搜索: a001147-编号:a001147
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1, 3, 1, 15, 9, 1, 105, 87, 18, 1, 945, 975, 285, 30, 1, 10395, 12645, 4680, 705, 45, 1, 135135, 187425, 82845, 15960, 1470, 63, 1, 2027025, 3133935, 1595790, 370125, 43890, 2730, 84, 1, 34459425, 58437855, 33453945, 8998290
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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两个下三角Jabotinsky矩阵的乘积(参见A039692号对于Knuth 1992参考),也是这样一个Jabotinsky矩阵:J(n,m)=Sum{J=m.n}J1(n,J)*J2(J,m)。这些三角形矩阵第一列的f.s以相反的顺序组成:f(x)=f2(f1(x))。J1(n,m)的f1(x)=-(log(1-2*x))/2=|A039683号J2(n,m)|和f2(x)=exp(x)-1=A008277号因此,对于J(n,m)=a(n,米),(n,m)有f2(f1(x))=1/sqrt(1-2*x)-1=f(x)。这证明了下面给出的矩阵乘积。Jabotinsky矩阵J(n,m)的第m列具有例如f.(f(x)^m)/m!,m> =1。
a(n,m)给出了具有m根有序树且n个非根顶点以有机方式标记的森林数。有机标记意味着从标签为0的根到任何叶(阶数为1的非根顶点)的(唯一)路径上的顶点标签都在增加。证明:首先对于m=1,然后对于m>=2,使用下面给出的a(n,m)的递推关系-沃尔夫迪特·朗2007年8月7日
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链接
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J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas、Eduardo J.s.Villaseñor、,一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构,arXiv:1307.2010[math.CO],2013-2014。
P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon,玻色子正规序问题与广义贝尔数,arXiv:quant-ph/02120722002年。
P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon,一般玻色子正规序问题,arXiv:quant ph/04020272004年。
Richell O.Celeste、Roberto B.Corcino和Ken Joffaniel M.Gonzales。求正态阶系数的两种方法《整数序列杂志》,第20卷(2017年),第17.3.5条。
A.Dzhumadildaev和D.Yeliussizov,有向图的路分解及其在Weyl代数中的应用,arXiv预印本arXiv:1408.6764v1[math.CO],2014。[第1版包含许多对OEIS的引用,这些引用在第2版中被删除-N.J.A.斯隆2015年3月28日]
阿斯卡·朱马迪尔·达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫,行走、分区和正常排序《组合数学电子杂志》,22(4)(2015),#P4.10。
D.E.Knuth,卷积多项式,arXiv:math/9207221[math.CA];《数学杂志》2.1(1992),第4期,第67-78页。
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配方奶粉
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a(n,m)=和{j=m.n}|A039683号(n,j)|*S2(j,m)(矩阵乘积),其中S2(j,m):=A008277号(j,m)(斯特林2三角形)。私人通信沃尔夫迪特·朗E.Neuwirth,2001年2月15日;另见2001年Neuwirth参考文献。请参阅对Jabotinsky矩阵产品的评论。
a(n,m)=n*A035324号(n,m)/(m!*2^(n-m)),n>=m>=1;a(n+1,m)=(2*n+m)*a(n,m)+a(n、m-1);a(n,m):=0,n<m;a(n,0):=0,a(1,1)=1。
第m列的示例:((x*c(x/2)/sqrt(1-2*x))^m)/m!,其中c(x)=加泰罗尼亚数字的g.fA000108号.
G.f.(1/sqrt(1-2*x)-1)^k=Sum_{n>=k}(k!/n!)*a(n,k)*x^n。
a(n,k)=2^(n+k)*n!/(4^n*n*k!)*和{j=0..n-k}(j+k)*2^(j)*二项式(j+k-1,k-1)*二项式(2*n-j-k-1,n-1)。(结束)
例如:g(x,t)=exp(t*A(x))=1+t*x+(3*t+t^2)*x^2/2!+(15*t+9*t^2+t^3)*x^3/3!+。。。,其中A(x)=-1+1/sqrt(1-2*x)满足自治微分方程A'(x)=(1+A(x”)^3。
生成函数G(x,t)满足偏微分方程t*(dG/dt+G)=(1-2*x)*dG/dx,其遵循上述递推公式。
由Dobinski型公式R(n,x)=exp(-x)*Sum_{k>=1}k*(k+2)**(k+2*n-2)*x^k/k-彼得·巴拉2014年6月22日
T(n,k)=2^(k-n)*超几何([k-n,k+1],[k-2*n+1],2)*伽马(2*n-k)/(伽马(k)*伽玛(n-k+1))-彼得·卢什尼2015年3月31日
T(n,k)=2^n*Sum_{j=1..k}((-1)^(k-j)*二项式(k,j)*Pochhammer(j/2,n))/k-彼得·卢什尼2024年3月4日
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例子
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矩阵开始:
1;
3, 1;
15, 9, 1;
105, 87, 18, 1;
945, 975, 285, 30, 1;
...
a(3,2)=9的组合意义:叶标记为1,2,3,根标记为0的三根有序树的九个递增路径序列是:{(0,3),[(0,1),(0,2)]};{(0,3),[(0,2),(0,1)]}; {(0,3),(0,1,2)};{(0,1),[(0,3),(0,2)]};[(0,1),[(0,2),(0,3)]];[(0,2),[(0,1),(0,3)]]; {(0,2),[(0,3),(0,1)]}; {(0,1),(0,2,3)}; {(0,2),(0,1,3)}.
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MAPLE公司
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T:=(n,k)->2^(k-n)*超几何([k-n,k+1],[k-2*n+1],2)*GAMMA(2*n-k)/
(γ(k)*γ(n-k+1));对于从1到9的n,做seq(简化(T(n,k)),k=1..n)od#彼得·卢什尼2015年3月31日
T:=(n,k)->局部j;2^n*加((-1)^(k-j)*二项式(k,j)*pochhammer(j/2,n),j=1..k)/k!:对于从1到6的n,做序列(T(n,k),k=1..n)od#彼得·卢什尼2024年3月4日
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数学
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a[n,k_]:=2^(n+k)*n/(4^n*n*k!)*和[(j+k)*2^(j)*二项式[j+k-1,k-1]*二项法[2*n-j-k-1,n-1],{j,0,n-k}];扁平[表[a[n,k],{n,1,9},{k,1,n}][[1;;40]](*Jean-François Alcover公司2011年6月1日之后弗拉基米尔·克鲁奇宁*)
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黄体脂酮素
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(最大值)a(n,k):=2^(n+k)*n/(4^n*n*k!)*总和((j+k)*2^(j)*二项式(j+k-1,k-1)*二项式(2*n-j-k-1,n-1),j,0,n-k)/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年3月30日*/
(哈斯克尔)
a035342 n k=a035342_tabl!!(n-1)!!(k-1)
a035342_行n=a035342 _ tabl!!(n-1)
a035342_tabl=映射fst$iterate(\(xs,i)->(zipWith(+)
([0]++xs)$zipWith(*)[i..](xs++[0]),i+2))([1],3)
#添加列1,0,0。。。在三角形的左边。
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作者
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扩展
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已批准
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1, 1, 2, 6, 26, 158, 1282, 13158, 163354, 2374078, 39456386, 737125446, 15279024026, 347786765150, 8621313613954, 231139787526822, 6663177374810266, 205503866668090750, 6751565903597571842
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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双阶乘的INVERT变换(A001147号),右移了一个位置,其中g.f.A(x)满足:A(x)=1+x*[d/dx x*A(x,^2]/A(x)^2。
G.f.A(x)满足:A(x”)=1+x+2*x^2*[d/dx A(x)]/A(x)(对数导数)。
通用公式:A(x)=1+x+2*x^2/(续分数)。
G.f.:A(x)=1/(1-x/(1-1*x/(1-2*x/。
a(n+1)的g.f.为1/(1-2x/(1-x/(1~4x/(1-3×/(1-6x/(1-……)(连分数))。
a(n)是M^n中的左上项,M=生产矩阵:
1, 1;
1、1、2;
1, 1, 2, 3;
1, 1, 2, 3, 4;
1, 1, 2, 3, 4, 5;
…(结束)
另一个生产矩阵Q是:
1, 1, 0, 0, 0, ...
1, 0, 3, 0, 0, ...
1, 0, 0, 5, 0, ...
1, 0, 0, 0, 7, ...
...
序列是通过提取Q的幂的左上项生成的。通过提取Q^n的顶行,我们得到了一个三角形,其序列位于左列,行和=(1,2,6,26,158,…):(1),(1,1),,(2,1,3),(6,2,3,15),(26,6,6,15,105)。。。(结束)
如果n>1,a(n)=(2*n-1)*a(n-1)-和{k=1..n-1}a(k)*a-迈克尔·索莫斯2011年7月23日
发件人谢尔盖·格拉德科夫斯基,2012年8月11日,2012年8月12日,2012年12月26日,2013年3月20日,2013年6月2日,2013年8月14日,2013年10月22日:(开始)续分数:
G.f.1/(G(0)-x),其中G(k)=1-x*(k+1)/G(k+1)。
G.f.1+x/(G(0)-x),其中G(k)=1-x*(k+1)/G(k+1)。
通用公式:A(x)=1+x/(G(0)-x),其中G(k)=1+(2*k+1)*x-x*(2*k+2)/G(k+1)。
G.f.:Q(0),其中Q(k)=1-x*(2*k-1)/(1-x*(2%k+2)/Q(k+1))。
G.f.:2/G(0),其中G(k)=1+1/(1-x/(x+1/(2*k-1)/G(k+1)))。
G.f.:3*x-G(0),其中G(k)=3*x-2*x*k-1-x*(2*k-1)/G(k+1)。
一般公式:1+x*Q(0),其中Q(k)=1-x*(2*k+2)/(x*(2%k+2。(结束)
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例子
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A(x)=1+x+2*x^2+6*x^3+26*x^4+158*x^5+1282*x^6+。。。
1/A(x)=1-x-x^2-3*x^3-15*x^4-105*x^5--A001147号(n) *x^(n+1)-。。。
a(4)=a(3+1)=Sum_{k=0..3}a(k)*A001147号(3-k)=a(0)*5!!+a(1)*3!!+a(2)*1+a(3)*1=1*15+1*3+2*1+6*1=26-迈克尔·波特2016年7月22日
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MAPLE公司
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a_list:=进程(len)局部a,n;A[0]:=1;A[1]:=1;
对于从2到len-1的n,做A[n]:=(2*n-1)*A[n-1]-加(A[j]*A[n-j],j=1..n-1)od;
convert(A,list)end:A_list(19)#彼得·卢什尼2017年5月22日
#备选方案:
T:=proc(n,k)选项记忆;如果k=0,则为1;如果k=n,则为T(n,k-1)
else(n-k)*T(n,k-1)+T(n-1,k)fi-fi结束:
a:=n->T(n,n):序列(a(n),n=0..18)#彼得·卢什尼2023年10月2日
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数学
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a[0]=1;a[n_]:=a[n]=和[a[k]*(2n-2k-3)!!,{k,0,n-1}];表[a[n],{n,0,19}](*罗伯特·威尔逊v2005年10月12日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=局部(F=1+x+x*O(x^n));对于(i=1,n,F=1+x2*x^2*导数(F)/F);返回(polcoeff(F,n,x))}
(PARI){a(n)=局部(a);如果(n<1,n==0,a=向量(n);a[1]=1;对于(k=2,n,a[k]=(2*k-1)*a[k-1]-和(j=1,k-1,a[j]*a[k]);a[n])}/*迈克尔·索莫斯2011年7月23日*/
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非n
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作者
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1, 5, 35, 315, 3465, 45045, 675675, 11486475, 218243025, 4583103525, 105411381075, 2635284526875, 71152682225625, 2063427784543125, 63966261320836875, 2110886623587616875, 73881031825566590625, 2733598177545963853125, 106610328924292590271875
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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数组A(3;m,n)的第m=3行:=(2*n+m)/m!!,m>=0,n>=0。
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链接
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郭乃涵,标准拼图的枚举,arXiv:2006.14070[math.CO],2020年。
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配方奶粉
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a(n)=(2*n+3)/三!!。
例如:1/(1-2*x)^(5/2)。
a(n)~(4/3)*sqrt(2)*n^2*2^n*e^(-n)*n*{1+(47/24)*n_(-1)+…}.-乔·基恩(jgk(AT)jgk.org),2001年11月23日
Ramanujan多项式-psi_n(n,x)计算值为0-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月16日
具有递推的D-有限a(n+1)=(2*n+5)*a(n),其中a(0)=1。
O.g.f.A(x)满足Riccati微分方程2*x^2*A(x)’=(1-5*x)*A(x)-1,其中A(0)=1。
G.f.作为S分数:A(x)=1/(1-5*x/(1-2*x/。
S分数的倒数:1/A(x)=1/(1+5*x/(1-7*x/。(结束)
求和{n>=0}1/a(n)=3*(sqrt(e*Pi/2)*erf(1/sqrt(2))-1),其中erf是错误函数。
求和{n>=0}(-1)^n/a(n)=3*(1-平方(Pi/(2*e))*erfi(1/sqrt(2))),其中erfi是虚误差函数。(结束)
a(n)=和{k=1..n+1}(-1)^k*二项式(2*n+1,n+k)*斯特林1(n+k+1,k)-Detlef Meya酒店2024年1月17日
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MAPLE公司
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seq(双阶乘(2*n+3)/3,n=0..10)#R.J.马塔尔2013年9月29日
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数学
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表[(2*n+3)!!/3!!,{n,0,25}](*G.C.格鲁贝尔2017年1月22日*)
a[n]:=和[(-1)^k*二项式[2*n+1,n+k]*StirlingS1[n+k+1,k],{k,1,n+1}];扁平[表[a[n],{n,0,18}]](*Detlef Meya酒店2024年1月17日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)向量(26,n,(2*n+2)/(6*2^n*(n+1)!)\\G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
(岩浆)F:=阶乘;[F(2*n+4)/(12*2^n*F(n+2)):[0..25]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
(Sage)f=阶乘;[f(2*n+4)/(12*2^n*f(n+2))用于(0..25)中的n]#G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
(间隙)F:=阶乘;;列表([0..25],n->F(2*n+4)/(12*2^n*F(n+2))#G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
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作者
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状态
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已批准
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1, -1, 1, -1, -2, 1, -3, -3, -3, 1, -15, -12, -6, -4, 1, -105, -75, -30, -10, -5, 1, -945, -630, -225, -60, -15, -6, 1, -10395, -6615, -2205, -525, -105, -21, -7, 1, -135135, -83160, -26460, -5880, -1050, -168, -28, -8, 1, -2027025, -1216215, -374220, -79380, -13230, -1890, -252, -36, -9, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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那么T(n,k)=二项式(n,k)*b(n-k)。
构成多项式矩阵TB(n,k,t)=t(n,k)*t^(n-k)=二项式,
以开头
1;
-1, 1;
-1*t,-2,1;
-3*t^2,-3*t,-3,1;
-15*t^3,-12*t^2,-6*t,-4,1;
-105*t^4,-75*t^3,-30*t^2,-10*t,-5,1;
设Pc(n,t)=LPT(Pb(.,t))。
则[TB(t)]^(-1)=TC(t)=[二项式(n,k)*Pc(n-k,t)]=LPT(TB),
其第一列是
Pc(0,t)=1
Pc(1,t)=1
Pc(2,t)=2+t
Pc(3,t)=6+6*t+3*t^2
Pc(4,t)=24+36*t+30*t^2+15*t^3
Pc(5,t)=120+240*t+270*t^2+210*t^3+105*t^4。
注意,这不是完整的矩阵TC。完整的矩阵是通过沿着下三角Pascal矩阵的对角线乘以这些多项式,将系数树嵌入矩阵中而形成的。
exp[Pb(.,t)*x]=1+[(1-2t*x)^。
exp[Pc(.,t)*x]=1/{1+[(1-2t*x)^(1/2)-1]/t}=1/exp[Pb(.,t)*x)=例如TC第一列的f。
TB(t)和TC(t)互逆,是阿贝尔群的生成元。
设sb(t,m)和sc。
设Esb(t,m)和Esc。
那么B(t,m)是C(t,m)的逆,Esb(t,姆)是Esc(t,米)的倒数,而sb(t,m.)和sc(t、m)在LPT下形成一个倒易对。行和、交替符号行和以及相关数量之间也存在类似的关系。
所有群成员的形式都是B(t,m)*C(u,p)=TB(t)^m*TC(u)^p=[二项式(n,k)*s(n-k)]
对于矩阵的第一列,与相关的e.g.f.Es(x)=exp[m*Pb(.,t)*x]*exp[p*Pc(.,u)*x],与s(n)项,因此群乘与矩阵乘法和相关序列的e.g.f的乘法同构(参见示例)。
通过将exp[Pb(.,t)*x]表达式中的2替换为任何自然数,这些结果可以推广到其他整值数组组。
一般来说,
[M=产品{i=0..j}B[s(i),M(i)]*C[t(i)和n(i)]
=exp(u*x)*产品{i=0..j}{exp[m(i)*Pb(.,s(i))*x]*exp[n(i)*Pc(.,t(i)]*x]}
=exp(u*x)*Product_{i=0..j}{1+[(1-2*s(i)*x)^(1/2)-1]/s(i)}^m(i)/{1+[(1-2*t(i)*x)^(1/2)-1]/t(i){n(i)
=exp(u*x)*H(x)
[例如,对于M]=I_o[2*(u*x)^(1/2)]*H(x)。
M是M(i)和n(i)正整数和s(i)及t(i)整数的整值矩阵。要反转M,请将M的Product中的B更改为C。
H(x)是M的第一列的e.g.f.,将帕斯卡矩阵与该列的项对角相乘生成M。参见示例。
M的G.f.,即M的行多项式的e.G.f.,意味着行多项式形成Appell序列(参见Wikipedia和Mathworld)-汤姆·科普兰2013年12月3日
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链接
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配方奶粉
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[G.f.表示TB(n,k,t)]=GTB(u,x,t)=exp(u*x)*{1+[(1-2t*x)^(1/2)-1]/t}=exp[(u+Pb(.,t))*x]其中TB(n、k、t)=(D_x)^n(D_u)^k/k!GTB(u,x,t)评估。当u=x=0时。
[G.f.表示TC(n,k,t)]=GTC(u,x,t)=exp(u*x)/{1+[(1-2t*x)^(1/2)-1]/t}=exp[(u+Pc(.,t))*x]其中TC(n、k,t)=(D_x)^n(D_u)^k/k!GTC(u,x,t)评估。当u=x=0时。
[E.g.f.对于TB(n,k,t)]=I_o[2*(u*x)^(1/2)]*{1+[(1-2t*x)^(1/2)-1]/t}和
[TC(n,k,t)的E.g.f.]=I_o[2*(u*x)^(1/2)]/{1+[(1-2t*x)^(1/2)-1]/t}
其中I_ o是第一类的第零个修正贝塞尔函数。,
I_o[2*(u*x)^(1/2)]=Sum_{j>=0}(u^j/j!)*(x^j/j!)。
所以[例如,对于TB(n,k)]=I_o[2*(u*x)^(1/2)]*(1-2x)^(1/2)。
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例子
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一些组成员和关联的数组是
(t,m)::数组::Asc。矩阵::Asc。序列:例如,用于序列
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(0,1).::.B.::。。A132013号.::.(1,-1,0,0,0,0,...).....::.s(x).=。1倍
(0,1).::.C.::。。A094587号.::.(0!,1!,2!,3!,...)......::.1./.s(x)
(0,1).::.参考文献::~A055137号.::.(1,0,-1,-2,-3,-4,...)..::.经验(x).*.s(x)
(0,1).::.地址::……-……:。。A000522号…………::.exp(x)./。秒(x)
(0,1).::.答::……-……::。(1,-2,3,-4,5,-6,…)…:。exp(-x).*.s(x)
..............................................................................
(0,2).::.B.::。。A132014号.::.(1,-2,2,0,0,0,0...)....::.s(x).=。(1-x)^2
(0,2).::.C.::。。A132159号.::.(1!,2!,3!,4!,...)......::..1./.s(x)。
(0,2).::.收件人::…-……:。(1,-1,-1,1,5,11,19,29,)::.exp(x).*.s(x)。
(0,2).::.地址::…-……:。。A001339号…………::.exp(x)./。s(x)。
(0,2).::.答::…-…::。(-1)^n个。A002061号(n+1)……::。exp(-x).*.s(x)。
(0,2).::.交流::…-…::。。A000255号………………………:exp(-x)./。s(x)。
..............................................................................
(1,1).::.B.::。。T…………::。(1,-A001147号(n-1)……::。s(x).=。(1-2x)^(1/2)
(1,1).::.收件人::…-…:。。A055142号…………::.exp(x).*.s(x)。
(1,1).::.地址::…-……:。。A084262号…………::.exp(x)./。s(x)。
(1,1).::.答::…-…::。(1,-2,2,-4,-4,-56,...).::.exp(-x).*.s(x)。
(1,1).::.交流::…-…::。。A053871号…………::.exp(-x)./。s(x)。
..............................................................................
(2,1).::。B.::…-…::。(1-A001813号)...........::.s=[1+(1-4x)^(1/2)]/2。。。。
(2,1).::.C.::…-…::。。A001761号…………:.1./.s(x)。。
(2,1).::.收件人::…-……:。(1,0,-3,-20,-183,...)..::.经验(x).*.s(x)。。
(2,1).::.地址::…-……:。(1,2,7,46,485,...).....::.经验(x)./。s(x)。
(2,1).::.答::…-…::。(1,-2,1,-10,-79,...)...::.exp(-x).*.s(x)。
(2,1).::.答::…-…::。(1,0,3,20,237,...).....::.exp(-x)./。秒(x)
..............................................................................
(1,2).::.B.::~A134082号.::.(1,-2,0,0,0,0,...).....::.s(x).=。1.-.2倍
(1,2).::.C.::……-……:。。A000165号…………………:.1./.s(x)。。
(1,2).::。rB.::…..-…..::。(1,-1,-3,-5,-7,-9,...).::.exp(x).*.s(x)。
(1,2).::.地址::……-……:。。A010844号…………:.exp(x)./。s(x)。。
(1,2).::.答::……-……::。(1,-3,5,-7,9,-11,...)..::.exp(-x).*.s(x)。
(1,2).::.答::……-……:。。A000354号…………::.exp(-x)./。s(x)。
..............................................................................
(波浪号表示匹配不准确——具体来说,符号与真实矩阵存在差异。)
注意,行和对应于s(x)的二项式变换和交替行和,对应于二项式逆变换或有限差分。
其他一些示例:
C(1,2)*B(0,1)=B(1,-2)*C(0,-1)=[二项式(n,k)*A002866号(n-k)]带asc。例如,f.(1-x)/(1-2x)。
B(1,2)*C(0,1)=C(1,-2)*B(0,-1)=2I-A094587号带有asc。例如,f.(1-2x)/(1-x)。
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关键词
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作者
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汤姆·科普兰2007年11月11日、11月12日、19日、12月4日、6日
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扩展
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状态
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已批准
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1, 2, 7, 36, 249, 2190, 23535, 299880, 4426065, 74294010, 1397669175, 29123671500, 665718201225, 16560190196550, 445300709428575, 12869793995058000, 397815487883438625, 13095523164781307250, 457362512442763302375, 16890682269050394304500
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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旧名称是“展开arctan(sqrt(x)*sqrt[x+2)]/(sqrt(x)*sqrt[x+2])并将第n项乘以1.3.5…(2n+1)”。
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链接
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配方奶粉
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a(n)=积分_{x=-无穷大..无穷大}x^(2*n+1)*exp(-x^2)*erfi(x/sqrt(2)),其中erfi是虚误差函数-格鲁·罗兰2011年3月26日
例如:d/dx(f(x)^(-1)),其中(-1)表示成分倒数,f(x)=sin(x)/(1+sin(x))=x-2*x^2!+5*x^3/3!-16*x^4/4!+。。。。请参见A000111号. -彼得·巴拉2012年6月24日
例如:E(x)=1/sqrt(1-2*x)/(1-x)=(1+x/(U(0)-x))/(1-x),其中U(k)=(2*k+1)*x+(k+1)-(k+1;(连分数Euler的第一类,1步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年6月27日
G.f.:表层([1,1/2],[],2*x)^2-马克·范·霍伊2013年5月16日
递归D-有限:a(n)=(3*n-1)*a(n-1)-(2*n-1-彼得·卢什尼2013年12月14日
a(n)=2*Pochhammer(1/2,n+1)*超2F1([1/2,-n],[3/2],-1)-彼得·卢什尼2014年8月2日
a(n)=-(2*n+1)!!*2^(-n-1)*Im(Beta(2,n+1,1/2))-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年4月23日
连分数1/(1-x/(1-2*x/(1-3*x/)(1-4*x/-伊利亚·古特科夫斯基2017年4月19日
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MAPLE公司
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A034430号:=proc(n)选项记忆;如果n=0,则1 elif n=1,然后2 else
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数学
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范围[0,19]!*系数列表[系列[1/(1-x)/Sqrt[1-2*x],{x,0,19}],x](*大卫·斯卡布勒2012年5月24日*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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吉姆·菲茨西蒙斯(cherry(AT)neta.com)
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扩展
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状态
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已批准
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1, 1, 3, 11, 65, 513, 5363, 68219, 1016481, 17243105, 327431363, 6874989963, 158118876449, 3952936627361, 106729080101235, 3095142009014843, 95949394016339393, 3166329948046914369, 110821547820208233731, 4100397266856761733515
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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此外,不同的Tsuro瓷砖的数量,这些瓷砖呈菱形,每边有n个点。不允许翻转。请参见132100澳元用于定义和注释。
另一种解释见Burns等人的论文。
这也是在序列反转和标签排列的联合操作下等效的n对排列的数量。假设对n个不同对的元素进行标记,以显示原点对,例如[11]、[22]。随着条件变得越来越普遍,排列这些元素的不同方式的数量也随之减少:
b(n)=A001147号:元素顺序是重要的,但标签是不可区分的,即给定序列的所有标签排列都是等效的;
d(n)日=A047974号:允许反转,所有标签排列都是等价的,等价类在联合操作下映射到自身。
那些不映射到自身的类在联合操作下形成了类的倒易对,它们的数量是r(n)。则c=b-r/2=b-(b-d)/2=(b+d)/2。r(n)的公式不可用,但b(n)有可用的公式=A001147号和d(n)=A047974号,允许此序列的显式公式。
c(n)在提取结构信息时非常有用,而不考虑对的排序(参见示例)。c(n)项也出现在与二进制运算符相关的公式中,例如,k值逻辑中在1次运算中可逆的二进制运算符的数目。
a(n)=(b(n)+c(n))/2,其中b(n”=(2n)/(2^n*n!)=A001147号(n) ,c(n)=总和{k=0..floor(n/2)}n/(n-2*k)!*k!)=A047974号(n) ●●●●。
对于3对线对,在标签[123]->[312]的排列加上元素的反转下,排列A=[11233]与B=[212133]相同,反之亦然。A和B共有的唯一结构是{1个完整对+2个交错对},其中顺序不重要(对比A001147号). (结束)
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链接
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Jonathan Burns、Egor Dolzhenko、Natasa Jonoska、Tilahun Muche和Masahico Saito,与DNA重组相关的具有刚性顶点的四正则图《离散应用数学》,第161卷,第10-11期,2013年7月,第1378-1394页。
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配方奶粉
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递归D-有限(-n+3)*a(n)+2*(n^2-3*n+1)*a-R.J.马塔尔2020年12月20日
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例子
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a(2)=3计算排列[1122]、[1212]和[1221]-R.J.马塔尔2019年10月18日
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MAPLE公司
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结束进程:
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数学
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表[((2n-1)!!+I^(-n)*HermiteH[n,I/2])/2,{n,0,10}](*乔纳森·伯恩斯2016年4月5日*)
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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1, 7, 63, 693, 9009, 135135, 2297295, 43648605, 916620705, 21082276215, 527056905375, 14230536445125, 412685556908625, 12793252264167375, 422177324717523375, 14776206365113318125, 546719635509192770625
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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数组A(3;m,n)的行m=5:=(2*n+m)/m!!,m>=0,n>=0。
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链接
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配方奶粉
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a(n)=(2*n+5)/4!!.
例如:1/(1-2*x)^(7/2)。
a(n)~8/15*sqrt(2)*n^3*2^n*e^-n*n^n*(1+107/24*n^-1+…)乔·基恩(jgk(AT)jgk.org),2001年11月23日
G.f.:G(0)/(10*x)-1/(5*x),其中G(k)=1+1/(1-x*(2*k+5)/(x*(2*k+5)+1/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基,2013年6月13日
a(n+1)=(2*n+7)*a(n),其中a(0)=1。
O.g.f.满足Riccati微分方程2*x^2*A(x)'=(1-7*x)*A(x)-1,其中A(0)=1。
G.f.作为S分数:A(x)=1/(1-7*x/(1-2*x/。
S分数的倒数:1/A(x)=1/(1+7*x/(1-9*x/。(结束)
求和{n>=0}1/a(n)=15*sqrt(e*Pi/2)*erf(1/sqrt(2))-20,其中erf是错误函数。
求和{n>=0}(-1)^n/a(n)=15*sqrt(Pi/(2*e))*erfi(1/sqrt))-10,其中erfi是虚误差函数。(结束)
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MAPLE公司
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df:=双阶乘;seq(df(2*n+5)/df(5),n=0..20)#G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
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数学
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表[2^n*Pochhammer[7/2,n],{n,0,20}](*G.C.格鲁贝尔2019年11月12日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)矢量(20,n,prod(j=1,n-1,2*j+5))\\G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
(岩浆)[1]猫[(&*[2*j+7:j in[0..n-1]]):n in[1..20]]//G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
(鼠尾草)[(0..n-1)中j的乘积(2*j+7))(0..20)中n的乘积]#G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
(GAP)列表([0..20],n->产品([0..n-1],j->2*j+7))#G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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已批准
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1, 4, 28, 288, 3984, 70080, 1506240, 38384640, 1133072640, 38038533120, 1431213235200, 59645279232000, 2726781752217600, 135661078090137600, 7295806823277772800, 421717409630060544000, 26071235813929033728000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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也是x从0到sqrt(1/2)的积分(1-x^2)^-(n+1/2)的分子。这里的序列从n=1开始;当n=2时,函数为4。
a(n)=Integral_{x=0..log(1+sqrt(2))}cosh(x)^(2*n-1)dx,其中分母是b(n)=(2*n)/(n!*2^n)。例如,a(3)=28,b(3)=15;两个偏移均为1Al Hakanson(hawkuu(AT)excite.com),2004年3月2日
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链接
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配方奶粉
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a(n)=2*n*a(n-1)+(2*n)/不!。
a(n)=(2*n+1)*求和{k=0..n}k*(-2)^k/((2*k+1)*(n-k)!)。
a(n)=(2*n+1)*表层([1/2,-n],[3/2],-1)-弗拉德塔·乔沃维奇2002年12月5日
例如:1/((1-2*x)*sqrt(1-4*x))-弗拉德塔·乔沃维奇2003年5月11日
G.f.:表层([1,1/2],[],4*x)^2-马克·范·霍伊2013年5月16日
a(n)=(2n+1)*和{i=0..n}二项式(n,i)/(2i+1)-约翰·坎贝尔2016年2月6日
a(n)=2^n*A034430号(n) =-(2*n+1)!!*Im(贝塔(2,n+1,1/2))/2。
递归:2*(3*n+2)*a(n)=a(n+1)+4*n*(2*n+1)*a。(结束)
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例子
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对于n=3,(2n+1)=105,积分是96/35=288/105,所以a(3)=288。
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MAPLE公司
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seq((双阶乘(2*n+1))*和(二项式(n,i))/(2*i+1),i=0..n),n=0..20)#约翰·坎贝尔2016年2月6日
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数学
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a[n]:=(2n+1)*积分[(1+x^2)^n,{x,0,1}];表[a[n],{n,0,16}](*罗伯特·威尔逊v2004年2月27日*)
圆形@桌子[-(2 n+1)!!Im[Beta[2,n+1,1/2]]/2,{n,0,20}](*Round在这里等价于FullSimplify,但要快得多-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年10月8日*)
nxt[{n,a}]:={n+1,2a(n+1)+(2(n+1;嵌套列表[nxt,{0,1},20][[全部,2]](*哈维·P·戴尔2023年2月4日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=如果(n<0,0,subst(int formal((1+x^2)^n),x,1)*(2*n+1)/2 ^n/n!)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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Al Hakanson(hawku(AT)hotmail.com),2002年10月28日
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状态
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已批准
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1、3、13、79、641、6579、81677、1187039、19728193、368562723、7639512013、173893382575、4310656806977、115569893763411、3331588687405133、102751933334045375、3375782951798785921、117693183724386637635
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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链接
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配方奶粉
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G.f.:log(1+x+2*x*[Sum_{n>=1}a(n)*x^n])=Sum_{k>=1}a(n)/n*x^n。
G.f.:(1-1/Q(0))/x,其中Q(k)=1-x*(2*k-1)/(1-x*(2*k+4)/Q(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基,2013年3月19日
G.f.:1/(x*G(0))-1/(2*x),其中G(k)=1+1/(1-2*x*(2*k+2)/(2*x*(2%k+2;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月31日
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例子
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对数(1+x+2*x*[x+3*x^2+13*x^3+79*x^4+641*x^5+…])
=x+3/2*x^2+13/3*x^3+79/4*x^4+641/5*x^5+。。。
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=局部(F=1+x+x*O(x^n));对于(i=1,n,F=1+x2*x^2*派生(F)/F);返回(n*polcoeff(log(F),n,x))}
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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已批准
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1, 9, 99, 1287, 19305, 328185, 6235515, 130945815, 3011753745, 75293843625, 2032933777875, 58955079558375, 1827607466309625, 60311046388217625, 2110886623587616875, 78102805072741824375, 3046009397836931150625
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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数组A(3;m,n)的行m=7:=(2*n+m)/m!!,m>=0,n>=0。
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链接
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配方奶粉
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a(n)=(2*n+7)/7!!.
例如:1/(1-2*x)^(9/2)。
G.f.:G(0)/2,其中G(k)=1+1/(1-x/(x+1/(2*k+9)/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基,2013年6月2日
a(n+1)=(2*n+9)*a(n),a(0)=1。
O.g.f.满足Riccati微分方程2*x^2*A(x)'=(1-9*x)*A(x)-1,其中A(0)=1。
G.f.作为S分数:A(x)=1/(1-9*x/(1-2*x/。
S分数的倒数:1/A(x)=1/(1+9*x/(1-11*x/。(结束)
求和{n>=0}1/a(n)=105*sqrt(e*Pi/2)*erf(1/sqrt(2))-147,其中erf是错误函数。
求和{n>=0}(-1)^n/a(n)=77-105*sqrt(Pi/(2*e))*erfi(1/sqrt)),其中erfi是虚误差函数。(结束)
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MAPLE公司
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df:=双阶乘;seq(df(2*n+7)/df(7),n=0..20)#G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
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数学
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表[2^n*Pochhammer[9/2,n],{n,0,20}](*G.C.格鲁贝尔2019年11月12日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)矢量(20,n,prod(j=1,n-1,2*j+7))\\G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
(岩浆)[1]猫[(&*[2*j+9:j in[0..n-1]]):n in[1..20]]//G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
(鼠尾草)[(0..n-1)中j的乘积(2*j+9))(0..20)中n的乘积]#G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
(GAP)列表([0..20],n->产品([0..n-1],j->2*j+9))#G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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已批准
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