搜索: a001399-编号:a001399
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3, 3, 6, 9, 12, 15, 21, 24, 30, 36, 42, 48, 57, 63, 72, 81, 90, 99, 111, 120, 132, 144, 156, 168, 183, 195, 210, 225, 240, 255, 273, 288, 306, 324, 342, 360, 381, 399, 420, 441, 462, 483, 507, 528, 552, 576, 600, 624, 651, 675, 702, 729, 756, 783, 813, 840, 870
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非n,容易的,较少的
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(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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显然,这些项可以通过固定对角线g_0(x)=1/(1-x)/(1-x^2)/(1-x^3)的生成函数来构造,A001399年,并通过gi(x)=g{i-1}(x)/(1-x^i),i>=1导出第i次对角的生成函数-R.J.马塔尔2016年5月17日
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A000217号
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| 三角数:a(n)=二项式(n+1,2)=n*(n+1)/2=0+1+2+…+n.(名词)。 (原名M2535 N1002)
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+10 4543
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0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431
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评论
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也称为T(n)或C(n+1,2)或二项式(n+1,2)(首选)。
广义六角形数:n*(2*n-1),n=0,+-1,+-2,+-3。。。广义k-角数是第二个k-角数和k-角数字的正项交错,k>=5。在这种情况下,k=6-奥马尔·波尔2011年9月13日和2012年8月4日
n+1,K_{n+1}阶完整图的边数。
在n个字母的字符串中插入一对括号的合法方法的数量。例如,三个字母有六种写法:(a)bc,(ab)c,(abc),a(b)c,a(bc),ab(c)。证明:有C(n+2.2)方法可以选择括号的位置,但其中n+1是非法的,因为括号是相邻的。囊性纤维变性。A002415号.
对于n>=1,a(n)也是n+2次非奇异曲线的亏格,如费马曲线x^(n+2)+y^(n+2)=1.-艾哈迈德·法尔斯(ahmedfares(AT)my_deja.com),2001年2月21日
根据哈纳克定理(1876),n阶非奇异曲线的分支数有界于a(n)-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
双n多米诺骨牌中的瓷砖数量-斯科特·布朗2002年9月24日
n个不相同链接的链可以分解的方式数。这是基于蛋白质组学领域的一个类似问题:质谱仪中n个氨基酸残基的肽可以被分解的方式的数量。一般来说,每个氨基酸的质量不同,所以AB和BC的质量不同-詹姆斯·雷蒙德2003年4月8日
三角数-奇数=移位三角数;1、3、6、10、15、21…-1, 3, 5, 7, 9, 11, ... = 0, 0, 1, 3, 6, 10, ... - Xavier Acloque,2003年10月31日[由更正德里克·奥尔2015年5月5日]
居中多边形数是[边数]的结果*A000217号+ 1]. 例如,中心五边形数(1,6,16,31,…)=5*(0,1,3,6,…)+1。居中七元数(1,8,22,43,…)=7*(0,1,3,6,…)+1.-Xavier Acloque,2003年10月31日
n+1平面相交形成的最大线数-罗恩·金2004年3月29日
避开图案132并且正好具有1个下降的[n]的排列的数目-迈克·扎布罗基,2004年8月26日
不允许长度为n-1的三元字的数量带有子字(0,1)、(0,2)和(1,2)-奥利维尔·杰拉德2012年8月28日
可以从集合{0,1,2,…,n}中选择两个不同的数字而不重复,或者,可以在集合{1,2,……,n{中选择二个不同数字并重复的方法。
据推测,只有1、6、120是三角形和阶乘的数字Christopher M.Tomaszewski(cmt1288(AT)comcast.net),2005年3月30日
每对相邻的项组成一个完美的正方形-扎克·塞多夫2006年3月21日
n+1个字母对称组中的转置数,即除两个元素外,其余元素都保持不变的排列数-杰弗里·克雷策2006年6月23日
对于rho(n):=exp(i*2*Pi/n)(1的n次方根),对于n>=1,rho(n)^a(n)=(-1)^(n+1)。只需使用琐碎性a(2*k+1)==0(mod(2*k+1))和a(2*k)==k(mod))。
a(n)是(a1+a2+a3)^(n-1)展开式中的项数-塞尔吉奥·法尔孔2007年2月12日
a(n+1)是2个变量中n次完全齐次对称多项式的项数-理查德·巴恩斯2017年9月6日
等于半群PT_n\S_n的秩(生成集的最小基数),其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特,2007年5月3日
a(n)给出了从三角形上的一个顶点到该顶点对面绘制cevian时发现的三角形总数,其中n=绘制的cevian数+1。例如,绘制1个cevian,n=1+1=2和a(n)=2*(2+1)/2=3,则图形中总共有3个三角形。如果从一个点到另一侧绘制2个cevians,则n=1+2=3和a(n)=3*(3+1)/2=6,则图中总共有6个三角形。-Noah Priluck(npriluck(AT)gmail.com),2007年4月30日
对于n>=1,a(n)是当项的顺序不同的表示被认为不同时,n-1可以写成三个非负整数之和的方式数。换句话说,对于n>=1,a(n)是方程x+y+z=n-1的非负积分解的个数-阿玛纳斯·穆尔西2001年4月22日(编辑:罗伯特·A·比勒)
a(n)是三维各向同性谐振子的能量为n+3/2的能级数(单位为h*f0,普朗克常数为h,振子频率为f0)。请参阅上文A.Murthy的评论:n=n1+n2+n3带有正整数并排序。o.g.f.的证明见A.Messiah参考-沃尔夫迪特·朗2007年6月29日
数字m>=0,使得圆形(sqrt(2m+1))-圆形(sqrt(2m))=1。
数字m>=0,使得天花板(2*sqrt(2m+1))-1=1+地板(2*sqrt(2m))。
数字m>=0,使得fract(sqrt(2m+1))>1/2,fract(m2))<1/2,其中fract(x)是x的小数部分(即x-floor(x),x>=0)。(结束)
如果Y和Z是一个n集X的3个块,那么对于n>=6,a(n-1)是与Y和Z相交的X的(n-2)子集的数目-米兰Janjic2007年11月9日
循环赛中的比赛数量:n*(n-1)/2给出了n名球员所需的比赛数量。每个人都会和其他人比赛一次乔治·雷德(Georg Wrede),2008年12月18日
等效于连续四面体数的第一个差。请参见A000292号.-Jeremy Cahill(jcahill(AT)inbox.com),2009年4月15日
交替幂和的一般公式是以瑞士-刀多项式P(n,x)表示的A153641号2^(-n-1)(P(n,1)-(-1)^k P(n、2k+1))。因此a(k)=|2^(-3)(P(2,1)-(-1)^k P(2,2k+1))|-彼得·卢什尼2009年7月12日
a(n)是最小的数>a(n-1),使得gcd(n,a(n。如果n是奇数,则gcd是n;如果n是偶数,则为n/2-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年8月6日
弗洛伊德三角形右边的数字是1、3、6、10、15-保罗·穆尔贾迪2010年1月25日
更一般地说,a(2k+1)==j*(2j-1)(mod 2k+2j+1)和
a(2k)==[-k+2j*(j-1)](模2k+2j)。
列总和:
1 3 5 7 9 ...
1 3 5 ...
1 ...
...............
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1 3 6 10 15 ...
和{n>=1}1/a(n)^2=4*Pi^2/3-12=12小于半径为Pi^(1/3)的球体的体积。
(结束)
(结束)
绘制三个点(0,0)、(a(n)、a(n+1))、(a+1)、a+2)以形成三角形。面积为a(n+1)/2-J.M.贝戈2012年5月4日
以a(n)=n*(n+1)/2开头的四个连续三角形数之和减去2等于2*(n+2)^2。a(n)*a(n+2)/2=a(a(n+1)-1)-J.M.贝戈,2012年5月17日
(a(n)*a(n+3)-a(n+1)*a(n+2))*(a(n+1)*a(n+4)-a(n+2)*a(n+3))/8=a((n^2+5*n+4)/2)-J.M.贝戈2012年5月18日
a(n)*a(n+1)+a(n+2)*a(n+3)+3=a(n^2+4*n+6)-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说,a(n)*a(n+1)+a(n+k)*a-查理·马里恩2012年9月11日
a(n)*a(n+3)+a(n+1)*a-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说,a(n)*a(n+k)+a(n+1)*a-查理·马里恩2012年9月11日
a(n)*a(n+2)+a(n+1)*a-J.M.贝戈2012年5月22日
三个点(a(n)、a(n+1))、(a(n/1)、a-J.M.贝戈2012年5月23日
a(n)+a(n+k)=(n+k)^2-(k^2+(2n-1)*k-2n)/2。对于k=1,我们得到a(n)+a(n+1)=(n+1)^2(见下文)-查理·马里恩2012年10月2日
在n空间中,我们可以定义一个(n-1)非平凡的正交投影。例如,在3空间中有一个(2)=3(即点对线、点对平面、线对平面)-道格拉斯·拉蒂默2012年12月17日
对于n>=1,a(n)等于半群P_n\S_n的秩(生成集的最小基数)和幂等秩(幂等生成集的极小基数),其中P_n和S_n表示[n]上的分区幺半群和对称群。
对于n>=3,a(n-1)等于半群T_n\S_n的秩和幂等秩,其中T_n和S_n表示[n]上的完全变换半群和对称群。
(结束)
对于n>=3,a(n)等于半群PT_n\S_n的秩和幂等秩,其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特,2013年1月15日
公式a(n)*a(n+4k+2)/2+a(k)=a(a(n+2k+1)-(k^2+(k+1)^2))是Bergot 2012年5月17日评论中公式a(n*a(n+2)/2=a(a+1)-1的推广-查理·马里恩2013年3月28日
对于奇数m=2k+1,我们有递归a(m*n+k)=m^2*a(n)+a(k)。推论:如果数字T在序列中,那么它就是9*T+1-Lekraj Beedassy公司2013年5月29日
欧拉在歌剧《Postuma》第87节中指出,只要T是三角形数,那么9*T+1、25*T+3、49*T+6和81*T+10也是三角形数。一般来说,如果T是一个三角形数,那么(2*k+1)^2*T+k*(k+1)/2也是一个三角形数-彼得·巴拉,2015年1月5日
使用1/b和1/(b+2)将得到一个边为2*b+2、b^2+2*b和b^2+2*b+2的毕达哥拉斯三角形。设置b=n-1,得到一个边长为2*n、n^2-1和n^2+1的三角形。四分之一周长=a(n),对于n>1-J.M.贝戈2013年7月24日
a(n)=A028896号(n) /6,其中A028896号(n) =s(n)-s(n-1)是s(n,n)=n^3+3*n^2+2*n-8的第一个差。s(n)可以解释为12个边长加上6个面面积加上n个X(n-1)X(n-2)矩形棱镜的体积之和-J.M.贝戈2013年8月13日
A_n型根系中的正根数(对于n>0)-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于k=1到n,k的第r次连续求和的公式是二项式(n+r,r+1)[H.W.Gould]-加里·德特利夫斯2014年1月2日
对于n>=3,a(n-2)是1,2,…,的置换数,。。。,n的上(1)-下(0)个元素的分布为0…011(n-3个零),或者相同,a(n-2)是上下系数{n,3}(参见A060351型). -弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月14日
a(n)是对称n×n矩阵向量空间的维数-德里克·奥尔2014年3月29日
大小为2的{1,…,n+1}的Sidon子集的数目-卡尔·纳杰菲2014年4月27日
范德蒙德行列式V(x_1,x_2,…,x_n)=乘积_{1<=i<k<=n}x_i-x_k定义中的因子数-汤姆·科普兰2014年4月27日
假设一个袋子包含一个(n)红色大理石和一个(n+1)蓝色大理石,其中a(n)、a(n+1)是连续的三角形数字。然后,对于n>0,随机选择两个弹珠并得到两个红色或两个蓝色的概率为1/2。一般来说,对于k>2,设b(0)=0,b(1)=1,对于n>1,b(n)=(k-1)*b(n-1)-b(n-2)+1。假设,对于n>0,一个袋子包含b(n)个红色大理石和b(n+1)个蓝色大理石。然后随机选择两个弹珠,得到两个红色或两个蓝色的概率为(k-1)/(k+1)。另请参见A027941号,A061278号,A089817号,A053142号,A092521号. -查理·马里恩2014年11月3日
考虑将自然数从集合S=(1,2,3,…,n)分为若干部分。生成序列的签名的长度(顺序)由三角数给出。例如,对于n=10,签名长度为55-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月5日
a(n)将(n-1)个未标记对象的分区计算为三(3)个部分(标记为a、b、c),例如,a(5)=15表示(n-1”=4。这些是(aaaa)、(bbbb)、)、(英国广播公司)、(密件抄送)、(英国电视广播公司)-大卫·尼尔·麦格拉思,2015年5月21日
推测:序列是指数n为代数曲线的正弦螺旋的亏格。值0对应于Bernoulli Lemniscate n=2的情况。所以推测的公式是(n-1)(n-2)/2-沃尔夫冈·廷特曼2015年8月2日
猜想:设m为任意正整数。然后,对于每个n=1,2,3,。。。集合{Sum{k=s..t}1/k^m:1<=s<=t<=n}具有基数a(n)=n*(n+1)/2;换句话说,所有1<=s<=t的和{k=s.t}1/k^m是两两不同的。(我通过计算机检查了这个猜想,没有发现反例。)-孙志伟2015年9月9日
对于n>=1,a(n)是n+4到n个部分的组成数,避免了第2部分-米兰Janjic2016年1月7日
假设您正在玩保加利亚纸牌(请参阅A242424型以及张伯伦和加德纳的书),如果n>0,则从一堆a(n)卡开始。那么,达到固定状态{n,n-1,…,1}所需的操作数是a(n-1)。例如,{6}->{5,1}->{4,2}->{3,2,1}. -查理·马里恩2016年1月14日
每个完美立方体都是两个连续三角形数的平方差。1^2-0^2 = 1^3, 3^2-1^2 = 2^3, 6^2-3^2 = 3^3. -米奎尔·塞尔达2016年6月26日
对于n>1,a(n)=tau_n(k*),其中tau_n(k)是k的有序n分解数,k*是素数的平方。例如,tau_3(4)=tau_3(9)=tau_3(25)=tau _3(49)=6(参见A007425美元)因为4、9、25和49的除数是6,a(3)=6-梅尔文·佩拉尔塔2016年8月29日
对常见的公式a(n)+a(n+1)=(n+1”)^2(2004年2月19日)和a(n”^2+a(n+1)^2=a((n+1+6a(k-1))-查理·马里恩2016年11月27日
a(n)也是具有n+4个顶点的多面体中可能的最大对角线数-弗拉基米尔·莱茨科2016年12月19日
对于n>0,2^5*(二项式(n+1,2))^2表示2*(2*n+1)^2个连续整数之和中的第一个整数,等于(2*n+1)^6-帕特里克·麦克纳布2016年12月25日
不大于n的正整数的有序三元组(a,b,c)的数量,使得a+b+c=2n+1-阿维埃尔·利维2017年2月13日
最多使用n种颜色的不等四面体面着色数,因此没有颜色只出现一次-大卫·纳辛2017年2月22日
a(n)是顶点位于(1,1)、(n+1,n+2)和((n+1)^2,(n+2)^2)的三角形的面积-阿特·贝克,2018年12月6日
对于n>0,a(n)是最小的k>0,因此n除以(1/a(1)+1/a(2)+…+的分子1/a(n-1)+1/k)。应该注意的是,1/1+1/3+1/6+…+2/(n(n+1))=2n/(n+1-托马斯·奥多夫斯基,2019年8月4日
n-齐次超可解线排列中线数的上界(参见Dimca中的定理1.1)-斯特凡诺·斯佩齐亚,2019年10月4日
对于n>0,a(n+1)是边长为n的三角形网格上的格点数量-韦斯利·伊万·赫特2020年8月12日
长度为n的字符串的非空子串的最大数目。
求和集A+A的最大基数,其中A是n个数字的集合。(结束)
a(n)是避免模式123、132和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
假设平行画出两行,每行由n个均匀间隔的点组成。假设我们在两行的点之间画出直线。对于n>=1,a(n-1)是线之间可能的最大交点数。等价地,[n]置换中的最大反转数-塞拉·弗里德2023年4月18日
以下等式补充了Bala评论(2015年1月5日)中的概括。(2k+1)^2*a(n)+a(k)=a((2k+1*n+k)-查理·马里恩2023年8月28日
a(n)+a(n+k)+a。对于k=1,我们有a(n)+a(n+1)=(n+1”)^2-查理·马里恩2023年11月17日
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参考文献
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A.J.F.Leatherland,乌拉姆螺旋上的三角数,URL=yoyo.cc.monash.edu.au/~bunyip/primes/triangleUlam.htm。截至2019年12月,此链接不起作用,但恢复它将很有意思。在埃里克·魏斯坦的《数学世界》(World of Mathematics)的纸质版和在线版中,在Prime Spiral to Leatherland的条目中有一个参考,a.J.F.“神秘的Prime Spilon现象”,同样有一个不再起作用的URL-N.J.A.斯隆2019年12月13日
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米歇尔·沃尔德施米特,连续分数埃科尔·德雷切·CIMPA-Oujda,《名义应用研究》,2015年5月18日至29日:乌伊达(马洛克)。
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配方奶粉
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通用:x/(1-x)^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
例如:exp(x)*(x+x^2)。
a(n)=a(-1-n)。
a(n)=(-1)^n*Sum_{k=1..n}(-1)*k*k^2-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
a(n+1)=(n+2)/n)*a(n),和{n>=1}1/a(n=2)-乔恩·佩里2003年7月13日
对于插值零,这是n*(n+2)*(1+(-1)^n)/16-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a(n+1)是n X n对称帕斯卡矩阵M_(i,j)=二项式(i+j+1,i)的行列式-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a(n)=((n+1)^3-n^3-1)/6.-Xavier Acloque,2003年10月24日
a(n)=a(n-1)+(1+sqrt(1+8*a(n-1)))/2。当取平方根的负分支时,此递归关系被反转,即a(n)被转换为a(n-1)而不是a(n+1)-卡尔·R·怀特2003年11月4日
a(n)=a(n-2)+2*n-1-保罗·巴里2004年7月17日
a(n)=平方(sqrt(和{i=1..n}和{j=1.n}(i*j)^3))=(和{i=1..n{和{j=1..n}和_{k=1..n}(i*j))^(1/6)-亚历山大·阿达姆楚克2004年10月26日
如果n是奇数,a(n)==1(mod n+2);如果n是偶数,a-乔恩·佩里2004年12月16日
a(0)=0,a(1)=1,a(n)=2*a(n-1)-a(n-2)+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a(n)=地板((2*n+1)^2/8)-保罗·巴里2006年5月29日
a(n)^2+a(n+1)^2=a(n+1^2)[R B Nelsen,《数学杂志》70(2)(1997),第130页]-R.J.马塔尔2006年11月22日
a(n)*a(n+k)+a(n+1)*a。概括了2006年11月22日之前的公式[以及J.M.贝戈日期:2012年5月22日]-查理·马里恩2011年2月4日
(sqrt(8*a(n)+1)-1)/2=n.大卫·W·坎特雷尔(DWCantrell(AT)sigmaxi.net),2007年2月26日
多边形数的一般公式是P(k,n)=(k-2)*(n-1)n/2+n=n+(k-2*A000217号(n-1),对于n>=1,k>=3-奥马尔·波尔2008年4月28日和2013年3月31日
如果我们定义f(n,i,a)=Sum_{j=0..k-1}(二项式(n,k)*Stirling1(n-k,i)*Product_{j=0.0..k-1}(-a-j)),那么当n>=1时,a(n)=-f(n,n-1,1)-米兰Janjic2008年12月20日
4*a(x)+4*a(y)+1=(x+y+1)^2+(x-y)^2-弗拉基米尔·舍维列夫2009年1月21日
该序列逆的指数生成函数由和{m>=0}((Pochhammer(1,m)*Pochhamder(1,m))*x^m/(Pochharmer(3,m)*阶乘(m))=((2-2*x)*log(1-x)+2*x)/x^2给出,其n阶导数具有闭合形式,必须通过将极限取为x->0来计算。A000217号(n+1)=(lim_{x->0}d^n/dx^n((2-2*x)*log(1-x)+2*x)/x^2)+n*(对数(1-x)+对数(-1/(-1+x)))*(-x+1+n))/x^2))^-1-斯蒂芬·克劳利2009年6月28日
偏移量为1时,a(n)=楼层(n^3/(n+1))/2-加里·德特利夫斯2010年2月14日
a(n)=4*a(楼层(n/2))+(-1)^(n+1)*楼层((n+1)/2)-布鲁诺·贝塞利2010年5月23日
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3);a(0)=0,a(1)=1-马克·多尔斯2010年8月20日
a(n)+2*a(n-1)+a(n-2)=n^2+(n-1;和
a(n)+3*a(n-1)+3*a(n-2)+a(n-3)=n^2+2*(n-1。
一般来说,对于n>=m>2,求和{k=0..m}二项式(m,m-k)*a(n-k)=求和{k=0..m-1}二项式(m-1,m-1-k)*(n-k)^2。
a(n)-2*a(n-1)+a(n-2)=1,a。
一般来说,对于n>=m>2,求和{k=0..m}(-1)^k*二项式(m,m-k)*a(n-k)=0。
(结束)
对于n>0,a(n)=1/(积分_{x=0.Pi/2}4*(sin(x))^(2*n-1)*(cos(x))^3)-弗朗切斯科·达迪2011年8月2日
(n)+(a(n))+1=a(a(n)+1)-J.M.贝戈2012年4月27日
a(n)*a(n+1)=a(和{m=1..n}A005408号(m) )/2,对于n>=1。例如,如果n=8,则a(8)*a(9)=a(80)/2=1620-伊万·伊纳基耶夫2012年5月27日
通用公式:x*(1+3x+6x^2+…)=x*产品{j>=0}(1+x^(2^j))^3=x*A(x)*A(x^2)*A。。。,其中A(x)=(1+3x+3x^2+x^3)-加里·亚当森2012年6月26日
G.f.:G(0),其中G(k)=1+(2*k+3)*x/(2*k+1-x*(k+2)*(2*k+1)/(x*(k+2)+(k+1)/G(k+1)));(连分数,第3类,3步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年11月23日
通用公式:x+3*x^2/(Q(0)-3*x)其中Q(k)=1+k*(x+1)+3*x-x*(k+1)*(k+4)/Q(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a(n)+a(n+1)+a(n+2)+a(n+3)+n=a(2*n+4)-伊万·伊纳基耶夫2013年3月16日
a(n)+a(n+1)+…+a(n+8)+6*n=a(3*n+15)-查理·马里恩2013年3月18日
a(n)+a(n+1)+…+a(n+20)+2*n^2+57*n=a(5*n+55)-查理·马里恩2013年3月18日
当n>0时,3*a(n)+a(n-1)=a(2*n)-伊万·伊纳基耶夫2013年4月5日
一般来说,a(k*n)=(2*k-1)*a(n)+a((k-1)*n-1)-查理·马里恩2015年4月20日
此外,a(k*n)=a(k)*a(n)+a(k-1)*a-罗伯特·伊斯雷尔2015年4月20日
a(n+1)=det(二项式(i+2,j+1),1<=i,j<=n)-米尔恰·梅卡2013年4月6日
a(n)=地板(n/2)+天花板(n^2)=n-地板(n/2)+地板(n^2)-韦斯利·伊万·赫特2013年6月15日
a(n)=楼面((n+1)/(exp(2/(n+1))-1))-理查德·福伯格2013年6月22日
和{n>=1}a(n)/n!=3*exp(1)/2 by the e.g.f.另请参见A067764号关于用这种方法计算的二项式系数的比率-理查德·福伯格2013年7月15日
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=4*log(2)-2=0.7725887-理查德·福伯格2014年8月11日
2/(和{n>=m}1/a(n))=m,对于m>0-理查德·福伯格2014年8月12日
下面是2006年11月22日公式A(n)^2+A(n+1)^2=A(n+1^2)的推广。设T(k,n)=a(n)+k。然后对于所有k,T(k、n)^2+T(k和n+1)^2=T(k(n+1))^2+2*k)-2*k-查理·马里恩2015年12月10日
a(n)^2+a(n+1)^2=a(a(n。可从中推断N.J.A.斯隆a(n)+a(n+1)=(n+1)^2和R.B.Nelson的a(n)^2+a(n+1)^2=a((n+1)^2)-本·保罗·瑟斯顿2015年12月28日
Dirichlet g.f.:(zeta(s-2)+zeta(s-1))/2-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月26日
a(n)^2-a(n-1)^2=n^3-米奎尔·塞尔达2016年6月29日
a(n)^2+a(n+3)^2+19=a(n^2+4*n+10)-查理·马里恩2016年11月23日
2*a(n)^2+a(n”)=a(n^2+n)-查理·马里恩2016年11月29日
通用公式:x/(1-x)^3=(x*r(x)*r(x^3)*r,其中r(x)=(1+x+x^2)^3=(1+3*x+6*x^2+7*x^3+6*x^4+3*x^5+x^6)-加里·亚当森2016年12月3日
a(n)=矩阵Q(n)的逆的元素之和,其中Q(n)有元素Q_i,j=1/(1-4*(i-j)^2)。因此,如果e=由1组成的适当大小的向量,那么a(n)=e’。Q(n)^-1.e-迈克尔·尤基什,2017年3月20日
a(n)=和{k=1..n}(2*k-1)*(2*n-2*k-1)!!)/(2*k-2)*(2*n-2*k)!!)-迈克尔·尤基什,2017年3月20日
Sum_{i=0..k-1}a(n+i)=(3*k*n^2+3*n*k^2+k^3-k)/6-克里斯托弗·霍尔2019年2月23日
当n为奇数时,a(n)==0(mod n)(参见De Koninck参考)-伯纳德·肖特2020年1月10日
8*a(k)*a(n)+((a(k。当k=1时,这个公式简化为众所周知的公式8*a(n)+1=(2*n+1)^2-查理·马里恩2020年7月23日
a(k)*a(n)=和{i=0..k-1}(-1)^i*a((k-i)*(n-i))-查理·马里恩2020年12月4日
产品{n>=1}(1+1/a(n))=cosh(sqrt(7)*Pi/2)/(2*Pi)。
产品{n>=2}(1-1/a(n))=1/3。(结束)
a(n)=和{k=1..2*n-1}(-1)^(k+1)*a(k)*a。例如,对于n=4,1*28-3*21+6*15-10*10+15*6-21*3+28*1=10-查理·马里恩2022年3月23日
2*a(n)=A000384号(n) 通常,如果P(k,n)=第n个k次方数,则(j+1)*a(n)=P(5+j,n)-n^2+(j+1-查理·马里恩2023年3月14日
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例子
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总尺寸:x+3*x^2+6*x^3+10*x^4+15*x^5+21*x^6+28*x^7+36*x^8+45*x*9+。。。
当n=3时,a(3)=4*3/2=6。
示例(a(4)=10):ABCD,其中a、B、C和D是链中的不同链接,或是肽中的不同氨基酸可能片段:a、B,C、D、AB、ABC、ABCD、BC、BCD、CD=10。
a(2):冬青树叶落在德川幕府,a(4):毕达哥拉斯四联中的分数,a(5):八球台球中的物体球-Bradley Klee公司2015年8月24日
a(1)=1到a(5)=15个正整数的有序三元组加起来等于n+2(Beeler,McGrath,上文)如下。这些成分按A014311号.
(111) (112) (113) (114) (115)
(121)(122)(123)(124)
(211) (131) (132) (133)
(212) (141) (142)
(221) (213) (151)
(311) (222) (214)
(231) (223)
(312)(232)
(321) (241)
(411) (313)
(322)
(331)
(412)
(421)
(511)
(结束)
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MAPLE公司
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istriangular:=proc(n)局部t1;t1:=楼层(平方米(2*n));如果n=t1*(t1+1)/2,则返回true,否则返回false;结束条件:;结束进程#N.J.A.斯隆2008年5月25日
ZL:=[S,{S=Prod(B,B,B),B=Set(Z,1<=卡)},未标记]:
seq(combstruct[计数](ZL,大小=n),n=2..55)#泽因瓦利·拉霍斯2007年3月24日
isA000217:=进程(n)
issqr(1+8*n);
结束进程:#R.J.马塔尔2015年11月29日[这是Leonhard Euler在1765年《Vollständige Anleitung zur代数》第七章中提出的食谱。彼得·卢什尼2022年9月2日]
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数学
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文件夹列表[#1+#2&,0,范围@50](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*)
系数列表[级数[x/(1-x)^3,{x,0,50}],x](*文森佐·利班迪2014年7月30日*)
(*对于Mathematica 10.4+*)表[多边形编号[n],{n,0,53}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基,2016年8月27日*)
线性递归[{3,-3,1},{0,1,3},54](*罗伯特·威尔逊v2016年12月4日*)
(*以下Mathematica程序由Steven J.Miller提供,用于测试序列是否为Benford。要测试不同的序列,只需更改一行即可。这强烈表明三角形数字不是Benford,因为输出的第二列和第三列不一致-N.J.A.斯隆2017年2月12日*)
fd[x_]:=楼层[10^Mod[Log[10,x],1]]
benfordtest[num_]:=模块[{},
对于[d=1,d<=9,d++,数字[d]=0];
对于[n=1,n<=num,n++,
{
d=fd[n(n+1)/2];
如果[d!=0,数字[d]=数字[d]+1];
}];
对于[d=1,d<=9,d++,数字[d]=1.0数字[d]/num];
对于[d=1,d<=9,d++,
打印[d,“”,100.0位[d],“”、100.0日志[10,(d+1)/d]]];
];
本福德试验[20000]
表[Length[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n,{3}]],{n,0,15}](*古斯·怀斯曼2020年10月28日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),n,t);而(t=n*n++/2)<=lim,listput(v,t));车辆(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年6月18日
(哈斯克尔)
a000217 n=a000217_列表!!n个
a000217_list=扫描1(+)[0..]--莱因哈德·祖姆凯勒,2011年9月23日
(岩浆)[n*(n+1)/2:n英寸[0..60]]//布鲁诺·贝塞利,2014年7月11日
(Magma)[n:n在[0..1500]|IsSquare(8*n+1)]//尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫,2016年4月9日
(弧垂)[n*(n+1)/2表示n in(0..60)]#布鲁诺·贝塞利,2014年7月11日
(Scala)(1至53).左图(0)(_+_)//霍斯特曼(2012),第171页
(Python)对于范围(0,60)中的n:打印(n*(n+1)/2,end=',')#斯特凡诺·斯佩齐亚,2018年12月6日
(Python)#用于计算序列的初始段,而不是
#孤立术语。如果在迭代中,行“x,y=x+y+1,y+1”
#被替换为“x,y=x+y+k,y+k”,然后得到图形数,
#对于k=0(自然A001477号),k=1(三角形),k=2(正方形),k=3(五边形),k=4(六边形)。
定义aList():
x、 y=1,1
产量0
为True时:
收益率x
x、 y=x+y+1,y+1
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000096号,A000124号,A000292号,A000330号,A000396号,A000668号,A001082号,A001788号,A002024年,A002378号,A002415号,A003056美元(反函数),A004526号,A006011号,A007318号,A008953号,A008954号,A010054号(特征函数),A028347号,A036666美元,A046092号,A051942号,A055998号,A055999号,A056000型,A056115号,A056119号,A056121号,A056126号,A062717号,A087475型,A101859号,A109613号,A143320型,210569英镑,A245031型,A245300型,A060544号,A016754号.
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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8, 12, 18, 20, 27, 28, 30, 42, 44, 45, 50, 52, 63, 66, 68, 70, 75, 76, 78, 92, 98, 99, 102, 105, 110, 114, 116, 117, 124, 125, 130, 138, 147, 148, 153, 154, 164, 165, 170, 171, 172, 174, 175, 182, 186, 188, 190, 195, 207, 212, 222, 230, 231, 236, 238, 242, 244
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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有时称为“三素数”或“3-几乎素数”。
如果将n的a(n)/n表示为10000(可能会更高),那么它似乎会收敛到接近3.9的值。实际上,极限是无限的-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年9月20日
Meng证明,对于任何足够大的奇数n,方程n=a+b+c都有解,其中a、b、c中的每一个都是3-几乎素数。这样的解的个数是(log log n)^6/(16(logn)^3)*n^2*s(n)*(1+O(1/log logn)),其中s(n-乔纳森·沃斯邮报2005年9月16日,修改人M.F.哈斯勒2019年4月24日
此外,a(n)是数字,其除数正好有一半是合成的。有关正好有一半除数是素数的数字,请参见A167171号. -伊凡·内雷廷2016年1月12日
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参考文献
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Edmund Landau,Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen,第1卷,莱比锡Teubner;第三版:切尔西,纽约(1974年)。见第211页。
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链接
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Edmund Landau,Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen公司,第一卷和第2卷柏林莱比锡,B.G.Teubner,1909年。见第一卷,第211页。
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配方奶粉
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总和e_i=3的乘积p_i^e_i。
a(n)~2n log n/(log log n)^2表示n->无穷大[Landau,p.211]。
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例子
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8:{1,1,1}70:{1,3,4}130:{1,3,6}
12: {1,1,2} 75: {2,3,3} 138: {1,2,9}
18: {1,2,2} 76: {1,1,8} 147: {2,4,4}
20: {1,1,3} 78: {1,2,6} 148: {1,1,12}
27: {2,2,2} 92: {1,1,9} 153: {2,2,7}
28:{1,1,4}98:{1,4,4}154:{1,4,5}
30: {1,2,3} 99: {2,2,5} 164: {1,1,13}
42: {1,2,4} 102: {1,2,7} 165: {2,3,5}
44: {1,1,5} 105: {2,3,4} 170: {1,3,7}
45: {2,2,3} 110: {1,3,5} 171: {2,2,8}
50: {1,3,3} 114: {1,2,8} 172: {1,1,14}
52: {1,1,6} 116: {1,1,10} 174: {1,2,10}
63: {2,2,4} 117: {2,2,6} 175: {3,3,4}
66: {1,2,5} 124: {1,1,11} 182: {1,4,6}
68: {1,1,7} 125: {3,3,3} 186: {1,2,11}
(结束)
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MAPLE公司
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数学
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threeAlmostPrimeQ[n_]:=加@@Last/@因子整数@n == 3; 选择[范围@244,三个AlmostPrimeQ[#]&](*罗伯特·威尔逊v2006年1月4日*)
NextkAlmostPrime[n_,k_:2,m_:1]:=块[{c=0,sgn=符号[m]},kap=n+sgn;当[c<Abs[m]时,当[PrimeOmega[kap]!=k、 如果[sgn<0,kap--,kap++]];如果[sgn<0,kap--,kap++];c++];kap+如果[sgn<0,1,-1]];嵌套列表[NextkAlmostPrime[#,3]&,2^3,56](*罗伯特·威尔逊v2013年1月27日*)
选择[Range[244],PrimeOmega[#]==3&](*贾扬达·巴苏2013年7月1日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),t);forprime(p=2,lim\4,forprime(q=2,min(lim\(2*p),p),t=p*q;对于素数(r=2,min(lim\t,q),listput(v,t*r));向量排序(Vec(v))\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月4日
(哈斯克尔)a014612 n=a014612_list!!(n-1)
a014612_list=过滤器((==3)。a001222)[1..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月2日
(Scala)def primeFactors(数字:Int,列表:list[Int]=list())
:列表[Int]={
for(n<-2 to number if(number%n==0)){
return primeFactors(number/n,list:+n)
}
列表
}
(1到250).filter(primeFactors(_).size==3)//阿隆索·德尔·阿特,2020年11月4日,基于Victor Farcic(vfarcic)的算法
(Python)
来自症状输入因子
定义ok(n):f=因子(n);返回和(f中p的f[p])==3
打印(列表(过滤器(正常,范围(245)))#迈克尔·布拉尼基2021年8月12日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A003215号
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| 六角(或中心六角形)数:3*n*(n+1)+1(六角形晶格的水晶球序列)。 (原名M4362)
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+10 277
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1、7、19、37、61、91、127、169、217、271、331、397、469、547、631、721、817、919、1027、1141、1261、1387、1519、1657、1801、1951、2107、2269、2437、2611、2791、2977、3169、3367、3571、3781、3997、4219、4447、4681、4921、5167、5419、5677、5941、6211、6487、6769
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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六角形晶格是常见的二维晶格,其中每个点都有6个邻居。这有时被称为三角晶格。
有序整数三元组(a,b,c)的数量,-n<=a,b、c<=n,这样a+b+c=0-贝诺伊特·克洛伊特2003年6月14日
此外,a(n)是6(n+1)个分区的数量,正好分成3个不同的部分-威廉·基思2004年7月1日
中心六边形图形中每边有n+1个点的点数。
立方体的第一个差异(A000578号). - Cecilia Rossiter(Cecilia(AT)notificatingnumbers.net),2004年12月15日
十六进制数(十六进制(n)模10)的最后数字是周期性的,回文周期长度为5{1,7,9,7,1}。十六进制数(十六进制(n)mod 100)的最后两位是周期性的,回文周期长度为100-亚历山大·阿达姆楚克2006年8月11日
a(n)的所有除数都与模6的1同余。证明:如果p是一个与3不同的奇素数,那么3n^2+3n+1=0(modp)意味着9(2n+1)^2=-3(mod p),其中p=1(mod 6)-尼克·霍布森2006年11月13日
对于n>=1,a(n)是外拿破仑三角形的边,其参考三角形是一个带支腿的直角三角形(3a(nTom Schicker(tschike(AT)email.smith.edu),2007年4月25日
三元组(a,b,c)的数量,其中0<=(a,b)<=n和c=n(至少一次为项n)。例如,对于n=1:(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)Philippe Lallouet(philip.Lallouet,AT)wanadoo.fr),2007年8月20日
来自Terry Stickels,2009年12月7日:(开始)
此外,在查看大小不同的相同立方体的立方体堆栈时,任何一个静态点的最大可视立方体数。
例如,查看2 X 2 X 2堆栈将产生最多7个可视多维数据集。
如果堆栈是3 X 3 X 3,则任何一个静态位置的最大可视立方体数为19,依此类推。
堆栈中立方体的数量必须始终与宽度、长度、高度相同(在真正的规则立方体堆栈中),并且通过取任意立方体数并减去减去一的立方体数量,始终可以找到最大可见立方体数目。
例如:125-64=61,64-27=37,27-8=19。(结束)
a(n)的数字根的序列是周期3:repeat[1,7,1]-蚂蚁王,2012年6月17日
第一个n(n>0)中心六边形数的平均值是第n个平方-菲利普·德尔汉姆2013年2月4日
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
4、5、6、7、8、9。。。
5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
a(n)是钩和sum{k=0..n}a(n,k)+sum{r=0..n-1}a(r,n)-R.J.马塔尔2013年6月30日
a(n)是n+1 X n+1矩阵中的项减去数组中n X n矩阵中的项数之和,该数组由A158405型一个数组(每行的起始项是1,3,5,7,9,11,…)-J.M.贝戈,2013年7月5日
这个公式也等于两个连续数字的三个不同组合的乘积:n^2,(n+1)^2,和n*(n+1)-J.M.贝戈2014年3月28日
任意三角形ABC的边被2n个点分成2n+1等分:A_1,A_2。。。,A_2n在A侧,也在b侧和c侧循环。如果A'B'C'是由AA_n、BB_n和CC_n cevians分隔的三角形,则(ABC)/(A'B'C')=A(n)(请参阅Java applet链接)-伊格纳西奥·拉罗萨·卡尼斯特罗2015年1月2日
a(n)是(n+1)个三角形可以相互相交的最大部分数-伊万·伊纳基耶夫2015年2月18日
每个正整数是8个十六进制数(包括零)的和,其中最多3个大于1-毛罗·佛罗伦萨2018年1月1日
由n*Pi/2和(n+1)*Pi/2之间阿基米德螺线段包围的面积,单位为Pi^3/48-卡米娜·苏里亚诺2018年4月10日
这个序列包含所有数字k,因此12*k-3是一个正方形-克劳斯·普拉斯2021年10月19日
sqrt(3*a(n))的连分式展开式是[3n+1;{1,2,n,1,1,6n+2}]。对于n=0,它折叠为[1;{1,2}]-朱棣文(Magus K.Chu)2022年9月12日
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参考文献
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M.Gardner,《时间旅行和其他数学困惑》。弗里曼,纽约,1988年,第18页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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G.L.Alexanderson和John E.Wetzel,四面体剖分,J.组合理论。B 11(1971),58--66。MR0303412(46#2549)。见第58页。
B.T.Bennett和R.B.Potts,阵列和溪流,J.Austral。数学。Soc.,7(1967),23-31(见第30页)。
B.T.Bennett和R.B.Potts,阵列和溪流,J.Austral。数学。《社会学杂志》,第7期(1967年),第23-31页。[带注释的扫描副本]
阿兰·宾厄姆,交换n元算术新奥尔良大学论文,论文19592015。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane,《低维格VII:协调序列》,Proc。伦敦皇家学会,A453(1997),2369-2389(pdf格式).
R.K.盖伊,强大的小数定律阿默尔。数学。《月刊》第95期(1988年),第8期,第697-712页。
R.K.盖伊,强大的小数定律阿默尔。数学。《95月刊》(1988),第8期,697-712。[带注释的扫描副本]
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
B.K.Teo和N.J.A.Sloane,多边形和多面体簇中的幻数,无机。化学。24(1985)第4545-4558页。
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配方奶粉
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a(n)=3*n*(n+1)+1,n>=0(见名称)。
a(n)=(n+1)^3-n^3=a(-1-n)。
通用名称:(1+4*x+x^2)/(1-x)^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a(n)=1+和{j=0..n}(6*j)。例如,a(2)=19,因为1+6*0+6*1+6*2=19Xavier Acloque,2003年10月6日
前n个六边形数的和是n^3。也就是说,求和{n>=1}(3*n*(n-1)+1)=n^3爱德华·威德(eweed(AT)gdrs.com),2003年10月23日
a(n)=M^n*[1 1 1]中的右项,其中M=3X3矩阵[1 0 0/2 1 0/3 3 1]。M^n*[1 1 1]=[1 2n+1 a(n)]。例如,a(4)=61,M^4*[1 1 1]中的右项,因为M^4*1[1 1]=[1 9 61]=[12n+1 a(4-加里·亚当森2004年12月22日
a(n)=3*n^2+3*n+1。证明:1)如果n出现一次,它可能在3个位置;对于另外两个,n项是独立可能的,那么我们有3*n^2个不同的三元组。2) 如果项n出现两次,第三个可以放在3个位置,有n个可能的值,那么我们有3*n个不同的三元组。3) 项n可以以一种方式出现3次,从而得出公式Philippe Lallouet(philip.Lallouet,AT)wanadoo.fr),2007年8月20日
[1,6,6,0,0,0,…]的二项式变换;Narayana变换(A001263号)第页,共页[1,6,0,0,0…]-加里·亚当森2007年12月29日
a(n)=积分((sin((n+1/2)x)/sin(x/2))^3,x=0..Pi)/Pi-亚尔钦·阿克塔尔2011年12月3日
求和{n>=0}1/a(n)=Pi/sqrt(3)*tanh(Pi/(2*sqrt(三)))=1.305284153013581-蚂蚁王,2012年6月17日
a(n)=3*积分{x=n.n+1}x^2dx-卡米娜·苏里亚诺2018年4月10日
和{n>=0}a(n)/n!=10*e。
和{n>=0}(-1)^(n+1)*a(n)/n!=2/e.(结束)
a(n)=1+2*Sum_{j=n.2n}j-克劳斯·普拉斯2021年10月19日
(结束)
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例子
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G.f.=1+7*x+19*x^2+37*x^3+61*x^4+91*x^5+127*x^6+169*x^7+217*x^8+。。。
初始术语说明:
.
.o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o o o o o oO o o oo o o
.o o o o o o o o oo o o o-o o o
.o o o o o o o o oO o o oo o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o
.
. 1 7 19 37
.
(结束)
(1) a(19)不是质数,因为除了a(19。
(2) a(25)是素数,因为除了a(25。(结束)
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MAPLE公司
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数学
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文件夹列表[#1+#2&,1,6范围@50](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*)
线性递归[{3,-3,1},{1,7,19},47](*罗伯特·威尔逊v2013年7月6日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=3*n*(n+1)+1};
(哈斯克尔)
(最大值)makelist(3*n*(n+1)+1,n,0,30)/*马丁·埃特尔2012年11月12日*/
(岩浆)[0..50]]中的[3*n*(n+1)+1:n//G.C.格鲁贝尔2017年11月4日
(Python)[3*n*(n+1)+1代表范围(47)内的n]#迈克尔·布拉尼基2021年1月7日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000124号,A000166号,A000217号,A000290型,A000578号(立方体或部分总和),A001263号,A001498号,A002061号,A002378号,A002407号(素数),A003514号,A005408号,A005449号,A005891号,A028896号,A048766号,A056105号,A056106号,A056107号,A056108号,A056109号,A063496号,A056220型,A130298号,A132111号(第二对角线),A158405型,A215630型,A239449号,A243201年.
另请参见A220083型对于形式为n*P(s,n)-(n-1)*P(s,n-1)的数字列表,其中P(s、n)是具有s条边的第n个多边形数。
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000567号
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| 八角数:n*(3*n-2)。也称为星号。 (原名M4493 N1901)
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+10 253
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0, 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936, 1045, 1160, 1281, 1408, 1541, 1680, 1825, 1976, 2133, 2296, 2465, 2640, 2821, 3008, 3201, 3400, 3605, 3816, 4033, 4256, 4485, 4720, 4961, 5208, 5461
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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写1、2、3、4,。。。在0附近呈六角螺旋形;则a(n)是通过从0开始沿方向0,1读取直线得到的序列,。。。。
螺旋开始于:
.
85--84--83--82--81--80
/ \
86 56--55--54--53--52 79
/ / \ \
87 57 33--32--31--30 51 78
/ / / \ \ \
88 58 34 16--15--14 29 50 77
/ / / / \ \ \ \
89 59 35 17 5---4 13 28 49 76
/ / / / / \ \ \ \ \
90 60 36 18 6 0 3 12 27 48 75
/ / / / / / / / / / /
91 61 37 19 7 1---2 11 26 47 74
\ \ \ \ \ . / / / /
92 62 38 20 8--9-10 25 46 73
\ \ \ \ . / / /
93 63 39 21--22--23--24 45 72
\ \ \ . / /
94 64 40--41--42--43--44 71
\\/
95 65--66--67--68--69--70
\ .
96
.
另外,可以从中移除的不同三个细胞块的数量A000217号以边(n+1)的步进三角形阵列排列的(n+1)个正方形单元。例如,一个5层三角形方格阵列的顶点轮廓如下:
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x x(结束)
从n=1开始,序列对应于K_{n,n}的维纳指数(其中每个独立集有n个顶点的完全二部图)Kailasam Viswanathan Iyer,2009年3月11日
a(n)=A001399年(6n-5),将6*n-5个分区分成<4个部分。例如,a(2)=8,将6*2-5=7划分为<4的部分是:[1,1,1,1,1]、[1,1,1,1,2]、[1,1,1,1,3]、[11,1,2,2]、[1,1,2,3]、[1,2,2,2],[1,2,2,2]、[1,3,3]、[2,2,3]-阿迪·达尼,2011年6月7日
此外,通过从0开始沿0、8、…、。。。,和从1开始的平行线在方向1,21。。。,在顶点为广义八角数的正方形螺旋中A001082号. -奥马尔·波尔2011年9月10日
使用欧几里德公式(n,n-1)生成毕达哥拉斯三元组,得到a,B,C.a(n)=B+(a+C)/2-J.M.贝戈2013年7月13日
基于5细胞von Neumann邻域,由“规则773”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的活动(ON,黑色)细胞数-罗伯特·普莱斯2016年5月23日
对于n>=1,sqrt(27*a(n))的连分式展开为[9n-4;{1,2n-2,3,2n-2,1,18n-8}]。对于n=1,这个值折叠为[5;{5,10}]-朱棣文(Magus K.Chu)2022年10月10日
a(n)*a(n+1)+1=(3n^2+n-1)^2。一般来说,a(n)*a(n+k)+k^2=(3n^2+(3k-2)n-k)^2-查理·马里恩2023年5月23日
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参考文献
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Albert H.Beiler,《数字理论中的娱乐》,纽约州多佛,1964年,第189页。
E.Deza和M.M.Deza,数字,世界科学出版社(2012),第6页。
L.E.Dickson,《数字理论史》。卡内基公共研究所。256,华盛顿特区,第1卷,1919年;第2卷,1920年;1923年第3卷,见第2卷,第1页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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C.K.Cook和M.R.Bacon,一些多边形数求和公式,光纤。问,52(2014),336-343。
米兰·扬基克和B.佩特科维奇,计数函数,arXiv 1301.4550[math.CO],2013年。
Hyun Kwang Kim,关于正则多面体数,程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》,131(2002),65-75。
Kaie Kubjas、Luca Sodomaco和Elias Tsigaridas,零低阶近似的精确解,arXiv:2010.15636[math.AG],2020年。
维克托·列万多夫斯基(Viktor Levandovskyy)、克里斯托夫·库特尚(Christoph Koutschen)和奥列克桑德·莫萨克(Oleksandr Motsak),受仿射关系约束的二生成非交换代数,arXiv:1108.1108[cs.SC],2011年。
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
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配方奶粉
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a(n)=n*(3*n-2)。
a(n)=(3n-2)*(3n-1)*(3 n)/((3 n-1)+(3 n-2)+(3n)),即(三个连续数的乘积)/(它们的和)。a(1)=1*2*3/(1+2+3),a(2)=4*5*6/(4+5+6)等-阿玛纳斯·穆尔西2002年8月29日
例如:exp(x)*(x+3*x^2)-保罗·巴里2003年7月23日
G.f.:x*(1+5*x)/(1-x)^3。西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a(n)=和{k=1..n}(5*n-4*k)-保罗·巴里2005年9月6日
a(n)=C(n+1,2)+5*C(n,2)。
起始(1,8,21,40,65,…)=[1,7,6,0,0,O,…]的二项式变换-加里·亚当森2008年4月30日
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n2)+a(n-3),a(0)=0,a(1)=1,a(2)=8-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月2日
a(n)=a(n-1)+6*n-5(a(0)=0)-文森佐·利班迪2010年11月20日
a(n)=2*a(n-1)-a(n-2)+6-蚂蚁王2011年9月1日
a(6*a(n)+16*n+1)=a(6*1(n)+16*n)+a(6*n+1)-弗拉基米尔·舍维列夫2014年1月24日
求和{n>=1}1/a(n)=(sqrt(3)*Pi+9*log(3))/12=1.277409057559637311949534921-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年4月27日
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=Pi/(2*sqrt(3))=A093766号.(结束)
P(4k+4,n)=((k+1)*n-k)^2-(k*n-k-查理·马里恩2021年10月7日
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MAPLE公司
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n*(3*n-2);
结束进程:
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数学
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表[n(3n-2),{n,0,50}](*哈维·P·戴尔2012年5月6日*)
表[PolygonalNumber[RegularPolygon[8],n],{n,0,43}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基,2016年8月27日*)
线性递归[{3,-3,1},{1,8,21},{0,20}](*埃里克·韦斯特因2017年9月7日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)矢量(50,n,n-;n*(3*n-2))\\G.C.格鲁贝尔2018年11月15日
(GAP)列表([0..50],n->n*(3*n-2))#G.C.格鲁贝尔2018年11月15日
(哈斯克尔)
(弧垂)[n*(3*n-2)表示n在范围(50)内]#G.C.格鲁贝尔2018年11月15日
(Python)#用于计算序列的初始段,而不是孤立项。
定义aList():
x、 y=1,1
产量0
为True时:
收益率x
x、 y=x+y+6,y+6
(岩浆)[0..50]]中的[n*(3*n-2):n//韦斯利·伊万·赫特2021年10月10日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的,改变
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作者
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经核准的
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1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 37, 37, 38
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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将n分为2次幂的次数,其中无幂使用超过三次,或第四个二进制配分函数(参见A072170号).
n的分区数最多分为2个部分-乔恩·佩里,2003年6月16日
a(n)=#{k=0..n:k+n是偶数}-保罗·巴里2003年9月13日
半长n+2且具有两个峰值的对称Dyck路径数。例如,a(6)=4,因为我们有UUUUU*DU*DDDDDDD、UUUU-*DDUU*DDDD、UUU U*DDDUUU*DDDDD和UUU*DDDDUUU UUU**DDDDDD,其中U=(1,1)、D=(1,-1)和*表示峰值-Emeric Deutsch公司2004年1月12日
最小正整数,其与另一个正整数的调和平均值为n(对于n>0)。例如,已经给出了a(6)=4(因为4是最小的正整数,所以4(带12)的调和平均数是6),但2(带-6)的调和均值也是6和2<4,因此需要施加两个正整数限制来排除2和-6。
当m趋于无穷大时,(m选择2)_q展开式中q ^n的系数Y.Kelly Itakura(yitkr(AT)mta.ca),2002年8月21日
此Itakura注释来自部分分数分解(m choose 2)_q=[(1-q^(2m-2))/(1+q)+(1-qqu(2m-2-))/。在q中被解释为生成函数,它们具有卷积结构;分子中的第一项创建+1、-1、+1、-1等,第二项创建+1,+1,+1等,第三项创建2,4,6,8等,作为m->无穷大-R.J.马塔尔2008年9月25日
Jon Perry,2010年11月16日:(开始)
列总和:
1 1 1 1 1 1...
1 1 1 1。。。
1 1...
..............
--------------
1 1 2 2 3…(结束)
a(n)也是n>0时右半平面上第n个Bernoulli多项式的根数-米歇尔·拉格诺2012年11月8日
a(n)是Exe振动微扰矩阵H(Q)的级数展开中n阶对称允许的线性无关项的数目(参见Viel&Eisfeld)-Bradley Klee公司2015年7月21日
a(n)是帕斯卡三角形第n行中不同整数的数量-梅尔文·佩拉尔塔2016年2月3日
对于n>=3,a(n+1)是广义Petersen图G(n,1)的直径-尼克·梅耶斯2016年6月6日
此外,该序列是两个连续斐波那契多项式F(n+1,x)和F(n,x)(n>=0)的系数之和的三角形中的第二列,以x的升幂表示-穆罕默德·阿扎里安2018年7月18日
a(n+2)是最小的k,因此给定任意k个整数,其中有两个整数的和或差可以被n整除-巴勃罗·休索·梅里诺2020年5月9日
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参考文献
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D.J.Benson,有限群的多项式不变量,剑桥,1993年,第100页。
L.Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第109页,等式[6c];第116页,p(n,2)。
D.Parisse,“河内塔和斯特恩·布罗科特阵列”,论文,慕尼黑,1997年
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链接
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安德烈·阿辛诺夫斯基(Andrei Asinowski)、西里尔·班德利尔(Cyril Banderier)和瓦莱丽·罗特纳(Valerie Roitner),具有多个禁止模式的格路径的生成函数, (2019).
L.F.Klosinski、G.L.Alexanderson和A.P.Hillman,威廉·洛厄尔·普特南数学竞赛阿默尔。数学。月刊91(1984),487-495。参见问题B2。
布鲁斯·雷兹尼克,一些二进制配分函数,《解析数论》(Conf.in authority P.T.Bateman,Allerton Park,IL,1989),451-477,Progr。数学。,85,Birkhäuser波士顿,马萨诸塞州波士顿,1990年。
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配方奶粉
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[1,1]的欧拉变换。
a(n)=1+楼层(n/2)。
G.f.:1/((1-x)(1-x^2))。
例如:((3+2*x)*exp(x)+exp(-x))/4。
a(n)=a(n-1)+a(n-2)-a(n-3)=-a(-3-n)。
a(0)=a(1)=1,a(n)=楼层((a(n-1)+a(n-2))/2+1)。
a(n)=(2*n+3+(-1)^n)/4-保罗·巴里2003年5月27日
a(n)=二项(j,i)*(-2)^i-保罗·巴里2003年8月26日
例如:(1+x)*exp(x)+cosh(x))/2-保罗·巴里2003年9月13日
a(n)=n-a(n-1)+1(a(0)=1)-文森佐·利班迪2010年11月19日
a(n)=(a(0)+a(1)+…+a(n-1))/a(n-1),其中a(0)=1-梅尔文·佩拉尔塔2015年6月16日
a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*(k+1)-里克·L·谢泼德2020年9月18日
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MAPLE公司
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a: =n->iquo(n+2,2):序列(a(n),n=0..75);
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数学
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扁平[表格[{n,n},{n,35}]](*哈维·P·戴尔2011年9月20日*)
带有[{c=Range[40]},Riffle[c,c]](*哈维·P·戴尔2013年2月23日*)
系数列表[级数[1/(1-x-x^2+x^3),{x,0,75}],x](*罗伯特·威尔逊v2015年2月5日*)
线性递归[{1,1,-1},{1,1,2},75](*罗伯特·威尔逊v2015年2月5日*)
表[Q二项式[n,2,-1],{n,2,75}](*约翰基斯2021年6月28日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=n\2+1
(哈斯克尔)
a008619=(+1)。(`div`2)
a008619_list=concatMap(\x->[x,x])[1..]
(鼠尾草)
a=λn:如果n==0,则为1;如果2,则为a(n-1)+1。除(n),否则为a(n-1)#彼得·卢什尼2015年2月5日
(岩浆)I:=[1,1,2];[n le 3选择I[n]else Self(n-1)+Self//文森佐·利班迪2015年2月4日
(Python)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A007304型
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| 鞘氨醇数:3个不同素数的乘积。 (原名M5207)
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+10 187
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30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, 230, 231, 238, 246, 255, 258, 266, 273, 282, 285, 286, 290, 310, 318, 322, 345, 354, 357, 366, 370, 374, 385, 399, 402, 406, 410, 418, 426, 429, 430, 434, 435, 438
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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还有一块蝶骨砖的体积。蝶骨砖是一个矩形平行六面体,其边是蝶骨数的组成部分,即其边是三个不同的素数。例如:不同的素三元组(3,5,7)产生一个3x5x7单位的砖,其体积为105立方单位。二维的三维模拟A037074号根据Cino Hilliard的评论,双素数的乘积。与三维比较A107768号金色3-几乎素数=砖的体积(矩形平行六面体),每个砖的表面都有金色的半素数区域-乔纳森·沃斯邮报2007年1月8日
求和(n>=1,1/a(n)^s)=(1/6)*(P(s)^3-P(3*s)-3*(P)*P(2*s)-P(3*s)),其中P是素数Zeta函数-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2012年6月28日
n=265550是最小的n,其中a(n)(=1279789)<A006881号(n) (=1279793)-彼得·多兰2020年4月11日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
“斯芬克”,《美国传统英语词典》,第四版,霍顿-米夫林公司,2000年。
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链接
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配方奶粉
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例子
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严格整数的Heinz数也分为三部分,其中分区的Heinx数(y_1,…,y_k)是素数(y_1)**质数(yk)。这些分区按A001399年(n-6)=A069905号(n-3),带订购版本A001399年(n-6)*6。术语序列及其基本指数开始于:
30: {1,2,3} 182: {1,4,6} 286: {1,5,6}
42: {1,2,4} 186: {1,2,11} 290: {1,3,10}
66: {1,2,5} 190: {1,3,8} 310: {1,3,11}
70: {1,3,4} 195: {2,3,6} 318: {1,2,16}
78: {1,2,6} 222: {1,2,12} 322: {1,4,9}
102: {1,2,7} 230: {1,3,9} 345: {2,3,9}
105: {2,3,4} 231: {2,4,5} 354: {1,2,17}
110: {1,3,5} 238: {1,4,7} 357: {2,4,7}
114: {1,2,8} 246: {1,2,13} 366: {1,2,18}
130: {1,3,6} 255: {2,3,7} 370: {1,3,12}
138: {1,2,9} 258: {1,2,14} 374: {1,5,7}
154: {1,4,5} 266: {1,4,8} 385: {3,4,5}
165: {2,3,5} 273: {2,4,6} 399: {2,4,8}
170: {1,3,7} 282: {1,2,15} 402: {1,2,19}
174: {1,2,10} 285: {2,3,8} 406: {1,4,10}
(结束)
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MAPLE公司
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使用(数字理论):a:=proc(n)如果bigomega(n)=3和nops(因子集(n))=3,则n其他fi结束:seq(a(n),n=1..450)#Emeric Deutsch公司
选项记忆;
局部a;
如果n=1,则
30;
其他的
对于来自procname(n-1)+1 do的a
如果bigomega(a)=3且nops(因子集(a))=3,则
返回a;
结束条件:;
结束do:
结束条件:;
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数学
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并集[展平[表[素数[n]*素数[m]*素素[k],{k,20},{n,k+1,20},{m,n+1,20{]]
取[Sort@Flatten@Table]素数@i 素数@j 底漆@k,{i,3,21},{j,2,i-1},[k,j-1}],53](*罗伯特·威尔逊v*)
使用[{upto=500},排序[Select[Times@@@Subsets[Prime[Range[Ceiling[upto/6]]],{3}],#<=upto&]]](*哈维·P·戴尔2015年1月8日*)
选择[Range[100],SquareFreeQ[#]&&PrimeOmega[#]==3&](*古斯·怀斯曼,2020年11月5日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)对于(n=1,1e4,如果(bigomega(n)==3&&omega(n)==3,打印1(n“,”))\\查尔斯·格里特豪斯四世,2011年6月10日
(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),t);对于素数(p=2,(lim)^(1/3)),对于素数来说(q=p+1,sqrt(lim\p),t=p*q;forprime(r=q+1,lim\t,listput(v,t*r));向量排序(Vec(v))\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月20日
(哈斯克尔)
a007304 n=a007304列表!!(n-1)
a007304_list=过滤器f[1..],其中
f u=p<q&&q<w&&a010051 w==1,其中
p=a020639 u;v=div u p;q=a020639伏;w=div v q
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002033号,A010051型,A020639号,A037074号,A046393号,A061299型,A067467号,A071140型,A096917号,A096918号,A096919号,A100765号,A103653号,A107464号,A107768号,A179643号,A179695号.
对于以下内容,NNS表示“不一定严格”。
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A005044号
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| 阿尔金序列:x^3/((1-x^2)*(1-x*3)*(1x^4))的展开。 (原名M0146)
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+10 124
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0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16, 21, 19, 24, 21, 27, 24, 30, 27, 33, 30, 37, 33, 40, 37, 44, 40, 48, 44, 52, 48, 56, 52, 61, 56, 65, 61, 70, 65, 75, 70, 80, 75, 85, 80, 91, 85, 96, 91, 102, 96, 108, 102, 114, 108, 120
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,8
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评论
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a(n)是具有整数边和周长n的三角形数。
此外,a(n)是具有不同整数边和周长n+6的三角形的数量,即三元组(a,b,c)的数量,使得1<a<b<c<a+b,a+b+c=n+6-罗杰·库库里
具有不同的偏移量(即没有三个前导零,如A266755型),n个空酒桶、n个半满酒桶和n个满酒桶可以分配给3个人的方式的数量,以使每个人获得相同数量的酒桶和相同数量的葡萄酒[Alcuin]。例如,当n=2时,一个人可以给两个人一个满满的,一个空的,第三个人得到两个半满的。(注释由更正富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年10月23日)
对于m>=2,序列{a(n)mod m}是周期的,周期为12*m。-Martin J.Erickson(Erickson(AT)truman.edu),2008年6月6日
将n划分为第2、3和4部分的分区数,其中至少有一部分为3-乔格·阿恩特2013年2月3日
此外,a(n)是长度为3的n的分区mu的数量,使得mu_1-mu_2是偶数,而mu_2-mu_3是偶数(参见下面的示例)-约翰·M·坎贝尔2016年1月29日
对于n>1,边长为奇数且周长为2*n-3的三角形数-韦斯利·伊万·赫特2019年5月13日
将n+1划分为4个部分的分区数,其中最大的两个部分相等-韦斯利·伊万·赫特2021年1月6日
对于n>=3,n-3的弱分区数(即允许大小为0的部分)分为三部分,其中任何部分都不超过(n-3)/2。此外,将n-3的弱分区数分成三部分,所有部分的奇偶校验都与n-3相同-凯文·朗2021年2月20日
此外,a(n)是由规则n边形顶点形成的不协调锐角三角形的数量-弗兰克·M·杰克逊2022年11月4日
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参考文献
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L.Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第74页,问题7。
I.Niven和H.S.Zuckerman,《数字理论导论》。纽约州威利,第10章,第10.2节,问题5和6,第451-2页。
D.奥利瓦斯托罗:古代谜题。过去十个世纪的经典智囊团和其他永恒的数学游戏。纽约:矮脚鸡图书,1993年。见第158页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
A.M.Yaglom和I.M.Yaglom:用初等解挑战数学问题。第一卷组合分析与概率论。纽约:Dover Publications,Inc.,1987年,第8页,#30(首次出版:旧金山:Holden-Day,Inc.,1964)
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链接
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唐纳德·宾纳和马丁·埃里克森,阿尔金序列阿默尔。数学。《月刊》,第119期,2012年2月,第115-121页。
P.Bürgisser和C.Ikenmeyer,轨道闭包的基本不变量,arXiv预印本arXiv:1511.02927[math.AG],2015。见第5.5节。
詹姆斯·伊斯特和罗恩·奈尔斯,给定周长的整数多边形,公牛。澳大利亚。数学。Soc.100(2019),第1期,131-147。
R.Honsberger,数学宝石III,数学。美国协会。,1985年,第39页。[带注释的扫描副本]
J.H.Jordan、R.Walch和R.J.Wisner,带整数边的三角形阿默尔。数学。月刊,86(1979),686-689。
Hermann Kremer,在de.sci.mathematik上发帖(1),(2),以及(3).[死链接]
N.Krier和B.Manvel,计算整数三角形,数学。Mag.,71(1998),291-295。
奥古斯汀·穆纳吉,q部分分数的计算,INTEGERS:组合数论电子杂志,7(2007),#A25。
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
詹姆斯·坦顿,整数三角形《数学盖洛尔》(MAA,2012)第11章。
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配方奶粉
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对于奇数指数,我们有a(2*n-3)=a(2*n)。对于偶数指数,a(2*n)=最接近n^2/12的整数=A001399年(n) ●●●●。
对于n=0..11(mod 12),a(n)分别是n^2/48,(n^2+6*n-7)/48,(n*2-4)/48 6*n+5)/48。
长度为4的序列[0,1,1,1]的欧拉变换-迈克尔·索莫斯2006年9月4日
a(n)=总和(上限((n-3)/3)<=i<=楼层((n-2)/2),总和(上限)((n-i-3)/2)<=j<=i,1),对于n>=1-斯里坎思K S2008年8月2日
a(n+3)=a(n),如果n是奇数;如果n是偶数,则a(n+3)=a(n)+地板(n/4)+1。证明简图:从周长n三角形到周长-(n+3)三角形有一个明显的内射映射,由f(a,b,c)=(a+1,b+1,c+1)定义。很容易证明f对于奇数n是满射的,而对于n=2k,f的图像只缺少1<=a<=floor(k/2)+1的三角形(a,k+2-a,k+1)-詹姆斯·伊斯特2016年5月1日
a(n)=圆形(n^2/48),如果n是偶数;如果n是奇数,则a(n)=圆形(((n+3)^2/48)-詹姆斯·伊斯特2016年5月1日
a(n)=(6*n^2+18*n-9*(-1)^n*(2*n+3)-36*sin(Pi*n/2)-36*cos(Pi*n/2)+64*cos(2*Pi*n/3)-1)/288-伊利亚·古特科夫斯基2016年5月1日
a(n)=A325691型(n-3)+A000035元(n) 对于n>=3。分区(n,[2,3,4])和非重叠分区(n、3、n/2)+分区(n和2、n/2”)之间的双射可以通过费雷斯(part)[0+3,1,2]映射建立。最后一个分区(n,2,n/2)是唯一的[n/2,n/2]如果n是偶数,则由下式给出A000035元. -《玉春记》2020年9月24日
a(4n+3)=a(4n)+n+1,a(4n+4)=a(4n+1)=A000212号(n+1),a(4n+5)=a(4n+2)+n+1,a(4 n+6)=a(4n+3)=A007980型(n) -《玉春记》2020年10月10日
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例子
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周长为11的四个三角形,边为1,5,5;2,4,5; 3,3,5; 3,4,4. 所以a(11)=4。
G.f.=x ^3+x ^5+x ^6+2*x ^7+x ^8+3*x ^9+2*x^10+4*x ^11+3*x^12+。。。
设n=15,则有a(n)=7个长度为3的分区mu|-15,使得mu_1-mu_2是偶数,mu_2-mu_3是偶数:
(13,1,1) |- 15
(11,3,1) |- 15
(9,5,1) |- 15
(9,3,3) |- 15
(7,7,1) |- 15
(7,5,3)|-15
(5,5,5) |- 15
(结束)
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MAPLE公司
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数学
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a[n_]:=轮[If[EvenQ[n],n^2,(n+3)^2]/48](*Peter Bertok,2002年1月9日*)
系数列表[级数[x^3/((1-x^2)*(1-x*3)*(1-x^4)),{x,0,105}],x](*罗伯特·威尔逊v2004年6月2日*)
me[n_]:=模[{i,j,sum=0},对于[i=Ceiling[(n-3)/3],i<=Floor[(n-3)/2],i=i+1,对于[j=Ceiling[(n-i-3)/2],j<=i,j=j+1,sum=1]];返回[sum];]mine=表格[me[n],{n,1,11}];(*Srikanth(sriperso(AT)gmail.com),2008年8月2日*)
线性递归[{0,1,1,1-,-1,-1,-1-,0-1,0,1},{0,0-,1-,1,1,2-,1},80](*哈维·P·戴尔2014年9月22日*)
表[长度@选择[整数分区[n,{3}],最大[#]*180<90 n&],{n,1,100}](*弗兰克·M·杰克逊2022年11月4日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=圆形(n^2/12)-(n\2)^2\4
(PARI)a(n)=(n^2+6*n*(n%2)+24)\48
(哈斯克尔)
a005044=p[2,3,4]。(减去3),其中
p _ 0=1
p[]_=0
p ks'@(k:ks)m=如果m<k,则0,否则p ks'(m-k)+p ks m
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交叉参考
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(见注释)参见。A008615号(p=1,q=3,偏移=0),A008624号(3, 3, 0),A008679号(3, -1, 0),A026922美元(1, 5, 1),A028242号(5, 7, 0),A030451号(6,6,0),A051274号(3, 5, 0),A052938号(8, 4, 0),A059169号(0, 6, 1),A106466号(5, 4, 0),A130722号(2, 7, 0)
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关键词
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容易的,非n,美好的
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作者
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扩展
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来自Antreas P.Hatzipolakis(xpolakis(AT)otenet.gr)的Yaglom参考和mod公式,2000年5月27日
2004年6月18日,Hermann Kremer(Hermann.Kremer(AT)onlinehome.de)提供了对约克阿尔金(735-804)的引用
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, 64, 72, 75, 80, 81, 90, 96, 100, 108, 120, 125, 128, 135, 144, 150, 160, 162, 180, 192, 200, 216, 225, 240, 243, 250, 256, 270, 288, 300, 320, 324, 360, 375, 384, 400, 405
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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有时称为汉明序列,因为汉明要求一个有效的算法来生成形式为2^i*3^j*5^k的所有数字的列表,以升序表示i,j,k>=0。这个问题是由Edsger Dijkstra推广的。
数字k,使8*k=EulerPhi(30*k)-阿图尔·贾辛斯基2008年11月5日
也称为“调和整数”,见Howard和Longair,1982年,表一,第121页-雨果·普福尔特纳2020年7月16日
也被称为丑陋的数字,尽管原因尚不清楚-古斯·怀斯曼2021年5月21日
一些木本竹种具有超长且稳定的开花间隔,属于该序列。Veller、Nowak和Davis的模型从进化的角度证明了这一观察的合理性-安德烈·扎博洛茨基2021年6月27日
对于每个素数p>5的整数k,p^(4*k)-1==0(mod 240*k)-费德里科·普罗夫维迪2022年5月23日
如评论中所述A085152号Störmer定理表明,作为该序列的连续项出现的唯一连续整数对是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(8,9)、(9,10)、(15,16),(24,25)和(80,81)。这些都代表了重要的音乐间隔-哈尔·M·斯维特凯2022年12月5日
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链接
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Carl Veller、Martin A.Nowak和Charles C.Davis,竹子离散繁殖延长开花间隔的研究《生态学快报》,18(2015),653-659。
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配方奶粉
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设s(n)=卡片(k|a(k)<n)和f(n)=log(n*sqrt(30))^3/(6*log(2)*log。则s(n)=f(n)+O(log(n))。推测:s(n)=f(n)+O(log log n)。例如,s(10000000)=768很好地近似于f(10000000,=769.3……(参见链接给出的图形)-贝诺伊特·克洛伊特2001年12月30日
该序列的特征函数如下所示:
求和{n>=1}x^a(n)=求和{n>=1}-Möbius(30*n)*x^n/(1-x^n)-保罗·D·汉纳2011年9月18日
和{n>=1}1/a(n)=Product{primes p<=5}p/(p-1)=(2*3*5)/(1*2*4)=15/4-阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月22日
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例子
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术语序列及其基本指数开始于:
1: {} 25: {3,3}
2: {1} 27: {2,2,2}
3: {2} 30: {1,2,3}
4: {1,1} 32: {1,1,1,1,1}
5: {3} 36: {1,1,2,2}
6:{1,2}40:{1,1,1,3}
8: {1,1,1} 45: {2,2,3}
9: {2,2} 48: {1,1,1,1,2}
10: {1,3} 50: {1,3,3}
12: {1,1,2} 54: {1,2,2,2}
15:{2,3}60:{1,1,2,3}
16: {1,1,1,1} 64: {1,1,1,1,1,1}
18: {1,2,2} 72: {1,1,1,2,2}
20: {1,1,3} 75: {2,3,3}
24: {1,1,1,2} 80: {1,1,1,1,3}
(结束)
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MAPLE公司
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选项记忆;
局部a;
如果n=1,那么
1;
其他的
对于来自procname(n-1)+1 do的a
数论[因子集](a)减去{2,3,5};
如果%={},则
返回a;
结束条件:;
结束do:
结束条件:;
结束进程:
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数学
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mx=405;排序@Flatten@表[2^a*3^b*5^c,{a,0,对数[2,mx]},{b,0,Log[3,mx/2^a]}
选择[Range@405,Last@Map[First,FactorInteger@#]<7&](*罗伯特·威尔逊v*)
使用[{nn=10},选择[Union[Times@@@Flatten[Table[Tuples[{2,3,5},n],{n,0,nn}],1]],#<=2^nn&]](*哈维·P·戴尔2022年2月28日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)检验(n)={m=n;对于素数(p=2,5,而(m%p==0,m=m/p));返回(m==1)}
对于(n=1500,如果(测试(n),打印1(n“,”))
(PARI)a(n)=局部(m);如果(n<1,0,n=a(n-1);直到(如果(m=n,对于素数(p=2,5,而(m%p==0,m/=p));m==1),n++);n)
(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),s,t);对于(i=0,logint(lim\=1,5),t=5^i;对于(j=0,logint(lim\t,3),s=t*3^j;而(s<=lim,listput(v,s);s<<=1));集合(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年9月21日;2016年9月19日更新
(PARI)平滑(P:vec,lim)={my(v=列表([1]),nxt=向量(#P,i,1),indx,t);
而(1,t=vecmin(向量(#P,i,v[nxt[i]]*P[i]),&indx);
如果(t>lim,断裂);如果(t>v[#v],则列表输入(v,t));nxt[indx]++);
车辆(v)
};
(Magma)[1..500]|PrimeDivisors(n)子集[2,3,5]]中的[n:n//布鲁诺·贝塞利,2012年9月24日
(哈斯克尔)
导入数据。集合(singleton、deleteFindMin、insert)
a051037 n=a051037_列表!!(n-1)
a051037_list=f$singleton 1,其中
f s=y:f(插入(5*y)$插入(3*y)$插入(2*y)s')
其中(y,s')=删除查找最小值
(Python)
定义isok(n):
当n&1==0时:n>>=1
当n%3==0:n//=3时
当n%5==0:n//=5时
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