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搜索: a001399-编号:a001399
显示找到的190个结果中的1-10个。 第页12 4 5 6 7 8 9 10...19
    排序:关联|参考文献||被改进的|创建     格式:长的|短的|数据
A128012号 a(n)=3*A001399年(n) ●●●●。 +20
0
3, 3, 6, 9, 12, 15, 21, 24, 30, 36, 42, 48, 57, 63, 72, 81, 90, 99, 111, 120, 132, 144, 156, 168, 183, 195, 210, 225, 240, 255, 273, 288, 306, 324, 342, 360, 381, 399, 420, 441, 462, 483, 507, 528, 552, 576, 600, 624, 651, 675, 702, 729, 756, 783, 813, 840, 870 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,1
链接
交叉参考
囊性纤维变性。A001399年.
关键词
非n,容易的,较少的
作者
托马斯·维德2007年2月11日
扩展
更多术语来自罗伯特·威尔逊v2007年2月11日
偏移校正人阿洛伊斯·海因茨2020年9月2日
状态
经核准的
A164679号 卷积A001399年序列映射到2,3,5,7,11,13,17。。。A000040型然后,通过在需要时弯曲,将结果汇总到三角形数组中。 +20
0
1, 2, 1, 5, 4, 2, 10, 9, 7, 3, 19, 18, 16, 11, 4, 33, 32, 30, 25, 16, 5, 57 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
显然,这些项可以通过固定对角线g_0(x)=1/(1-x)/(1-x^2)/(1-x^3)的生成函数来构造,A001399年,并通过gi(x)=g{i-1}(x)/(1-x^i),i>=1导出第i次对角的生成函数-R.J.马塔尔2016年5月17日
链接
例子
1;
2, 1;
5, 4, 2;
10, 9, 7, 3;
19, 18, 16, 11, 4;
33, 32, 30, 25, 16, 5;
57
交叉参考
囊性纤维变性。A000098号(第一列),A164678号(类似的三角形)。对角线是A001399年,A000601号,A097701号,A117485号, ...
关键词
容易的,非n,表格,未经编辑的
作者
状态
经核准的
A000217号 三角数:a(n)=二项式(n+1,2)=n*(n+1)/2=0+1+2+…+n.(名词)。
(原名M2535 N1002)
+10
4543
0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
也称为T(n)或C(n+1,2)或二项式(n+1,2)(首选)。
广义六角形数:n*(2*n-1),n=0,+-1,+-2,+-3。。。广义k-角数是第二个k-角数和k-角数字的正项交错,k>=5。在这种情况下,k=6-奥马尔·波尔2011年9月13日和2012年8月4日
n+1,K_{n+1}阶完整图的边数。
在n个字母的字符串中插入一对括号的合法方法的数量。例如,三个字母有六种写法:(a)bc,(ab)c,(abc),a(b)c,a(bc),ab(c)。证明:有C(n+2.2)方法可以选择括号的位置,但其中n+1是非法的,因为括号是相邻的。囊性纤维变性。A002415号.
对于n>=1,a(n)也是n+2次非奇异曲线的亏格,如费马曲线x^(n+2)+y^(n+2)=1.-艾哈迈德·法尔斯(ahmedfares(AT)my_deja.com),2001年2月21日
根据哈纳克定理(1876),n阶非奇异曲线的分支数有界于a(n)-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
双n多米诺骨牌中的瓷砖数量-斯科特·布朗2002年9月24日
n个不相同链接的链可以分解的方式数。这是基于蛋白质组学领域的一个类似问题:质谱仪中n个氨基酸残基的肽可以被分解的方式的数量。一般来说,每个氨基酸的质量不同,所以AB和BC的质量不同-詹姆斯·雷蒙德2003年4月8日
三角数-奇数=移位三角数;1、3、6、10、15、21…-1, 3, 5, 7, 9, 11, ... = 0, 0, 1, 3, 6, 10, ... - Xavier Acloque,2003年10月31日[由更正德里克·奥尔2015年5月5日]
居中多边形数是[边数]的结果*A000217号+ 1]. 例如,中心五边形数(1,6,16,31,…)=5*(0,1,3,6,…)+1。居中七元数(1,8,22,43,…)=7*(0,1,3,6,…)+1.-Xavier Acloque,2003年10月31日
n+1平面相交形成的最大线数-罗恩·金2004年3月29日
避开图案132并且正好具有1个下降的[n]的排列的数目-迈克·扎布罗基,2004年8月26日
不允许长度为n-1的三元字的数量带有子字(0,1)、(0,2)和(1,2)-奥利维尔·杰拉德2012年8月28日
可以从集合{0,1,2,…,n}中选择两个不同的数字而不重复,或者,可以在集合{1,2,……,n{中选择二个不同数字并重复的方法。
据推测,只有1、6、120是三角形和阶乘的数字Christopher M.Tomaszewski(cmt1288(AT)comcast.net),2005年3月30日
二项式变换是{0,1,5,18,56,160,432,…},A001793号前面有一个零-菲利普·德尔汉姆2005年8月2日
每对相邻的项组成一个完美的正方形-扎克·塞多夫2006年3月21日
n+1个字母对称组中的转置数,即除两个元素外,其余元素都保持不变的排列数-杰弗里·克雷策2006年6月23日
对于rho(n):=exp(i*2*Pi/n)(1的n次方根),对于n>=1,rho(n)^a(n)=(-1)^(n+1)。只需使用琐碎性a(2*k+1)==0(mod(2*k+1))和a(2*k)==k(mod))。
a(n)是(a1+a2+a3)^(n-1)展开式中的项数-塞尔吉奥·法尔孔2007年2月12日
a(n+1)是2个变量中n次完全齐次对称多项式的项数-理查德·巴恩斯2017年9月6日
与n+1人在一个房间里明显握手的次数-穆罕默德·阿扎里安2007年4月12日[已更正,乔格·阿恩特2016年1月18日]
等于半群PT_n\S_n的秩(生成集的最小基数),其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特,2007年5月3日
a(n)给出了从三角形上的一个顶点到该顶点对面绘制cevian时发现的三角形总数,其中n=绘制的cevian数+1。例如,绘制1个cevian,n=1+1=2和a(n)=2*(2+1)/2=3,则图形中总共有3个三角形。如果从一个点到另一侧绘制2个cevians,则n=1+2=3和a(n)=3*(3+1)/2=6,则图中总共有6个三角形。-Noah Priluck(npriluck(AT)gmail.com),2007年4月30日
对于n>=1,a(n)是当项的顺序不同的表示被认为不同时,n-1可以写成三个非负整数之和的方式数。换句话说,对于n>=1,a(n)是方程x+y+z=n-1的非负积分解的个数-阿玛纳斯·穆尔西2001年4月22日(编辑:罗伯特·A·比勒)
a(n)是三维各向同性谐振子的能量为n+3/2的能级数(单位为h*f0,普朗克常数为h,振子频率为f0)。请参阅上文A.Murthy的评论:n=n1+n2+n3带有正整数并排序。o.g.f.的证明见A.Messiah参考-沃尔夫迪特·朗2007年6月29日
发件人希罗尼穆斯·费舍尔,2007年8月6日:(开始)
数字m>=0,使得圆形(sqrt(2m+1))-圆形(sqrt(2m))=1。
数字m>=0,使得天花板(2*sqrt(2m+1))-1=1+地板(2*sqrt(2m))。
数字m>=0,使得fract(sqrt(2m+1))>1/2,fract(m2))<1/2,其中fract(x)是x的小数部分(即x-floor(x),x>=0)。(结束)
如果Y和Z是一个n集X的3个块,那么对于n>=6,a(n-1)是与Y和Z相交的X的(n-2)子集的数目-米兰Janjic2007年11月9日
等于三角形的行和A143320型,n>0-加里·亚当森2008年8月7日
a(n)也是一个完全数A000396号如果n是梅森素数A000668号,假设没有奇数完全数-奥马尔·波尔2008年9月5日
等于三角形的行和A152204号. -加里·亚当森2008年11月29日
循环赛中的比赛数量:n*(n-1)/2给出了n名球员所需的比赛数量。每个人都会和其他人比赛一次乔治·雷德(Georg Wrede),2008年12月18日
-a(n+1)=E(2)*二项式(n+2,2)(n>=0),其中E(n)是枚举中的欧拉数A122045型这样看,a(n)是三角形中对角线序列中k=2的特例A153641号. -彼得·卢什尼2009年1月6日
等效于连续四面体数的第一个差。请参见A000292号.-Jeremy Cahill(jcahill(AT)inbox.com),2009年4月15日
交替幂和的一般公式是以瑞士-刀多项式P(n,x)表示的A153641号2^(-n-1)(P(n,1)-(-1)^k P(n、2k+1))。因此a(k)=|2^(-3)(P(2,1)-(-1)^k P(2,2k+1))|-彼得·卢什尼2009年7月12日
a(n)是最小的数>a(n-1),使得gcd(n,a(n。如果n是奇数,则gcd是n;如果n是偶数,则为n/2-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年8月6日
的部分总和A001477号. -尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2010年1月25日。[A编号由更正奥马尔·波尔,2012年6月5日]
弗洛伊德三角形右边的数字是1、3、6、10、15-保罗·穆尔贾迪2010年1月25日
发件人查理·马里恩,2010年12月3日:(开始)
更一般地说,a(2k+1)==j*(2j-1)(mod 2k+2j+1)和
a(2k)==[-k+2j*(j-1)](模2k+2j)。
列总和:
1 3 5 7 9 ...
1 3 5 ...
1 ...
...............
---------------
1 3 6 10 15 ...
和{n>=1}1/a(n)^2=4*Pi^2/3-12=12小于半径为Pi^(1/3)的球体的体积。
(结束)
A004201号(a(n))=A000290型(n) ;A004202号(a(n))=A002378号(n) -莱因哈德·祖姆凯勒2011年2月12日
1/a(n+1),n>=0,有f.-2*(1+x-exp(x))/x^2和o.g.f.2*(x+(1-x)*log(1-x斯蒂芬·克劳利公式行)-1/(2*a(n+1))是贝努利多项式系数的谢弗三角形的z序列A196838号/A196839号. -沃尔夫迪特·朗2011年10月26日
发件人查理·马里恩2012年2月23日:(开始)
a(n)+a(A002315号(k) *个+A001108号(k+1))=(A001653号(k+1)*n+A001109号(k+1))^2。对于k=0,我们得到a(n)+a(n+1)=(n+1)^2(单位加N.J.A.斯隆2004年2月19日)。
a(n)+a(A002315号(k) *个-A055997号(k+1))=(A001653号(k+1)*n-A001109号(k) )^2。
(结束)
绘制三个点(0,0)、(a(n)、a(n+1))、(a+1)、a+2)以形成三角形。面积为a(n+1)/2-J.M.贝戈2012年5月4日
以a(n)=n*(n+1)/2开头的四个连续三角形数之和减去2等于2*(n+2)^2。a(n)*a(n+2)/2=a(a(n+1)-1)-J.M.贝戈,2012年5月17日
(a(n)*a(n+3)-a(n+1)*a(n+2))*(a(n+1)*a(n+4)-a(n+2)*a(n+3))/8=a((n^2+5*n+4)/2)-J.M.贝戈2012年5月18日
a(n)*a(n+1)+a(n+2)*a(n+3)+3=a(n^2+4*n+6)-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说,a(n)*a(n+1)+a(n+k)*a-查理·马里恩2012年9月11日
a(n)*a(n+3)+a(n+1)*a-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说,a(n)*a(n+k)+a(n+1)*a-查理·马里恩2012年9月11日
a(n)*a(n+2)+a(n+1)*a-J.M.贝戈2012年5月22日
三个点(a(n)、a(n+1))、(a(n/1)、a-J.M.贝戈2012年5月23日
a(n)+a(n+k)=(n+k)^2-(k^2+(2n-1)*k-2n)/2。对于k=1,我们得到a(n)+a(n+1)=(n+1)^2(见下文)-查理·马里恩2012年10月2日
在n空间中,我们可以定义一个(n-1)非平凡的正交投影。例如,在3空间中有一个(2)=3(即点对线、点对平面、线对平面)-道格拉斯·拉蒂默2012年12月17日
发件人詹姆斯·伊斯特2013年1月8日:(开始)
对于n>=1,a(n)等于半群P_n\S_n的秩(生成集的最小基数)和幂等秩(幂等生成集的极小基数),其中P_n和S_n表示[n]上的分区幺半群和对称群。
对于n>=3,a(n-1)等于半群T_n\S_n的秩和幂等秩,其中T_n和S_n表示[n]上的完全变换半群和对称群。
(结束)
对于n>=3,a(n)等于半群PT_n\S_n的秩和幂等秩,其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特,2013年1月15日
猜想:对于n>0,在A000217号(n) 和A000217号(n+1)。顺序A065383号拥有这些素数中的前1000个-伊万·伊纳基耶夫2013年3月11日
公式a(n)*a(n+4k+2)/2+a(k)=a(a(n+2k+1)-(k^2+(k+1)^2))是Bergot 2012年5月17日评论中公式a(n*a(n+2)/2=a(a+1)-1的推广-查理·马里恩2013年3月28日
级数和{k>=1}1/a(k)=2,由下式给出乔恩·佩里2003年7月13日,部分总和为2*n/(n+1)(伸缩总和)=A022998号(n)/A026741号(n+1)-沃尔夫迪特·朗2013年4月9日
对于奇数m=2k+1,我们有递归a(m*n+k)=m^2*a(n)+a(k)。推论:如果数字T在序列中,那么它就是9*T+1-Lekraj Beedassy公司2013年5月29日
欧拉在歌剧《Postuma》第87节中指出,只要T是三角形数,那么9*T+1、25*T+3、49*T+6和81*T+10也是三角形数。一般来说,如果T是一个三角形数,那么(2*k+1)^2*T+k*(k+1)/2也是一个三角形数-彼得·巴拉,2015年1月5日
使用1/b和1/(b+2)将得到一个边为2*b+2、b^2+2*b和b^2+2*b+2的毕达哥拉斯三角形。设置b=n-1,得到一个边长为2*n、n^2-1和n^2+1的三角形。四分之一周长=a(n),对于n>1-J.M.贝戈2013年7月24日
a(n)=A028896号(n) /6,其中A028896号(n) =s(n)-s(n-1)是s(n,n)=n^3+3*n^2+2*n-8的第一个差。s(n)可以解释为12个边长加上6个面面积加上n个X(n-1)X(n-2)矩形棱镜的体积之和-J.M.贝戈2013年8月13日
正交群O的维数(n+1)-埃里克·施密特2013年9月8日
A_n型根系中的正根数(对于n>0)-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于k=1到n,k的第r次连续求和的公式是二项式(n+r,r+1)[H.W.Gould]-加里·德特利夫斯2014年1月2日
此外A095831号.同时A055461号,对于n>=1-奥马尔·波尔2014年1月26日
对于n>=3,a(n-2)是1,2,…,的置换数,。。。,n的上(1)-下(0)个元素的分布为0…011(n-3个零),或者相同,a(n-2)是上下系数{n,3}(参见A060351型). -弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月14日
a(n)是对称n×n矩阵向量空间的维数-德里克·奥尔2014年3月29日
的非交错次对角线A132440号^2/2,除了初始零点。无符号的第一个子对角线A238363型.参见。A130534型对于与彩色森林的关系,旗杆上旗帜的配置,以及完整图顶点的着色-汤姆·科普兰2014年4月5日
大小为2的{1,…,n+1}的Sidon子集的数目-卡尔·纳杰菲2014年4月27日
范德蒙德行列式V(x_1,x_2,…,x_n)=乘积_{1<=i<k<=n}x_i-x_k定义中的因子数-汤姆·科普兰2014年4月27日
将n的弱组分数分成三部分-罗伯特·A·比勒2014年5月20日
假设一个袋子包含一个(n)红色大理石和一个(n+1)蓝色大理石,其中a(n)、a(n+1)是连续的三角形数字。然后,对于n>0,随机选择两个弹珠并得到两个红色或两个蓝色的概率为1/2。一般来说,对于k>2,设b(0)=0,b(1)=1,对于n>1,b(n)=(k-1)*b(n-1)-b(n-2)+1。假设,对于n>0,一个袋子包含b(n)个红色大理石和b(n+1)个蓝色大理石。然后随机选择两个弹珠,得到两个红色或两个蓝色的概率为(k-1)/(k+1)。另请参见A027941号,A061278号,A089817号,A053142号,A092521号. -查理·马里恩2014年11月3日
设O(n)为长方形数n(n+1)=A002378号和S(n)平方数n^2=A000290型(n) ●●●●。然后a(4n)=O(3n)-O(n),a(4n+1)=S(3n+1)-S-查理·马里恩2015年2月21日
考虑将自然数从集合S=(1,2,3,…,n)分为若干部分。生成序列的签名的长度(顺序)由三角数给出。例如,对于n=10,签名长度为55-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月5日
a(n)将(n-1)个未标记对象的分区计算为三(3)个部分(标记为a、b、c),例如,a(5)=15表示(n-1”=4。这些是(aaaa)、(bbbb)、)、(英国广播公司)、(密件抄送)、(英国电视广播公司)-大卫·尼尔·麦格拉思,2015年5月21日
推测:序列是指数n为代数曲线的正弦螺旋的亏格。值0对应于Bernoulli Lemniscate n=2的情况。所以推测的公式是(n-1)(n-2)/2-沃尔夫冈·廷特曼2015年8月2日
猜想:设m为任意正整数。然后,对于每个n=1,2,3,。。。集合{Sum{k=s..t}1/k^m:1<=s<=t<=n}具有基数a(n)=n*(n+1)/2;换句话说,所有1<=s<=t的和{k=s.t}1/k^m是两两不同的。(我通过计算机检查了这个猜想,没有发现反例。)-孙志伟2015年9月9日
读取序列模m的Pisano周期长度似乎是A022998号(m) -R.J.马塔尔2015年11月29日
对于n>=1,a(n)是n+4到n个部分的组成数,避免了第2部分-米兰Janjic2016年1月7日
在这个序列中只有3是素数-费比安·科普2016年1月9日
假设您正在玩保加利亚纸牌(请参阅A242424型以及张伯伦和加德纳的书),如果n>0,则从一堆a(n)卡开始。那么,达到固定状态{n,n-1,…,1}所需的操作数是a(n-1)。例如,{6}->{5,1}->{4,2}->{3,2,1}. -查理·马里恩2016年1月14日
数字k,使8k+1为正方形-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫,2016年4月9日
每个完美立方体都是两个连续三角形数的平方差。1^2-0^2 = 1^3, 3^2-1^2 = 2^3, 6^2-3^2 = 3^3. -米奎尔·塞尔达2016年6月26日
对于n>1,a(n)=tau_n(k*),其中tau_n(k)是k的有序n分解数,k*是素数的平方。例如,tau_3(4)=tau_3(9)=tau_3(25)=tau _3(49)=6(参见A007425美元)因为4、9、25和49的除数是6,a(3)=6-梅尔文·佩拉尔塔2016年8月29日
在(n+1)维超立方体中,与顶点同余的二维面数(另请参见A001788号). -斯坦尼斯拉夫·西科拉2016年10月23日
对常见的公式a(n)+a(n+1)=(n+1”)^2(2004年2月19日)和a(n”^2+a(n+1)^2=a((n+1+6a(k-1))-查理·马里恩2016年11月27日
a(n)也是具有n+4个顶点的多面体中可能的最大对角线数-弗拉基米尔·莱茨科2016年12月19日
对于n>0,2^5*(二项式(n+1,2))^2表示2*(2*n+1)^2个连续整数之和中的第一个整数,等于(2*n+1)^6-帕特里克·麦克纳布2016年12月25日
不符合本福德定律(参见罗斯,2012)-N.J.A.斯隆2017年2月12日
不大于n的正整数的有序三元组(a,b,c)的数量,使得a+b+c=2n+1-阿维埃尔·利维2017年2月13日
最多使用n种颜色的不等四面体面着色数,因此没有颜色只出现一次-大卫·纳辛2017年2月22日
也是完全图K_{n+1}的维纳指数-埃里克·韦斯特因2017年9月7日
n次Bernstein多项式之间的交点数-埃里克·德斯比亚2018年4月1日
a(n)是顶点位于(1,1)、(n+1,n+2)和((n+1)^2,(n+2)^2)的三角形的面积-阿特·贝克,2018年12月6日
对于n>0,a(n)是最小的k>0,因此n除以(1/a(1)+1/a(2)+…+的分子1/a(n-1)+1/k)。应该注意的是,1/1+1/3+1/6+…+2/(n(n+1))=2n/(n+1-托马斯·奥多夫斯基,2019年8月4日
n-齐次超可解线排列中线数的上界(参见Dimca中的定理1.1)-斯特凡诺·斯佩齐亚,2019年10月4日
对于n>0,a(n+1)是边长为n的三角形网格上的格点数量-韦斯利·伊万·赫特2020年8月12日
发件人迈克尔·朱2022年5月4日:(开始)
长度为n的字符串的非空子串的最大数目。
求和集A+A的最大基数,其中A是n个数字的集合。(结束)
a(n)是避免模式123、132和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
假设平行画出两行,每行由n个均匀间隔的点组成。假设我们在两行的点之间画出直线。对于n>=1,a(n-1)是线之间可能的最大交点数。等价地,[n]置换中的最大反转数-塞拉·弗里德2023年4月18日
以下等式补充了Bala评论(2015年1月5日)中的概括。(2k+1)^2*a(n)+a(k)=a((2k+1*n+k)-查理·马里恩2023年8月28日
a(n)+a(n+k)+a。对于k=1,我们有a(n)+a(n+1)=(n+1”)^2-查理·马里恩2023年11月17日
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常系数线性递归的索引项,签名(3,-3.1)。
配方奶粉
通用:x/(1-x)^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
例如:exp(x)*(x+x^2)。
a(n)=a(-1-n)。
a(n)+a(n-1)*a(n+1)=a(n”^2-小特雷尔·特罗特。2002年4月8日
a(n)=(-1)^n*Sum_{k=1..n}(-1)*k*k^2-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
a(n+1)=(n+2)/n)*a(n),和{n>=1}1/a(n=2)-乔恩·佩里2003年7月13日
对于n>0,a(n)=A001109号(n) -和{k=0..n-1}(2*k+1)*A001652号(n-1-k);例如10=204-(1*119+3*20+5*3+7*0)-查理·马里恩2003年7月18日
对于插值零,这是n*(n+2)*(1+(-1)^n)/16-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a(n+1)是n X n对称帕斯卡矩阵M_(i,j)=二项式(i+j+1,i)的行列式-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a(n)=((n+1)^3-n^3-1)/6.-Xavier Acloque,2003年10月24日
a(n)=a(n-1)+(1+sqrt(1+8*a(n-1)))/2。当取平方根的负分支时,此递归关系被反转,即a(n)被转换为a(n-1)而不是a(n+1)-卡尔·R·怀特2003年11月4日
a(n)=总和{k=1..n}φ(k)*楼层(n/k)=总和_{k=1.n}A000010号(k)*A010766号(n,k)(R.Dedekind)-弗拉德塔·约沃维奇2004年2月5日
a(n)+a(n+1)=(n+1”)^2-N.J.A.斯隆2004年2月19日
a(n)=a(n-2)+2*n-1-保罗·巴里2004年7月17日
a(n)=平方(和{i=1..n}和{j=1..n{(i*j))=平方(A000537号(n) )-亚历山大·阿达姆楚克2004年10月24日
a(n)=平方(sqrt(和{i=1..n}和{j=1.n}(i*j)^3))=(和{i=1..n{和{j=1..n}和_{k=1..n}(i*j))^(1/6)-亚历山大·阿达姆楚克2004年10月26日
如果n是奇数,a(n)==1(mod n+2);如果n是偶数,a-乔恩·佩里2004年12月16日
a(0)=0,a(1)=1,a(n)=2*a(n-1)-a(n-2)+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a(n)=a(n-1)+n-扎克·塞多夫2005年3月6日
a(n)=A108299号(n+3.4)=-A108299号(n+4.5)-莱因哈德·祖姆凯勒2005年6月1日
a(n)=A111808号(n,2)对于n>1-莱因哈德·祖姆凯勒2005年8月17日
a(n)*a(n+1)=A006011号(n+1)=(n+1)^2*(n ^2+2)/4=3*A002415号(n+1)=1/2*a(n^2+2*n)。a(n-1)*a(n)=(1/2)*a-亚历山大·阿达姆楚克2006年4月13日查理·马里恩2010年11月26日]
a(n)=地板((2*n+1)^2/8)-保罗·巴里2006年5月29日
对于正n,我们有a(8*a(n))/a(n)=4*(2*n+1)^2=(4*n+2)^2,即a(A033996美元(n) )/a(n)=4*A016754号(n) =(A016825号(n) )^2=A016826号(n) -Lekraj Beedassy公司2006年7月29日
a(n)^2+a(n+1)^2=a(n+1^2)[R B Nelsen,《数学杂志》70(2)(1997),第130页]-R.J.马塔尔2006年11月22日
a(n)=A126890型(n,0)-莱因哈德·祖姆凯勒2006年12月30日
a(n)*a(n+k)+a(n+1)*a。概括了2006年11月22日之前的公式[以及J.M.贝戈日期:2012年5月22日]-查理·马里恩2011年2月4日
(sqrt(8*a(n)+1)-1)/2=n.大卫·W·坎特雷尔(DWCantrell(AT)sigmaxi.net),2007年2月26日
a(n)=A023896号(n)+A067392号(n) -Lekraj Beedassy公司2007年3月2日
和{k=0..n}a(k)*A039599号(n,k)=A002457号(n-1),对于n>=1-菲利普·德尔汉姆2007年6月10日
8*a(n)^3+a(n*A000330号(n) -穆罕默德·布哈米达2007年11月6日[编辑:德里克·奥尔2015年5月5日]
多边形数的一般公式是P(k,n)=(k-2)*(n-1)n/2+n=n+(k-2*A000217号(n-1),对于n>=1,k>=3-奥马尔·波尔2008年4月28日和2013年3月31日
a(3*n)=A081266号(n) ,a(4*n)=A033585号(n) ,a(5*n)=A144312号(n) ,a(6*n)=A144314号(n) -莱因哈德·祖姆凯勒2008年9月17日
a(n)=A022264号(n)-A049450美元(n) -莱因哈德·祖姆凯勒2008年10月9日
如果我们定义f(n,i,a)=Sum_{j=0..k-1}(二项式(n,k)*Stirling1(n-k,i)*Product_{j=0.0..k-1}(-a-j)),那么当n>=1时,a(n)=-f(n,n-1,1)-米兰Janjic2008年12月20日
4*a(x)+4*a(y)+1=(x+y+1)^2+(x-y)^2-弗拉基米尔·舍维列夫2009年1月21日
a(n)=A000124号(n-1)+n-1,对于n>=2。a(n)=A000124号(n) -1-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年6月16日
该序列逆的指数生成函数由和{m>=0}((Pochhammer(1,m)*Pochhamder(1,m))*x^m/(Pochharmer(3,m)*阶乘(m))=((2-2*x)*log(1-x)+2*x)/x^2给出,其n阶导数具有闭合形式,必须通过将极限取为x->0来计算。A000217号(n+1)=(lim_{x->0}d^n/dx^n((2-2*x)*log(1-x)+2*x)/x^2)+n*(对数(1-x)+对数(-1/(-1+x)))*(-x+1+n))/x^2))^-1-斯蒂芬·克劳利2009年6月28日
a(n)=A034856号(n+1)-A005408号(n)=A005843号(n)+A000124号(n)-A005408号(n) -雅罗斯拉夫·克里泽克2009年9月5日
一个(A006894号(n) )=a(A072638号(n-1)+1)=A072638号(n)=A006894号(n+1)-1,对于n>=1。对于n=4,a(11)=66-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年9月12日
偏移量为1时,a(n)=楼层(n^3/(n+1))/2-加里·德特利夫斯2010年2月14日
a(n)=4*a(楼层(n/2))+(-1)^(n+1)*楼层((n+1)/2)-布鲁诺·贝塞利2010年5月23日
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3);a(0)=0,a(1)=1-马克·多尔斯2010年8月20日
发件人查理·马里恩2010年10月15日:(开始)
a(n)+2*a(n-1)+a(n-2)=n^2+(n-1;
a(n)+3*a(n-1)+3*a(n-2)+a(n-3)=n^2+2*(n-1。
一般来说,对于n>=m>2,求和{k=0..m}二项式(m,m-k)*a(n-k)=求和{k=0..m-1}二项式(m-1,m-1-k)*(n-k)^2。
a(n)-2*a(n-1)+a(n-2)=1,a。
一般来说,对于n>=m>2,求和{k=0..m}(-1)^k*二项式(m,m-k)*a(n-k)=0。
(结束)
a(n)=平方英尺(A000537号(n) )-扎克·塞多夫2010年12月7日
对于n>0,a(n)=1/(积分_{x=0.Pi/2}4*(sin(x))^(2*n-1)*(cos(x))^3)-弗朗切斯科·达迪2011年8月2日
a(n)=A110654号(n)*A008619号(n) -莱因哈德·祖姆凯勒,2011年8月24日
a(2*k-1)=A000384号(k) ,a(2*k)=2014年10月(k) ,k>0-奥马尔·波尔2011年9月13日
a(n)=A026741号(n)*A026741号(n+1)-查尔斯·格里特豪斯四世2012年4月1日
(n)+(a(n))+1=a(a(n)+1)-J.M.贝戈2012年4月27日
a(n)=-s(n+1,n),其中s(n,k)是第一类斯特林数,A048994号. -米尔恰·梅卡2012年5月3日
a(n)*a(n+1)=a(和{m=1..n}A005408号(m) )/2,对于n>=1。例如,如果n=8,则a(8)*a(9)=a(80)/2=1620-伊万·伊纳基耶夫2012年5月27日
a(n)=A002378号(n) /2=(A001318号(n)+A085787号(n) )/2-奥马尔·波尔2013年1月11日
通用公式:x*(1+3x+6x^2+…)=x*产品{j>=0}(1+x^(2^j))^3=x*A(x)*A(x^2)*A。。。,其中A(x)=(1+3x+3x^2+x^3)-加里·亚当森2012年6月26日
G.f.:G(0),其中G(k)=1+(2*k+3)*x/(2*k+1-x*(k+2)*(2*k+1)/(x*(k+2)+(k+1)/G(k+1)));(连分数,第3类,3步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年11月23日
a(n)=A002088号(n)+A063985号(n) -莱因哈德·祖姆凯勒2013年1月21日
通用公式:x+3*x^2/(Q(0)-3*x)其中Q(k)=1+k*(x+1)+3*x-x*(k+1)*(k+4)/Q(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a(n)+a(n+1)+a(n+2)+a(n+3)+n=a(2*n+4)-伊万·伊纳基耶夫2013年3月16日
a(n)+a(n+1)+…+a(n+8)+6*n=a(3*n+15)-查理·马里恩2013年3月18日
a(n)+a(n+1)+…+a(n+20)+2*n^2+57*n=a(5*n+55)-查理·马里恩2013年3月18日
当n>0时,3*a(n)+a(n-1)=a(2*n)-伊万·伊纳基耶夫2013年4月5日
一般来说,a(k*n)=(2*k-1)*a(n)+a((k-1)*n-1)-查理·马里恩2015年4月20日
此外,a(k*n)=a(k)*a(n)+a(k-1)*a-罗伯特·伊斯雷尔2015年4月20日
a(n+1)=det(二项式(i+2,j+1),1<=i,j<=n)-米尔恰·梅卡2013年4月6日
a(n)=地板(n/2)+天花板(n^2)=n-地板(n/2)+地板(n^2)-韦斯利·伊万·赫特2013年6月15日
a(n)=楼面((n+1)/(exp(2/(n+1))-1))-理查德·福伯格2013年6月22日
和{n>=1}a(n)/n!=3*exp(1)/2 by the e.g.f.另请参见A067764号关于用这种方法计算的二项式系数的比率-理查德·福伯格2013年7月15日
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=4*log(2)-2=0.7725887-理查德·福伯格2014年8月11日
2/(和{n>=m}1/a(n))=m,对于m>0-理查德·福伯格2014年8月12日
A228474号(a(n))=n;A248952型(a(n))=0;248953元(a(n))=(n);A248961型(a(n))=A000330号(n) -莱因哈德·祖姆凯勒2014年10月20日
a(a(n)-1)+1(a(n+2)-1)+1=A000124号(n+1)^2-查理·马里恩2014年11月4日
a(n)=2*A000292号(n)-A000330号(n) -卢西亚诺·安科拉2015年3月14日
a(n)=A007494号(n-1)+A099392号(n) 对于n>0-Bui Quang Tuan公司2015年3月27日
和{k=0..n}k*a(k+1)=a(A000096号(n+1))-查理·马里恩2015年7月15日
设O(n)为长方形数n(n+1)=A002378号(n) 和S(n)平方数n^2=A000290型(n) ●●●●。那么a(n)+a(n+2k)=O(n+k)+S(k)和a(n-查理·马里恩2015年7月16日
下面是2006年11月22日公式A(n)^2+A(n+1)^2=A(n+1^2)的推广。设T(k,n)=a(n)+k。然后对于所有k,T(k、n)^2+T(k和n+1)^2=T(k(n+1))^2+2*k)-2*k-查理·马里恩2015年12月10日
a(n)^2+a(n+1)^2=a(a(n。可从中推断N.J.A.斯隆a(n)+a(n+1)=(n+1)^2和R.B.Nelson的a(n)^2+a(n+1)^2=a((n+1)^2)-本·保罗·瑟斯顿2015年12月28日
Dirichlet g.f.:(zeta(s-2)+zeta(s-1))/2-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月26日
a(n)^2-a(n-1)^2=n^3-米奎尔·塞尔达2016年6月29日
a(n)=A080851号(0,n-1)-R.J.马塔尔2016年7月28日
a(n)=A000290型(n-1)-A034856号(n-4)-Peter M.Chema公司2016年9月25日
a(n)^2+a(n+3)^2+19=a(n^2+4*n+10)-查理·马里恩2016年11月23日
2*a(n)^2+a(n”)=a(n^2+n)-查理·马里恩2016年11月29日
通用公式:x/(1-x)^3=(x*r(x)*r(x^3)*r,其中r(x)=(1+x+x^2)^3=(1+3*x+6*x^2+7*x^3+6*x^4+3*x^5+x^6)-加里·亚当森2016年12月3日
a(n)=矩阵Q(n)的逆的元素之和,其中Q(n)有元素Q_i,j=1/(1-4*(i-j)^2)。因此,如果e=由1组成的适当大小的向量,那么a(n)=e’。Q(n)^-1.e-迈克尔·尤基什,2017年3月20日
a(n)=和{k=1..n}(2*k-1)*(2*n-2*k-1)!!)/(2*k-2)*(2*n-2*k)!!)-迈克尔·尤基什,2017年3月20日
Sum_{i=0..k-1}a(n+i)=(3*k*n^2+3*n*k^2+k^3-k)/6-克里斯托弗·霍尔2019年2月23日
a(n)=A060544号(n+1)-A016754号(n) -拉尔夫·斯坦纳2019年11月9日
当n为奇数时,a(n)==0(mod n)(参见De Koninck参考)-伯纳德·肖特2020年1月10日
8*a(k)*a(n)+((a(k。当k=1时,这个公式简化为众所周知的公式8*a(n)+1=(2*n+1)^2-查理·马里恩2020年7月23日
a(k)*a(n)=和{i=0..k-1}(-1)^i*a((k-i)*(n-i))-查理·马里恩2020年12月4日
发件人阿米拉姆·埃尔达尔,2021年1月20日:(开始)
产品{n>=1}(1+1/a(n))=cosh(sqrt(7)*Pi/2)/(2*Pi)。
产品{n>=2}(1-1/a(n))=1/3。(结束)
a(n)=和{k=1..2*n-1}(-1)^(k+1)*a(k)*a。例如,对于n=4,1*28-3*21+6*15-10*10+15*6-21*3+28*1=10-查理·马里恩2022年3月23日
2*a(n)=A000384号(n) 通常,如果P(k,n)=第n个k次方数,则(j+1)*a(n)=P(5+j,n)-n^2+(j+1-查理·马里恩2023年3月14日
a(n)=A109613号(n)*A004526号(n+1)-托拉赫·拉什2023年11月10日
例子
总尺寸:x+3*x^2+6*x^3+10*x^4+15*x^5+21*x^6+28*x^7+36*x^8+45*x*9+。。。
当n=3时,a(3)=4*3/2=6。
示例(a(4)=10):ABCD,其中a、B、C和D是链中的不同链接,或是肽中的不同氨基酸可能片段:a、B,C、D、AB、ABC、ABCD、BC、BCD、CD=10。
a(2):冬青树叶落在德川幕府,a(4):毕达哥拉斯四联中的分数,a(5):八球台球中的物体球-Bradley Klee公司2015年8月24日
发件人古斯·怀斯曼2020年10月28日:(开始)
a(1)=1到a(5)=15个正整数的有序三元组加起来等于n+2(Beeler,McGrath,上文)如下。这些成分按A014311号.
(111) (112) (113) (114) (115)
(121)(122)(123)(124)
(211) (131) (132) (133)
(212) (141) (142)
(221) (213) (151)
(311) (222) (214)
(231) (223)
(312)(232)
(321) (241)
(411) (313)
(322)
(331)
(412)
(421)
(511)
无序版本为A001399年(n-3)=A069905号(n) ,带有Heinz数字A014612号.
严格的情况是A001399年(n-6)*6,排名依据A337453型.
无序严格情况是A001399年(n-6),带有Heinz数A007304型.
(结束)
MAPLE公司
A000217号:=程序(n)n*(n+1)/2;结束;
istriangular:=proc(n)局部t1;t1:=楼层(平方米(2*n));如果n=t1*(t1+1)/2,则返回true,否则返回false;结束条件:;结束进程#N.J.A.斯隆2008年5月25日
ZL:=[S,{S=Prod(B,B,B),B=Set(Z,1<=卡)},未标记]:
seq(combstruct[计数](ZL,大小=n),n=2..55)#泽因瓦利·拉霍斯2007年3月24日
isA000217:=进程(n)
issqr(1+8*n);
结束进程:#R.J.马塔尔2015年11月29日[这是Leonhard Euler在1765年《Vollständige Anleitung zur代数》第七章中提出的食谱。彼得·卢什尼2022年9月2日]
数学
数组[#*(#-1)/2&,54](*泽因瓦利·拉霍斯2009年7月10日*)
文件夹列表[#1+#2&,0,范围@50](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*)
累计[范围[0,70]](*哈维·P·戴尔2012年9月9日*)
系数列表[级数[x/(1-x)^3,{x,0,50}],x](*文森佐·利班迪2014年7月30日*)
(*对于Mathematica 10.4+*)表[多边形编号[n],{n,0,53}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基,2016年8月27日*)
线性递归[{3,-3,1},{0,1,3},54](*罗伯特·威尔逊v2016年12月4日*)
(*以下Mathematica程序由Steven J.Miller提供,用于测试序列是否为Benford。要测试不同的序列,只需更改一行即可。这强烈表明三角形数字不是Benford,因为输出的第二列和第三列不一致-N.J.A.斯隆2017年2月12日*)
fd[x_]:=楼层[10^Mod[Log[10,x],1]]
benfordtest[num_]:=模块[{},
对于[d=1,d<=9,d++,数字[d]=0];
对于[n=1,n<=num,n++,
{
d=fd[n(n+1)/2];
如果[d!=0,数字[d]=数字[d]+1];
}];
对于[d=1,d<=9,d++,数字[d]=1.0数字[d]/num];
对于[d=1,d<=9,d++,
打印[d,“”,100.0位[d],“”、100.0日志[10,(d+1)/d]]];
];
本福德试验[20000]
表[Length[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n,{3}]],{n,0,15}](*古斯·怀斯曼2020年10月28日*)
黄体脂酮素
(PARI)A000217号(n) =n*(n+1)/2;
(PARI)是_A000217号(n) =n*2==(1+n=平方(2*n))*n\\M.F.哈斯勒2012年5月24日
(PARI)是(n)=异多角形(n,3)\\查尔斯·格里特豪斯四世,2014年2月28日
(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),n,t);而(t=n*n++/2)<=lim,listput(v,t));车辆(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年6月18日
(哈斯克尔)
a000217 n=a000217_列表!!n个
a000217_list=扫描1(+)[0..]--莱因哈德·祖姆凯勒,2011年9月23日
(岩浆)[n*(n+1)/2:n英寸[0..60]]//布鲁诺·贝塞利,2014年7月11日
(Magma)[n:n在[0..1500]|IsSquare(8*n+1)]//尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫,2016年4月9日
(弧垂)[n*(n+1)/2表示n in(0..60)]#布鲁诺·贝塞利,2014年7月11日
(Scala)(1至53).左图(0)(_+_)//霍斯特曼(2012),第171页
(方案)(定义(A000217号n) (/(*n(+1)));;安蒂·卡图恩,2017年7月8日
(J) a000217=:*-:@>:注。斯蒂芬·马克迪西2018年5月2日
(Python)对于范围(0,60)中的n:打印(n*(n+1)/2,end=',')#斯特凡诺·斯佩齐亚,2018年12月6日
(Python)#用于计算序列的初始段,而不是
#孤立术语。如果在迭代中,行“x,y=x+y+1,y+1”
#被替换为“x,y=x+y+k,y+k”,然后得到图形数,
#对于k=0(自然A001477号),k=1(三角形),k=2(正方形),k=3(五边形),k=4(六边形)。
定义aList():
x、 y=1,1
产量0
为True时:
收益率x
x、 y=x+y+1,y+1
A000217号=列表()
打印([下一页(A000217号)对于范围(54)内的i)#彼得·卢什尼2019年8月3日
交叉参考
数字,参数k与第二个Python程序中的一样:A001477号(k=0),该序列(k=1),A000290型(k=2)时,A000326号(k=3),A000384号(k=4),A000566号(k=5),A000567号(k=6),A001106号(k=7),A001107年(k=8)。
a(n)=A110449号(n,0)。
a(n)=A110555号(n+2,2)。
的对角线A008291号.
第2列,共列A195152号.
形式为n*t(n+k,h)-(n+k)*t(n,h)的数字,其中t(i,h)=i*(i+2*h+1)/2对于任何h(对于A000217号为k=1):A005563号,A067728号,140091英镑,A140681号,A212331号.
Boutrophedon变换:A000718号,A000746号.
迭代次数:A007501号(开始=2),A013589号(开始=4),A050542号(开始=5),A050548号(开始=7),A050536号(开始=8),A050909年(开始=9)。
囊性纤维变性。A002817号(双三角数),A075528号(a(n)=a(m)/2的解)。
囊性纤维变性。A104712号(第一列,从a(1)开始)。
一些广义k角数是A001318号(k=5),该序列(k=6),A085787号(k=7)等。
A001399年(n-3)=A069905号(n)=A211540型(n+2)计数3部分分区。
A001399年(n-6)=A069905号(n-3)=A211540型(n-1)统计3部分严格分区。
A011782号计算任意长度的成分。
A337461型使用无序版本统计两两互质三元组A307719型.
关键词
非n,核心,容易的,美好的
作者
扩展
编辑人德里克·奥尔2015年5月5日
状态
经核准的
A014612号 正好是三个(不一定是不同的)素数的乘积。 +10
292
8, 12, 18, 20, 27, 28, 30, 42, 44, 45, 50, 52, 63, 66, 68, 70, 75, 76, 78, 92, 98, 99, 102, 105, 110, 114, 116, 117, 124, 125, 130, 138, 147, 148, 153, 154, 164, 165, 170, 171, 172, 174, 175, 182, 186, 188, 190, 195, 207, 212, 222, 230, 231, 236, 238, 242, 244 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
有时称为“三素数”或“3-几乎素数”。
另请参见A001358号表示两个素数的乘积(有时称为半素数)。
如果将n的a(n)/n表示为10000(可能会更高),那么它似乎会收敛到接近3.9的值。实际上,极限是无限的-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年9月20日
Meng证明,对于任何足够大的奇数n,方程n=a+b+c都有解,其中a、b、c中的每一个都是3-几乎素数。这样的解的个数是(log log n)^6/(16(logn)^3)*n^2*s(n)*(1+O(1/log logn)),其中s(n-乔纳森·沃斯邮报2005年9月16日,修改人M.F.哈斯勒2019年4月24日
此外,a(n)是数字,其除数正好有一半是合成的。有关正好有一半除数是素数的数字,请参见A167171号. -伊凡·内雷廷2016年1月12日
参考文献
Edmund Landau,Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen,第1卷,莱比锡Teubner;第三版:切尔西,纽约(1974年)。见第211页。
链接
Edmund Landau,Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen公司,第一卷第2卷柏林莱比锡,B.G.Teubner,1909年。见第一卷,第211页。
《仙梦梦》,关于素因子数固定的三个整数的和《数论杂志》,第114卷(2005年),第37-65页。
埃里克·魏斯坦的数学世界,几乎达到最佳状态
配方奶粉
总和e_i=3的乘积p_i^e_i。
a(n)~2n log n/(log log n)^2表示n->无穷大[Landau,p.211]。
Tau(a(n))=2*(ω(a(n))+1)=2*A083399号(a(n)),其中τ=A000005号和欧米茄=A001221号. -韦斯利·伊万·赫特2013年6月28日
a(n)=A078840号(3,n)-R.J.马塔尔2019年1月30日
例子
发件人古斯·怀斯曼2020年11月4日:(开始)
也就是将整数分为三部分的Heinz数,由A001399年(n-3)=A069905号(n) 带有订购版本A000217号,其中整数分区的Heinz数(y_1,…,y_k)是素数(y_1)**质数(yk)。术语序列及其基本指数开始于:
8:{1,1,1}70:{1,3,4}130:{1,3,6}
12: {1,1,2} 75: {2,3,3} 138: {1,2,9}
18: {1,2,2} 76: {1,1,8} 147: {2,4,4}
20: {1,1,3} 78: {1,2,6} 148: {1,1,12}
27: {2,2,2} 92: {1,1,9} 153: {2,2,7}
28:{1,1,4}98:{1,4,4}154:{1,4,5}
30: {1,2,3} 99: {2,2,5} 164: {1,1,13}
42: {1,2,4} 102: {1,2,7} 165: {2,3,5}
44: {1,1,5} 105: {2,3,4} 170: {1,3,7}
45: {2,2,3} 110: {1,3,5} 171: {2,2,8}
50: {1,3,3} 114: {1,2,8} 172: {1,1,14}
52: {1,1,6} 116: {1,1,10} 174: {1,2,10}
63: {2,2,4} 117: {2,2,6} 175: {3,3,4}
66: {1,2,5} 124: {1,1,11} 182: {1,4,6}
68: {1,1,7} 125: {3,3,3} 186: {1,2,11}
(结束)
MAPLE公司
带有(数字理论);A014612号:=n->`if`(bigomega(n)=3,n,NULL);序列(A014612号(n) ,n=1..250)#韦斯利·伊万·赫特2014年2月5日
数学
threeAlmostPrimeQ[n_]:=加@@Last/@因子整数@n == 3; 选择[范围@244,三个AlmostPrimeQ[#]&](*罗伯特·威尔逊v2006年1月4日*)
NextkAlmostPrime[n_,k_:2,m_:1]:=块[{c=0,sgn=符号[m]},kap=n+sgn;当[c<Abs[m]时,当[PrimeOmega[kap]!=k、 如果[sgn<0,kap--,kap++]];如果[sgn<0,kap--,kap++];c++];kap+如果[sgn<0,1,-1]];嵌套列表[NextkAlmostPrime[#,3]&,2^3,56](*罗伯特·威尔逊v2013年1月27日*)
选择[Range[244],PrimeOmega[#]==3&](*贾扬达·巴苏2013年7月1日*)
黄体脂酮素
(PARI)是A014612(n)=大ω(n)==3\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年5月7日
(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),t);forprime(p=2,lim\4,forprime(q=2,min(lim\(2*p),p),t=p*q;对于素数(r=2,min(lim\t,q),listput(v,t*r));向量排序(Vec(v))\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月4日
(哈斯克尔)a014612 n=a014612_list!!(n-1)
a014612_list=过滤器((==3)。a001222)[1..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月2日
(Scala)def primeFactors(数字:Int,列表:list[Int]=list())
:列表[Int]={
for(n<-2 to number if(number%n==0)){
return primeFactors(number/n,list:+n)
}
列表
}
(1到250).filter(primeFactors(_).size==3)//阿隆索·德尔·阿特,2020年11月4日,基于Victor Farcic(vfarcic)的算法
(Python)
来自症状输入因子
定义ok(n):f=因子(n);返回和(f中p的f[p])==3
打印(列表(过滤器(正常,范围(245)))#迈克尔·布拉尼基2021年8月12日
交叉参考
囊性纤维变性。A000040型,A001358号(双素数),A014613美元(四人制),A033942号,A086062号,A098238号,A123072号,A123073号,A101605号(特征函数)。
囊性纤维变性。A109251号(3-几乎素数<=10^n)。
的子序列A145784号. -莱因哈德·祖姆凯勒2008年10月19日
囊性纤维变性。A007304型是无平方的情况。
列出r-几乎素数的序列,即n,这样A001222号(n) =r:A000040型(r=1),A001358号(r=2),该序列(r=3),A014613美元(r=4),A014614号(r=5),A046306号(r=6),A046308号(r=7),A046310号(r=8),A046312美元(r=9),A046314号(r=10),A069272号(r=11),A069273号(r=12),A069274号(r=13),A069275号(r=14),A069276美元(r=15),A069277号(r=16),A069278号(r=17),A069279号(r=18),A069280号(r=19),A069281号(r=20)-杰森·金伯利2011年10月2日
囊性纤维变性。A253721型(最后一位数)。
A014311号是有序三元组的不同排名,有严格的大小写A337453型.
A046316型是对赔率的限制,严格的案例A307534型.
A075818号是对平局的限制,严格的情况下A075819美元.
A285508型是非方形的情况。
A001399年(n-3)=A069905号(n)=A211540型(n+2)计数3部分分区。
关键词
非n
作者
扩展
更多术语来自帕特里克·德·格斯特1998年6月15日
状态
经核准的
A003215号 六角(或中心六角形)数:3*n*(n+1)+1(六角形晶格的水晶球序列)。
(原名M4362)
+10
277
1、7、19、37、61、91、127、169、217、271、331、397、469、547、631、721、817、919、1027、1141、1261、1387、1519、1657、1801、1951、2107、2269、2437、2611、2791、2977、3169、3367、3571、3781、3997、4219、4447、4681、4921、5167、5419、5677、5941、6211、6487、6769 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.2个
评论
六角形晶格是常见的二维晶格,其中每个点都有6个邻居。这有时被称为三角晶格。
A_2晶格的晶体球序列-迈克尔·索莫斯2012年6月3日
六角螺旋的第六辐条(参见。A056105号-A056109号).
有序整数三元组(a,b,c)的数量,-n<=a,b、c<=n,这样a+b+c=0-贝诺伊特·克洛伊特2003年6月14日
此外,6n的分区数最多分为3个部分,A001399年(6n)-R.K.盖伊2003年10月20日
此外,a(n)是6(n+1)个分区的数量,正好分成3个不同的部分-威廉·基思2004年7月1日
中心六边形图形中每边有n+1个点的点数。
第二贝塞尔多项式y_2(n)的值(参见A001498号).
立方体的第一个差异(A000578号). - Cecilia Rossiter(Cecilia(AT)notificatingnumbers.net),2004年12月15日
十六进制数(十六进制(n)模10)的最后数字是周期性的,回文周期长度为5{1,7,9,7,1}。十六进制数(十六进制(n)mod 100)的最后两位是周期性的,回文周期长度为100-亚历山大·阿达姆楚克2006年8月11日
a(n)的所有除数都与模6的1同余。证明:如果p是一个与3不同的奇素数,那么3n^2+3n+1=0(modp)意味着9(2n+1)^2=-3(mod p),其中p=1(mod 6)-尼克·霍布森2006年11月13日
对于n>=1,a(n)是外拿破仑三角形的边,其参考三角形是一个带支腿的直角三角形(3a(nTom Schicker(tschike(AT)email.smith.edu),2007年4月25日
三元组(a,b,c)的数量,其中0<=(a,b)<=n和c=n(至少一次为项n)。例如,对于n=1:(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)Philippe Lallouet(philip.Lallouet,AT)wanadoo.fr),2007年8月20日
等于与[1,4,1,0,0,…]卷积的三角形数-加里·亚当森亚历山大·波沃洛茨基2009年5月29日
来自Terry Stickels,2009年12月7日:(开始)
此外,在查看大小不同的相同立方体的立方体堆栈时,任何一个静态点的最大可视立方体数。
例如,查看2 X 2 X 2堆栈将产生最多7个可视多维数据集。
如果堆栈是3 X 3 X 3,则任何一个静态位置的最大可视立方体数为19,依此类推。
堆栈中立方体的数量必须始终与宽度、长度、高度相同(在真正的规则立方体堆栈中),并且通过取任意立方体数并减去减去一的立方体数量,始终可以找到最大可见立方体数目。
例如:125-64=61,64-27=37,27-8=19。(结束)
a(n)的数字根的序列是周期3:repeat[1,7,1]-蚂蚁王,2012年6月17日
第一个n(n>0)中心六边形数的平均值是第n个平方-菲利普·德尔汉姆2013年2月4日
A002024年是以下数组A沿反对偶读取:
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
4、5、6、7、8、9。。。
5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
a(n)是钩和sum{k=0..n}a(n,k)+sum{r=0..n-1}a(r,n)-R.J.马塔尔2013年6月30日
a(n)是n+1 X n+1矩阵中的项减去数组中n X n矩阵中的项数之和,该数组由A158405型一个数组(每行的起始项是1,3,5,7,9,11,…)-J.M.贝戈,2013年7月5日
这个公式也等于两个连续数字的三个不同组合的乘积:n^2,(n+1)^2,和n*(n+1)-J.M.贝戈2014年3月28日
任意三角形ABC的边被2n个点分成2n+1等分:A_1,A_2。。。,A_2n在A侧,也在b侧和c侧循环。如果A'B'C'是由AA_n、BB_n和CC_n cevians分隔的三角形,则(ABC)/(A'B'C')=A(n)(请参阅Java applet链接)-伊格纳西奥·拉罗萨·卡尼斯特罗2015年1月2日
a(n)是(n+1)个三角形可以相互相交的最大部分数-伊万·伊纳基耶夫2015年2月18日
((2^m-1)n)^t模a(n)=(2^m-1)(n+1))^t模数a(n-阿尔茨海耶夫·阿斯卡尔M型2016年10月7日
((2^m-1)n)^t模a(n)=(2^m-1)(n+1))^t模数a(n-阿尔茨海耶夫·阿斯卡尔M型2016年10月7日
(3n+1)^(a(n)-1)模a(n。如果a(n)不是素数,那么总是强伪素数-阿尔茨海耶夫·阿斯卡尔M型2016年10月7日
每个正整数是8个十六进制数(包括零)的和,其中最多3个大于1-毛罗·佛罗伦萨2018年1月1日
由n*Pi/2和(n+1)*Pi/2之间阿基米德螺线段包围的面积,单位为Pi^3/48-卡米娜·苏里亚诺2018年4月10日
这个序列包含所有数字k,因此12*k-3是一个正方形-克劳斯·普拉斯2021年10月19日
sqrt(3*a(n))的连分式展开式是[3n+1;{1,2,n,1,1,6n+2}]。对于n=0,它折叠为[1;{1,2}]-朱棣文(Magus K.Chu)2022年9月12日
参考文献
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B.T.Bennett和R.B.Potts,阵列和溪流,J.Austral。数学。《社会学杂志》,第7期(1967年),第23-31页。[带注释的扫描副本]
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R.K.盖伊,强大的小数定律阿默尔。数学。《月刊》第95期(1988年),第8期,第697-712页。
R.K.盖伊,强大的小数定律阿默尔。数学。《95月刊》(1988),第8期,697-712。[带注释的扫描副本]
Towhidul Islam博士,延伸三角形
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埃里克·魏斯坦的数学世界,十六进制数
埃里克·魏斯坦的数学世界,Nexus编号
埃里克·魏斯坦的数学世界,外拿破仑三角.
常系数线性递归的索引项,签名(3,-3.1)。
配方奶粉
a(n)=3*n*(n+1)+1,n>=0(见名称)。
a(n)=(n+1)^3-n^3=a(-1-n)。
通用名称:(1+4*x+x^2)/(1-x)^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a(n)=6*A000217号(n) +1。
a(n)=a(n-1)+6*n=2a(n-l)-a(n-2)+6=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3)=A056105号(n) +5个=A056106号(n) +4*n个=A056107号(n) +3*n个=A056108号(n) +2*n个=A056108号(n) +编号。
第n个部分算术平均数是n^2-阿玛纳斯·穆尔西2003年5月27日
a(n)=1+和{j=0..n}(6*j)。例如,a(2)=19,因为1+6*0+6*1+6*2=19Xavier Acloque,2003年10月6日
前n个六边形数的和是n^3。也就是说,求和{n>=1}(3*n*(n-1)+1)=n^3爱德华·威德(eweed(AT)gdrs.com),2003年10月23日
a(n)=M^n*[1 1 1]中的右项,其中M=3X3矩阵[1 0 0/2 1 0/3 3 1]。M^n*[1 1 1]=[1 2n+1 a(n)]。例如,a(4)=61,M^4*[1 1 1]中的右项,因为M^4*1[1 1]=[1 9 61]=[12n+1 a(4-加里·亚当森2004年12月22日
三角形的行和A130298号. -加里·亚当森2007年6月7日
a(n)=3*n^2+3*n+1。证明:1)如果n出现一次,它可能在3个位置;对于另外两个,n项是独立可能的,那么我们有3*n^2个不同的三元组。2) 如果项n出现两次,第三个可以放在3个位置,有n个可能的值,那么我们有3*n个不同的三元组。3) 项n可以以一种方式出现3次,从而得出公式Philippe Lallouet(philip.Lallouet,AT)wanadoo.fr),2007年8月20日
[1,6,6,0,0,0,…]的二项式变换;Narayana变换(A001263号)第页,共页[1,6,0,0,0…]-加里·亚当森2007年12月29日
a(n)=(n-1)*A000166号(n) +(n-2)*A000166号(n-1)=(n-1)楼层(n!*e^(-1)+1)+(n-2)*楼层((n-1)*e^(-1)+1)(偏移量为0)-加里·德特利夫斯2009年12月6日
a(n)=A028896号(n) +1-奥马尔·波尔2011年10月3日
a(n)=积分((sin((n+1/2)x)/sin(x/2))^3,x=0..Pi)/Pi-亚尔钦·阿克塔尔2011年12月3日
求和{n>=0}1/a(n)=Pi/sqrt(3)*tanh(Pi/(2*sqrt(三)))=1.305284153013581-蚂蚁王,2012年6月17日
a(n)=A000290型(n)+A000217号(2n+1)-伊万·伊纳基耶夫2013年9月24日
a(n)=A002378号(n+1)+A056220型(n)=A005408号(n) +2个*A005449号(n) =6*A000217号(n) +1-伊万·伊纳基耶夫2013年9月26日
a(n)=6*A000124号(n) -5-伊万·伊纳基耶夫,2013年10月13日
a(n)=A239426型(n+1)/A239449号(n+1)=A215630型(2*n+1,n+1)-莱因哈德·祖姆凯勒2014年3月19日
a(n)=A243201型(n)/A002061号(n+1)-马修·恩格兰德2014年6月3日
a(n)=A101321号(6,n)-R.J.马塔尔2016年7月28日
例如:(1+6*x+3*x^2)*exp(x)-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月28日
a(n)=(2018年1月44日(n)+A016754号(n) )/2-布鲁斯·尼克尔森2017年8月6日
a(n)=A045943号(2n+1)-米奎尔·塞尔达2018年1月22日
a(n)=3*积分{x=n.n+1}x^2dx-卡米娜·苏里亚诺2018年4月10日
a(n)=A287326号(A000124号(n) ,1)-科洛索夫石油公司2018年10月22日
发件人阿米拉姆·埃尔达尔,2020年6月20日:(开始)
和{n>=0}a(n)/n!=10*e。
和{n>=0}(-1)^(n+1)*a(n)/n!=2/e.(结束)
G.f.:polylog(-3,x)*(1-x)/x。参见西蒙·普劳夫上面的公式,以及A008292年通过弗拉德塔·约沃维奇2002年9月2日-沃尔夫迪特·朗,2021年5月8日
a(n)=T(n-1)^2-2*T(n)^2+T(n+1)^2,n>=1,T=三角数A000217号. -克劳斯·普拉斯2021年10月11日
a(n)=1+2*Sum_{j=n.2n}j-克劳斯·普拉斯2021年10月19日
a(n)=A069099型(n+1)-A000217号(n) -克劳斯·普拉斯2021年11月3日
发件人利奥·塔瓦雷斯,2021年12月3日:(开始)
a(n)=A005448号(n)+140091英镑(n) ;
a(n)=2018年1月44日(n)+A002378号(n) ;
a(n)=A005891号(n)+A000217号(n) ;
a(n)=A000290型(n)+A000384号(n+1);
a(n)=A060544号(n-1)+3*A000217号(n) ;
a(n)=A060544号(n-1)+A045943号(n) ●●●●。
a(2*n+1)=A154105号(n) ●●●●。
(结束)
例子
G.f.=1+7*x+19*x^2+37*x^3+61*x^4+91*x^5+127*x^6+169*x^7+217*x^8+。。。
发件人奥马尔·波尔,2011年8月21日:(开始)
初始术语说明:
.
.o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o o o o o oO o o oo o o
.o o o o o o o o oo o o o-o o o
.o o o o o o o o oO o o oo o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o
.
. 1 7 19 37
.
(结束)
发件人克劳斯·普拉斯,2021年12月3日:(开始)
(1) a(19)不是质数,因为除了a(19。
(2) a(25)是素数,因为除了a(25。(结束)
MAPLE公司
A003215号:=n->3*n*(n+1)+1;序列(A003215号(n) ,n=0..100)#韦斯利·伊万·赫特2014年3月28日
数学
文件夹列表[#1+#2&,1,6范围@50](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*)
线性递归[{3,-3,1},{1,7,19},47](*罗伯特·威尔逊v2013年7月6日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=3*n*(n+1)+1};
(哈斯克尔)
a003215 n=3*n*(n+1)+1--莱因哈德·祖姆凯勒2011年10月22日
(最大值)makelist(3*n*(n+1)+1,n,0,30)/*马丁·埃特尔2012年11月12日*/
(岩浆)[0..50]]中的[3*n*(n+1)+1:n//G.C.格鲁贝尔2017年11月4日
(Python)[3*n*(n+1)+1代表范围(47)内的n]#迈克尔·布拉尼基2021年1月7日
交叉参考
第k列=第3列,共列A080853号,第k列=第2列A047969号.
另请参见A220083型对于形式为n*P(s,n)-(n-1)*P(s,n-1)的数字列表,其中P(s、n)是具有s条边的第n个多边形数。
囊性纤维变性。A287326号(A000124号(n) ,1)。
囊性纤维变性。A008292年.
囊性纤维变性。A154105号.
关键词
非n,容易的,美好的
作者
扩展
部分编辑人乔格·阿恩特2010年3月11日
状态
经核准的
A000567号 八角数:n*(3*n-2)。也称为星号。
(原名M4493 N1901)
+10
253
0, 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936, 1045, 1160, 1281, 1408, 1541, 1680, 1825, 1976, 2133, 2296, 2465, 2640, 2821, 3008, 3201, 3400, 3605, 3816, 4033, 4256, 4485, 4720, 4961, 5208, 5461 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
发件人楼层van Lamoen2001年7月21日:(开始)
写1、2、3、4,。。。在0附近呈六角螺旋形;则a(n)是通过从0开始沿方向0,1读取直线得到的序列,。。。。
螺旋开始于:
.
85--84--83--82--81--80
/ \
86 56--55--54--53--52 79
/ / \ \
87 57 33--32--31--30 51 78
/ / / \ \ \
88 58 34 16--15--14 29 50 77
/ / / / \ \ \ \
89 59 35 17 5---4 13 28 49 76
/ / / / / \ \ \ \ \
90 60 36 18 6 0 3 12 27 48 75
/ / / / / / / / / / /
91 61 37 19 7 1---2 11 26 47 74
\ \ \ \ \ . / / / /
92 62 38 20 8--9-10 25 46 73
\ \ \ \ . / / /
93 63 39 21--22--23--24 45 72
\ \ \ . / /
94 64 40--41--42--43--44 71
\\/
95 65--66--67--68--69--70
\ .
96
.
发件人Lekraj Beedassy公司2003年10月2日:(开始)
另外,可以从中移除的不同三个细胞块的数量A000217号以边(n+1)的步进三角形阵列排列的(n+1)个正方形单元。例如,一个5层三角形方格阵列的顶点轮廓如下:
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x x(结束)
n处的一阶导数A045991号. -罗斯·拉海耶2004年10月23日
从n=1开始,序列对应于K_{n,n}的维纳指数(其中每个独立集有n个顶点的完全二部图)Kailasam Viswanathan Iyer,2009年3月11日
n>0(cf)时24^(n-1)的除数A009968号). -J.洛厄尔2008年8月30日
a(n)=A001399年(6n-5),将6*n-5个分区分成<4个部分。例如,a(2)=8,将6*2-5=7划分为<4的部分是:[1,1,1,1,1]、[1,1,1,1,2]、[1,1,1,1,3]、[11,1,2,2]、[1,1,2,3]、[1,2,2,2],[1,2,2,2]、[1,3,3]、[2,2,3]-阿迪·达尼,2011年6月7日
此外,通过从0开始沿0、8、…、。。。,和从1开始的平行线在方向1,21。。。,在顶点为广义八角数的正方形螺旋中A001082号. -奥马尔·波尔2011年9月10日
部分金额给出A002414号. -奥马尔·波尔2013年1月12日
使用欧几里德公式(n,n-1)生成毕达哥拉斯三元组,得到a,B,C.a(n)=B+(a+C)/2-J.M.贝戈2013年7月13日
基于5细胞von Neumann邻域,由“规则773”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的活动(ON,黑色)细胞数-罗伯特·普莱斯2016年5月23日
对于n>=1,sqrt(27*a(n))的连分式展开为[9n-4;{1,2n-2,3,2n-2,1,18n-8}]。对于n=1,这个值折叠为[5;{5,10}]-朱棣文(Magus K.Chu)2022年10月10日
a(n)*a(n+1)+1=(3n^2+n-1)^2。一般来说,a(n)*a(n+k)+k^2=(3n^2+(3k-2)n-k)^2-查理·马里恩2023年5月23日
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兰斯洛特·霍格本,Cardpack和Chessboard的选择和机会第1卷,Max Parrish and Co,伦敦,1950年,第36页。
INRIA算法项目,组合结构百科全书342.
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R.坎普,关于语言{w在Sigma*|w=w^R}^2中的字数,离散数学。,40 (1982), 225-234. 见表1。
Hyun Kwang Kim,关于正则多面体数,程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》,131(2002),65-75。
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维克托·列万多夫斯基(Viktor Levandovskyy)、克里斯托夫·库特尚(Christoph Koutschen)和奥列克桑德·莫萨克(Oleksandr Motsak),受仿射关系约束的二生成非交换代数,arXiv:1108.1108[cs.SC],2011年。
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
西蒙·普劳夫,1031生成函数,论文附录,蒙特利尔,1992
利奥·塔瓦雷斯,插图:方形射线
利奥·塔瓦雷斯,插图:双矩形光线
利奥·塔瓦雷斯,插图:星形行
利奥·塔瓦雷斯,插图:分裂的星星
埃里克·魏斯坦的数学世界,完全二部图.
埃里克·魏斯坦的数学世界,八角数.
埃里克·魏斯坦的数学世界,维纳指数.
常系数线性递归的索引项,签名(3,-3.1)。
配方奶粉
a(n)=n*(3*n-2)。
a(n)=(3n-2)*(3n-1)*(3 n)/((3 n-1)+(3 n-2)+(3n)),即(三个连续数的乘积)/(它们的和)。a(1)=1*2*3/(1+2+3),a(2)=4*5*6/(4+5+6)等-阿玛纳斯·穆尔西2002年8月29日
例如:exp(x)*(x+3*x^2)-保罗·巴里2003年7月23日
G.f.:x*(1+5*x)/(1-x)^3。西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a(n)=和{k=1..n}(5*n-4*k)-保罗·巴里2005年9月6日
a(n)=n+6*A000217号(n-1)-楼层van Lamoen2005年10月14日
a(n)=C(n+1,2)+5*C(n,2)。
起始(1,8,21,40,65,…)=[1,7,6,0,0,O,…]的二项式变换-加里·亚当森2008年4月30日
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n2)+a(n-3),a(0)=0,a(1)=1,a(2)=8-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月2日
a(n)=A000578号(n)-A007531号(n) -莱因哈德·祖姆凯勒2009年9月18日
a(n)=a(n-1)+6*n-5(a(0)=0)-文森佐·利班迪2010年11月20日
a(n)=2*a(n-1)-a(n-2)+6-蚂蚁王2011年9月1日
a(n)=A000217号(n) +5个*A000217号(n-1)-文森佐·利班迪2010年11月20日
a(n)=(A185212号(n) -1)/4-莱因哈德·祖姆凯勒2012年12月20日
a(n)=A174709号(6n)-菲利普·德尔汉姆2013年3月26日
a(n)=(2*n-1)^2-(n-1)-伊万·伊纳基耶夫2013年4月10日
a(6*a(n)+16*n+1)=a(6*1(n)+16*n)+a(6*n+1)-弗拉基米尔·舍维列夫2014年1月24日
a(0)=0,a(n)=Sum_{k=0..n-1}A005408号(A051162号(n-1,k)),n>=1-L.埃德森·杰弗里2014年7月28日
求和{n>=1}1/a(n)=(sqrt(3)*Pi+9*log(3))/12=1.277409057559637311949534921-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年4月27日
发件人伊利亚·古特科夫斯基2016年7月29日:(开始)
的二项式逆变换A084857号.
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=Pi/(2*sqrt(3))=A093766号.(结束)
a(n)=n*A016777号(n-1)=A053755号(n)-A000290型(n+1)-布鲁斯·尼克尔森2017年8月10日
产品{n>=2}(1-1/a(n))=3/4-阿米拉姆·埃尔达尔2021年1月21日
P(4k+4,n)=((k+1)*n-k)^2-(k*n-k-查理·马里恩2021年10月7日
发件人利奥·塔瓦雷斯,2021年10月31日:(开始)
a(n)=A000290型(n) +4个*A000217号(n-1)。请参见方形射线图。
a(n)=A000290型(n)+A046092号(n-1)
a(n)=A000384号(n) +2个*A000217号(n-1)。请参见双矩形光线图。
a(n)=A000384号(n)+A002378号(n-1)
a(n)=A003154号(n)-A045944号(n-1)。请参见星行图。(结束)
MAPLE公司
A000567号:=进程(n)
n*(3*n-2);
结束进程:
序列(A000567号(n) ,n=1..50);
数学
表[n(3n-2),{n,0,50}](*哈维·P·戴尔2012年5月6日*)
表[PolygonalNumber[RegularPolygon[8],n],{n,0,43}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基,2016年8月27日*)
多边形编号[8,范围[0,20]](*埃里克·韦斯特因2017年9月7日*)
线性递归[{3,-3,1},{1,8,21},{0,20}](*埃里克·韦斯特因2017年9月7日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=n*(3*n-2)\\查尔斯·格里特豪斯四世,2011年6月10日
(PARI)矢量(50,n,n-;n*(3*n-2))\\G.C.格鲁贝尔2018年11月15日
(GAP)列表([0..50],n->n*(3*n-2))#G.C.格鲁贝尔2018年11月15日
(哈斯克尔)
a000567 n=n*(3*n-2)--莱因哈德·祖姆凯勒2012年12月20日
(弧垂)[n*(3*n-2)表示n在范围(50)内]#G.C.格鲁贝尔2018年11月15日
(Python)#用于计算序列的初始段,而不是孤立项。
定义aList():
x、 y=1,1
产量0
为True时:
收益率x
x、 y=x+y+6,y+6
A000567号=列表()
打印([下一页(A000567号)对于范围(49)内的i)#彼得·卢什尼,2019年8月4日
(Python)[n*(3*n-2)表示范围(50)内的n]#Gennady Eremin公司2022年3月10日
(岩浆)[0..50]]中的[n*(3*n-2):n//韦斯利·伊万·赫特2021年10月10日
交叉参考
囊性纤维变性。A014641号,A014642号,A014793号,A014794美元,A001835号,A016777号,A045944号,A093563号((6,1)帕斯卡,第m列=2)。A016921号(差异)。
囊性纤维变性。A005408号(奇数)。
关键词
非n,容易的,美好的,改变
作者
扩展
删除了错误示例乔格·阿恩特2010年3月11日
状态
经核准的
A008619号 正整数重复。 +10
230
1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 37, 37, 38 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
前n+1个正整数的算术平均数的底-西诺·希利亚德2003年9月6日
将n分为2次幂的次数,其中无幂使用超过三次,或第四个二进制配分函数(参见A072170号).
n的分区数,其中最大部分最多为2-罗伯特·威尔逊v2002年1月11日
n的分区数最多分为2个部分-乔恩·佩里,2003年6月16日
a(n)=#{k=0..n:k+n是偶数}-保罗·巴里2003年9月13日
半长n+2且具有两个峰值的对称Dyck路径数。例如,a(6)=4,因为我们有UUUUU*DU*DDDDDDD、UUUU-*DDUU*DDDD、UUU U*DDDUUU*DDDDD和UUU*DDDDUUU UUU**DDDDDD,其中U=(1,1)、D=(1,-1)和*表示峰值-Emeric Deutsch公司2004年1月12日
最小正整数,其与另一个正整数的调和平均值为n(对于n>0)。例如,已经给出了a(6)=4(因为4是最小的正整数,所以4(带12)的调和平均数是6),但2(带-6)的调和均值也是6和2<4,因此需要施加两个正整数限制来排除2和-6。
Losanitsch三角形的第二个最外侧对角线(A034851号). -阿隆索·德尔·阿特2006年3月12日
第n行的算术平均值A080511型. -阿玛纳斯·穆尔西2003年3月20日
a(n)是用1欧元和2欧元(分别为美元)的硬币支付n欧元(或美元)的方式数量-理查德·乔利特罗伯特·威尔逊v2007年12月31日
的二项式逆变换A045623号. -菲利普·德尔汉姆2008年12月30日
当m趋于无穷大时,(m选择2)_q展开式中q ^n的系数Y.Kelly Itakura(yitkr(AT)mta.ca),2002年8月21日
此Itakura注释来自部分分数分解(m choose 2)_q=[(1-q^(2m-2))/(1+q)+(1-qqu(2m-2-))/。在q中被解释为生成函数,它们具有卷积结构;分子中的第一项创建+1、-1、+1、-1等,第二项创建+1,+1,+1等,第三项创建2,4,6,8等,作为m->无穷大-R.J.马塔尔2008年9月25日
(-1)^n的二项式变换*A034008号(n) =[1,0,1,-2,4,-8,16,-32,…]-菲利普·德尔汉姆2009年11月15日
Jon Perry,2010年11月16日:(开始)
列总和:
1 1 1 1 1 1...
1 1 1 1。。。
1 1...
..............
--------------
1 1 2 2 3…(结束)
这个序列也是1序列幂的半卷积A000012号与自己。关于半卷积的定义,请参阅A201204号,其中也给出了o.g.f.的规则-沃尔夫迪特·朗,2012年1月9日
a(n)也是n>0时右半平面上第n个Bernoulli多项式的根数-米歇尔·拉格诺2012年11月8日
a(n)是Exe振动微扰矩阵H(Q)的级数展开中n阶对称允许的线性无关项的数目(参见Viel&Eisfeld)-Bradley Klee公司2015年7月21日
a(n)是帕斯卡三角形第n行中不同整数的数量-梅尔文·佩拉尔塔2016年2月3日
对于n>=3,a(n+1)是广义Petersen图G(n,1)的直径-尼克·梅耶斯2016年6月6日
中定义的算术函数v_1(n,2)A289198型. -罗伯特·普莱斯2017年8月22日
此外,该序列是两个连续斐波那契多项式F(n+1,x)和F(n,x)(n>=0)的系数之和的三角形中的第二列,以x的升幂表示-穆罕默德·阿扎里安2018年7月18日
a(n+2)是最小的k,因此给定任意k个整数,其中有两个整数的和或差可以被n整除-巴勃罗·休索·梅里诺2020年5月9日
第k列=第2列,共列A051159号. -约翰基斯2021年6月28日
参考文献
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链接
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安德烈·阿辛诺夫斯基(Andrei Asinowski)、西里尔·班德利尔(Cyril Banderier)和瓦莱丽·罗特纳(Valerie Roitner),具有多个禁止模式的格路径的生成函数, (2019).
彼得·卡梅隆,由低聚置换群实现的序列,J.集成。序号。第3卷(2000年),第00.1.5号。
L.Colmenarejo,与平面划分有关的几类Kronecker系数的组合数学,arXiv:1604.00803[math.CO],2016年。见第5页的表1。
里卡多·戈梅斯·阿扎,带花树:整数分割树和整数合成树的目录及其渐近分析,arXiv:240.2.16111[math.CO],2024。见第23页。
INRIA算法项目,组合结构百科全书120
INRIA算法项目,组合结构百科全书209
INRIA算法项目,组合结构百科全书351
格兹森·克里(Gerzson Keri)和帕特里克·R·J·奥·斯特格,非等价(2R+3,7)R最优覆盖码的个数《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.4.7条。
L.F.Klosinski、G.L.Alexanderson和A.P.Hillman,威廉·洛厄尔·普特南数学竞赛阿默尔。数学。月刊91(1984),487-495。参见问题B2。
多纳泰拉·梅里尼和马西莫·诺森蒂尼,避免Riordan模式的语言代数生成函数《整数序列杂志》,第21卷(2018年),第18.1.3条。
Narad Rampersad和Max Wiebe,二项式系数mod 2和2-正则序列的乘积和,arXiv:2309.04012[math.NT],2023。
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亚历山德拉·维尔和沃尔夫冈·艾斯菲尔德,高阶Jahn-Teller耦合对核动力学的影响,J.化学。物理。,120, 4603 (2004).
埃里克·魏斯坦的数学世界,Legendre-Gauss正交
常系数线性递归的索引项,签名(1,1,-1)。
配方奶粉
[1,1]的欧拉变换。
a(n)=1+楼层(n/2)。
G.f.:1/((1-x)(1-x^2))。
例如:((3+2*x)*exp(x)+exp(-x))/4。
a(n)=a(n-1)+a(n-2)-a(n-3)=-a(-3-n)。
a(0)=a(1)=1,a(n)=楼层((a(n-1)+a(n-2))/2+1)。
a(n)=(2*n+3+(-1)^n)/4-保罗·巴里2003年5月27日
a(n)=二项(j,i)*(-2)^i-保罗·巴里2003年8月26日
例如:(1+x)*exp(x)+cosh(x))/2-保罗·巴里2003年9月13日
a(n)=A108299号当n>0时,(n-1,n)*(-1)^楼层(n/2)-莱因哈德·祖姆凯勒2005年6月1日
a(n)=A108561号(n+2,n)对于n>0-莱因哈德·祖姆凯勒2005年6月10日
a(n)=A125291号(A125293号(n) )-莱因哈德·祖姆凯勒,2006年11月26日
a(n)=上限(n/2),n>=1-穆罕默德·阿扎里安2007年5月22日
INVERT变换产生A006054号没有前导零。INVERTi变换产生负的A124745号随着前5个学期的结束,成绩下降了-R.J.马塔尔2008年9月11日
a(n)=A026820号(n,2)对于n>1-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日
a(n)=n-a(n-1)+1(a(0)=1)-文森佐·利班迪2010年11月19日
a(n)=A000217号(n)/A110654号(n) -莱因哈德·祖姆凯勒,2011年8月24日
a(n+1)=A181971号(n,n)-莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月9日
1/(1+2/(2+3/(3+4/(4+5/(5+…(续分数))))=1/(e-1),见A073333号. -菲利普·德尔汉姆2013年3月9日
a(n)=地板(A000217号(n) /n),n>0-L.埃德森·杰弗里2013年7月26日
a(n)=n*a(n-1)mod(n+1)=-a(n-1文森佐·利班迪的公式)-里克·L·谢泼德2014年4月2日
a(n)=(a(0)+a(1)+…+a(n-1))/a(n-1),其中a(0)=1-梅尔文·佩拉尔塔2015年6月16日
a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*(k+1)-里克·L·谢泼德2020年9月18日
当n>=2时,a(n)=a(n-2)+1-弗拉迪米尔·莫德拉克2020年9月29日
a(n)=A004526号(n) +1-柴华武2022年7月7日
MAPLE公司
a: =n->iquo(n+2,2):序列(a(n),n=0..75);
数学
扁平[表格[{n,n},{n,35}]](*哈维·P·戴尔2011年9月20日*)
带有[{c=Range[40]},Riffle[c,c]](*哈维·P·戴尔2013年2月23日*)
系数列表[级数[1/(1-x-x^2+x^3),{x,0,75}],x](*罗伯特·威尔逊v2015年2月5日*)
线性递归[{1,1,-1},{1,1,2},75](*罗伯特·威尔逊v2015年2月5日*)
表[Q二项式[n,2,-1],{n,2,75}](*约翰基斯2021年6月28日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=n\2+1
(哈斯克尔)
a008619=(+1)。(`div`2)
a008619_list=concatMap(\x->[x,x])[1..]
(鼠尾草)
a=λn:如果n==0,则为1;如果2,则为a(n-1)+1。除(n),否则为a(n-1)#彼得·卢什尼2015年2月5日
(岩浆)I:=[1,1,2];[n le 3选择I[n]else Self(n-1)+Self//文森佐·利班迪2015年2月4日
(Scala)(2到99).map(_/2)//阿隆索·德尔·阿特2020年5月9日
(Python)
定义A008619号(n) :返回(n>>1)+1#柴华武2022年7月7日
交叉参考
基本上与A004526号.
a(n)和A056136美元是n。
a(n)=A010766号(n+2,2)。
囊性纤维变性。A010551号(部分产品)。
囊性纤维变性。A263997型(区块螺旋)。
囊性纤维变性。189187英镑.
第2列,共列A235791型.
关键词
非n,容易的,美好的
作者
扩展
来自的附加备注丹尼尔·帕里斯
编辑人N.J.A.斯隆2009年9月6日
部分编辑人乔格·阿恩特2010年3月11日
状态
经核准的
A007304型 鞘氨醇数:3个不同素数的乘积。
(原名M5207)
+10
187
30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, 230, 231, 238, 246, 255, 258, 266, 273, 282, 285, 286, 290, 310, 318, 322, 345, 354, 357, 366, 370, 374, 385, 399, 402, 406, 410, 418, 426, 429, 430, 434, 435, 438 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
注意这个和“n正好有三个素因子”之间的区别(A014612号)或者“n正好有三个不同的素因子。”(A033992号). 单词“蝶骨”也意味着“形状像楔子”[美国传统词典],与“蝶骨臼齿”的齿形相同-乔纳森·沃斯邮报2005年9月11日
还有一块蝶骨砖的体积。蝶骨砖是一个矩形平行六面体,其边是蝶骨数的组成部分,即其边是三个不同的素数。例如:不同的素三元组(3,5,7)产生一个3x5x7单位的砖,其体积为105立方单位。二维的三维模拟A037074号根据Cino Hilliard的评论,双素数的乘积。与三维比较A107768号金色3-几乎素数=砖的体积(矩形平行六面体),每个砖的表面都有金色的半素数区域-乔纳森·沃斯邮报2007年1月8日
求和(n>=1,1/a(n)^s)=(1/6)*(P(s)^3-P(3*s)-3*(P)*P(2*s)-P(3*s)),其中P是素数Zeta函数-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2012年6月28日
也使用数字nA001222号(n) =3和A001221号(n) =3-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2012年6月28日
n=265550是最小的n,其中a(n)(=1279789)<A006881号(n) (=1279793)-彼得·多兰2020年4月11日
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
“斯芬克”,《美国传统英语词典》,第四版,霍顿-米夫林公司,2000年。
链接
配方奶粉
A008683号(a(n))=-1。
A000005号(a(n))=8-R.J.马塔尔2009年8月14日
A002033号(a(n)-1)=13-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫,2009年10月7日,R.J.马塔尔2009年10月14日
A178254号(a(n))=36-莱因哈德·祖姆凯勒2010年5月24日
A050326号(a(n))=5,的子序列A225228型. -莱因哈德·祖姆凯勒2013年5月3日
a(n)~2n log n/(log log n)^2-查尔斯·格里特豪斯四世2015年9月14日
例子
发件人古斯·怀斯曼,2020年11月5日:(开始)
严格整数的Heinz数也分为三部分,其中分区的Heinx数(y_1,…,y_k)是素数(y_1)**质数(yk)。这些分区按A001399年(n-6)=A069905号(n-3),带订购版本A001399年(n-6)*6。术语序列及其基本指数开始于:
30: {1,2,3} 182: {1,4,6} 286: {1,5,6}
42: {1,2,4} 186: {1,2,11} 290: {1,3,10}
66: {1,2,5} 190: {1,3,8} 310: {1,3,11}
70: {1,3,4} 195: {2,3,6} 318: {1,2,16}
78: {1,2,6} 222: {1,2,12} 322: {1,4,9}
102: {1,2,7} 230: {1,3,9} 345: {2,3,9}
105: {2,3,4} 231: {2,4,5} 354: {1,2,17}
110: {1,3,5} 238: {1,4,7} 357: {2,4,7}
114: {1,2,8} 246: {1,2,13} 366: {1,2,18}
130: {1,3,6} 255: {2,3,7} 370: {1,3,12}
138: {1,2,9} 258: {1,2,14} 374: {1,5,7}
154: {1,4,5} 266: {1,4,8} 385: {3,4,5}
165: {2,3,5} 273: {2,4,6} 399: {2,4,8}
170: {1,3,7} 282: {1,2,15} 402: {1,2,19}
174: {1,2,10} 285: {2,3,8} 406: {1,4,10}
(结束)
MAPLE公司
使用(数字理论):a:=proc(n)如果bigomega(n)=3和nops(因子集(n))=3,则n其他fi结束:seq(a(n),n=1..450)#Emeric Deutsch公司
A007304型:=进程(n)
选项记忆;
局部a;
如果n=1,则
30;
其他的
对于来自procname(n-1)+1 do的a
如果bigomega(a)=3且nops(因子集(a))=3,则
返回a;
结束条件:;
结束do:
结束条件:;
结束进程:#R.J.马塔尔2016年12月6日
数学
并集[展平[表[素数[n]*素数[m]*素素[k],{k,20},{n,k+1,20},{m,n+1,20{]]
取[Sort@Flatten@Table]素数@i 素数@j 底漆@k,{i,3,21},{j,2,i-1},[k,j-1}],53](*罗伯特·威尔逊v*)
使用[{upto=500},排序[Select[Times@@@Subsets[Prime[Range[Ceiling[upto/6]]],{3}],#<=upto&]]](*哈维·P·戴尔2015年1月8日*)
选择[Range[100],SquareFreeQ[#]&&PrimeOmega[#]==3&](*古斯·怀斯曼,2020年11月5日*)
黄体脂酮素
(PARI)对于(n=1,1e4,如果(bigomega(n)==3&&omega(n)==3,打印1(n“,”))\\查尔斯·格里特豪斯四世,2011年6月10日
(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),t);对于素数(p=2,(lim)^(1/3)),对于素数来说(q=p+1,sqrt(lim\p),t=p*q;forprime(r=q+1,lim\t,listput(v,t*r));向量排序(Vec(v))\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月20日
(哈斯克尔)
a007304 n=a007304列表!!(n-1)
a007304_list=过滤器f[1..],其中
f u=p<q&&q<w&&a010051 w==1,其中
p=a020639 u;v=div u p;q=a020639伏;w=div v q
--莱因哈德·祖姆凯勒2014年3月23日
交叉参考
囊性纤维变性。A006881号,A046386美元,A046387号,A067885号(分别是2、4、5和6个不同素数的乘积)
囊性纤维变性。邮编:162143(a(n)^2)。
对于以下内容,NNS表示“不一定严格”。
A014612号是NNS版本。
A046389号是对赔率的限制(NNS:A046316型).
A075819美元是对偶数的限制(NNS:A075818号).
A239656型给出了第一个差异。
A285508型列出的术语A014612号这是不公平的。
A307534型是指所有质数指数均为奇数(NNS:A338471型).
A337453型是有序三元组(NNS:A014311号).
A338557美元是指所有质数指数均为偶数的情况(NNS:A338556型).
A001399年(n-6)统计严格的3部分分区(NNS:A001399年(n-3))。
A005117号列出了无平方数。
A008289号按总和和长度计算严格分区数。
A220377型计数3部分两两互质严格分区(NNS:A307719型).
关键词
非n,容易的
作者
扩展
更多术语来自罗伯特·威尔逊v2006年1月4日
关于修正除数的评论R.J.马塔尔2009年8月14日
状态
经核准的
A005044号 阿尔金序列:x^3/((1-x^2)*(1-x*3)*(1x^4))的展开。
(原名M0146)
+10
124
0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16, 21, 19, 24, 21, 27, 24, 30, 27, 33, 30, 37, 33, 40, 37, 44, 40, 48, 44, 52, 48, 56, 52, 61, 56, 65, 61, 70, 65, 75, 70, 80, 75, 85, 80, 91, 85, 96, 91, 102, 96, 108, 102, 114, 108, 120 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,8
评论
a(n)是具有整数边和周长n的三角形数。
此外,a(n)是具有不同整数边和周长n+6的三角形的数量,即三元组(a,b,c)的数量,使得1<a<b<c<a+b,a+b+c=n+6-罗杰·库库里
具有不同的偏移量(即没有三个前导零,如A266755型),n个空酒桶、n个半满酒桶和n个满酒桶可以分配给3个人的方式的数量,以使每个人获得相同数量的酒桶和相同数量的葡萄酒[Alcuin]。例如,当n=2时,一个人可以给两个人一个满满的,一个空的,第三个人得到两个半满的。(注释由更正富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年10月23日)
对于m>=2,序列{a(n)mod m}是周期的,周期为12*m。-Martin J.Erickson(Erickson(AT)truman.edu),2008年6月6日
将n划分为第2、3和4部分的分区数,其中至少有一部分为3-乔格·阿恩特2013年2月3日
对于p和q的几个值,序列(A005044号(n+p)-A005044号(n-q))导致已知序列,参见交叉参考-约翰内斯·梅耶尔,2013年10月12日
对于n>=3,将n-3划分为第2、3和4部分的分区数-大卫·尼尔·麦格拉思,2014年8月30日
此外,a(n)是长度为3的n的分区mu的数量,使得mu_1-mu_2是偶数,而mu_2-mu_3是偶数(参见下面的示例)-约翰·M·坎贝尔2016年1月29日
对于n>1,边长为奇数且周长为2*n-3的三角形数-韦斯利·伊万·赫特2019年5月13日
将n+1划分为4个部分的分区数,其中最大的两个部分相等-韦斯利·伊万·赫特2021年1月6日
对于n>=3,n-3的弱分区数(即允许大小为0的部分)分为三部分,其中任何部分都不超过(n-3)/2。此外,将n-3的弱分区数分成三部分,所有部分的奇偶校验都与n-3相同-凯文·朗2021年2月20日
此外,a(n)是由规则n边形顶点形成的不协调锐角三角形的数量-弗兰克·M·杰克逊2022年11月4日
参考文献
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链接
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埃里克·魏斯坦的数学世界,阿尔金序列,整数三角形,以及三角形.
维基百科,青少年丙泊酚.
R.G.Wilson v,给N.J.A.斯隆的信,日期未知。
常系数线性递归的索引项,签名(0,1,1,-1,-1,-1,0,1)。
配方奶粉
a(n)=a(n-6)+A059169号(n)=A070093号(n)+A070101号(n)+A024155号(n) ●●●●。
对于奇数指数,我们有a(2*n-3)=a(2*n)。对于偶数指数,a(2*n)=最接近n^2/12的整数=A001399年(n) ●●●●。
对于所有n,a(n)=圆形(n^2/12)-楼层(n/4)*楼层((n+2)/4)=a(-3-n)=A069905号(n)-A002265号(n)*A002265号(n+2)。
对于n=0..11(mod 12),a(n)分别是n^2/48,(n^2+6*n-7)/48,(n*2-4)/48 6*n+5)/48。
长度为4的序列[0,1,1,1]的欧拉变换-迈克尔·索莫斯2006年9月4日
a(-3-n)=a(n)-迈克尔·索莫斯2006年9月4日
a(n)=总和(上限((n-3)/3)<=i<=楼层((n-2)/2),总和(上限)((n-i-3)/2)<=j<=i,1),对于n>=1-斯里坎思K S2008年8月2日
当n>=9时,a(n)=a(n-2)+a(n-3)+a-大卫·尼尔·麦格拉思,2014年8月30日
a(n+3)=a(n),如果n是奇数;如果n是偶数,则a(n+3)=a(n)+地板(n/4)+1。证明简图:从周长n三角形到周长-(n+3)三角形有一个明显的内射映射,由f(a,b,c)=(a+1,b+1,c+1)定义。很容易证明f对于奇数n是满射的,而对于n=2k,f的图像只缺少1<=a<=floor(k/2)+1的三角形(a,k+2-a,k+1)-詹姆斯·伊斯特2016年5月1日
a(n)=圆形(n^2/48),如果n是偶数;如果n是奇数,则a(n)=圆形(((n+3)^2/48)-詹姆斯·伊斯特2016年5月1日
a(n)=(6*n^2+18*n-9*(-1)^n*(2*n+3)-36*sin(Pi*n/2)-36*cos(Pi*n/2)+64*cos(2*Pi*n/3)-1)/288-伊利亚·古特科夫斯基2016年5月1日
a(n)=A325691型(n-3)+A000035元(n) 对于n>=3。分区(n,[2,3,4])和非重叠分区(n、3、n/2)+分区(n和2、n/2”)之间的双射可以通过费雷斯(part)[0+3,1,2]映射建立。最后一个分区(n,2,n/2)是唯一的[n/2,n/2]如果n是偶数,则由下式给出A000035元. -《玉春记》2020年9月24日
a(4n+3)=a(4n)+n+1,a(4n+4)=a(4n+1)=A000212号(n+1),a(4n+5)=a(4n+2)+n+1,a(4 n+6)=a(4n+3)=A007980型(n) -《玉春记》2020年10月10日
a(n)-a(n-4)=A008615号(n-1)-R.J.马塔尔2021年6月23日
a(n)-a(n-2)=A008679号(n-3)-R.J.马塔尔2021年6月23日
例子
周长为11的四个三角形,边为1,5,5;2,4,5; 3,3,5; 3,4,4. 所以a(11)=4。
G.f.=x ^3+x ^5+x ^6+2*x ^7+x ^8+3*x ^9+2*x^10+4*x ^11+3*x^12+。。。
发件人约翰·M·坎贝尔2016年1月29日:(开始)
设n=15,则有a(n)=7个长度为3的分区mu|-15,使得mu_1-mu_2是偶数,mu_2-mu_3是偶数:
(13,1,1) |- 15
(11,3,1) |- 15
(9,5,1) |- 15
(9,3,3) |- 15
(7,7,1) |- 15
(7,5,3)|-15
(5,5,5) |- 15
(结束)
MAPLE公司
A005044号:=n->楼层((1/48)*(n^2+3*n+21+(-1)^(n-1)*3*n)):seq(A005044号(n) ,n=0..73);
A005044号:=-1/(z**2+1)/(z**2+z+1)/(z+1)**2/(z-1)**3#西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
数学
a[n_]:=轮[If[EvenQ[n],n^2,(n+3)^2]/48](*Peter Bertok,2002年1月9日*)
系数列表[级数[x^3/((1-x^2)*(1-x*3)*(1-x^4)),{x,0,105}],x](*罗伯特·威尔逊v2004年6月2日*)
me[n_]:=模[{i,j,sum=0},对于[i=Ceiling[(n-3)/3],i<=Floor[(n-3)/2],i=i+1,对于[j=Ceiling[(n-i-3)/2],j<=i,j=j+1,sum=1]];返回[sum];]mine=表格[me[n],{n,1,11}];(*Srikanth(sriperso(AT)gmail.com),2008年8月2日*)
线性递归[{0,1,1,1-,-1,-1,-1-,0-1,0,1},{0,0-,1-,1,1,2-,1},80](*哈维·P·戴尔2014年9月22日*)
表[长度@选择[整数分区[n,{3}],最大[#]*180<90 n&],{n,1,100}](*弗兰克·M·杰克逊2022年11月4日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=圆形(n^2/12)-(n\2)^2\4
(PARI)a(n)=(n^2+6*n*(n%2)+24)\48
(PARI)a(n)=如果(n%2,n+3,n)^2 \/48\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年5月2日
(PARI)concat(向量(3),Vec((x^3)/((1-x^2)*(1-x*3)*(1x^4))+O(x^70))\\费利克斯·弗罗利奇(Felix Fröhlich)2017年6月7日
(哈斯克尔)
a005044=p[2,3,4]。(减去3),其中
p _ 0=1
p[]_=0
p ks'@(k:ks)m=如果m<k,则0,否则p ks'(m-k)+p ks m
--莱因哈德·祖姆凯勒2013年2月28日
交叉参考
请参见A266755型对于没有三个前导零的版本。
囊性纤维变性。A002620型,A070083美元,A008795号.
两个平分都给出了(本质上)A001399年.
(见注释)参见。A008615号(p=1,q=3,偏移=0),A008624号(3, 3, 0),A008679号(3, -1, 0),A026922美元(1, 5, 1),A028242号(5, 7, 0),A030451号(6,6,0),A051274号(3, 5, 0),A052938号(8, 4, 0),A059169号(0, 6, 1),A106466号(5, 4, 0),A130722号(2, 7, 0)
参考该序列(k=3),A288165型(k=4),A288166型(k=5)。
可与周长n形成的k-gon数:此序列(k=3),A062890号(k=4),A069906号(k=5),A069907号(k=6),A288253型(k=7),188254英镑(k=8),A288255型(k=9),A288256型(k=10)。
关键词
容易的,非n,美好的
作者
扩展
来自的其他评论莱因哈德·祖姆凯勒,2002年5月11日
来自Antreas P.Hatzipolakis(xpolakis(AT)otenet.gr)的Yaglom参考和mod公式,2000年5月27日
2004年6月18日,Hermann Kremer(Hermann.Kremer(AT)onlinehome.de)提供了对约克阿尔金(735-804)的引用
状态
经核准的
A051037号 5-光滑数,即素数都小于等于5的数。 +10
109
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, 64, 72, 75, 80, 81, 90, 96, 100, 108, 120, 125, 128, 135, 144, 150, 160, 162, 180, 192, 200, 216, 225, 240, 243, 250, 256, 270, 288, 300, 320, 324, 360, 375, 384, 400, 405 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
有时称为汉明序列,因为汉明要求一个有效的算法来生成形式为2^i*3^j*5^k的所有数字的列表,以升序表示i,j,k>=0。这个问题是由Edsger Dijkstra推广的。
数字k,使8*k=EulerPhi(30*k)-阿图尔·贾辛斯基2008年11月5日
其中记录值大于1出现在A165704型以下为:A165705型(n)=A165704型(a(n))-莱因哈德·祖姆凯勒2009年9月26日
A051916号是一个子序列-莱因哈德·祖姆凯勒2010年3月20日
也称为“调和整数”,见Howard和Longair,1982年,表一,第121页-雨果·普福尔特纳2020年7月16日
也被称为丑陋的数字,尽管原因尚不清楚-古斯·怀斯曼2021年5月21日
一些木本竹种具有超长且稳定的开花间隔,属于该序列。Veller、Nowak和Davis的模型从进化的角度证明了这一观察的合理性-安德烈·扎博洛茨基2021年6月27日
对于每个素数p>5的整数k,p^(4*k)-1==0(mod 240*k)-费德里科·普罗夫维迪2022年5月23日
如评论中所述A085152号Störmer定理表明,作为该序列的连续项出现的唯一连续整数对是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(8,9)、(9,10)、(15,16),(24,25)和(80,81)。这些都代表了重要的音乐间隔-哈尔·M·斯维特凯2022年12月5日
链接
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维基百科,常规号码.
维基百科,谈话:常规号码。包括对名称的讨论。
维基百科,斯特默定理.
配方奶粉
设s(n)=卡片(k|a(k)<n)和f(n)=log(n*sqrt(30))^3/(6*log(2)*log。则s(n)=f(n)+O(log(n))。推测:s(n)=f(n)+O(log log n)。例如,s(10000000)=768很好地近似于f(10000000,=769.3……(参见链接给出的图形)-贝诺伊特·克洛伊特2001年12月30日
该序列的特征函数如下所示:
求和{n>=1}x^a(n)=求和{n>=1}-Möbius(30*n)*x^n/(1-x^n)-保罗·D·汉纳2011年9月18日
a(n)=A143207号(n) /30年-莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月13日
A204455型(15*a(n))=15,仅适用于这些数字-沃尔夫迪特·朗2012年2月4日
A006530号(a(n))<=5-莱因哈德·祖姆凯勒2015年5月16日
和{n>=1}1/a(n)=Product{primes p<=5}p/(p-1)=(2*3*5)/(1*2*4)=15/4-阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月22日
例子
发件人古斯·怀斯曼,2021年5月21日:(开始)
术语序列及其基本指数开始于:
1: {} 25: {3,3}
2: {1} 27: {2,2,2}
3: {2} 30: {1,2,3}
4: {1,1} 32: {1,1,1,1,1}
5: {3} 36: {1,1,2,2}
6:{1,2}40:{1,1,1,3}
8: {1,1,1} 45: {2,2,3}
9: {2,2} 48: {1,1,1,1,2}
10: {1,3} 50: {1,3,3}
12: {1,1,2} 54: {1,2,2,2}
15:{2,3}60:{1,1,2,3}
16: {1,1,1,1} 64: {1,1,1,1,1,1}
18: {1,2,2} 72: {1,1,1,2,2}
20: {1,1,3} 75: {2,3,3}
24: {1,1,1,2} 80: {1,1,1,1,3}
(结束)
MAPLE公司
A051037号:=进程(n)
选项记忆;
局部a;
如果n=1,那么
1;
其他的
对于来自procname(n-1)+1 do的a
数论[因子集](a)减去{2,3,5};
如果%={},则
返回a;
结束条件:;
结束do:
结束条件:;
结束进程:
序列(A051037号(n) ,n=1..100)#R.J.马塔尔2017年11月5日
数学
mx=405;排序@Flatten@表[2^a*3^b*5^c,{a,0,对数[2,mx]},{b,0,Log[3,mx/2^a]}
选择[Range@405,Last@Map[First,FactorInteger@#]<7&](*罗伯特·威尔逊v*)
使用[{nn=10},选择[Union[Times@@@Flatten[Table[Tuples[{2,3,5},n],{n,0,nn}],1]],#<=2^nn&]](*哈维·P·戴尔2022年2月28日*)
黄体脂酮素
(PARI)检验(n)={m=n;对于素数(p=2,5,而(m%p==0,m=m/p));返回(m==1)}
对于(n=1500,如果(测试(n),打印1(n“,”))
(PARI)a(n)=局部(m);如果(n<1,0,n=a(n-1);直到(如果(m=n,对于素数(p=2,5,而(m%p==0,m/=p));m==1),n++);n)
(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),s,t);对于(i=0,logint(lim\=1,5),t=5^i;对于(j=0,logint(lim\t,3),s=t*3^j;而(s<=lim,listput(v,s);s<<=1));集合(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年9月21日;2016年9月19日更新
(PARI)平滑(P:vec,lim)={my(v=列表([1]),nxt=向量(#P,i,1),indx,t);
而(1,t=vecmin(向量(#P,i,v[nxt[i]]*P[i]),&indx);
如果(t>lim,断裂);如果(t>v[#v],则列表输入(v,t));nxt[indx]++);
车辆(v)
};
平滑([2,3,5],1e4)\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年12月3日
(PARI)是_A051037号(n) =n<7||vecmax(因子(n,6)[,1])<7\\M.F.哈斯勒2015年1月16日
(Magma)[1..500]|PrimeDivisors(n)子集[2,3,5]]中的[n:n//布鲁诺·贝塞利,2012年9月24日
(哈斯克尔)
导入数据。集合(singleton、deleteFindMin、insert)
a051037 n=a051037_列表!!(n-1)
a051037_list=f$singleton 1,其中
f s=y:f(插入(5*y)$插入(3*y)$插入(2*y)s')
其中(y,s')=删除查找最小值
--莱因哈德·祖姆凯勒,2015年5月16日
(Python)
定义isok(n):
当n&1==0时:n>>=1
当n%3==0:n//=3时
当n%5==0:n//=5时
返回n==1#达里奥·克拉维乔2022年12月30日
交叉参考
对于其他p值的p-光滑数,请参见A003586号,A002473号,A051038号,A080197号,A080681号,A080682号,A080683号.
具有这些Heinz编号的分区的计数方式为A001399年.
相反的共轭是A033942号,计算依据A004250型.
相反的是A059485型,计算依据A004250型.
非3光滑情况是A080193号,计算依据A069905号.
共轭物是A037144号,计算依据A001399年.
补语是A279622型,计算依据A035300型.
要求素数指数之和为偶数A344297飞机.
关键词
容易的,非n
作者
状态
经核准的
第页12 4 5 6 7 8 9 10...19

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月28日14:38。包含371254个序列。(在oeis4上运行。)