搜索: a001252-编号:a001252
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1, 1, 2, 4, 10, 32, 122, 544, 2770, 15872, 101042, 707584, 5405530, 44736512, 398721962, 3807514624, 38783024290, 419730685952, 4809759350882, 58177770225664, 740742376475050, 9902996106248192, 138697748786275802, 2030847773013704704, 31029068327114173810
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.3
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评论
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对于n>1,a(n)是最长游程长度等于2的n阶排列数。
长度为n的反演序列数,其中所有连续子序列i、j、k满足i>=j<k或i<j>=k。a(4)=10:0010、0011、0020、0021、0022、0101、0102、0103、0112、0113-阿洛伊斯·海因茨2019年10月16日
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参考文献
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L.Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第261页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton,《对称函数和联合表》,剑桥,1966年,第262页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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马克斯·阿列克塞耶夫,关于游程长度有界的置换数,arXiv:1205.4581[math.CO],2012-2013年。
安德烈爵士,替代排列,J.数学。采购。申请。,第7卷(1881年),第167-184页。
安德烈爵士,排列的最大、最小和序列,《科学年鉴》。Ecole标准。Sup.,3,no.1(1884),121-135。
斯特凡诺·巴贝罗(Stefano Barbero)、翁贝托·塞鲁蒂(Umberto Cerruti)和纳迪尔·穆鲁(Nadir Murru),Hurwitz级数环的一些组合性质arXiv:1710.05665[math.NT],2017年。
C.戴维斯,问题4755阿默尔。数学。月刊,64(1957)596;解决方案作者W.J.Blundon,65(1958),533-534。
Chandler Davis,问题4755:排列问题阿默尔。数学。月刊,64(1957)596;W.J.Blundon的解决方案,65(1958),533-534。[由解决方案中的P_n表示。][带注释的扫描副本]
S.Kitaev,广义模式的多重避免,离散数学。,260 (2003), 89-100. (见第100页。)
S.T.Thompson,问题E754:顺序偏斜阿默尔。数学。月刊,54(1947),416-417。[带注释的扫描副本]
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配方奶粉
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a(n)=x^(n-1)/(n-1!(tan(x)+秒(x))^2的幂级数展开=(tan。
a(n)=系数x^n/n!幂级数展开为2*(tan(x)+秒(x))-2-x-迈克尔·索莫斯2011年2月5日
a(n)=4*|Li_{-n}(i)|-[n=1]=和{m=0..n/2}(-1)^m*2^(1-k)*和{j=0..k}二项式(k,j)*;Li表示多对数(且i^2=-1)-M.F.哈斯勒2012年5月20日
设E(x)=2/(1-sin(x))-1(本质上是E.g.f.),则
E(x)=-1+2*(-1/x+1/(1-x)/x-x^3/((1-x;(连分数,欧拉第一类,1步)。
E(x)=-1+2*(-1/x+1/(1-x)/x-x^3/((1-x;(连分数,欧拉第二类,2步)。
E(x)=(tan(x)+秒(x))^2=-1+2/;(连分数,第3类,3步)。
(结束)
G.f.:猜想:2*T(0)/(1-x)-1,其中T(k)=1-x^2*(k+1)*;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月19日
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例子
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1+x+2*x^2+4*x^3+10*x^4+32*x^5+122*x^6+544*x^7+2770*x^8+。。。
a(0)=1到a(4)=10排列:
() (1) (1,2) (1,3,2) (1,3,2,4)
(2,1) (2,1,3) (1,4,2,3)
(2,3,1) (2,1,4,3)
(3,1,2) (2,3,1,4)
(2,4,1,3)
(3,1,4,2)
(3,2,4,1)
(3,4,1,2)
(4,1,3,2)
(4,2,3,1)
(结束)
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MAPLE公司
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#使用欧拉多项式:
A:=(n,x)->`如果`(n<2,1/2/(1+I)^(1-n),加(加((-1)^j*二项式(n+1,j)*(m+1-j)^n,j=0..m)*x^m,m=0..n-1)):
A001250号:=n->2*(I-1)^(1-n)*exp(I*(n-1)*Pi/2)*A(n,I);
#第二个Maple项目:
b: =proc(u,o)选项记忆;
`如果`(u+o=0,1,加上(b(o-1+j,u-j),j=1..u)
结束时间:
a: =n->`如果'(n<2,1,2)*b(n,0):
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数学
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表[Length[Select[Permutations[Range[n]],And@@(!(OrderedQ[#]||OrderedQ[Reverse[#]])//@Partition[#,3,1])&]],{n,8}](*古斯·怀斯曼2021年6月21日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=局部(v=[1],t);如果(n<0,0,for(k=2,n+3,t=0;v=向量(k,i,if(i>1,t+=v[k+1-i]));v[3])}/*迈克尔·索莫斯2004年2月3日*/
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n!*polceoff((tan(x+x*O(x^n))+1/cos(x+x*O(x^n),)^2,n))}/*迈克尔·索莫斯2011年2月5日*/
(PARI)A001250号(n) =总和(m=0,n\2,my(k);(-1)^m*和(j=0,k=n+1-2*m,二项式(k,j)*(-1)\\M.F.哈斯勒2012年5月19日
(Sage)#L.Seidel的算法(1877)
R=[1];A={-1:0,0:2};k=0;e=1
对于(0..n)中的i:
Am=0;A[k+e]=0;e=-e
对于(0..i)中的j:Am+=A[k];A[k]=美国;k+=e
如果i>1:R.append(如果i%2==0,则为A[-i//2])
返回R
(PARI)
x='x+O('x^66);
egf=2*(tan(x)+1/cos(x))-2-x;
Vec(塞拉普拉斯(egf))
(哈斯克尔)
a001250 n=如果n==1,则1其他2*a000111 n
(Python)
从itertools导入累积,islice
(1,1)的收益
blist=(0,2)
而True为真:
收益率(blist:=元组(累加(反向(blist),初始=0))[-1]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000041号,A003242号,A032020型,A056986号,A261962型,A325534型,A325535型,A335452型,A344652型,A344740型,A345165型.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A010026号
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| 按行读取的三角形:按最长行程长度计算的1..n排列数。 |
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+10 16
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2, 2, 4, 2, 12, 10, 2, 16, 70, 32, 2, 20, 134, 442, 122, 2, 24, 198, 1164, 3108, 544, 2, 28, 274, 2048, 10982, 24216, 2770, 2, 32, 362, 3204, 22468, 112354, 208586, 15872, 2, 36, 462, 4720, 39420, 264538, 1245676, 1972904, 101042
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,1
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参考文献
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F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton,《对称函数和联合表》,剑桥,1966年,第262页。(可能包含n>=13的错误。)
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链接
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例子
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三角形开始:
2的情况下,
2, 4,
2, 12, 10,
2, 16, 70, 32,
2, 20, 134, 442, 122,
2, 24, 198, 1164, 3108, 544,
2, 28, 274, 2048, 10982, 24216, 2770,
2, 32, 362, 3204, 22468, 112354, 208586, 15872, ...
例如,行“2,12,10”表示有两种排列[1..4],其中最长的向上或向下行程长度为4,最长的行程长度为3,最长行程长度为2。
下表,由计算肖恩·欧文2012年5月2日,给出了三角形的扩展版本,方向正确(参见。A211318型),并更正David Kendall和Barton中的错误:
n l=0,l=1,l=2,l=3,依此类推。
----------------------------
1 [0, 1]
2 [0, 0, 2]
3 [0, 0, 4, 2]
4 [0, 0, 10, 12, 2]
5 [0, 0, 32, 70, 16, 2]
6 [0, 0, 122, 442, 134, 20, 2]
7 [0, 0, 544, 3108, 1164, 198, 24, 2]
8 [0, 0, 2770, 24216, 10982, 2048, 274, 28, 2]
9 [0, 0, 15872, 208586, 112354, 22468, 3204, 362, 32, 2]
10 [0, 0, 101042, 1972904, 1245676, 264538, 39420, 4720, 462, 36, 2]
11 [0, 0, 707584, 20373338, 14909340, 3340962, 514296, 64020, 6644, 574, 40, 2]
12 [0, 0, 5405530, 228346522, 191916532, 45173518, 7137818, 913440, 98472, 9024, 698, 44, 2]
13 [0, 0, 44736512, 2763212980, 2646100822, 652209564, 105318770, 13760472, 1523808, 145080, 11908, 834, 48, 2]
14 [0, 0, 398721962, 35926266244, 38932850396, 10024669626, 1649355338, 219040274, 24744720, 2419872, 206388, 15344, 982, 52, 2]
15 [0, 0, 3807514624, 499676669254, 609137502242, 163546399460, 27356466626, 3681354658, 422335056, 42129360, 3690960, 285180, 19380, 1142, 56, 2]
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数学
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(*此程序不适合大量术语*)f[p_List]:=Max[Length/@Split[Differences[p],#1*#2>0&]]+1;row[n_]:=排序[Tally[f/@Permutations[Range[n]]],第一个[#1]>第一个[#2]&][All,2]];表[rn=行[n];打印[“n=”,n,“”,rn];rn,{n,2,10}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2014年3月12日*)
T[n_,length_]:=模块[{g,b},
g[u_,o_,t_]:=g[u,o,t]=如果[u+o==0,1,总和[g[o+j-1,u-j,2],{j,1,u}]+如果[t<长度,总和[g[u+j-1、o-j,t+1],{j、1,o}],0]];
b[u_,o_,t_]:=b[u,o,t]=如果[t==长度,g[u,o,t],和[b[o+j-1,u-j,2],{j,1,u}]+和[b[u+j-1,o-j,t+1],{j、1,o}]];求和[b[j-1,n-j,1],{j,1,n}]];
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A211318型
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| 按行读取的三角形:1..n的排列数乘以最长游程的长度l(n>=1,1<=l<=n)。 |
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+10 16
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1, 0, 2, 0, 4, 2, 0, 10, 12, 2, 0, 32, 70, 16, 2, 0, 122, 442, 134, 20, 2, 0, 544, 3108, 1164, 198, 24, 2, 0, 2770, 24216, 10982, 2048, 274, 28, 2, 0, 15872, 208586, 112354, 22468, 3204, 362, 32, 2, 0, 101042, 1972904, 1245676, 264538, 39420, 4720, 462, 36, 2, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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参考文献
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F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton,《对称函数和联合表》,剑桥,1966年,第262页。(包含n>=13的错误。)
Sean A.Irvine,发布至序列粉丝邮件列表,2012年5月2日
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链接
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例子
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三角形开始:
n l=1,l=2,l=3等。。。
1 [1]
2 [0, 2]
3 [0, 4, 2]
4 [0, 10, 12, 2]
5 [0, 32, 70, 16, 2]
6 [0, 122, 442, 134, 20, 2]
7 [0, 544, 3108, 1164, 198, 24, 2]
8 [0, 2770, 24216, 10982, 2048, 274, 28, 2]
9 [0, 15872, 208586, 112354, 22468, 3204, 362, 32, 2]
10 [0, 101042, 1972904, 1245676, 264538, 39420, 4720, 462, 36, 2]
11[0,707584,20373338,14909340,3340962,514296,64020,6644,574,40,2]
12 [0, 5405530, 228346522, 191916532, 45173518, 7137818, 913440, 98472, 9024, 698, 44, 2]
13 [0, 44736512, 2763212980, 2646100822, 652209564, 105318770, 13760472, 1523808, 145080, 11908, 834, 48, 2]
14 [0, 398721962, 35926266244, 38932850396, 10024669626, 1649355338, 219040274, 24744720, 2419872, 206388, 15344, 982, 52, 2]
15 [0, 3807514624, 499676669254, 609137502242, 163546399460, 27356466626, 3681354658, 422335056, 42129360, 3690960, 285180, 19380, 1142, 56, 2],
...
为了纠正David、Kendall和Barton中的错误,显示了比平时更多的行。
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数学
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<<离散数学`Combinatorica`;permruns[perm_List]:=Max[Length/@Split[Sign[Rest[perm]-Drop[perm,-1]]/2+1/2]];
表[系数列表[Tr[Apply[Times,Map[(it=Tr[NumberOfTableaux[#]z^#&/@(permruns[TableauxToPermutation[#,#]]&/@Tableaux#])])&,并集[{Length[#],First[#]}&/@(*沃特·梅森2012年5月9日*)
T[n_,length_]:=模块[{g,b},
g[u_,o_,t_]:=g[u,o,t]=如果[u+o==0,1,总和[g[o+j-1,u-j,2],{j,1,u}]+如果[t<长度,总和[g[u+j-1、o-j,t+1],{j、1,o}],0]];
b[u_,o_,t_]:=b[u,o,t]=如果[t==长度,g[u,o,t],和[b[o+j-1,u-j,2],{j,1,u}]+和[b[u+j-1,o-j,t+1],{j、1,o}]];求和[b[j-1,n-j,1],{j,1,n}]
];
T[n_/;n>1,1]=0;
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A001251号
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| 最长行程长度等于3的n阶排列数。 (原名M2031 N0803)
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+10 12
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0, 0, 2, 12, 70, 442, 3108, 24216, 208586, 1972904, 20373338, 228346522, 2763212980, 35926266244, 499676669254, 7405014187564, 116511984902094, 1940073930857802, 34087525861589564, 630296344519286304, 12235215845125112122, 248789737587365945992
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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参考文献
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F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton,《对称函数和联合表》,剑桥,1966年,第262页。(n>=13的术语不正确。)
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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理查德·埃伦堡(Richard Ehrenborg)和荣智英(JiYoon Jung),下降模式避免,arXiv预印本:1312.2027[math.CO],2013年12月6日。
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配方奶粉
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a(n)~c*d^n*n!,式中,d=0.9240358576075364772113386869798700855648617941……是方程式8-2*sin(sqrt(phi)/d)*(2*sqrt=A001622号=(1+sqrt(5))/2是黄金比例,c=1.2593712578283517252644486385284120241474052544197367866029465830756911-瓦茨拉夫·科特索维奇,2014年9月6日,2018年8月18日更新
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数学
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长度=3;
g[u_,o_,t_]:=g[u,o,t]=如果[u+o==0,1,总和[g[o+j-1,u-j,2],{j,1,u}]+如果[t<长度,总和[g[u+j-1、o-j,t+1],{j、1,o}],0]];
b[u_,o_,t_]:=b[u,o,t]=如果[t==长度,g[u,o,t],和[b[o+j-1,u-j,2],{j,1,u}]+和[b[u+j-1,o-j,t+1],{j、1,o}]];
a[n_]:=和[b[j-1,n-j,1],{j,1,n}];
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交叉参考
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关键词
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非n,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A001253号
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| 最长行程长度等于5的n阶排列数。 (原名M2123 N0840)
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+10 12
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0, 0, 0, 0, 2, 20, 198, 2048, 22468, 264538, 3340962, 45173518, 652209564, 10024669626, 163546399460, 2823941647390, 51468705947590, 987671243816650, 19909066390361346, 420650676776338140, 9297308938203169622, 214562999510569012168
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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参考文献
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F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton,《对称函数和联合表》,剑桥,1966年,第262页。(n>=13的术语不正确。)
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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数学
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长度=5;
g[u_,o_,t_]:=g[u,o,t]=如果[u+o==0,1,总和[g[o+j-1,u-j,2],{j,1,u}]+如果[t<长度,总和[g[u+j-1、o-j,t+1],{j、1,o}],0]];
b[u_,o_,t_]:=b[u,o,t]=如果[t==长度,g[u,o,t],和[b[o+j-1,u-j,2],{j,1,u}]+和[b[u+j-1,o-j,t+1],{j、1,o}]];
a[n]:=总和[b[j-1,n-j,1],{j,1,n}];
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交叉参考
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关键词
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非n,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000303号
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| [n]的排列数,其中最长递增长度为2。 (原名M3522 N1430)
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+10 7
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0, 1, 4, 16, 69, 348, 2016, 13357, 99376, 822040, 7477161, 74207208, 797771520, 9236662345, 114579019468, 1516103040832, 21314681315997, 317288088082404, 4985505271920096, 82459612672301845, 1432064398910663704, 26054771465540507272
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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参考文献
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F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton,《对称函数和相关表》,剑桥,1966年,第261页,表7.4.1。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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例子
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a(3)=4,因为我们有(13)2,2(13),(23)1,3(12),其中括号围绕着长度为2的递增序列。
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数学
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b[u_,o_,t_,k_]:=b[u,o,t,k]=如果[t==k,(u+o)!,如果[Max[t,u]+o<k,0,Sum[b[u+j-1,o-j,t+1,k],{j,1,o}]+Sum[b[u-j,o+j-1;
T[n,k_]:=b[0,n,0,k]-b[0,n,0,k+1];
a[n_]:=T[n,2];
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000402号
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| 最长递增游程长度为3的[n]的排列数。 (原名M4239 N1771)
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+10 6
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0、0、1、6、41、293、2309、19975、189524、1960041、21993884、266361634、346583370、48245601976、715756923697、11277786883720、188135296651083、3313338641692957、61444453534759589、1196988740015236617、244423681799777776766、522124104504306695929
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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参考文献
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F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton,《对称函数和联合表》,剑桥,1966年,第261页,表7.4.1。(n>=16的值不正确。)
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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例子
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a(4)=6,因为我们有(124)3、(134)2、(234)1、4(123)、3(124和2(134。
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数学
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b[u_,o_,t_,k_]:=b[u,o,t,k]=如果[t==k,(u+o)!,如果[Max[t,u]+o<k,0,Sum[b[u+j-1,o-j,t+1,k],{j,1,o}]+Sum[b[u-j,o+j-1;
T[n,k_]:=b[0,n,0,k]-b[0,n,0,k+1];
a[n_]:=T[n,3];
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000434号
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| [n]的排列数,其中最长递增长度为4。 (原名M4556 N1938)
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+10 6
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0, 0, 0, 1, 8, 67, 602, 5811, 60875, 690729, 8457285, 111323149, 1569068565, 23592426102, 377105857043, 6387313185576, 114303481217657, 2155348564847332, 42719058006864690, 887953677898186108, 19316200230609433690, 438920223893512987430
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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参考文献
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F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton,《对称函数与联合表》,剑桥,1966年,第261页。(n>=16的值不正确。)
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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例子
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a(5)=8,因为我们有(1235)4、(1245)3、(1345)2、(2345)1、5(1234)、4(1235年)、3(1245年)和2(1345年),括号围绕着长度为4的递增序列。
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数学
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b[u_,o_,t_,k_]:=b[u,o,t,k]=如果[t==k,(u+o)!,如果[Max[t,u]+o<k,0,Sum[b[u+j-1,o-j,t+1,k],{j,1,o}]+Sum[b[u-j,o+j-1;
T[n,k_]:=b[0,n,0,k]-b[0,n,0,k+1];
a[n_]:=T[n,4];
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000456号
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| [n]的排列数,其中最长递增长度为5。 (原名M4735 N2027)
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+10 6
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0, 0, 0, 0, 1, 10, 99, 1024, 11304, 133669, 1695429, 23023811, 333840443, 5153118154, 84426592621, 1463941342191, 26793750988542, 516319125748337, 10451197169218523, 221738082618710329, 4921234092461339819, 114041894068935641488
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1.6个
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参考文献
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F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton,《对称函数和联合表》,剑桥,1966年,第261页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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马克斯·阿列克塞耶夫,关于游程长度有界的置换数,arXiv预印本arXiv:1205.4581[math.CO],2012-2013。
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例子
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a(6)=10,因为我们有(12346)5、(12356)4、(12456)3、(13456)2、(23456)1、6(12345)、5(12346。
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数学
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b[u_,o_,t_,k_]:=b[u,o,t,k]=如果[t==k,(u+o)!,如果[Max[t,u]+o<k,0,Sum[b[u+j-1,o-j,t+1,k],{j,1,o}]+Sum[b[u-j,o+j-1;T[n,k_]:=b[0,n,0,k]-b[0,n,0,k+1];a[n_]:=T[n,5];数组[a,25](*Jean-François Alcover公司2016年2月8日之后阿洛伊斯·海因茨在里面A008304型*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000467号
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| [n]的排列数,其中最长递增长度为6。 (原名M4868 N2083)
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+10 6
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0, 0, 0, 0, 0, 1, 12, 137, 1602, 19710, 257400, 3574957, 52785901, 827242933, 13730434111, 240806565782, 4452251786946, 86585391630673, 1767406549387381, 37790452850585180, 844817788372455779, 19711244788916894489, 479203883157602851294
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,7
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参考文献
|
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton,《对称函数和联合表》,剑桥,1966年,第261页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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马克斯·阿列克塞耶夫,关于游程长度有界的置换数,arXiv预印本arXiv:1205.4581[math.CO],2012。
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数学
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b[u_,o_,t_,k_]:=b[u,o,t,k]=如果[t==k,(u+o)!,如果[Max[t,u]+o<k,0,Sum[b[u+j-1,o-j,t+1,k],{j,1,o}]+Sum[b[u-j,o+j-1;T[n,k_]:=b[0,n,0,k]-b[0,n,0,k+1];a[n_]:=T[n,6];数组[a,23](*Jean-François Alcover公司2016年2月8日之后阿洛伊斯·海因茨在里面A008304型*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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