搜索： a000772-编号：a000771
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A000110号
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| 贝尔数或指数数：划分一组n个标记元素的方法。
（原名M1484 N0585）
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+10
1308
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1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, 27644437, 190899322, 1382958545, 10480142147, 82864869804, 682076806159, 5832742205057, 51724158235372, 474869816156751, 4506715738447323, 44152005855084346, 445958869294805289, 4638590332229999353, 49631246523618756274
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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其差分表的前对角线是移位的序列，参见Bernstein和Sloane（1995）-N.J.A.斯隆2015年7月4日
还可以定义在一组n个元素上的等价关系的数量Federico Arboleda（Federico.Arboleda（AT）gmail.com），2005年3月9日
a（n）=由一行n+1个相邻区域组成的映射的非同构着色的数量。相邻区域不能具有相同的颜色-大卫·W·威尔逊2005年2月22日
如果一个整数是无平方的，并且有n个不同的素因子，那么a（n）就是将它写成除数乘积的方法-阿玛纳斯·穆尔西2001年4月23日
考虑树根高度最多为2。让每棵树“生长”到下一代n意味着我们为每个节点生成一棵新树，它要么是根，要么是高度1，这就给出了贝尔数-乔恩·佩里2003年7月23日
从[1,1]开始，遵循[1，k]->[1，k+1]和[1，k]k倍的规则，例如，[1,3]被转换为[1,4]，[1,3+，[1.3]。则a（n）为所有分量之和：[1,1]=2；[1,2], [1,1] = 5; [1,3], [1,2], [1,2], [1,2], [1,1] = 15; 等-乔恩·佩里2004年3月5日
n行诗的不同押韵模式的数量：押韵模式是一系列字母（例如“abba”），因此最左边的字母总是“a”，任何字母都不能比左边最大的字母多出一个。因此，“aac”无效，因为“c”大于“a”。例如，a（3）=5，因为有5个押韵方案：aaa、aab、aba、abb、abc；另见Neven Juric的例子-比尔·布莱维特2004年3月23日
{1，…，n+1}划分为不连续整数子集的分区数，包括分区1|2||n+1。例如，a（3）=5：{1,2,3,4}有5个划分为非连续整数子集，即13|24、13|2|4、14|2|3、1|24|3、1 |2|3|4-奥古斯汀·穆纳吉2005年3月20日
产生术语的三角形（加法）方案，源自重现，摘自Oscar Arevalo（loarevalo（AT）sbcglobal.net），2005年5月11日：
1
1 2
2 3 5
5 7 10 15
15 20 27 37 52
其中P（n）=n的整数分区数，P（i）=n第i个分区的部分数，d（i）=n第i分区的不同部分数，Pp（i，j）！））*（1/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！））-托马斯·维德2005年5月18日
a（n+1）是一个n元集上既对称又可传递的二元关系数Justin Witt（justinmwitt（AT）gmail.com），2005年7月12日
如果使用Jon Perry（2004年3月5日）的规则，则a（n-1）=[用于形成a（n）的成分数量]/2Daniel Kuan（dkcm（AT）yahoo.com），2006年2月19日
a（n）是函数f从{1，…，n}到{1，..，n，n+1}的个数，这些函数满足域中所有x的以下两个条件：（1）f（x）>x；（2） f（x）=n+1或f（f（x。例如，a（3）=5，因为正好有五个函数满足这两个条件：f1={（1,4），（2,4），，（3,4）}，f2={-丹尼斯·沃尔什2006年2月20日
长度为n的异步站点交换模式的数量，这些模式没有零throws（即不包含0），并且其轨道数量（在Allen Knutson给出的意义上）等于球的数量。例如，当n=4时，以下15个站点交换满足条件：4444、4413、4242、4134、4112、3441、2424、1344、2411、1313、1241、2222、3131、1124、1111。还有从恒等式和循环置换中选择n个置换的方法（1 2），（1 2 3）。。。，（1 2 3…n），以使其组成一致。对于n=3，我们得到了以下五个参数：id o id o id，id o（12）o（12。（要查看双射，请查看Ehrenborg和Readdy论文。）-安蒂·卡图恩2006年5月1日
a（n）是[n]上的排列数，其中3-2-1（分散）图案仅作为3-2-4-1图案的一部分出现。例如：a（3）=5统计[3]上除321以外的所有排列。参见“组合的特征序列”参考a（n）=大小为n的排列表的数量(A000142号)其第一行不包含0。例如：a（3）=5计算{{}、{}，{}}、}、、{{1}、-大卫·卡伦2006年10月7日
该序列也是（下三角）帕斯卡矩阵矩阵指数中的第一列，按exp（-1）缩放：PE=exp（P）/exp（1）=
1
1 1
2 2 1
5 6 3 1
15 20 12 4 1
52 75 50 20 5 1
203 312 225 100 30 6 1
877 1421 1092 525 175 42 7 1
1
1 1
2 1 1
5 2 1 1
15 5 2 1（X）P
52 15 5 2 1 1
203 52 15 5 2 1 1
877 203 52 15 5 2 1 1
（结束）
这些项也可以用有限的步长和精确的整数运算来计算。代替exp（P）/exp（1），可以计算A=exp（P-I），其中I是适当维数的恒等矩阵，因为（P-I。那么a（n）=a[n，1]，其中n是从1开始的行index-戈特弗里德·赫尔姆斯2007年4月10日
当n是素数时，a（n）==2（mod n），但反过来并不总是正确的。定义Bell伪素数为复合数n，使得a（n）==2（mod n）。W.F.Lunnon最近发现了Bell伪素数21361=41*521和C46=3*23*162186468930901345905353905290526854205539989357，并推测Bell伪素极其稀少。因此，在不久的将来，第二个贝尔伪素数不太可能被确定。我确认21361是第一个-大卫·W·威尔逊2007年8月4日和2007年9月24日
a（n）也是（n链的）幂等序递减的完全变换的数目。
a（n）也是（n链的）幂零部分一阶递减变换的个数。
a（n+1）也是（n链的）部分一阶递减变换的数目。（结束）
Bell（n）是n模式序列的数量[Cooper&Kennedy]。n模式序列是一个整数序列（a_1，…，a_n），对于某些j<i，a_i=i或a_i=a_j。例如，Bell（3）=5，因为3模式序列是（1,1,1），（1,1,3），（1.2,1），（1.2，2）和（1,2,3）。
Bell（n）是长度为n的正整数（n_1，…，n_n）的序列数，其中n_1=1和n_（i+1）<=1+max{j=1..i}n_j表示i>=1（参见B.Blewett的评论）。有趣的是，如果我们将后一个条件加强到N_（i+1）<=1+N_i，我们会得到加泰罗尼亚数字A000108号而不是贝尔号码。
（结束）
二项式系数b（i，j）的无穷低三角矩阵的指数中的项f（i，j）是f（i、j）=b（i、j）e a（i-j）-大卫·帕西诺2008年12月4日
当每个结果以“1”开头时，（[1,0,0,0，…]的二项式变换）的重复迭代将收敛于（1，2，5，15，52，…）；这样最终结果就是固定极限：（[1,1,2,5,15，…]的二项式变换）=（1,2,5,15,52，…）-加里·亚当森2009年1月14日
Bell数B（n）和1/Gamma（1+x）的n阶导数之间的关系，在x=1时计算：
a） 通过seq（subs（x=1，simplify（（d^n/dx^n）GAMMA（1+x）^（-1））），n=1..5）产生许多这样的导数；
b） 让它们以洋地黄（Psi（k））和多囊藻（Psi，n））的功能来表达，并且不进行评估；
对于n=1..5，此类表达式的示例如下：
n=1:-Psi（1），
n=2:-（-Psi（1）^2+Psi（1,1）），
n=3:-磅/平方英寸（1）^3+3*磅/平方英尺（1）*磅/立方英寸（1,1）-磅/立方英尺（2,1），
n=4:（-Psi（1）^4+6*Psi（1，
n=5:-磅/平方英寸（1）^5+10*磅/平方毫米；
c） 对于一个给定的n，读取涉及digamma或polygamma函数的每个项的系数的绝对值之和。
这个总和等于B（n）。示例：B（1）=1，B（2）=1+1=2，B（3）=1+3+1=5，B（4）=1+6+3+4+1=15，B（5）=1+10+15+10+5+1=52；
d） 观察到贝尔数B（n）的这种分解显然没有明确涉及第二类斯特林数。
（结束）
渐近展开式（0！+1！+2！+…+（n-1）！）/（n-1）！=a（0）+a（1）/n+a（2）/n^2+。。。和（0！+1！+2！+…+n！）/n！=1+a（0）/n+a（1）/n^2+a（2）/n^3+-迈克尔·索莫斯2009年6月28日
a（n）=E（X^n），即关于具有（速率）参数泊松分布的随机变量X原点的第n个矩，λ=1-杰弗里·克雷策2009年11月30日
Bell数是任何给定的有限泛代数中不同同态图像数的上限。每个代数同态都由其核决定，其核必须是同余关系。由于关于有限泛代数的可能同余关系的数目必须是其可能等价类（由贝尔数给出）的子集，因此它自然而然地遵循-最大窗台数2010年6月1日
设B（x）=（1+x+2x^2+5x^3+…）。则B（x）满足于A（x）/A（x^2），其中A（xA173110型：（1+x+3x^2+6x^3+20x^4+60x^5+…）=B（x）*B（x^2）*B（x^4）*B（x^8）*-加里·亚当森2010年7月8日
有故障位的二进制计数器从值0开始，并尝试在每一步增加1。每个应该切换的位可能会切换，也可能不会切换。a（n）是计数器在n个步骤后可以使值为0的方式数。例如，当n=3时，5条轨迹为0,0,0.0；0,1,0,0; 0,1,1,0; 0,0,1,0; 0,1,3,0. -大卫·斯卡布勒2011年1月24日
没有贝尔数可以被8整除，也没有贝尔数与模8的6同余；见Lunnon、Pleasants和Stephens中的定理6.4和表1.7-乔恩·佩里，2011年2月7日，澄清人埃里克·罗兰2014年3月26日
a（n+1）是（对称）半正定n×n 0-1矩阵的个数。这些对应于{1，…，n+1}上的等价关系，其中矩阵元素M[i，j]=1当且仅当i和j彼此等价但不等价于n+1-罗伯特·伊斯雷尔2011年3月16日
a（n）是n个顶点上有根树高度小于2的单调标记森林的数量。我们注意到，如果任何父顶点的标签大于任何子顶点的标签，则标记根树是单调标记的。请参阅链接“用斯特灵和贝尔数计算森林”-丹尼斯·沃尔什2011年11月11日
B（n）计算长度n+1韵律方案，不重复。例如，对于n=2，有5个长度为3的押韵方案（aaa、aab、aba、abb、abc），没有重复的2个押韵方案是aba、abc。这基本上是O.Munagi的结果，即Bell数将分区计算为非连续整数的子集（见2005年3月20日的评论）埃里克·巴赫，2012年1月13日
映射数f:[n]->[n]，其中f（x）<=x，f（f（x-乔格·阿恩特，2013年1月4日
在等价类（i）1-23、3-21、12-3、32-1和（ii）1-32、3-12、21-3、23-1中，[n]的置换避免了8个虚线模式中的任何给定一个。（参见Claesson 2001参考。）-大卫·卡伦2013年10月3日
猜想：没有a（n）的形式是x^m，m>1和x>1-孙志伟2013年12月2日
求和{j=0..n}二项式（n，j）*a（j）=（1/e）*求和{k>=0}（k+1）^n/k！=（1/e）和{k=1..oo}k^（n+1）/k！=a（n+1），n>=0，使用Dobinski公式。查看评论加里·亚当森2008年12月4日，关于帕斯卡特征序列-沃尔夫迪特·朗2015年2月2日
实际上，它并不是帕斯卡矩阵的特征序列；相反，帕斯卡矩阵对序列的作用是一种移位。它是从Pascal矩阵导出的矩阵的特征序列（具有特征值1的唯一特征序列），通过在顶部添加行[1,0,0,0…]。二项式和公式可以从分区的定义中导出：标记N个元素的S集合中的任何元素X，并且让X（k）是包含X的S的子集的数目，其中包含k个元素。由于每个子集都有一个唯一陪集，S的分区p（N）的个数由p（N）=Sum_{k=1..N}（X（k）p（N-k））给出；通常X（k）=N-1选择k-1-梅森·博格2015年3月20日
a（n）是嵌套n个matryoshkas（俄罗斯嵌套玩偶）的方法数量：我们可以将{1，2，…，n}标识为大小递增的玩偶，将集合分区的集合标识为一堆玩偶-卡洛·桑纳2015年10月17日
[n]的排列数，其中递增元素连续运行的初始元素按降序排列。a（4）=15:`1234，`2`134，`23`14，`234`1，`24`13，`3`124，`3` 2`14，` 3`24`1，` 34`12，`34`2`1，'4`123，`4`2`13，` 4`23`1，´4`3`12，` 4` 3`2`1`-阿洛伊斯·海因茨2016年4月27日
取交替符号，贝尔数是渐近展开（Ramanujan）中的系数：（-1）^n*(A000166号（n） -n/经验（1））~1/n-2/n^2+5/n^3-15/n^4+52/n^5-203/n^6+O（1/n^7）-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2016年11月10日
虽然Hürlimann（2009）的结果并没有明确说明这一点，但这可能满足本福德定律-N.J.A.斯隆2017年2月9日
a（n）=总和（形状m的标准完美表格的#，m是n的组成部分），其中该总和是n>0的所有整数组成部分m的总和。用{1，2，…，n}的集合分区来识别大小为n的标准完美表，很容易看出这个公式是成立的。例如，如果我们按字典顺序对4个整数组合求和，我们会看到1+1+2+1+3+3+15=A000110号(4). -约翰·M·坎贝尔2017年7月17日
a（n）也是（n-1）-三角蜂窝bishop图中独立顶点集（和顶点覆盖）的个数-埃里克·韦斯特因2017年8月10日
均匀数条目表示具有可区分的母系和父系等位基因的n个二倍体个体中基因等位基因同一和非同一配置的数量-诺亚·罗森伯格2019年1月28日
具有n个元素（偏移量=1）的集合上的部分等价关系（PER）的数量，即对称传递（不一定是自反）关系的数量。其思想是在集合中添加一个虚拟元素D，然后在结果上建立等价关系；然后，对于部分等价关系，删除与D等价的任何内容-大卫·斯皮瓦克2019年2月6日
未标记字母时，长度为n+1且没有重复字母的单词数-托马斯·安东2019年3月14日
由贝克尔和里奥丹（1948）以苏格兰裔美国数学家和作家埃里克·坦普尔·贝尔（1883-1960）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月4日
还有最多有一个n+1单元素的{1,2，…，n+1}的分区数。例如，a（3）=5:{13|24，12|34，123|4，14|23，1234}-宇春记2020年12月21日
a（n）是n个元素集合上的sigma代数数。注意，每个sigma代数都是由集合的一个分区生成的。例如，由分区{{1}、{2}、}3,4}}生成的sigma代数是{{}、[1}、[2]、{1,2}，{3,4]、{1,3,4{、{2,3,4neneneep、{1,2,4}-宋嘉宁2021年4月1日
a（n）是n个标记节点上的无P_3图的数量-埃伦·凯西姆2021年6月4日
a（n）是函数X:（[n]选择2）->{+，-}的数目，因此对于任何有序的三元组abc，我们有X（ab）X（ac）X（bc）不在{+-+，++-，-++}中-罗伯特·劳夫2022年12月9日
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参考文献
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链接
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公式
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例如：exp（exp（x）-1）。
递归：a（n+1）=Sum_{k=0..n}a（k）*二项式（n，k）。
a（n）=总和{k=0..n}箍筋2（n，k）。
a（n）=和{j=0..n-1}（1/（n-1）！）*A000166号（j） *二项式（n-1，j）*（n-j）^（n-1）-安德烈·拉博西埃2004年12月1日
通用公式：（和{k>=0}1/（（1-k*x）*k！）/exp（1）=超地理学（[-1/x]，[（x-1）/x]超几何（[-mu]，[nu+1]，z）是拉盖尔函数，拉盖尔多项式的解析推广，对于不等于非负整数的μ。这个生成函数在x=0附近有无穷多个极点-卡罗尔·彭森2002年3月25日
a（n）=经验（-1）*和{k>=0}k^n/k！[Dobinski]-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月19日
a（n）对n是渐近的*（2 Pi r^2 exp（r））^（-1/2）exp（exp（r）-1）/r^n，其中r是r exp（l）=n的正根。参见Odlyzko引用。
a（n）渐近于b^n*exp（b-n-1/2）*sqrt（b/（b+n）），其中b满足b*log（b）=n-1/2（参见Graham，Knuth和Patashnik，《混凝土数学》，第二版，第493页）-贝诺伊特·克洛伊特，2002年10月23日，更正人瓦茨拉夫·科特索维奇2013年1月6日
Lovasz（组合问题和练习，North-Holland，1993，第1.14节，问题9）给出了另一个渐近公式，由Mezo和Baricz引用-N.J.A.斯隆2015年3月26日
G.f.：求和{k>=0}x^k/（乘积{j=1..k}（1-j*x））（参见Klazar的证明）-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月18日
a（n+1）=经验（-1）*和{k>=0}（k+1）^（n）/k-杰拉尔德·麦卡维2004年6月3日
对于n>0，a（n）=Aitken（n-1，n-1）[即Aitken's数组的a（n-1、n-1）(A011971号)]. -杰拉尔德·麦卡维2004年6月26日
a（n）=和{k=1..n}（1/k！）*（和{i=1..k}（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*i^n+0^n）-保罗·巴里2005年4月18日
a（n）=（2*n！/（Pi*e））*Im（Integral_{x=0..Pi}e^（e^）（i^（ix）））sin（nx）dx），其中Im表示虚部[Cesaro]-大卫·卡伦2005年9月3日
O.g.f.：1/（1-x-x^2/（1-2*x-2*x^2/（1-3*x-3*x^2/（…/（1-n*x-n*x^ 2/（…））））（因弗拉霍雷博士的缘故，继续分数）-保罗·D·汉纳2006年1月17日
贝尔数B（n）的表示，n=1,2，。。。，作为（n-1）F（n-1）型超几何函数的特殊值，在Maple符号中：B（n）=exp（-1）*超几何（[2,2，…，2]，[1,1，…，1]，1），n=1,2，。。。，即，分子中n-1个参数全部等于2，分母中n-1参数全部等于1，参数值等于1。
示例：
B（1）=exp（-1）*hypergeom（[]，[]，1）=1
B（2）=exp（-1）*hypergeom（[2]，[1]，1）=2
B（3）=exp（-1）*高地层（[2,2]，[1,1]，1）=5
B（4）=exp（-1）*高地层（[2,2,2]，[1,1,1]，1）=15
B（5）=exp（-1）*超深层（[2,2,2,2]，[1,1,1]，1）=52
（警告：这个公式是正确的，但计算机应用它可能不会产生确切的结果，尤其是在有大量参数的情况下。）
（结束）
a（n+1）=1+求和{k=0..n-1}求和{i=0..k}二项式（k，i）*（2^（k-i））*a（i）-雅尔辛·阿克塔尔2007年2月27日
a（n）=[1,0,0，…，0]T^（n-1）[1,1,1，…，1]'，其中T是n×n矩阵，主对角线{1,2,3，…，n}，1位于对角线正上方，0位于其他位置。[梅耶]
a（n）=（（2*n！）/（Pi*e））*意象部分（积分[从0到Pi]（e^e^e~（i*theta））*sin（n*theta，数据eta）-乔纳森·沃斯邮报2007年8月27日
a（n）=T（n，1）=Sum_{j=0..n}S2（n，j）=Summ_{j=0..n}E（n，j）*Lag（n，-1，j-n）=Sum _{j=0..n}[E（n、j）/n！]*[n！*Lag；S2（n，j），第二类斯特林数；E（n，j），欧拉数；和Lag（n，x，m），相关的m阶Laguerre多项式。注意E（n，j）/n！=E（n，j）/（和{k=0..n}E（n、k））。
欧拉数计算排列上升，表达式[n！*Lag（n，-1，j-n）]为A086885号用座位安排的简单组合解释，对n*a（n）=和{j=0..n}E（n，j）*[n！*滞后（n，-1，j-n）]。
（结束）
定义f_1（x）、f_2（x）。。。f_1（x）=e^x，n=2,3，。。。f{n+1}（x）=（d/dx）（x*fn（x））。那么对于贝尔数B_n，我们有B_n=1/e*f_n（1）-米兰Janjic2008年5月30日
a（n）=（n-1）！求和{k=1..n}a（n-k）/（n-k！（k-1）！）其中a（0）=1-托马斯·维德2008年9月9日
a（n+k）=和{m=0..n}斯特林2（n，m）和{r=0..k}二项式（k，r）m^ra（k-r）.-大卫·帕西诺（davepasino（AT）yahoo.com），2009年1月25日。（总括而言，这可以写成a（n+k）=Sum_{m=0.n}Stirling2（n，m）（a+m）^k-N.J.A.斯隆，2009年2月7日）
a（n）=和{k_1=0..n+1}和{k_2=0..n}。。。和{k_i=0..n-i}。。。和{k_n=0..1}
δ（k_1，k_2，…，k_i，…，kN）
其中，如果k_i>k_（i+1）且k_（i+1）<>0，则δ（k_1，k_2，…，k_i，…，kN）=0
否则，δ（k_1，k_2，…，k_i，…，kN）=1。
（结束）
设A是n阶上Hessenberg矩阵，定义为：A[i，i-1]=-1，A[i、j]：=二项式（j-1，i-1），（i<=j），否则A[i和j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年7月8日
G.f.：1/（1-x/（1-1*x/（1-x/（1-2*x/…））））-迈克尔·索莫斯2012年5月12日
a（n+1）=总和{m=0..n}箍筋2（n，m）*（m+1），n>=0。与上述a（n）的第三个公式进行比较。这里Stirling2=A048993号. -沃尔夫迪特·朗2015年2月3日
G.f.：（-1）^（1/x）*（（-1/x）/e+（！（-1-1/x））/x）其中z！还有！z是阶乘和子阶乘，推广到复杂参数-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2013年4月24日
例如：exp（exp（x）-1）=1+x/（g（0）-x）；G（k）=（k+1）*贝尔（k）+x*贝尔（k+1。
通用公式：W（x）=（1-1/（G（0）+1））/exp（1）；G（k）=x*k^2+（3*x-1）*k-2+x-（k+1）*（x*k+x-1）^2/G（k+1；（连分数欧拉类，1步）。
G.f.：W（x）=（1+G（0）/（x^2-3*x+2））/exp（1）；G（k）=1-（x*k+x-1）/（（k+1）！）-（（（k+1）！）^2） *（1-x-k*x+（k+1）！）/（（（k+1）！）*（1-x-k*x+（k+1）！）-（x*k+2*x-1）*（1-2*x-k*x+（k+2）！）/G（k+1））；（续分数）。
G.f.:A（x）=1/（1-x/（1-x/（1+x/G（0）））；G（k）=x-1+x*k+x*（x1+x*k）/G（k+1）；（连分数，1步）。
G.f.：-1/U（0），其中U（k）=x*k-1+x-x ^2*（k+1）/U（k+1）；（连分数，1步）。
G.f.：1+x/U（0），其中U（k）=1-x*（k+2）-x^2*（k+1）/U（k+1）；（连续馏分，1步）。
通用系数：1+1/（U（0）-x），其中U（k）=1+x-x*（k+1）/（1-x/U（k+1；（连分数，2步）。
G.f.：1+x/（U（0）-x），其中U（k）=1-x*（k+1）/（1-x/U（k+1；（连分数，2步）。
G.f.：1/G（0），其中G（k）=1-x/（1-x*（2*k+1）/（1-x/（1-x*（2*k+2）/G（k+1）））；（续分数）。
G.f.:G（0）/（1+x），其中G（k）=1-2*x*（k+1）/；（续分数）。
通用公式：-（1+2*x）*Sum_{k>=0}x^（2*k）*（4*x*k^2-2*k-2*x-1）/（（2*k+1）*（2*x*k-1））*A（k）/B（k）其中A（k。
G.f.：（G（0）-1）/（x-1），其中G（k）=1-1/（1-k*x）/（1-x/（x-1/G（k+1））；（续分数）。
G.f.：1+x*（S-1），其中S=Sum_{k>=0}（1+（1-x）/（1-x-x*k））*（x/（1-x。
G.f.：（G（0）-2）/（2*x-1），其中G（k）=2-1/（1-k*x）/（1-x/（x-1/G（k+1）））；（续分数）。
G.f.:-G（0），其中G（k）=1-（x*k-2）/（x*k-1-x*（x*k-1）/（x+（x*km-2）/G（k+1））；（续分数）。
G.f.:G（0），其中G（k）=2-（2*x*k-1）/（x*k-1-x*（x*k-1）/；（续分数）。
G.f.：（G（0）-1）/（1+x），其中G（k）=1+1/（1-k*x）/（1-x/（x+1/G（k+1）））；（续分数）。
G.f.：1/（x*（1-x）*G（0））-1/x，其中G（k）=1-x/（x-1/（1+1/（x*k-1）/G（k+1）））；（续分数）。
G.f.：1+x/（Q（0）-x），其中Q（k）=1+x/（x*k-1）/Q（k+1）；（续分数）。
G.f.：1+x/Q（0），其中Q（k）=1-x-x/（1-x*（k+1）/Q（k+1；（续分数）。
G.f.：1/（1-x*Q（0）），其中Q（k）=1+x/（1-x+x*（k+1）/（x-1/Q（k+1；（续分数）。
G.f.：Q（0）/（1-x），其中Q（k）=1-x^2*（k+1）/；（续分数）。
（结束）
a（n）~exp（exp（W（n））-n-1）*n^n/W（n）^（n+1/2），其中W（x）是Lambert W函数-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2015年11月1日
a（n）~n^n*exp（n/LambertW（n）-1-n）/（sqrt（1+LambertW（n-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月13日
a（n）是-exp（-1）*（-1）^x*x*Gamma（-x，0，-1）的渐近展开式中的系数，其中Garma（a，z0，z1）是广义不完全Gamma函数-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2015年11月12日
a（n）=1+楼层（exp（-1）*Sum_{k=1..2*n}k^n/k！）-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2015年11月13日
当p是素数且m>=1时，a（p^m）==m+1（mod p）（参见Hurst/Schultz参考文献中的引理3.1）-Seiichi Manyama先生2016年6月1日
a（n）=和{k=0..n}超几何（[1，-k]，[]，1）*Stirling2（n+1，k+1）=和A182386号（k） *箍筋2（n+1，k+1）-梅利卡·特布尼2022年7月2日
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例子
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G.f.=1+x+2*x^2+5*x^3+15*x^4+52*x^5+203*x^6+877*x^7+4140*x^8+。。。
来自Neven Juric，2009年10月19日：（开始）
n=4的a（4）=15韵律方案为
aaaa，aaab，aaba，aabb，aabc，abaa，abab，abac，abba，abbc
对于n=5，a（5）=52个押韵方案是
aaaaa、aaaab、aaaba、aaabb、aaabc、aabaa、aabab、aabac、aabba、aabbb、aabbc、aabca、aabcb、aabcc、aabcd、abaaa、abaab、abaac、ababa、ababb、ababc、abaca、abacb、abacd、abbba、abbbb、abbbb、abbbb、abbbc、abbcc、abbcc、abbca、abbcc、abbcb、abbcc、abcbd、abcca、abbcc ccb、abccc、abccd、abcda、abcdb、abcdc，abcdd、abcde
（结束）
限制增长字符串（RGS）：
对于n=0，有一个空字符串；
对于n=1，有一个字符串[0]；
对于n=2，有2个字符串[00]、[01]；
对于n=3，有（3）=5个字符串[000]、[001]、[010]、[011]和[012]；
对于n=4，有a（4）=15个字符串
1: [0000], 2: [0001], 3: [0010], 4: [0011], 5: [0012], 6: [0100], 7: [0101], 8: [0102], 9: [0110], 10: [0111], 11: [0112], 12: [0120], 13: [0121], 14: [0122], 15: [0123].
这些是与押韵方案的一对一（识别a=0、b=1、c=2等）。
（结束）
考虑集合S={1,2,3,4}。a（4）=1+3+6+4+1=15分区是：P1={{1}，{2}，}3}，[4]}；第21页。。P23＝｛｛a，4｝，S\｛a，4｝｝，其中a＝1，2，3；第24页。。P29={{a}，{b}，S\{a，b}}，其中1<=a<b<=4；第31页。。P34={S\{a}，{a}}，a=1。。4; P4={S}。有关图形说明，请参阅Bottomley链接-M.F.哈斯勒2017年10月26日
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MAPLE公司
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A000110号：=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则另加1（二项式（n-1，i）*A000110号（n-1-i），i=0..n-1）；fi；end:#版本1
A:=系列（exp（x）-1），x，60）：A000110号：=n->n*系数（A，x，n）：#版本2
规范：=[S，{S=集（U，卡>=1），U=集（Z，卡>=1）}，标记]：G:={P=集（集（原子，卡>0））}:combstruct[gfsolve]（G，未标记，x）：seq（combstrut[count]（[P，G，标记]，大小=i），i=0..22）；#版本5，零入侵拉霍斯2007年12月16日
钟表：=proc（m）局部A，P，n；答：=[1，1]；P:=[1]；对于n从1到m-2 do
P:=ListTools:-部分和（[A[-1]，op（P）]）；A:=[op（A），P[-1]]od；A结束：BellList（29）#彼得·卢什尼2022年3月24日
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数学
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f[n_]：=总和[StirlingS2[n，k]，{k，0，n}]；表[f[n]，{n，0，40}](*罗伯特·威尔逊v*)
表[BellB[n]，{n，0，40}](*哈维·P·戴尔2011年3月1日*）
B[0]=1；B[n_]：=1/E和[k^（n-1）/（k-1）！，{k，1，无穷}](*迪米特里·帕帕佐普洛斯，2015年3月10日，编辑M.F.哈斯勒2018年11月30日*）
b[1]＝1；k=1；扁平[{1，表[Do[j=k；k+=b[m]；b[m]=j；，{m，1，n-1}]；b[n]=k，{n，1，40}]}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2019年9月7日*）
表[j！系数[Series[Exp[Exp[x]-1]，{x，0，20}]，x，j]，{j，0，20}](*尼古拉·潘泰利迪斯2023年2月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（m）；如果（n<0，0，m=contfracpnqn（矩阵（2，n\2，i，k，如果（i==1，-k*x^2，1-（k+1）*x））；polcoeff（1/（1-x+m[2，1]/m[1，1]）+x*O（x^n），n））}/*迈克尔·索莫斯*/
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（k=0，n，prod（i=1，k，x/（1-i*x）），x^n*O（x））（n）}/*迈克尔·索莫斯2004年8月22日*/
（PARI）a（n）=圆形（exp（-1）*suminf（k=0，1.0*k^n/k！）\\戈特弗里德·赫尔姆斯，2007年3月30日-警告！仅供说明：如果n=42，则给出错误的结果，如果n>42，则返回错误，标准精度为38位-M.F.哈斯勒2018年11月30日
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polcoeff（exp（x+x*O（x ^n））-1），n））}/*迈克尔·索莫斯2009年6月28日*/
（PARI）Vec（塞拉普拉斯（exp（'x+O（'x^66））-1））\\乔格·阿恩特2012年5月26日
（Sage）来自Sage.combinat.expnums import expnums2；扩展2（30，1）#零入侵拉霍斯2008年6月26日
（鼠尾草）[（0..40）中n的bell_number（n）]#G.C.格鲁贝尔2019年6月13日
（Python）#此实现的目标是提高效率。
#m->[a（0），a（1），…，a（m）]对于m>0。
A=[范围（m）内的i为0]
A[0]=1
R=[1，1]
对于范围（1，m）内的n：
A[n]=A[0]
对于范围（n，0，-1）中的k：
A[k-1]+=A[k]
R追加（A[0]）
返回R
（Python）
#需要python 3.2或更高版本。否则，请在python文档中使用累积的定义。
从itertools导入累加
对于范围（20）内的_：
blist=列表（累加（[b]+blist））
b=blist[-1]
（Python）
来自sympy import bell
打印（[范围（27）中n的贝尔（n）]）#迈克尔·布拉尼基2021年12月15日
（Python）
从functools导入缓存
@高速缓存
定义a（n，k=0）：返回int（n<1）或k*a（n-1，k）+a（n-l，k+1）
打印（[a（n）代表范围（27）中的n]）#彼得·卢什尼2022年6月14日
（岩浆）[贝尔（n）：n in[0..40]]//文森佐·利班迪2011年2月7日
（Maxima）标记列表（beln（n），n，0，40）/*埃马努埃勒·穆纳里尼2011年7月4日*/
（哈斯克尔）
类型N=整数
n_partitioned_k:：n->n->n
1`n_partitioned_k`1=1
1`n_partitioned_k`_=0
n`n_partitioned_k`k=k*（pred n`n_partitioned_k` k）+（pred n `n_pPartitioned_k ` pred k）
n_分区：：n->n
n分区0=1
n_partitioned n=总和$map（\k->n`n_partioned_k`k）$[1..n]
（哈斯克尔）
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交叉参考
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参见。A000045号,A000108号,A000166号,A000204号,A000255号,A000311号,A000296号,A003422号,A024716号,A029761号,A049020号,A058692美元,A060719号,A084423号,A087650号,A094262号,A103293号,A165194号,A165196号,A173110型,A227840型,A182386号.
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关键字
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核心,非n,容易的,美好的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 11, 6, 1, 16, 45, 35, 10, 1, 61, 211, 210, 85, 15, 1, 272, 1113, 1351, 700, 175, 21, 1, 1385, 6551, 9366, 5901, 1890, 322, 28, 1, 7936, 42585, 70055, 51870, 20181, 4410, 546, 36, 1, 50521, 303271, 563970, 479345, 218925, 58107, 9240, 870, 45, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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这是由以下公式定义的正交多项式p（n，x）的系数数组的倒数：p（n、x）=if（n=-1,0，if（n=0,1，（x-n）p（n-1，x）-C（n，2）p（n-2，x））。
Hankel数组H用于A000111号（n+1）满足H=L*D*U，其中U是L的转置。
行总和为A000772号（n+1），例如，f.dif（exp（-1）exp（sec（x）+tan（x）），x）。
以下注释引用偏移量为1的表：即，行和列索引都从1开始。
递增树是带有标签的根树，其属性是沿着从根开始的任何路径的标签序列都在递增。A000111号（n） 对于n>=1，枚举以1为根的顶点集{1,2，…，n}上增加的无序树的数量，其中所有出度<=2（[Bergeron等人]符号中的平面一元二叉树）
本表条目T（n，k）给出了顶点集{1,2，…，n}上k个增加无序树的森林数，其中所有出度<=2。有关一些示例，请参见下文。
第二类Stirling2（n，k）的Stirling数是集[n]划分为k个块的数目。以升序数字顺序排列每个块中的元素为Stirling2（n，k）提供了另一种组合解释，即计算n个节点上k个递增一元树的森林。因此，我们可以将当前数组视为与A000111号或使用Z（n，x）的之字形多项式A147309号-特别参见下面的公式（2）和（3）。
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链接
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F.Bergeron，Ph.Flajolet和B.Salvy，增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷，J.-C.Raoult编辑，施普林格1992年，第24-48页。
弗拉基米尔·克鲁奇宁，普通生成函数的组成，arXiv:1009.2565[math.CO]，2010年。
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公式
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以下公式引用偏移量为1的表：即，第n行和第k列的索引都从1开始。
生成功能
例如：
(1)... exp（x*（秒（t）+tan（t）-1））-1=Sum_{n>=1}R（n，x）*t^n/n！
=x*t+（x+x^2）*t^2/2！+（2*x+3*x^2+x^3）*t^3/3！+。。。。
表格条目
(2)... T（n，k）=（1/k！）*和{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（k，j）*Z（n，j），
将（2）与第二类斯特林数公式进行比较
(3)... Stirling2（n，k）=（1/k！）*Sum_{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（k，j）*j^n。
重复关系
(4)... T（n+1，k）=T（n，k-1）+k*T（n、k）+（1/2）*k（k+1）*T（n，k+1）。
ROW多项式
行多项式R（n，x）开始
R（1，x）=x
R（2，x）=x+x ^2
R（3，x）=2*x+3*x^2+x^3
它们满足了重现性
(5)... R（n+1，x）=x*{R（n，x）+R'（n，x）+（1/2）*R''（n，×）}，
其中'表示关于x的微分。这应该与Bell多项式Bell（n，x）所满足的递归进行比较
(6)... 贝尔（n+1，x）=x*（贝尔（n，x）+贝尔'（n，x））。（结束）
总和{m=1..2n-1}T（2n-1，m）*箍筋1（m，1）=A000364号（n） ●●●●。
设Co（n，k）=和{j=1..k}二项式（k，j）*
T（n，m）=米！*求和{k=m.n}（如果n-k是奇数，则0是2^（1-k））*求和{i=0..floor（k/2）}（-1）^（floor（n+k）/2）-i）*二项式（k，i）*（2*i-k）^n））*求和{i=1..k}Co（i，m）*二项式（k-i+m-1，m-1），n>0。
（结束）
T（n，m）=和{k=0..n-m}二项式（k+m，m）*（-1）^（n-k-m）+1）*和{j=0..n-k-m}二项式（j+k+m、k+m）**2^（-j-k-1）*（-1）^（（n+k+m）/2+j+k+m）*斯特林2（n+1，j+k+m+1）/（m+1）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年5月17日
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例子
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三角形开始
1;
1, 1;
2, 3, 1;
5, 11, 6, 1;
16, 45, 35, 10, 1;
61, 211, 210, 85, 15, 1;
272, 1113, 1351, 700, 175, 21, 1;
...
L的产生式数组是三对角数组
1, 1;
1, 2, 1;
0, 3, 3, 1;
0, 0, 6, 4, 1;
0, 0, 0, 10, 5, 1;
0，0，0，0，15，6，1；
0, 0, 0, 0, 0, 21, 7, 1;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 28, 8, 1,;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 36, 9, 1;
森林示例：
下面的图是这样绘制的，以便二进制节点最左边的子节点具有最大标签。
T（4.1）=5。由4个节点上的单个非平面递增一元二叉树组成的5个森林是
...4... ........ .......... ........... ...........
...|... ........ .......... ........... ...........
...3... .4...3.. .4........ ........4.. ........三。。
...|... ..\./... ..\....... ......./... ......./...
...2... ...2.... ...3...2.. ..3…2。。4...2....
...|... ...|.... ....\./... ...\./..... ...\./.....
...1... ...1.... .....1。。。。1。。。。1......
T（4.2）=11。由4个节点上的两个非平面递增一元二叉树组成的11个森林是
......... ...三。。。。。
.3...2... ...|.....
..\./.... ...2.....
...1...4. ...|.....
......... ...1...4.
.
......... ...4.....
.4…2……|。。。。。
..\./.... ...2.....
...1...3. ...|.....
......... ...1...3.
.
......... ...4.....
.4...3... ...|.....
..\./.... ...三。。。。。
...1...2. ...|.....
......... ...1...2.
.
......... ...4.....
.4...3... ...|.....
..\./.... ...三。。。。。
...2...1. ...|.....
......... ...2...1.
.
......... ......... ..........
..2..4。。3..4。。4...3...
..|..|... ..|..|... ..|...|...
..1..3... ..1..2... ..1...2...
......... ......... .......... （结束）
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MAPLE公司
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A147315号：=进程（n，k）n*exp（x*（秒（t）+tan（t）-1）-1:系数日（%，t=0，n）；系数日（%，x=0，k）；结束进程：
#第二个Maple项目：
b： =proc（u，o）选项记忆；
`如果`（u+o=0，1，加上（b（o-1+j，u-j），j=1..u）
结束：
g： =proc（n）选项记忆；展开（`if`（n=0，1，add(
g（n-j）*x*二项式（n-1，j-1）*b（j，0），j=1..n））
结束：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=1..n+1））（g（n+1）
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数学
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t[n，k]：=t[n、k]=t[n-1，k-1]+（k+1）*t[n-1，k]+1/2*（k+1；t[n，k]/；（n<0|k<0|k>n）=0；t[0,0]=t[1,0]=1；扁平[表[t[n，k]，{n，0，9}，{k，0，n}][[1；；47]](*Jean-François Alcover公司2011年6月21日，在PARI项目之后*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（k<0|k>n，0，如果（n==0，1，T（n-1，k-1）+（k+1）*T（n-l，k）+（k+1）*（k+2）/2*T（n-1，k+1））}/*偏移=0*/
（PARI）{T（n，k）=局部（X=X+X*O（X^（n+2））；（n+1）！*polceoff（polceof（exp（y*（（1+sin（X））/cos（X）-1）））-1，n+1，X），k+1，y）}/*偏移量=0*/
（PARI）/*根据生产矩阵P生成：*/
{T（n，k）=局部（P=矩阵（n，n，r，c，if（r==c-1，1，if，if
（最大值）
Co（n，k）：=和（二项式（k，j）*（如果奇数p（n-k+j），则为0，否则为（n-k+j）/2<j，则为零，否则为j*2^（-n+k+1）*二项式；
A147315号（n，m）：=1/m*总和（如果是奇数p（n-k），则为0，否则为2^（1-k）*总和（（-1）^（floor（（n+k）/2）-i）*二项式（k，i）*（2*i-k）^n，i，0，floor（k/2））*（总和（Co（i，m）*二项式（k-i+m-1，m-1），i，1，k），k，m，n）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年2月17日*/
（最大值）T（n，m）：=（和（二项式（k+m，m）*（（-1）^（n-k-m）+1）*和（二项式（j+k+m，k+m）*（j+k+m+1）*2^（-j-k-1）*（-1）^（（n+k+m）/2+j+k+m）*stirling2（n+1，j+k+m+1），j，0，n-k-m），k，0，n-m））/（m+1）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年5月17日*/
#添加列1，0，0。。。在三角形的左边。
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交叉参考
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关键字
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A094198号
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| 在每个框最多可以包含三个（它们本身可能是嵌套的）框的条件下，具有不同大小的n个框可以相互包含的方式的数量。假设每个盒子足够大，可以容纳任何三个较小的盒子。 |
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+10
4
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1, 2, 6, 24, 119, 702, 4795, 37183, 322486, 3091630, 32453172, 370104159, 4555518746, 60182704891, 849245520581, 12746759647944, 202753756944382, 3406596290534764, 60282041591986049, 1120554350714688128
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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链接
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Letong Hong和Rupert Li，反转序列中的长四模式避免，arXiv:2112.15081[math.CO]，2021。
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公式
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例如：exp（g（x）-1），其中g（x。在这种情况下，G’（x）是指数生成函数，它给出了在最多3个框无法位于另一个框中时执行给定任务的方法数量。[乔尔·刘易斯2009年4月28日]
a（n）=D^n（exp（x））在x=0时计算，其中D是运算符（1+x+x^2/2！+x^3/3！）*D/dx。参见。A000110号和A000772号-彼得·巴拉，2011年11月25日
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例子
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a（3）＝6，从这些排列中可以看出：112233、321123、311223、211233、223113、113223，其中xyyx指示框x包含框y，等等。
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数学
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m=30；G[_]=1；
做[G[x_]=1+（1/6）积分[G[x]^3+3G[x]+2，x]+O[x]^m，{m}]；
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 3, 12, 61, 372, 2639, 21280, 191833, 1908688, 20750331, 244478784, 3100597333, 42088689216, 608543191559, 9332562964480, 151252803045937, 2582250195499264, 46306562212010355, 870011934425816064, 17086276243125287917
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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链接
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公式
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a（0）=1；a（n）=和{k=1..n}二项式（n-1，k-1）*A000111号（k+1）*a（n-k）。
a（n）~2^（n+2/3）*exp（8/（3*Pi^2）-5/6+2^（5/3）*n^（1/3）/Pi^（4/3）+3*2^（1/3）*n ^（2/3）/Pi ^（2/3）-n）*n（n-1/6）/（sqrt（3）*Pi^（n+1/3）））-瓦茨拉夫·科特索维奇2020年1月26日
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数学
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nmax=20；系数列表[Series[Exp[1/（1-Sin[x]）-1]，{x，0，nmax}]，x]Range[0，nmax]！
A000111号[n_]：=如果[EvenQ[n]，Abs[EulerE[n]]，Abs[（2^（n+1）-1）BernoulliB[n+1））/（n+1；a[0]=1；a[n]：=a[n]=和[二项式[n-1，k-1]A000111号[k+1]a[n-k]，{k，1，n}]；表[a[n]，{n，0，20}]
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交叉参考
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关键字
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非n
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