=1的递归b(n)=(n+3)*b(n-1)+(n-1”*b(n-2)也成立。这一评论来源于Malin Sjodahl发现的一系列关于某些夸克和胶子图的组合问题的重复出现(2010年2月27日)-沃尔夫迪特·朗2010年6月2日
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参考文献
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Brualdi,Richard A.和Ryser,Herbert J.,组合矩阵理论,纽约剑桥大学(1991),第7章。
J.Riordan,《组合分析导论》,威利出版社,1958年,第188页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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Seok-Zun Song等人。,(0,1)-矩阵的永久数极值,《组合矩阵理论会议专刊》(Pohang,2002)。线性代数应用。373(2003),第197-210页。
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配方奶粉
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例如:exp(-x)/(1-x)^5=Sum_{k>=0}a(k+3)*x^k/k-迈克尔·索莫斯2003年2月19日
通用名称:x*超几何([1,5],[],x/(x+1))/(x+1)-马克·范·霍伊2011年11月7日
a(n)=上层([5,-n+3],[],1))*(-1)^(n+1),对于n>=3-彼得·卢什尼2014年9月20日
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例子
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项链和四根绳子问题。对于n=4,我们考虑以下4的弱2组分成分:(4,0)、(3,1)、(2,2)和(0,4),其中(1,3)不出现,因为没有带1珠的项链。这些成分分别贡献sf(4)*1、二项式(4,3)*sf=A000166号(n) (见项链注释)和c4(n):=A001715号(n+3)=(n+3)/三!纯4芯线问题的编号(参见中关于k芯线问题示例f.的备注A000153号; 这里对于k=4:1/(1-x)^4)。这加起来是9+4*2*4+(6*1)*20+840=1001=b(4)=A001909号(7). -沃尔夫迪特·朗2010年6月2日
x ^3+4*x ^4+21*x ^5+134*x ^6+1001*x ^7+8544*x ^8+81901*x ^9+870274*x ^10+。。。
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MAPLE公司
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a:=n->`如果`(n<4,n-2,hypergeom([5,-n+3],[],1))*(-1)^(n+1);
seq(圆形(evalf(a(n),100)),n=2.22)#彼得·卢什尼2014年9月20日
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数学
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t={0,1};做[AppendTo[t,n*t[[-1]]+(n-4)*t[[2]]],{n,4,20}];t吨(*T.D.诺伊2012年8月17日*)
nxt[{n,a,b}]:={n+1,b,b(n+1)+a(n-3)};嵌套列表[nxt,{3,0,1},20][[全部,2]](*哈维·P·戴尔2018年7月17日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<2,0,-contfracpnqn(矩阵(2,n,i,j,j-4*(i==1)))[1,1])}/*迈克尔·索莫斯2003年2月19日*/
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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256890元
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| 三角形T(n,k)=T(n-k,k);t(n,m)=f(m)*t(n-1,m)+f(n)*t。 |
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+10 24
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1, 2, 2, 4, 12, 4, 8, 52, 52, 8, 16, 196, 416, 196, 16, 32, 684, 2644, 2644, 684, 32, 64, 2276, 14680, 26440, 14680, 2276, 64, 128, 7340, 74652, 220280, 220280, 74652, 7340, 128, 256, 23172, 357328, 1623964, 2643360, 1623964, 357328, 23172, 256, 512, 72076, 1637860, 10978444, 27227908, 27227908, 10978444, 1637860, 72076, 512
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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通过改变函数f(x)可以找到相关的三角形。如果f(x)是一个线性函数,可以将其参数化为f(x)=a*x+b。使用不同的a和b值,可以得到以下三角形:
a\b 1…….2…….3…….4…….5…….6
下表显示了这些数字的行和以及类似构造的数字三角形:
a\b 1……..2……..3……..4……..5……..6……..7……..8…….9
公式可进一步推广为:t(n,m)=f(m+s)*t(n-1,m)+f(n-s)*t(n,m-1),其中f(x)=a*x+b。下表指定了s的非零值三角形(斜线后给出)。
a\b 0 1 2 3
-1
0
在Carlitz和Scoville的符号中,这是广义欧拉数A(r,s|alpha,beta)的三角形,alpha=beta=2。还有Hwang等人的符号中的数组A(2,1,4)(见第31页)-彼得·巴拉2019年12月27日
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链接
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L.Carlitz和R.Scoville,广义欧拉数:组合应用J.für die reine und angewandte Mathematik,265(1974):110-37。见第3节。
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配方奶粉
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T(n,k)=T(n-k,k);如果n<0或m<0,则t(0,0)=1,t(n,m)=0,否则t(n、m)=f(m)*t(n-1,m)+f(n)*t(n,m-1),其中f(x)=x+2。
T(n,k)=Sum_{j=0..k}(-1)^(k-j)*二项式(j+3,j)*二项式(n+4,k-j)*(j+2)^n-彼得·巴拉2019年12月27日
Pascal的修正规则:如果k<0或k>n,则T(0,0)=1,T(n,k)=0,否则T(n、k)=f(n-k)*T(n-1,k-1)+f(k)*T(n-1、k),其中f(x)=x+2-乔治·菲舍尔2021年11月11日
T(n,n-k)=T(n、k)。
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例子
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数组t(n,k)的开头是:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...;
2, 12, 52, 196, 684, 2276, 7340, ...;
4, 52, 416, 2644, 14680, 74652, 357328, ...;
8, 196, 2644, 26440, 220280, 1623964, 10978444, ...;
16, 684, 14680, 220280, 2643360, 27227908, 251195000, ...;
32、2276、74652、1623964、27227908、381190712、4677894984等。。。;
64, 7340, 357328, 10978444, 251195000, 4677894984, 74846319744, ...;
三角形T(n,k)的开头为:
1;
2, 2;
4, 12, 4;
8, 52, 52, 8;
16, 196, 416, 196, 16;
32, 684, 2644, 2644, 684, 32;
64, 2276, 14680, 26440, 14680, 2276, 64;
128, 7340, 74652, 220280, 220280, 74652, 7340, 128;
256, 23172, 357328, 1623964, 2643360, 1623964, 357328, 23172, 256;
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数学
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表[和[(-1)^(k-j)*二项式[j+3,j]二项式[n+4,k-j](j+2)^n,{j,0,k}],{n,0,9},{k,0,n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2019年12月27日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)t(n,m)=如果((n<0)| |(m<0),0,如果((n==0)&&(m===0),1,(m+2)*t(n-1,m)+(n+2)*t(n,m-1));
tabl(nn)={表示(n=0,nn,表示(k=0,n,打印1(t(n-k,k),“,”););}\\米歇尔·马库斯2015年4月14日
(岩浆)
A256890型:=func<n,k|(&+[(-1)^(k-j)*二项式(j+3,j)*二项式(n+4,k-j)x(j+2)^n:j in[0..k]])>;
(SageMath)
定义256890元(n,k):返回和((-1)^(k-j)*二项式(j+3,j)*二项式(n+4,k-j)x(j+2)^n,范围(k+1)中j的值)
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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