登录
OEIS由OEIS基金会的许多慷慨捐赠者.

 

标志
提示
(来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索: a001715-编号:a001715
显示找到的47个结果中的1-10个。 第页12 3 4 5
    排序:关联|参考文献||被改进的|创建     格式:长的|短的|数据
A001710号 交替群A_n的顺序,或n个字母的偶数置换数。
(原名M2933 N1179)
+10
205
1, 1, 1, 3, 12, 60, 360, 2520, 20160, 181440, 1814400, 19958400, 239500800, 3113510400, 43589145600, 653837184000, 10461394944000, 177843714048000, 3201186852864000, 60822550204416000, 1216451004088320000, 25545471085854720000, 562000363888803840000 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
对于n>=3,a(n-1)也是对称群S_n中的3个循环可以写成2个长循环(长度为n)的乘积的次数艾哈迈德·法尔斯(ahmedfares(AT)my-deja.com),2001年8月14日
a(n)是无向图的nXn邻接矩阵的哈密顿回路掩码数-乍得酿酒师2003年1月31日
a(n-1)是用n个不同的珠子可以制作的项链数量:n!珠子排列,除以2表示翻转项链,除以n表示旋转项链。与第一类斯特林数,斯特林循环有关-乍得酿酒师2003年1月31日
在[n-1]的所有排列中递增的游程数(n>=2)。例如:a(4)=12,因为我们在[3]的所有排列中有12个递增运行(如括号所示):(123),(13)(2),(3)(12),(2)(13),(23)(1)-Emeric Deutsch公司2004年8月28日
所有n×n(0,1)-矩阵上的最小永久值精确为n/2个零-西蒙·塞韦里尼2004年10月15日
对于n>=1,1..n的置换数为0,1,3,12,60,360,2520,20160-乔恩·佩里2008年9月20日
起始(1,3,12,60,…)=的二项式变换A000153号: (1, 2, 7, 32, 181, ...). -加里·亚当森2008年12月25日
的第一列A092582号. -Mats Granvik公司2009年2月8日
高阶指数积分E(x,m=1,n=3)~exp(-x)/x*(1-3/x+12/x^2-60/x^3+360/x^4-2520/x^5+20160/x^6-81440/x^7+…)的渐近展开导致了上述序列。请参见A163931号A130534型了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
对于n>1:a(n)=A173333号(n,2)-莱因哈德·祖姆凯勒2010年2月19日
起始(1、3、12、60…)=三角形的特征序列A002260号,(给定k=1,2,3,…,每行中k项为(1,2,3,..)的三角形)。示例:a(6)=360,由(1,2,3,4,5)点(1,1,3,12,60)=(1+2+9+48+300)生成-加里·亚当森2010年8月2日
对于n>=2:a(n)是(n+1)节点上连接的2-正则标记图的数量(Cf。A001205号). -杰弗里·克里策2011年2月16日。
Fi1和Fi2三角形和A094638号由该序列的项给出(n>=1)。有关这些三角形和的定义,请参见A180662号. -约翰内斯·梅耶尔2011年4月20日
还有[1,1]和三角形的行和A162608型. -奥马尔·波尔2012年3月9日
a(n-1)是指,当n>=2时,带有n个珠子(只有C_n对称,没有翻边)的项链数量,带有n-1个不同颜色和签名C[.]^2c[.]^(n-2)。这意味着两个珠子具有相同的颜色,对于n=2,忽略第二个因子。也就是说,循环(c[1]c[1]c[2]c[3]…c[n-1]),简而言之,1123…(n-1),是循环的。例如,n=2:11,n=3:112,n=4:1123,1132,1213,n=5:11234,11243,11324,11342,11423,11432,12134,12143,13124,13142,14123,14132。参见代表性项链分区数组第n>=2行中的倒数第二项A212359型. -沃尔夫迪特·朗,2012年6月26日
对于m>=3,a(m-1)是具有m个顶点的完全简单图中的不同哈密顿回路数。另请参见A001286号. -斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年5月10日
阶乘基数(A007623号)这些数字有一个简单的模式:1,1,11,200,2200,30000,330000,4000000,44000000,500000000,5500000000,600000000000,66000000000,700000000000,770000000000,80000000000000000,880000000000000,9000000000000,9900000000000000等。另请参阅基于此观察的公式,如下所示-安蒂·卡图恩2015年12月19日
另外(根据定义)n转置图的独立数-埃里克·韦斯特因2017年5月21日
包含偶数个偶数圈的n个字母的排列数-迈克尔·索莫斯2018年7月11日
与Brewbaker和Sykora的注释等效,a(n-1)是覆盖n个标记顶点的无向循环数,因此是A002135号. -古斯·怀斯曼2018年10月20日
对于n>=2和一组n个不同的叶标签,a(n)是具有毛虫形状的二元、根、叶标签树拓扑的数量(列k=1A306364型). -诺亚·A·罗森博格,2019年2月11日
同时也给出了n-Bruhat图的团覆盖数-埃里克·韦斯特因2019年4月19日
a(n)是固定单反射s在s_n上的弱阶形式[s,w]的格数-布里吉特·坦纳2020年1月16日
对于n>3,a(n)=p_1^e_1**p_m^e_m,其中p_1=2和e_m=1。存在p_1^x,其中x<=e_1,因此p_1^x*p_m^e_m是原始Zumkeller数(A180332号)p_1^e_1*p_m^e_m是Zumkeller数(A083207号). 因此,对于n>3,a(n)=p_1^e_1*p_m^e_m*r,其中r是p_1*p_m的相对素数,也是一个Zumkeller数-伊万·伊纳基耶夫2020年3月11日
对于n>1,a(n)是[n]的置换数,其中1和2是循环配对,即1和2包含在[n]置换的循环表示的相同循环中。例如,a(4)将带有1和2的12个排列作为循环配对进行计数,即(1 2 3 4)、(1 2 4 3)、(13 2 4)、、(1 3 4 2)、(14 2 3)、。由于a(n+2)=的行和A162608型,我们的结果随之而来-丹尼斯·沃尔什2020年5月28日
参考文献
J.Riordan,《组合分析导论》,威利出版社,1958年,第87-8页,第20页。(a) ,c_n^e(t=1)。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
索马亚·巴拉蒂、贝塔·贝尼、阿巴斯·贾法扎德和丹尼尔·雅库比,混合限制斯特林数,arXiv:1812.02955[math.CO],2018年。
保罗·巴里,使用指数Riordan阵列作为矩的一般欧拉多项式《整数序列杂志》,16(2013),#13.9.6。
保罗·巴里,关于整数序列的Gap-sum和Gap-product序列,arXiv:2104.05593[math.CO],2021。
乔纳森·比格利和劳拉·普德威尔,彩色瓷砖和排列《整数序列杂志》,第24卷(2021年),第21.10.4条。
Olivier Bodini、Antoine Genitrini和Mehdi Naima,等级Schröder树,arXiv:1808.08376[cs.DS],2018年。
奥利维尔·博迪尼(Olivier Bodini)、安托万·杰尼特里尼(Antoine Genitrini)、塞西尔·梅勒(Cécile Mailler)和梅迪·奈玛(Mehdi Naima),进化过程中产生的严格单调树:组合和概率研究,hal-02865198[math.CO]/[math.PR]/[cs.DS]/[c.DM],2020年。
彼得·卡梅隆,由寡态置换群实现的序列,J.集成。序号。第3卷(2000年),第00.1.5条。
卡米尔·库姆和萨缪尔·吉拉乌多,Cliff操作数:单词操作数的层次结构,arXiv:2106.14552[math.CO],2021。
马雷克·费舍尔,Sackin树平衡指数的极值安·库姆。(2021)第25卷,515-541,备注7。
INRIA算法项目,组合结构百科全书262.
谢拉利·卡德罗夫(Shirali Kadyrov)和法鲁赫·马斯胡洛夫(Farukh Mashurov),Pi和E的广义连分式展开,arXiv:1912.03214[math.NT],2019年。
Chanchal Kumar和Amit Roy,整数序列与单项式理想,arXiv:2003.10098[math.CO],2020年。
Wolfdieter Lang,关于Stirling数三角形的推广,J.整数序列。,第3卷(2000年),第00.2.4条。
D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic,斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。第77号(1962年),1-77。
罗伯特·莫里茨,关于n个连续整数乘积的和,华盛顿大学数学出版物。,1(1926年第3期),44-49[带注释的扫描件]
Alexsandar Petojevic,函数vM_m(s;a;z)和一些已知序列《整数序列杂志》,第5卷(2002年),第02.1.7条。
S-Z Song、S-G Hwang、S-H Rim和G-S Cheon,(0,1)-矩阵的永久数极值,组合矩阵理论会议特刊(浦项,2002年)。线性代数应用。373 (2003), 197-210.
A.N.斯托克斯,Riccati方程的连分式解,公牛。南方的。数学。《社会学》第25卷(1982年),207-214。
B.E.Tenner,Bruhat和弱序的区间结构,arXiv:2001.05011[math.CO],2020年。
埃里克·魏斯坦的数学世界,交替组.
埃里克·魏斯坦的数学世界,Bruhat图.
埃里克·魏斯坦的数学世界,圆形排列.
埃里克·魏斯坦的数学世界,集团覆盖编号.
埃里克·魏斯坦的数学世界,偶数排列.
埃里克·魏斯坦的数学世界,哈密顿循环.
埃里克·魏斯坦的数学世界,独立性编号.
埃里克·魏斯坦的数学世界,奇数置换.
埃里克·魏斯坦的数学世界,换位图.
配方奶粉
a(n)=分子(n!/2)和A141044号(n) =分母(n!/2)。
带递归的D-有限:a(0)=a(1)=a(2)=1;当n>2时,a(n)=n*a(n-1)-乍得酿酒师,2003年1月31日[更正人N.J.A.斯隆2008年7月25日]
a(0)=0,a(1)=1;a(n)=和{k=1..n-1}k*a(k)-阿玛纳斯·穆尔西2002年10月29日
a(n+1)=[1,3,12,160,…]的斯特林变换是A083410号(n) =[1、4、22、154…]-迈克尔·索莫斯2004年3月4日
的第一个欧拉变换A000027号。请参阅A000142号FET的定义-罗斯·拉海耶2005年2月14日
发件人保罗·巴里2005年4月18日:(开始)
a(n)=0^n+Sum_{k=0..n}(-1)^(n-k-1)*T(n-1,k)*cos(Pi*(n-k-1)/2)^2。
T(n,k)=绝对值(A008276号(n,k))。(结束)
例如:(2-x^2)/(2-2*x)。
例如,a(n+2),n>=0,等于1/(1-x)^3。
例如:1+sinh(log(1/(1-x)))-杰弗里·克里策2010年12月12日
a(n+1)=(-1)^n*A136656号(n,1),n>=1。
a(n)=n/n>=2时为2(例如f的证明)-沃尔夫迪特·朗2010年4月30日
a(n)=(n-2)!*t(n-1),n>1,其中t(n)是第n个三角形数(A000217号). -加里·德特利夫斯2010年5月21日
a(n)=(A000254号(n) -2个*A001711号(n-3))/3,n>2-加里·德特利夫斯,2010年5月24日
O.g.f.:1+x*Sum_{n>=0}n^n*x^n/(1+n*x)^n-保罗·D·汉纳2011年9月13日
a(n)=如果n<2,则为1,否则为Pochhammer(n,n)/二项式(2*n,n)-彼得·卢什尼2011年11月7日
a(n)=和{k=0..floor(n/2)}s(n,n-2*k),其中s(n、k)是第一类斯特林数,A048994号. -米尔恰·梅卡2012年4月7日
a(n-1),n>=3,是M_1([2,1^(n-2)])/n=(n-1/2,对于n的给定n-1部分分区,使用M_1多项式数。请参见第n行中倒数第二项A036038型以及上述W·朗的项链评论-沃尔夫迪特·朗2012年6月26日
G.f.:A(x)=1+x+x^2/(G(0)-2*x)其中G(k)=1-(k+1)*x/(1-x*(k+3)/G(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月26日。
通用系数:1+x+(Q(0)-1)*x^2/(2*(sqrt(x)+x)),其中Q(k)=1+(k+2)*sqrt;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月15日
G.f.:1+x+(x*Q(x)-x^2)/(2*(sqrt(x)+x)),其中Q(x)=Sum_{n>=0}(n+1)*x^n*sqrt(x)*(平方(x)+x*(n+2))-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月15日
通用系数:1+x/2+(Q(0)-1)*x/(2*(sqrt(x)+x)),其中Q(k)=1+(k+1)*sqrt;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月15日
G.f.:1+x+x^2*G(0)/2,其中G(k)=1+1/(1-x/(x+1/(k+3)/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月1日
G.f.:1+x+x^2*W(0),其中W(k)=1-x*(k+3)/(x*(k+3)-1/(1-x*(k+1)/(x*(k+1)-1/W(k+)));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月26日
发件人安蒂·卡图恩2015年12月19日:(开始)
a(0)=a(1)=1;之后,对于偶数n:a(n)=(n/2)*(n-1)!,对于奇数n:a(n)=(n-1)/2*((n-1(n-2)!)。[该公式是在阶乘基础上查看这些数字后根据经验得出的,A007623号,并且通过考虑上述Lang(2010年4月30日)和Detlefs(2010年5月21日)的公式很容易证明。]
对于n>=1,a(2*n+1)=a(2*n)+A153880号(a(2*n))。[从上往下看。](结束)
a(n)的逆Stirling变换是(-1)^(n-1)*A009566号(n) ●●●●-安东·扎哈罗夫2016年8月7日
a(n)~sqrt(Pi/2)*n^(n+1/2)/exp(n)-伊利亚·古特科夫斯基2016年8月7日
a(n)=A006595号(n-1)*n/A000124号(n) 对于n>=2-安东·扎哈罗夫2016年8月23日
a(n)=A001563号(n-1)-A001286号(n-1)对于n>=2-安东·扎哈罗夫2016年9月23日
发件人彼得·巴拉2017年5月24日:(开始)
o.g.f.A(x)满足Riccati方程x^2*A'(x)+(x-1)*A(x。
通用公式:A(x)=1+x+x^2/(1-3*x/(1-x/(1-4*x/。
A(x)=1+x+x^2/(1-2*x-x/(1-3*x/(1-4*x/。(结束)
H(x)=(1-(1+x)^(-2))/2=x-3*x^2/2!+12*x^3/3!-。。。,例如,对于这里的有符号序列(n!/2!),忽略前两项,是g(x)=(1-2*x)^(-1/2)-1=x+3*x^2/2!+的合成逆15*x^3/3!+。。。,例如,用于A001147号.参见。A094638号H(x)是序列(-1)^m*m!的示例f/m=2,3,4时为2。囊性纤维变性。A001715号代表n/三!A001720号代表n/4!. 参考的列A094587号A173333号、和A213936型和行A138533号. -汤姆·科普兰,2019年12月27日
发件人阿米拉姆·埃尔达尔,2023年1月8日:(开始)
和{n>=0}1/a(n)=2*(e-1)。
和{n>=0}(-1)^n/a(n)=2/e。(结束)
例子
G.f.=1+x+x^2+3*x^3+12*x^4+60*x^5+360*x^6+2520*x^7+。。。
MAPLE公司
seq(mul(k,k=3..n),n=0..20)#零入侵拉霍斯2007年9月14日
数学
a[n_]:=如果[n>2,n!/2,1];数组[a,21,0]
a[n_]:=如果[n<3,1,n*a[n-1]];数组[a,21,0];(*罗伯特·威尔逊v2011年4月16日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,n!级数系数[(2-x^2)/(2-2x),{x,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2014年5月22日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,n!序列系数[1+Sinh[-Log[1-x]],{x,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2014年5月22日*)
分子[范围[0,20]/2] (*埃里克·韦斯特因2017年5月21日*)
表[GroupOrder[AlternatingGroup[n]],{n,0,20}](*埃里克·韦斯特因2017年5月21日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[1]类别[顺序(交替组(n)):[1..20]]中的n//阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2014年5月17日
(PARI){a(n)=如果(n<2,n>=0,n!/2)};
(PARI)a(n)=polceoff(1+x*和(m=0,n,m^m*x^m/(1+m*x+x*O(x^n))^m),n)\\保罗·D·汉纳
(PARI)A001710号=n->n\2+(n<2)\\M.F.哈斯勒2013年12月1日
(Scheme,使用可在中找到实现的内存化宏定义http://oeis.org/wiki/Memoization网站 )
(定义(A001710号n) (条件((<=n2)1)(其他(*n(A001710号(-n 1)))
;;安蒂·卡图恩2015年12月19日
(Python)
从数学导入阶乘
定义A001710号(n) :如果n>1,则返回阶乘(n)>>1#柴华武2023年2月14日
交叉参考
a(n+1)=A046089号(n,1),n>=1(三角形的第一列),A161739号(q(n)序列)。
平分法是A002674号A085990美元(基本上)。
第3行,共行A265609型(基本上)。
的行总和A307429型.
关键词
非n容易的美好的
作者
扩展
Larry Reeves(larryr(AT)acm.org)提供的更多术语,2001年8月20日
进一步条款来自西蒙·塞韦里尼2004年10月15日
状态
经核准的
A132393号 第一类无符号斯特林数三角形(参见A048994号),按行读取,T(n,k)表示0<=k<=n。 +10
109
1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 0, 6, 11, 6, 1, 0, 24, 50, 35, 10, 1, 0, 120, 274, 225, 85, 15, 1, 0, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1, 0, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1, 0, 40320, 109584, 118124, 67284, 22449, 4536, 546, 36, 1, 0, 362880, 1026576, 1172700 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,8
评论
另一个名称:第一类无意义斯特林数三角形。
三角形T(n,k),0<=k<=n,由[0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,…]DELTA[1,0,1,0,1,1,0,1,…]给出的行读取,其中DELTA是在A084938号.
A094645号*A007318号作为无穷下三角矩阵。
行和是阶乘数-罗杰·巴古拉2008年4月18日
指数Riordan数组[1/(1-x),log(1/(1-x))]-拉尔夫·斯蒂芬2014年2月7日
阶乘数的Bell变换(A000142号). 有关Bell变换的定义,请参见A264428型和用于交叉引用A265606型. -彼得·卢什尼2015年12月31日
这是相关或Jabotinsky类型的下三边形Sheffer矩阵|S1|=(1,-log(1-x))(请参阅下面的W.Lang链接A006232号表示法和参考)。这意味着下面给出的示例f.s|S1|是从单项基{x^n}到上升阶乘基{risefac(x,n)}的转移矩阵,n>=0-沃尔夫迪特·朗2017年2月21日
对于n>=k>=1,T(n,k)也是由从集合{1,2,…,n-1}中选择的成对不同长度的n-k个正交向量构建的n-k维单元(多面体)的总体积。参见T(n,k)的基本对称函数公式和下面的示例-沃尔夫迪特·朗2017年5月28日
发件人沃尔夫迪特·朗2017年7月20日:(开始)
y=y(t;x)=x*(1-t(-log(1-x)/x))=x+t*log(1-x)的组成逆w.r.t.x是x=x(t;y)=ED(y,t):=Sum_{d>=0}d(d,t)*y^(d+1)/(d+1)!,当前三角形对角序列的o.g.f.s D(D,t)的e.g.f=Sum{m>=0}t(D+m,m)*t^m。参见P.Bala链接以获得证明(其中d=n-1,n>=1是对角线的标签)。
这个反演得到D(D,t)=P(D,t)/(1-t)^(2*D+1),分子多项式P(D、t)=Sum_{m=0..D}A288874型(d,m)*t^m。参见下面的示例。另请参见中的P.Bala公式A112007号.(结束)
对于n>0,T(n,k)是从1到n的整数的排列数,当从特定的一端查看时,这些整数有k个可见数字,从这个意义上讲,较高的值会在随后的位置隐藏较低的值-伊恩·达夫,2019年7月12日
参考文献
Miklos Bona,编辑,《枚举组合数学手册》,CRC出版社,2015年,第31、187、441、996页。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik,《具体数学》。Addison-Wesley,马萨诸塞州雷丁,第二名。编辑,表259,第259页。
Steve Roman,《数学微积分》,多佛出版社,纽约(1984年),第149-150页
链接
莱因哈德·祖姆凯勒(Reinhard Zumkeller),三角形n=0..125行,展平
罗兰·巴赫和P.De La Harpe,一些无限生成群的共轭增长级数,hal-01285685v22016年。
Eli Bagno和David Garber,B型Stirling数q,r-类似物的组合,arXiv:2401.08365[math.CO],2024。参见第5页。
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor,一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构,arXiv:1307.2010[math.CO],2013年。
让-吕克·巴里尔和谢尔盖·柯吉佐夫,置换的纯下降统计量,预印本,2016年。
Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov,特殊类型下降和例外的Foata变换,arXiv:2101.01928[math.CO],2021。
Ricky X.F.Chen,关于第一类斯特林数生成函数的注记《整数序列杂志》,18(2015),#15.3.8。
FindStat-组合统计查找器,置换的显著数置换的循环分解中的循环数.
W.S.Gray和M.Thitsa,系统互连与组合整数序列,in:系统理论(SSST),2013年第45届东南研讨会,会议日期:2013年3月11日至11日,数字对象标识符:10.1109/SSST.2013.6524939。
约翰·霍尔特,载波、组合数学和神奇矩阵《美国数学月刊》,第104卷,第2期(1997年2月),第138-149页。
T.Khovanova和J.B.Lewis,摩天大楼数量,J.国际顺序。16 (2013) #13.7.2
谢尔盖·基塔耶夫(Sergey Kitaev)和菲利普·张(Philip B.Zhang),短长网格图案的分布,arXiv:11811.07679[math.CO],2018年。
Wolfdieter Lang,算术级数的幂和与广义Stirling、Euler和Bernoulli数,arXiv:1707.04451[math.NT],2017年。
马仕美,与上下文无关文法相关的一些组合序列,arXiv:1208.3104v2[math.CO],2012.-发件人N.J.A.斯隆2012年8月21日
伊曼纽尔·穆纳里尼,Riordan、Sheffer和连接常数矩阵的移位性质《整数序列杂志》,第20卷(2017年),第17.8.2条。
伊曼纽尔·穆纳里尼,涉及Sheffer矩阵中心系数的组合恒等式《应用分析与离散数学》(2019)第13卷,495-517。
X.-T.Su、D.-Y.Yang和W.-W.Zhang,关于广义阶乘的一个注记《澳大利亚组合数学杂志》,第56卷(2013年),第133-137页。
配方奶粉
T(n,k)=T(n-1,k-1)+(n-1)*T(n-1,k),n,k>=1;T(n,0)=T(0,k);T(0,0)=1。
和{k=0..n}T(n,k)*x^(n-k)=A000012号(n) ,A000142号(n) ,A001147号(n) ,A007559号(n) ,A007696号(n) ,A008548美元(n) ,A008542号(n) ,A045754号(n) ,A045755号(n) 对于x=0,1,2,3,4,5,6,7,8-菲利普·德尔汉姆2007年11月13日
展开1/(1-t)^x=Sum_{n>=0}p(x,n)*t^n/n!;然后p(x,n)的系数产生三角形-罗杰·巴古拉2008年4月18日
和{k=0..n}T(n,k)*2^k*x^(n-k)=A000142号(n+1),A000165美元(n) ,A008544号(n) ,A001813号(n) ,A047055美元(n) ,A047657号(n) ,A084947号(n) ,A084948号(n) ,A084949号(n) 对于x=1、2、3、4、5、6、7、8、9-菲利普·德尔汉姆2008年9月18日
a(n)=和{k=0..n}T(n,k)*3^k*x^(n-k)=A001710号(n+2)中,A001147号(n+1),A032031号(n) ,A008545号(n) ,A047056号(n) ,A011781号(n) ,A144739号(n) ,A144756号(n) ,A144758号(n) x=1,2,3,4,5,6,7,8,9-菲利普·德尔汉姆2008年9月20日
和{k=0..n}T(n,k)*4^k*x^(n-k)=A001715号(n+3),A002866号(n+1),A007559号(n+1),A047053号(n) ,A008546号(n) ,A049308号(n) ,A144827号(n) ,A144828号(n) ,A144829号(n) 对于x分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9-菲利普·德尔汉姆2008年9月21日
求和{k=0..n}x^k*T(n,k)=x*(1+x)*(2+x)*(n-1+x),n>=1-菲利普·德尔汉姆2008年10月17日
发件人沃尔夫迪特·朗2017年2月21日:(开始)
例如,第k列:(-log(1-x))^k,k>=0。
例如,三角形(见2008年4月18日Baluga的评论):exp(-x*log(1-z))。
例如,a序列:x/(1-exp(-x))。请参见A164555号/A027642号.z序列的e.g.f.为0。(结束)
发件人沃尔夫迪特·朗2017年5月28日:(开始)
行多项式R(n,x)=Sum_{k=0..n}T(n,k)*x^k,对于n>=0,是R(n,x)=risefac(x,n-1):=Product_{j=0..n-1}x+j,其中n=0的空乘积为1。见上文2017年2月21日的评论。这意味着:
T(n,k)=sigma^{(n-1)}_(n-k),对于n>=k>=1,在n-1符号1,2,…,n-1中使用阶数为m的基本对称函数sigma_{(n-1))_m,使用二项式(n-1,m)项。见下面的示例。(结束)
列序列k的Boas-Buck型递归:T(n,k)=(n!*k/(n-k))*Sum_{p=k.n.n-1}β(n-1-p)*T(p,k)/p!,对于n>k>=0,输入T(k,k)=1,β(k)=A002208号(k+1)/A002209号(k+1)。请参阅中的注释和参考A286718型. -沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
T(n,k)=和{j=k.n}j^(j-k)*二项式(j-1,k-1)*A354795型(n,j)对于n>0-梅利卡·特布尼2023年3月2日
例子
三角形T(n,k)开始于:
1;
0, 1;
0, 1, 1;
0, 2, 3, 1;
0, 6, 11, 6, 1;
0, 24, 50, 35, 10, 1;
0, 120, 274, 225, 85, 15, 1;
0、720、1764、1624、735、175、21、1;
0, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1;
---------------------------------------------------
生产矩阵为
0, 1
0, 1, 1
0, 1, 2, 1
0, 1, 3, 3, 1
0, 1, 4, 6, 4, 1
0, 1, 5, 10, 10, 5, 1
0, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
0, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
...
发件人沃尔夫迪特·朗2017年5月9日:(开始)
三期复发:50=T(5,2)=1*6+(5-1)*11=50。
Sheffer a序列的递归[1,1/2,1/6,0,…]:50=T(5,2)=(5/2)*(二项式(1,1)*1*6+二项式。消失的z序列从T(0,0)=1生成k=0列。(结束)
初等对称函数T(4,2)=sigma^{(3)}_2=1*2+1*3+2*3=11。这里的单元格(多面体)是3个矩形,总面积为11-沃尔夫迪特·朗2017年5月28日
对角线的O.g.f.s:d=2(第三对角线)[0,6,50,…]有d(2,t)=P(2,t)/(1-t)^5,其中P(2、t)=2+t,n=2行A288874型. -沃尔夫迪特·朗2017年7月20日
列k=2和n=5的Boas-Buck递推:T(5,2)=(5!*2/3)*((3/8)*T(2,2)/2!+(5/12)*T(3,2)/3!+(1/2)*T(4,2)/4!)=(5!*2/3)*((3/16 + (5/12)*3/3! + (1/2)*11/4!) = 50.测试序列开始:{1/2,5/12,3/8,…}-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
MAPLE公司
a132393_row:=进程(n)局部k;seq(系数(展开(pochhammer(x,n)),x,k),k=0..n)结束:#彼得·卢什尼2010年11月28日
数学
p[t_]=1/(1-t)^x;表[ExpandAll[(n!)SeriesCoefficient[Series[p[t],{t,0,30}],n]],{n,0,10}];a=表[(n!)*系数列表[系列系数[系列[p[t],{t,0,30}],n],x],{n,0,10}];压扁[a](*罗杰·巴古拉2008年4月18日*)
压扁[表[Abs[StirlingS1[n,i]],{n,0,10},{i,0,n}]](*哈维·P·戴尔2014年2月4日*)
黄体脂酮素
(最大值)create_list(abs(stirling1(n,k)),n,0,12,k,0,n)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/
(哈斯克尔)
a132393 n k=a132393_tabl!!不!!k个
a132393_row n=a132393-tabl!!n个
a132393_tabl=地图(地图abs)a048994_tabl
--莱因哈德·祖姆凯勒2013年11月6日
交叉参考
关键词
非n容易的
作者
菲利普·德尔汉姆,2007年11月10日,2008年10月15日,2007年10月17日
状态
经核准的
A094638号 按行读取的三角形:T(n,k)=|s(n,n+1-k)|,其中s(n、k)是第一类有符号的斯特林数A008276号(1<=k<=n;换句话说,第一类无符号斯特林数的顺序相反)。 +10
61
1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 6, 11, 6, 1, 10, 35, 50, 24, 1, 15, 85, 225, 274, 120, 1, 21, 175, 735, 1624, 1764, 720, 1, 28, 322, 1960, 6769, 13132, 13068, 5040, 1, 36, 546, 4536, 22449, 67284, 118124, 109584, 40320, 1, 45, 870, 9450, 63273, 269325, 723680, 1172700, 1026576, 362880 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,5
评论
多项式(x+1)(x+2)的系数三角形。。。(x+n),按x的递减幂展开-T.D.诺伊2008年2月22日
第n行还给出了1…n的置换数,复杂性为0.1,。。。,n-1。请参阅中的评论A008275美元. -N.J.A.斯隆2019年2月8日
T(n,k)是高度为n且具有k列的装饰多柱体的数量。装饰多面体是一种定向柱-凸多面体,其中沿对角线测量的高度仅在最后一列中获得。例如:T(2,1)=1和T(2,2)=1,因为高度为2的装饰性多面体是垂直和水平多米诺骨牌,分别有1根和2根柱子-Emeric Deutsch公司2006年8月14日
和{k=1..n}k*T(n,k)=A121586号. -Emeric Deutsch公司2006年8月14日
设三角形U(n,k),0<=k<=n,按行读取,由[1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,…]DELTA[1,1,2,3,3,4,5,6,…]给出,其中DELTA是在A084938号; 则T(n,k)=U(n-1,k-1)-菲利普·德尔汉姆2007年1月6日
发件人汤姆·科普兰2007年12月15日:(开始)
考虑c(t)=列向量(1,t,t^2,t^3,t^4,t^5,…)。
从1开始,对右侧的每个整数进行采样,我们得到(1,2,3,4,5,…)。T*c(1)=(1,1*2,1*2*3,1*3*4,…),给出n!对于n>0。将此序列称为右阶乘(n+)!。
从1开始,对左边的每个整数进行采样,我们得到(1,0,-1,-2,-3,-4,-5,…)。而T*c(-1)=(1,1*0,1*0*-1,1*0*-1*-2,…)=(1,0,0,…),左阶乘(n-)!。
每隔一个整数向右取样,我们得到(1,3,5,7,9,…)。T*c(2)=(1,1*3,1*3*5,…)=(1,3,15105945,…),给出A001147号对于n>0,右双阶乘,(n+)!!。
每隔一个整数向左取样,我们得到(1,-1,-3,-5,-7,…)。T*c(-2)=(1,1*-1,1*-1*-3,1*-1-3*-5,…)=(1,-1,3,-15105,-945,…)A001147号,左双阶乘,(n-)!!。
向右每3步取样,我们得到(1,4,7,10,…)。T*c(3)=(1,1*4,1*4*7,…)=(1,4,28280,…),给出A007559号对于n>0,右边的三重阶乘,(n+)!!!。
向左每3步取样,我们得到(1,-2,-5,-8,-11,…),给出T*c(-3)=(1,1*-2,1*-2*-5,1*-2-5*-8A008544号,左三重阶乘,(n-)!!!。
列表分区转换A133314号对于[1,T*c(T)],给出[1,T*c(-T)],所有奇数项取反;例如,LPT[1,T*c(2)]=(1,-1,-1,-3,-15,-105,-945,…)=(1-A001147号). 例如,对于[1,T*c(T)]=(1-xt)^(-1/T)。
上述结果适用于任何实数或复数。(结束)
设R_n(x)为乘积的实部,I_n(x)为乘积的虚部{k=0..n}(x+I*k)。然后,对于n=1,2,。。。,我们有R_n(x)=Sum_{k=0..floor(n+1)/2)}(-1)^k*Stirling1(n+1,n+1-2*k)*x^(n+1-2*k),I_n-米兰Janjic2008年5月11日
T(n,k)也是具有“反射长度”k的n的置换数(即,通过k从12..n获得的置换数不一定是相邻的置换数)。例如,当n=3时,132、213、321是通过一次转置获得的,而231和312需要两次转置-凯尔·彼得森2008年10月15日
发件人汤姆·科普兰2010年11月2日:(开始)
[x^(y+1)D]^n=x^。
例如,[x^(y+1)D]^4=x^。
(xD)^m可以根据第二类斯特林数和形式为x^j D^j的算符进一步展开。(End)
偏移量为0时,0<=k<=n:T[n,k)是{1,2,…,n}的每个大小k子集的乘积之和。例如,T(3,2)=11,因为有三个大小为2的子集:{1,2},{1,3},}2,3}.1*2+1*3+2*3=11-杰弗里·克里策2011年2月4日
Kn11、Fi1和Fi2三角形和用两个序列将这个三角形连接起来,参见交叉参考。有关这些三角形和的定义,请参见A180662号。这个三角形的镜像是A130534型. -约翰内斯·梅耶尔2011年4月20日
T(n+1,k+1)是初等对称函数a_k(1,2,…,n),n>=0,k>=0(a_0(0):=1)。请参阅T.D.诺伊杰弗里·克里策上述意见。有关证明,请参阅斯坦利参考,第19页,第二证明-沃尔夫迪特·朗2011年10月24日
设g(t)=1/d(log(P(j+1,-t))/dt(见汤姆·科普兰的2007年公式)。t*Dirac[g(t)]的梅林变换(t到s)给出了求和{n=1..j}n^(-s),当j趋于无穷大时,给出了Re(s)>1的黎曼zeta函数。Dirac(x)是Diracδ函数。沿着以z=1为中心的半径为1的圆的复轮廓积分给出了相同的结果-汤姆·科普兰2011年12月2日
行是Pochhammer符号的多项式展开式的系数,或上升阶乘,Pch(n,x)=(x+n-1)/(x-1)!。多项式中Pch(n,xD)=Pch(n,Bell(.,:xD:))的展开式,其项为:xD:^k=x^k*D^k,给出了Lah数A008297号Bell(n,x)是第二类无符号Bell多项式或Stirling多项式A008277号. -汤姆·科普兰2014年3月1日
发件人汤姆·科普兰2016年12月9日:(开始)
纯辫子群上同调的Betti数或维数。见海德和拉加里亚斯链接第12和13页。
行多项式及其乘积出现在R.Stanley的Jack对称函数的表示中。请参阅Witt差分发电机上的Copeland链接。
(结束)
发件人汤姆·科普兰2019年12月16日:(开始)
科普兰在公式部分给出的e.g.f.出现在Thm中叶芝量子场论的组合Dyson-Schwinger方程中。第62页的第2页与根树的Hopf代数有关。另见第70页的格林函数。
根据以上注释,此数组包含上升阶乘Pch(n,xD)=(xD+n-1)的Euler多项式展开式或状态数运算符xD中的系数/(xD-1)!=x[:Dx:^n/n!]x^{-1}=L_n^{-1{(-:xD:),其中:Dx:^n=D^n x^n和:xD:^n=x^n D^n。多项式L_n^}是-1阶拉盖尔多项式,即正规化Lah多项式。
Witt微分算子L_n=x^(n+1)D和行例如f.s出现在Foissy提出的Hopf和对偶Hopf代数关系中。对于对偶Hopf代数,Witt算子满足L_nL_k-L_kL_n=(k-n)L_(n+k)。(结束)
参考文献
M.Miyata和J.W.Son,《关于置换的复杂性和双射的度量空间》,Tensor,60(1998),第1期,109-116(MR1768839)。
R.P.Stanley,《枚举组合数学》,第1卷,剑桥大学出版社,1997年。
链接
E.Barccci、A.Del Lungo和R.Pinzani,“装饰”多义词、排列和随机生成《理论计算机科学》,159,1996,29-42。
F.Bergeron,Ph.Flajolet和B.Salvy,增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷,J.-C.Raoult编辑,施普林格1992年,第24-48页。添加日期:2014年3月1日
F.Bergeron、Philippe Flajolet和Bruno Salvy,增加树木的种类2014年3月1日增补
T.科普兰,数学森林补遗
FindStat-组合统计查找器,置换的绝对长度
L.Foissy,组合Dyson-Schwinger方程平面树Hopf代数的Faa-di-Bruno子代数,arXiv:0707.1204[math.RA],(2007)。
O.Furdui、T.Trif、,关于某些迭代级数的求和,J.国际顺序。14 (2011) #11.6.1
F.Hivert、J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon,二叉搜索树代数《理论计算机科学》,339(2005),129-165。
T.Hyde和J.Lagarias纯辫子群的多项式分裂测度和上同调,arXiv预印本arXiv:1604.05359[math.RT],2016。
数学溢出,Virasoro代数的理据这是Tom Copeland对2012年提出的MO问题的回答。
R.Mestrovic,卢卡斯定理:推广、推广和应用(1878--2014),arXiv预印本arXiv:1409.3820[math.NT],2014。
罗伯特·莫里茨,关于n个连续整数乘积的和,华盛顿大学数学出版物。,1(1926年第3期),44-49[带注释的扫描件]
M.D.Schmidt,广义j因子函数、多项式及应用,J.国际顺序。13 (2010), 10.6.7.
M.Z.Spivey,关于一般组合递归的解,J.国际顺序。14 (2011) # 11.9.7.
K.叶芝,量子场论的组合观《SpringerBriefs in Mathematical Physics》,2017年第15卷。
配方奶粉
P(n,t)=Sum_{k=0..n-1}t(n,k+1)*t^k=1*(1+t)*(1+2t)。。。(1+(n-1)*t)和P(0,t)=1,exp[P(.,t)*x]=(1-tx)^(-1/t)。在T=x=0时评估的T(n,k+1)=(1/k!)(D_T)^k(D_x)^n[(1-tx)^(-1/T)-1]。(1-tx)^(-1/t)-1是当t=m-1时平面多叉树的例子。参见Bergeron等人在“增加树木的种类”中的文章-汤姆·科普兰2007年12月9日
上面的第一条注释和公式被重新表述为行n:Product_{i=0…n}(1+i*x)的o.g.f-杰弗里·克里策2011年2月4日
带交替符号的第n行多项式是(n-1)x(n-1”矩阵的特征多项式,其中1在超对角线中,(1,2,3,…)在主对角线,其余为零。例如,[1,1,0;0,2,1;0,0,3]的特征多项式是x^3-6*x^2+11*x-6-加里·亚当森2011年6月28日
例如:A(x,y)=x*y/(1-x*y)^(1+1/y)=Sum_{n>=1,k=1..n}T(n,k)*x^n*y^k/(n-1)-保罗·D·汉纳2011年7月21日
如果F(x,t)=(1-t*x)^(-1/t)-1,例如,对于A094638号当P(0,t)=0时,G(x,t)=[1-(1+x)^(-t)]/t是补偿。在x中求逆。因此,H(x,t)=1/(dG(x,t)/dx)=(1+x)^(t+1),
P(n,t)=[(H(x,t)*d/dx)^n]x在x=0时计算;即。,
F(x,t)=exp[x*P(.,t)]=exp[x*H(u,t)*d/du]u,在u=0时计算。
此外,dF(x,t)/dx=H(F(x、t),t)-汤姆·科普兰2011年9月20日
T(n,k)=|A008276号(n,k)|-R.J.马塔尔2016年5月19日
该条目的行多项式是A143491号乘以(1+x)。例如,(1+x)(1+5x+6x^2)=(1+6x+11x^2+6x^3)-汤姆·科普兰2016年12月11日
关于科普兰2007年公式中的行,例如f.sA001710号A001715号、和A001720号在这里分别给出t=2、3和4时e.g.f的成分倒数-汤姆·科普兰2019年12月28日
例子
三角形开始:
1;
1, 1;
1, 3, 2;
1, 6, 11, 6;
1, 10, 35, 50, 24;
...
MAPLE公司
T: =(n,k)->abs(斯特林1(n,n+1-k)):对于从1到10的n,do seq(T(n,k),k=1..n)od;#生成三角形形式的序列#Emeric Deutsch公司2006年8月14日
数学
表[系数列表[系列[产品[1+i x,{i,n}],{x,0,20}],x],{n,0,6}](*杰弗里·克里策2011年2月4日*)
表[斯特林S1时的绝对值[n,n-k+1],{n,10},{k,n}]//扁平(*迈克尔·德弗利格2015年8月29日*)
黄体脂酮素
(PARI){T(n,k)=如果(n<1||k>n,0,(n-1)!*polceoff(polceof(x*y/(1-x*y+x*O(x^n))^(1+1/y),n,x),k,y))}/*保罗·D·汉纳2011年7月21日*/
(最大值)create_list(abs(stirling1(n+1,n-k+1)),n,0,10,k,0,n);/*伊曼纽尔·穆纳里尼2012年6月1日*/
(哈斯克尔)
a094638 n k=a094638_tabl!!(n-1)!!(k-1)
a094638_row n=a094638 _ tabl!!(n-1)
a094638_tabl=地图背面a130534_tabl
(岩浆)[(-1)^(k+1)*StirlingFirst(n,n-k+1):k in[1..n],n in[1..10]]//G.C.格鲁贝尔2019年12月29日
(Sage)[[stirling_number1(n,n-k+1)for k in(1..n)]for n in(1..10)]#G.C.格鲁贝尔2019年12月29日
(GAP)平面(列表([1..10],n->List([1..n],k->Stirling1(n,n-k+1)))#G.C.格鲁贝尔2019年12月29日
交叉参考
A008276号给出了第一类(有符号的)斯特林数。
囊性纤维变性。A000108号A014137号A001246号A033536号A000984号A094639号A006134号A082894号A002897号A079727号A000217号(第2列),A000914号(第3列),A001303号(第4列),A000915号(第5列),A053567号(第6列),A000142号(行总和)。
三角总和(见注释):A124380号(Kn11)中,A001710号(图1、图2)-约翰内斯·梅耶尔2011年4月20日
囊性纤维变性。A121586号A130534型A143491号.
关键词
容易的非n
作者
安德烈·拉博西埃2004年5月17日
扩展
编辑人Emeric Deutsch公司2006年8月14日
状态
经核准的
A130534型 三角形T(n,k),0<=k<=n,按行读取,给出多项式(x+1)(x+2)的系数。。。(x+n),以x的递增幂展开,T(n,k)也是无符号斯特林数|s(n+1,k+1)|,表示正好包含k+1圈的n+1元素上的置换数。 +10
60
1, 1, 1, 2, 3, 1, 6, 11, 6, 1, 24, 50, 35, 10, 1, 120, 274, 225, 85, 15, 1, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1, 40320, 109584, 118124, 67284, 22449, 4536, 546, 36, 1, 362880, 1026576, 1172700, 723680, 269325, 63273, 9450, 870, 45, 1 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
这个三角形是第一类斯特林数三角形的无符号版本,A008275美元,这是这些数字的主要条目-N.J.A.斯隆2011年1月25日
或者,三角形T(n,k),0<=k<=n,由[1,1,2,2,3,3,4,5,5,6,6,…]DELTA[1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,…]给出的行读取,其中DELTA是在A084938号.
反转A094638号.
等于A132393号*A007318号,作为无限低三角矩阵-菲利普·德尔汉姆2007年11月13日
发件人约翰内斯·梅耶尔,2009年10月7日:(开始)
高阶指数积分E(x,m,n)定义于A163931号.指数积分E(x,m=1,n)~(exp(-x)/x)*(1-n/x+n*(n+1)/x^2-n*(n+1)*(n+2)/x ^3+…)的渐近展开式,见阿布拉莫维茨和斯特根。这个公式是根据渐近展开的一般公式得出的,参见A163932号.我们重写了E(x,m=1,n)~(exp(-x)/x)*(1-n/x+(n^2+n)/x^2-(2*n+3*n^2+n^3)/x^3+(6*n+11*n^2+6*n^3+n^4)/x ^3-…)并观察到T(n,m)是分母中的多项式系数。看看的a(n,m)公式A028421号A163932号A163934号,将上面给出的偏移量移动到1,我们可以写出T(n-1,m-1)=a(n,m)=(-1)^(n+m)*Stirling1(n,m),参见Maple程序。
渐近展开使n的值从1到11变为已知序列,见交叉参考。用这些序列可以形成三角形A008279号(右栏)和A094587号(左栏)。
请参见A163936号有关此三角形右列的o.g.f.s.的信息。
(结束)
置换中i左边大于i的元素的数量给出了反演向量的第i个元素。(Skiena-Pemmaraju 2003,p.69。)T(n,k)是在其反转向量中正好具有k 0的n个置换数。参见下面Mathematica代码中的证据-杰弗里·克里策2010年5月7日
T(n,k)统计具有n+2个节点的“自然生长”有根树森林中具有k+1个树干的有根树。这对应于表示向量、李导数或流场和形式群律的无穷小生成器的迭代导数的系数之和。参考中的链接139605英镑. -汤姆·科普兰2014年3月23日
一种改进是A036039号. -汤姆·科普兰2014年3月30日
发件人汤姆·科普兰2014年4月5日:(开始)
初始n=1,T的行多项式为p(n,x)=x(x+1)。。。(x+n-1),x的幂对应于上述“自然生长”森林中有根树的树干数。对于允许m种颜色的每个树干,p(n,m)给出了森林中此类非车道颜色树的数量,每棵树有n+1个顶点。
p(2,m)=m+m^2=A002378号(m) =2*A000217号(m) =2*(|A238363型|).
p(3,m)=2m+3m^2+m^3=A007531号(m+2)=3*A007290号(m+2)=3*(第二个子标签A238363型).
p(4,m)=6m+11m^2+6m^3+m^4=A052762号(m+3)=4*A033487号(m) =4*(第三个细分标记)。
从Joni等人的链接来看,p(n,m)还表示n个可分辨标志在m个可分辨旗杆上的分布。
完整图K_n的色多项式是下降阶乘,它对K_n中n个顶点的着色进行编码,并给出p(n,m)的移位形式。
行多项式的E.g.f.:(1-y)^(-x)。
(结束)
不定项c(1)到c(n)中n X n Vandermonde矩阵V(n)的行列式|V(n
|V(n)|=产品{1<=j<k<=n}(c(j)-c(k))。设W(n,x)=|V(n)|*(c(1)c(2)。。。c(n))^x,则p(n,x)=W^(-1)[c(1)d/dc(1。参见Chervov链接,第47页-汤姆·科普兰2014年4月10日
发件人彼得·巴拉2014年7月21日:(开始)
让M表示下单位三角形数组A094587号对于k=0,1,2,。。。将M(k)定义为下单位三角形块数组
/确定0(_k)\
\0百万/
将k X k单位矩阵I_k作为左上块;特别地,M(0)=M。那么现在的三角形等于无限矩阵乘积M(0,M(1)*M(2)*。。。(定义明确)。请参阅示例部分。(结束)
关于这个上升阶乘与维诺的拉盖尔故事时刻的关系,请参阅Hetyei链接,第4页-汤姆·科普兰,2015年10月1日
也可以看作是n的贝尔变换!没有列0(和移位枚举)。有关Bell变换的定义,请参见A264428型. -彼得·卢什尼2016年1月27日
参考文献
Sriram Pemmaraju和Steven Skiena,《计算离散数学》,剑桥大学出版社,2003年,第69-71页。[杰弗里·克里策,2010年5月7日]
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。第55辑,第十次印刷,1972年,第5章,第227-251页。[发件人约翰内斯·梅耶尔2009年10月7日]
A.谢尔沃夫,Capelli恒等式的解复杂性和全纯因子分解,arxiv 1203.5759[math.QA],2012年3月。[汤姆·科普兰2014年4月10日]
FindStat-组合统计查找器,置换的显著数置换的循环分解中的循环数.
马丁·格里菲斯,第一类扩展Stirling数的生成函数《整数序列杂志》,17(2014),#14.6.4。
G.Hetyei,第二类梅克斯纳多项式和表示su(1,1)的量子代数,arXiv预打印arXiv:0909.4352[math.QA],2009。
S.Joni、G.Rota和B.Sagan,从集合到函数:三个基本示例《离散数学》,第37卷,第2-3期,第193-202页,1981年。[汤姆·科普兰2014年4月5日]
Matthieu Josuat Verges,Stirling数上Schläfli和Gould恒等式的q模拟,预印本,arXiv:1610.02965[math.CO],2016年。
马林·克内日·埃维奇、韦德兰·科拉迪纳克和卢西娅·雷利奇,二项式系数和无符号斯特林数的矩阵乘积,arXiv:2012.15307[math.CO],2020年。
卢卡斯·萨加和安东尼奥·加西亚·加西亚,Wishart-Sachdev-Ye-Kitaev模型:Q-Laguerre谱密度和量子混沌,arXiv:2104.07647[hep-th],2021。
伊戈尔·维克托维奇·斯塔森科,关于广义特殊数三角形的序数《创新科学》第2-2期,国家Ufa出版社,埃特纳出版社,2024年,第15-19页。俄语。
配方奶粉
T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k>n或如果n<0,T(n,k)=T(n-1,k-1)+n*T(n-1,k)。T(n,0)=n=A000142号(n) ●●●●。T(2*n,n)=A129505号(n+1)。求和{k=0..n}T(n,k)=(n+1)=A000142号(n+1)。总和_{k=0..n}T(n,k)^2=A047796号(n+1)。T(n,k)=|箍筋1(n+1,k+1)|,参见A008275美元.(x+1)(x+2)。。。(x+n)=和{k=0..n}T(n,k)*x^k阿里·博斯2008年7月11日]
和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A000007号(n) ,A000142号(n) ,A000142号(n+1),A001710号(n+2)中,A001715号(n+3),A001720号(n+4),A001725号(n+5),A001730号(n+6),A049388号(n) ,A049389号(n) ,A049398号(n) ,A051431号(n) 对于x=-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10-菲利普·德尔汉姆2007年11月13日
对于k=1..n,设A={A_1,A_2,…,A_k}表示{1,2,…,n}的size-k子集。然后T(n,n-k)=总和(Product_{i=1..k}a_i),其中总和覆盖所有子集a。例如,T(4,1)=50,因为1*2*3+1*2x4+1*3*4+2*3*4=50-丹尼斯·沃尔什2011年1月25日
前面的公式表示T(n,k)=sigma_{n-k}(1,2,3,…,n),其中第(n-k)个初等对称函数sigma的不定项选择为1,2,。。。,n.参见2011年10月24日的评论A094638号sigma在那里被称为a-沃尔夫迪特·朗2013年2月6日
发件人加里·亚当森2011年7月8日:(开始)
三角形的第n行=M^n的顶行,其中M是生产矩阵:
1, 1;
1、2、1;
1, 3, 3, 1;
1, 4, 6, 4, 1;
…(结束)
指数Riordan数组[1/(1-x),log(1/(1-x))]。递归:T(n+1,k+1)=Sum_{i=0..n-k}(n+1)/(n+1-i)*T(n-i,k)-彼得·巴拉2014年7月21日
例子
三角形T(n,k)开始于:
n \ k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n=0:1
n=1:1 1
n=2:2 3 1
n=3:6 11 6 1
n=4:24 50 35 10 1
n=5:120 274 225 85 15 1
n=6:720 1764 1624 735 175 21 1
n=7:5040 13068 13132 6769 1960 322 28 1
n=8:40320 109584 118124 67284 22449 4536 546 36 1
n=9:362880 1026576 1172700 723680 269325 63273 9450 870 45 1个
n=10:3628800 10628640 12753576 8409500 3416930 902055 157773 18150 1320 55 1
[由重新格式化和扩展沃尔夫迪特·朗2013年2月5日]
T(3,2)=6,因为有6个{1,2,3,4}的置换在它们的反转向量中正好有2个0:{1,2,4,3},{1,3,2,4},},2,1,3。各自的反演向量是{0,0,1},{0,1,0},}-杰弗里·克里策2010年5月7日
T(3,1)=11,因为{1,2,3,4}正好有11个置换,有2个循环,即(1)(234),(1),(243),(2)(134),(3)(124)-丹尼斯·沃尔什2011年1月25日
发件人彼得·巴拉2014年7月21日:(开始)
使用注释部分中定义的数组M(k),无穷乘积M(0*)M(1)*M(2)*。。。开始
/ 1 \/1 \/1 \ / 1 \
| 1 1 ||0 1 ||0 1 | | 1 1 |
| 2 2 1 ||0 1 1 ||0 0 1 |... = | 2 3 1 |
| 6 6 3 1 ||0 2 2 1 ||0 0 1 1 | | 6 11 6 1 |
|24 24 12 4 1||0 6 6 3 1||0 0 2 2 1| |24 50 35 10 1|
|... ||... ||... | |... |
(结束)
MAPLE公司
使用(组合):A130534型:=进程(n,m):(-1)^(n+m)*stirling1(n+1,m+1)结束进程:seq(seq(A130534型(n,m),m=0..n),n=0..10)#约翰内斯·梅耶尔,2009年10月7日,2012年9月11日修订
#BellMatrix函数定义于A264428型.
#将(1,0,0,…)添加为列0(并移动枚举)。
BellMatrix(n->n!,9)#彼得·卢什尼2016年1月27日
数学
表[Table[Length[Select[Map[ToInversionVector,置换[m]],计数[#,0]=n&]],{n,0,m-1}],{m,0,8}]//网格(*杰弗里·克里策2010年5月7日*)
行=10;
t=范围[0,行]!;
T[n_,k_]:=腹部[n,k,T];
表[T[n,k],{n,1,rows},{k,1,n}]//展平(*Jean-François Alcover公司,2018年6月22日,之后彼得·卢什尼*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a130534 n k=a130534_tabl!!不!!k个
a130534_row n=a130534-tabl!!n个
a130534_tabl=地图(地图abs)a008275_tabl
--莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月18日
交叉参考
请参见A008275美元,这是这些数字的主要条目;A094638号(倒排)。
发件人约翰内斯·梅耶尔,2009年10月7日:(开始)
行总和相等A000142号.
渐近展开导致A000142号(n=1),A000142号(n=2;减去a(0)),A001710号(n=3),A001715号(n=4),A001720号(n=5),A001725号(n=6),A001730号(n=7),A049388号(n=8),A049389号(n=9),A049398号(n=10),A051431号(n=11),A008279号A094587号.
囊性纤维变性。A163931号(E(x,m,n)),A028421号(m=2),A163932号(m=3),A163934号(m=4),A163936号.
(结束)
囊性纤维变性。A136662号.
关键词
非n改变
作者
状态
经核准的
A001720号 a(n)=n/24
(原名M3960 N1634)
+10
45
1, 5, 30, 210, 1680, 15120, 151200, 1663200, 19958400, 259459200, 3632428800, 54486432000, 871782912000, 14820309504000, 266765571072000, 5068545850368000, 101370917007360000, 2128789257154560000, 46833363657400320000, 1077167364120207360000 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
4,2
评论
高阶指数积分E(x,m=1,n=5)~exp(-x)/x*(1-5/x+30/x^2-210/x^3+1680/x^4-15120/x^5+151200/x^6-1663200/x^7+…)的渐近展开导致了这个序列。请参见A163931号A130534型了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
参考文献
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
文森佐·利班迪,n=4..300时的n,a(n)表
S.塞尔达,求Brocard-Ramanujan丢番图方程n!+解的简单方案1=平方米,arXiv:1504.06694[math.NT],2015年。
INRIA算法项目,组合结构百科全书264.
Wolfdieter Lang,关于Stirling数三角形的推广,J.整数序列。,第3卷(2000年),第00.2.4条。
D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic,斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。第77号(1962年),1-77。
Alexsandar Petojevic,函数vM_m(s;a;z)和一些已知序列《整数序列杂志》,第5卷(2002年),第02.1.7条。
配方奶粉
a(n)=A049353号(n-3,1)(三角形的第一列)。
例如,如果偏移量为0:1/(1-x)^5。
a(n)=A173333号(n,4)-莱因哈德·祖姆凯勒2010年2月19日
a(n)=A245334型(n,n-4)/5-莱因哈德·祖姆凯勒2014年8月31日
G(x)=(1-(1+x)^(-4))/4=x-5 x^2/2!+30 x ^3/3!-。。。,例如,对于这个有符号序列(对于n!/4!),是H(x)=(1-4*x)^(-1/4)-1=x+5x^2/2!+的合成逆45 x ^3/3!+。。。,例如,用于A007696号.参见。A094638号A001710号(对于n!/2!),以及A001715号(代表n!/3!)。参考的列A094587号A173333号、和A213936型和行A138533号. -汤姆·科普兰2019年12月27日
例如:x^4/(4!*(1-x))-伊利亚·古特科夫斯基2021年7月9日
发件人阿米拉姆·埃尔达尔,2023年1月15日:(开始)
和{n>=4}1/a(n)=24*e-64。
和{n>=4}(-1)^n/a(n)=24/e-8。(结束)
数学
射程[4,30]/24 (*哈维·P·戴尔2021年7月27日*)
黄体脂酮素
(Magma)[因子(n)/24:n在[4.25]]中]//文森佐·利班迪2011年7月20日
(PARI)a(n)=n/24 \\查尔斯·格里特豪斯四世2012年1月12日
(哈斯克尔)
a001720=(翻转div 24)。a000142号--莱因哈德·祖姆凯勒2014年8月31日
交叉参考
囊性纤维变性。A000142号A049353号A049459号A051338号A245334型.
囊性纤维变性。A001710号A001715号A007696号A094638号.
关键词
非n容易的
作者
状态
经核准的
A173333号 按行读取三角形:T(n,k)=n!/k!,1<=k<=n。 +10
30
1, 2, 1, 6, 3, 1, 24, 12, 4, 1, 120, 60, 20, 5, 1, 720, 360, 120, 30, 6, 1, 5040, 2520, 840, 210, 42, 7, 1, 40320, 20160, 6720, 1680, 336, 56, 8, 1, 362880, 181440, 60480, 15120, 3024, 504, 72, 9, 1, 3628800, 1814400, 604800, 151200, 30240, 5040, 720, 90, 10, 1 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
行和给出A002627号;
中心术语给出A006963号:T(2*n-1,n)=A006963号(n+1);
T(2*n,n)=A001813号(n) ;T(2*n,n+1)=A001761号(n) ;
1<k<=n:T(n,k)=T(n、k-1)/k;
1<=k<=n:T(n+1,k)=19741年1月(n,n-k+1);
1<=k<=n:T(n+1,k+1)=A162995号(n,k);
T(n,1)=A000142号(n) ;
T(n,2)=A001710号(n) 对于n>1;
T(n,3)=A001715号(n) 当n>2时;
T(n,4)=A001720号(n) 当n>3时;
T(n,5)=A001725号(n) 当n>4时;
T(n,6)=A001730号(n) 对于n>5;
T(n,7)=A049388号(n-7)对于n>6;
T(n,8)=A049389号(n-8)对于n>7;
T(n,9)=A049398号(n-9)对于n>8;
T(n,10)=A051431号(n) 当n>9时;
T(n,n-7)=A159083号n>7时(n+1);
T(n,n-6)=A053625美元n>6时(n+1);
T(n,n-5)=A052787号(n) 对于n>5;
T(n,n-4)=A052762号(n) 当n>4时;
T(n,n-3)=A007531号(n) 当n>3时;
T(n,n-2)=A002378号(n-1)对于n>2;
T(n,n-1)=A000027号(n) 对于n>1;
T(n,n)=A000012号(n) ●●●●。
发件人沃尔夫迪特·朗2012年6月27日:(开始)
T(n-1,k),k=1,。。。,n-1,给出了具有n个珠子(C_n对称)、n+1-k不同颜色的代表性项链的数量,例如C[1]、C[2]、…、,。。。,c[n-k+1],对应于由n的分区k,1^(n-k)确定的颜色特征。代表性项链有k个颜色为c[1]的珠子。例如,n=4,k=2:分区2,1,1,颜色签名(部分作为指数)c[1]c[1]c[2]c[3],3=T(3,2)项链(为颜色c[j]写j):循环(1123)、循环(1132)和循环(1213)。请参见A212359型用于一般分区或彩色签名的数字。(结束)
T(n,k)=A094587号(n,k),1≤k≤n-莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月5日
链接
莱因哈德·祖姆凯勒(Reinhard Zumkeller),行n=三角形的1..150,展平
配方奶粉
例如:(exp(x*y)-1)/(x*(1-y))-奥利维尔·杰拉德2011年7月7日
例子
三角形开始:
n\k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
1 1
2 2 1
3 6 3 1
4 24 12 4 1
5 120 60 20 5 1
6 720 360 120 30 6 1
7 5040 2520 840 210 42 7 1
8 40320 20160 6720 1680 336 56 8 1
9 362880 181440 60480 15120 3024 504 72 9 1
10 3628800 1814400 604800 151200 30240 5040 720 90 10 1
... -沃尔夫迪特·朗2012年6月27日
数学
表[n!/k!,{n,1,10},{k,1,n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2019年3月1日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a173333 n k=a173333_tabl!!(n-1)!!(k-1)
a173333_row n=a173333-tabl!!(n-1)
a173333_tabl=映射fst$迭代f([1],2)
其中f(行,i)=(映射(*i)行++[1],i+1)
交叉参考
囊性纤维变性。A138533号A002627号.
关键词
非n
作者
状态
经核准的
A049388号 a(n)=(n+7)/7!. +10
25
1、8、72、720、7920、95040、1235520、17297280、259459200、4151347200、70572902400、1270312243200、24135932620800、482718652416000、10137091700736000、223016017416192000、51293684007572416000、123104841613737984000、3077621040343449600000、80018147048929689600000 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,2
评论
高阶指数积分E(x,m=1,n=8)~exp(-x)/x*(1-8/x+72/x^2-720/x^3+7920/x^4-95040/x^5+235520/x^6-17297280/x^7+…)的渐近展开导致了上述序列。请参见A163931号A130534型了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
链接
文森佐·利班迪,n=0..300时的n,a(n)表
配方奶粉
a(n)=A051379号(n,0)*(-1)^n(三角形的第一个无符号列)。
a(n)=(n+7)/7!.
例如:1/(1-x)^8。
a(n)=A173333号(n+7,7)-莱因哈德·祖姆凯勒2010年2月19日
a(n)=A245334型(n+7,n)/8-莱因哈德·祖姆凯勒2014年8月31日
发件人阿米拉姆·埃尔达尔,2023年1月15日:(开始)
和{n>=0}1/a(n)=5040*e-13699。
和{n>=0}(-1)^n/a(n)=1855-5040/e。(结束)
数学
((范围[0,20]+7)!)/7! (*哈维·P·戴尔2012年7月31日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[阶乘(n+7)/5040:n in[0..25]]//文森佐·利班迪2011年7月20日
(哈斯克尔)
a049388=(翻转div 5040)。a000142。(+ 7)
--莱因哈德·祖姆凯勒2014年8月31日
(PARI)向量(20,n,n-;(n+7)/7!) \\G.C.格鲁贝尔,2018年8月15日
交叉参考
囊性纤维变性。A130534型A163931号A173333号A245334型.
关键词
容易的非n
作者
状态
经核准的
A245334型 行读取的类阶乘三角形:T(0,0)=1;T(n+1,0)=T(n,0)+1;T(n+1,k+1)=T(n,0)*T(n、k),k=0..n。 +10
25
1, 2, 1, 3, 4, 2, 4, 9, 12, 6, 5, 16, 36, 48, 24, 6, 25, 80, 180, 240, 120, 7, 36, 150, 480, 1080, 1440, 720, 8, 49, 252, 1050, 3360, 7560, 10080, 5040, 9, 64, 392, 2016, 8400, 26880, 60480, 80640, 40320, 10, 81, 576, 3528, 18144, 75600, 241920, 544320 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,2
评论
行(0)={1};行(n+1)=行(n)乘以n并加上(n+1;
A111063号(n+1)=第n行之和;
T(2*n,n)=A002690号(n) ,中心术语;
T(n,0)=n+1;
T(n,1)=A000290型(n) ,n>0;
T(n,2)=A011379号(n-1),n>1;
T(n,3)=A047927号(n) n>2;
T(n,4)=A192849号(n-1),n>3;
T(n,5)=A000142号(5) *A027810型(n-5),n>4;
T(n,6)=A000142号(6) *A027818号(n-6),n>5;
T(n,7)=A000142号(7) *A056001号(n-7),n>6;
T(n,8)=A000142号(8) *A056003号(n-8),n>7;
T(n,9)=A000142号(9) *A056114号(n-9),n>8;
T(n,n-10)=11*A051431号(n-10),n>9;
T(n,n-9)=10*A049398号(n-9),n>8;
T(n,n-8)=9*A049389号(n-8),n>7;
T(n,n-7)=8*A049388号(n-7),n>6;
T(n,n-6)=7*A001730号(n) n>5;
T(n,n-5)=6*A001725号(n) n>5;
T(n,n-4)=5*A001720号(n) n>4;
T(n,n-3)=4*A001715号(n) n>2;
T(n,n-2)=A070960型(n) n>1;
T(n,n-1)=A052849号(n) ,n>0;
T(n,n)=A000142号(n) ;
T(n,k)=A137948号(n,k)*A007318号(n,k),0≤k≤n。
链接
莱因哈德·祖姆凯勒(Reinhard Zumkeller),三角形n=0..125行,展平
配方奶粉
T(n,k)=n*(n+1-k)/(n-k)-沃纳·舒尔特2017年9月9日
例子
. 0: 1;
. 1: 2, 1;
.2:3、4、2;
. 3: 4, 9, 12, 6;
. 4: 5, 16, 36, 48, 24;
. 5: 6, 25, 80, 180, 240, 120;
. 6: 7, 36, 150, 480, 1080, 1440, 720;
. 7: 8, 49, 252, 1050, 3360, 7560, 10080, 5040;
. 8: 9, 64, 392, 2016, 8400, 26880, 60480, 80640, 40320;
. 9: 10, 81, 576, 3528, 18144, 75600, 241920, 544320, 725760, 362880.
数学
表[(n!)/((n-k)!)*(n+1-k),{n,0,9},{k,0,n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2017年9月10日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a245334 n k=a245334_tabl!!不!!k个
a245334_row n=a245334 _ tabl!!n个
a245334_tabl=迭代(\row@(h:_)->(h+1):映射(*h)行)[1]
交叉参考
囊性纤维变性。A111063号(行总和),A240993型(行产品),A002690号(中心术语)。
囊性纤维变性。A007318号A137948号.
关键词
非n
作者
状态
经核准的
A001909号 a(n)=n*a(n-1)+(n-4)*a(n-2),a(2)=0,a(3)=1。
(原名M3576 N1450)
+10
24
0、1、4、21、134、1001、8544、81901、870274、10146321、128718044、1764651461、25992300894、409295679481、6860638482424、121951698034461、2291179503374234、45361686034627361、94389529274746534964、20592893110265899381、470033715095287415734 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
2,3
评论
偏移量为1时,永久值为(0,1)-矩阵的大小为n X(n+d),d=4,n个零不在一条线上。这是Seok-Zun Song等人定理2.3的特例。(0,1)-矩阵的永久数极值,第201-202页-Jaap间谍2003年12月12日
a(n+3)=:b(n),n>=1,列举了在一组(无序)项链上分配n个不同标签的珠子的方法,不包括只有一个珠子的项链,以及四个不可区分的、有序的固定绳索,每个绳索允许有任意数量的珠子。无珠项链和无珠绳索在计数中各占一个因子,例如b(0):=1*1=1。请参见A000255号用于描述带珠子的固定绳索。
这就产生了b(n)子因子序列的指数(又称二项式)卷积{A000166号(n) }和序列{A001715号(n+3)}。请参阅中的项链和绳索问题注释A000153号因此,b(-1)=0和b(0)=1的递归b(n)=(n+3)*b(n-1)+(n-1”*b(n-2)也成立。这一评论来源于Malin Sjodahl发现的一系列关于某些夸克和胶子图的组合问题的重复出现(2010年2月27日)-沃尔夫迪特·朗2010年6月2日
参考文献
Brualdi,Richard A.和Ryser,Herbert J.,组合矩阵理论,纽约剑桥大学(1991),第7章。
J.Riordan,《组合分析导论》,威利出版社,1958年,第188页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
罗兰·巴赫,有限群中广义子集的计数包装,电气。《组合数学杂志》,19(2012),#P7.-发件人N.J.A.斯隆2013年2月6日
Seok-Zun Song等人。,(0,1)-矩阵的永久数极值,《组合矩阵理论会议专刊》(Pohang,2002)。线性代数应用。373(2003),第197-210页。
配方奶粉
a(n)=A086764号(n+1,4),n>=2。
例如:exp(-x)/(1-x)^5=Sum_{k>=0}a(k+3)*x^k/k-迈克尔·索莫斯2003年2月19日
通用名称:x*超几何([1,5],[],x/(x+1))/(x+1)-马克·范·霍伊2011年11月7日
a(n)=上层([5,-n+3],[],1))*(-1)^(n+1),对于n>=3-彼得·卢什尼2014年9月20日
例子
项链和四根绳子问题。对于n=4,我们考虑以下4的弱2组分成分:(4,0)、(3,1)、(2,2)和(0,4),其中(1,3)不出现,因为没有带1珠的项链。这些成分分别贡献sf(4)*1、二项式(4,3)*sf=A000166号(n) (见项链注释)和c4(n):=A001715号(n+3)=(n+3)/三!纯4芯线问题的编号(参见中关于k芯线问题示例f.的备注A000153号; 这里对于k=4:1/(1-x)^4)。这加起来是9+4*2*4+(6*1)*20+840=1001=b(4)=A001909号(7). -沃尔夫迪特·朗2010年6月2日
x ^3+4*x ^4+21*x ^5+134*x ^6+1001*x ^7+8544*x ^8+81901*x ^9+870274*x ^10+。。。
MAPLE公司
a:=n->`如果`(n<4,n-2,hypergeom([5,-n+3],[],1))*(-1)^(n+1);
seq(圆形(evalf(a(n),100)),n=2.22)#彼得·卢什尼2014年9月20日
数学
t={0,1};做[AppendTo[t,n*t[[-1]]+(n-4)*t[[2]]],{n,4,20}];t吨(*T.D.诺伊2012年8月17日*)
nxt[{n,a,b}]:={n+1,b,b(n+1)+a(n-3)};嵌套列表[nxt,{3,0,1},20][[全部,2]](*哈维·P·戴尔2018年7月17日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<2,0,-contfracpnqn(矩阵(2,n,i,j,j-4*(i==1)))[1,1])}/*迈克尔·索莫斯2003年2月19日*/
交叉参考
囊性纤维变性。A000255号A000153号A000261号A001910号A090010型A055790号A090012型-A090016型A086764号.A000261号(项链和三根绳子)。
关键词
非n
作者
状态
经核准的
256890元 三角形T(n,k)=T(n-k,k);t(n,m)=f(m)*t(n-1,m)+f(n)*t。 +10
24
1, 2, 2, 4, 12, 4, 8, 52, 52, 8, 16, 196, 416, 196, 16, 32, 684, 2644, 2644, 684, 32, 64, 2276, 14680, 26440, 14680, 2276, 64, 128, 7340, 74652, 220280, 220280, 74652, 7340, 128, 256, 23172, 357328, 1623964, 2643360, 1623964, 357328, 23172, 256, 512, 72076, 1637860, 10978444, 27227908, 27227908, 10978444, 1637860, 72076, 512 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,2
评论
通过改变函数f(x)可以找到相关的三角形。如果f(x)是一个线性函数,可以将其参数化为f(x)=a*x+b。使用不同的a和b值,可以得到以下三角形:
a\b 1…….2…….3…….4…….5…….6
下表显示了这些数字的行和以及类似构造的数字三角形:
a\b 1……..2……..3……..4……..5……..6……..7……..8…….9
公式可进一步推广为:t(n,m)=f(m+s)*t(n-1,m)+f(n-s)*t(n,m-1),其中f(x)=a*x+b。下表指定了s的非零值三角形(斜线后给出)。
a\b 0 1 2 3
-1
0
对于绝对值f(x)=|x|,我们得到A038221号/3,A038234号/4,,A038247号/5,A038260号/6,A038273美元/7,A038286号/8,A038299号/9(斜线后s的值。
如果f(x)=A000045号(x) (Fibonacci)和s=1,结果为A010048号(斐波函数)。
在Carlitz和Scoville的符号中,这是广义欧拉数A(r,s|alpha,beta)的三角形,alpha=beta=2。还有Hwang等人的符号中的数组A(2,1,4)(见第31页)-彼得·巴拉2019年12月27日
链接
迈克尔·德弗利格,n=0..11475时的n、a(n)表(行0<=n<=150,扁平。)
L.Carlitz和R.Scoville,广义欧拉数:组合应用J.für die reine und angewandte Mathematik,265(1974):110-37。见第3节。
戴尔·格德曼,A256890,t(m,n)mod k图,YouTube,2015年。
黄显奎、陈华辉和杜冠辉,欧拉递推的渐近分布理论及其应用,arXiv:1807.01412[math.CO],2018-2019年。
配方奶粉
T(n,k)=T(n-k,k);如果n<0或m<0,则t(0,0)=1,t(n,m)=0,否则t(n、m)=f(m)*t(n-1,m)+f(n)*t(n,m-1),其中f(x)=x+2。
和{k=0..n}T(n,k)=A001715号(n) ●●●●。
T(n,k)=Sum_{j=0..k}(-1)^(k-j)*二项式(j+3,j)*二项式(n+4,k-j)*(j+2)^n-彼得·巴拉2019年12月27日
Pascal的修正规则:如果k<0或k>n,则T(0,0)=1,T(n,k)=0,否则T(n、k)=f(n-k)*T(n-1,k-1)+f(k)*T(n-1、k),其中f(x)=x+2-乔治·菲舍尔2021年11月11日
发件人G.C.格鲁贝尔,2022年10月18日:(开始)
T(n,n-k)=T(n、k)。
T(n,0)=A000079号(n) ●●●●。(结束)
例子
数组t(n,k)的开头是:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...;
2, 12, 52, 196, 684, 2276, 7340, ...;
4, 52, 416, 2644, 14680, 74652, 357328, ...;
8, 196, 2644, 26440, 220280, 1623964, 10978444, ...;
16, 684, 14680, 220280, 2643360, 27227908, 251195000, ...;
32、2276、74652、1623964、27227908、381190712、4677894984等。。。;
64, 7340, 357328, 10978444, 251195000, 4677894984, 74846319744, ...;
三角形T(n,k)的开头为:
1;
2, 2;
4, 12, 4;
8, 52, 52, 8;
16, 196, 416, 196, 16;
32, 684, 2644, 2644, 684, 32;
64, 2276, 14680, 26440, 14680, 2276, 64;
128, 7340, 74652, 220280, 220280, 74652, 7340, 128;
256, 23172, 357328, 1623964, 2643360, 1623964, 357328, 23172, 256;
数学
表[和[(-1)^(k-j)*二项式[j+3,j]二项式[n+4,k-j](j+2)^n,{j,0,k}],{n,0,9},{k,0,n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2019年12月27日*)
黄体脂酮素
(PARI)t(n,m)=如果((n<0)| |(m<0),0,如果((n==0)&&(m===0),1,(m+2)*t(n-1,m)+(n+2)*t(n,m-1));
tabl(nn)={表示(n=0,nn,表示(k=0,n,打印1(t(n-k,k),“,”););}\\米歇尔·马库斯2015年4月14日
(岩浆)
A256890型:=func<n,k|(&+[(-1)^(k-j)*二项式(j+3,j)*二项式(n+4,k-j)x(j+2)^n:j in[0..k]])>;
[A256890型(n,k):[0..n]中的k,[0..10]]中的n//G.C.格鲁贝尔2022年10月18日
(SageMath)
定义256890元(n,k):返回和((-1)^(k-j)*二项式(j+3,j)*二项式(n+4,k-j)x(j+2)^n,范围(k+1)中j的值)
压扁([[A256890型(n,k)用于范围(n+1)中的k]用于范围(11)中的n])#G.C.格鲁贝尔2022年10月18日
交叉参考
关键词
非n容易的
作者
戴尔·格德曼2015年4月12日
状态
经核准的
第页12 3 4 5

搜索在0.049秒内完成

查找|欢迎光临|维基|注册|音乐|地块2|演示|索引|浏览|更多|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人员OEIS基金会。

许可协议、使用条款、隐私政策。.

上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月29日11:45。包含371278个序列。(在oeis4上运行。)