搜索： a000597-编号：a000596
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A008955号
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| 行读取的中心阶乘数|t（2n，2n-2k）|的三角形。 |
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1, 1, 1, 1, 5, 4, 1, 14, 49, 36, 1, 30, 273, 820, 576, 1, 55, 1023, 7645, 21076, 14400, 1, 91, 3003, 44473, 296296, 773136, 518400, 1, 140, 7462, 191620, 2475473, 15291640, 38402064, 25401600, 1, 204, 16422, 669188, 14739153, 173721912, 1017067024, 2483133696, 1625702400
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,5
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评论
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下面是Riordan对组合恒等式第6.5节中给出的中心阶乘数t（n，k）的定义：
对于n>=0，展开多项式
x^[n]=x*乘积{i=1..n-1}（x+n/2-i）=和{k=0..n}t（n，k）*x^k。
t（n，k）并不总是整数。偶数和奇数的情况最好分开处理。
对于n=2m，我们有：
x^[2m]=产品{i=0..m-1}（x^2-i^2）=总和{k=1..m}t（2m，2k）*x^（2k）。
例如，x^[8]=x^2（x^2-1^2）（x^2-2^2），（x^2-3^2）=x^8-14x^6+49x^4-36x^2，
对应于当前三角形的第4行。
因此，当前三角形的第m行给出了Product_{i=0..m-1}（x^2-i^2）展开式中系数的绝对值。
等效且更简单的是，第n行给出了Product_{i=1..n-1}（x+i^2）展开式中的系数，首先是最高幂。
对于奇数n，n=2m+1，我们有：
x^[2m+1]=x*产品_｛i=0..m-1}（x^2-（（2i+1）/2）^2）=总和_｛k=0..m｝t（2m+1,2k+1）*x^（2k+1）。
例如，x^[5]=x（x^2-（1/2）^2）（x^2-（3/2）^2”）=x^5-10x^3/4+9x/16，
我们现在通过将x替换为x/2并乘以2^（2m+1）（从示例中得到1，-10，9）来重新缩放整数。
结果是三角形的m行A008956号给出了x*Product_{i=0..m}（x^2-（2i+1）^2）展开式中的系数。
等效且更简单的是A008956号给出了乘积{i=0..n-1}（x+（2i+1）^2）展开式中的系数，最高次方优先。
注意，第n行A182867号给出了乘积{i=1..n}（x+（2i）^2）展开式中的系数，最高次方优先。
（结束）
我们用Beta（z，w）函数定义Beta（n-z，n+z）/Beta（n，n）=Gamma（n-z）*Gamma。EG2[2m，n]系数非常有趣，请参见A161739号.我们的定义导致了EG2[2m，1]=2*eta（2m）和递推关系EG2[2m，n]=EG2[2m，n-1]-EG2[2m-2，n-1]/（n-1）^2，对于m=-2，-1，0，1，2。。。n=2,3，eta（m）=（1-2^（1-m））*zeta（m），eta（m）是Dirichlet eta函数，zeta（m）则是Riemann zeta函数。我们发现矩阵系数EG2[2m，n]=和（（-1）^（k+n）*t1（n-1，k-1）*2*eta（2*m-2*n+2*k）/（（n-1）！）^2，k=1..n），中心阶乘数t1（n，m）如上所述，另请参见Maple程序。
从EG2矩阵我们得出ZG2矩阵，参见A161739号对于它的奇数对应项，它由ZG2[2m，1]=2*zeta（2m）定义，并且对于m=-2，-1，0，1，2。。。n=2，3。我们发现ZG2[2m，n]=Sum_{k=1..n}（-1）^（k+1）*t1（n-1，k-1）*2*zeta（2*m-2*n+2*k）/（（n-1）*（n） ！），我们看到中心阶乘数t1（n，m）再次发挥了关键作用。
（结束）
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan的笔记本第一部分，Springer-Verlag，1985年。
J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第217页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年，第23章，第811-812页。
R.H.Boels和T.Hansen，目标空间中的弦理论，arXiv预印arXiv:1402.6356[hep-th]，2014。
P.L.Butzer、M.Schmidt、E.L.Stark和L.Vogt，中心因子数的主要性质及其应用《数值函数分析与优化》，10（5&6），419-488（1989）。
T.L.Curtright和T.S.Van Kortryk，关于旋转作为自旋矩阵多项式，arxiv:1408.0767[math-ph]，2014年。
P.A.MacMahon，分划理论中的数字除数及其延续，程序。伦敦数学。《社会学杂志》，19（1919），75-113；科尔。论文II，第303-341页。
J.W.Meijer和N.H.G.Baken，指数积分分布《统计与概率快报》，第5卷，第3期，1987年4月。第209-211页。
S.Shadrin、L.Spitz和D.Zvonkine，关于完备圈的双Hurwitz数，J.Lond。数学。社会学，II。序列号。86，No.2，407-432（2012），推论7.5。
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配方奶粉
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第n行给出乘积展开中的系数_{i=1..n-1}（x+i^2），最高幂优先（见注释部分）。
三角形可以从递归t1（n，k）=n^2*t1（n-1，k-1）+t1（n-1，k）得到，其中t1（n，0）=1，t1（m，n）=（n！）^2。
t1（n，k）=和{j=-k.k}（-1）^j*s（n+1，n+1-k+j）*s（n+1，n+1-k-j）=和}j=0..2*（n+1-k）}（-1）^，A048994号. -米尔恰·梅卡2012年4月2日
例如，cosh（2/sqrt（t）*asin（sqrt）*z/2））=1+z^2/2！+（1+t）*z^4/4！+（1+5*t+4*t^2）*z^6/6！+。。。（见伯恩特，第263页和第306页）-彼得·巴拉2012年8月29日
T（n，m）=（2*（n+1））*求和{k=0..m}（（-1）^k*二项式（n，m-k）*求和{i=0..2*k}-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年10月5日
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例子
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三角形开始：
1；
1, 1;
1, 5, 4;
1, 14, 49, 36;
1, 30, 273, 820, 576;
...
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MAPLE公司
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nmax:=7：对于从0到nmax的n do t1（n，0）：=1:t1（n，n）：=（n！）#约翰内斯·梅耶尔，2009年6月18日，2012年9月16日修订
t1:=过程（n，k）
sum（（-1）^j*stirling1（n+1，n+1-k+j）*stirling1（n+1，n+1-k-j），j=-k.k）；
#第三个Maple项目：
T： =proc（n，k）选项记忆`如果`（k=0，1，
加（T（j-1，k-1）*j^2，j=1.n））
结束时间：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..8）#阿洛伊斯·海因茨2022年2月19日
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数学
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t[n，0]=1；t[n，n]=（n！）^2；t[n，k]：=t[n、k]=n^2*t[n-1，k-1]+t[n-1，k]；扁平[表[t[n，k]，{n，0，8}，{k，0，n}][[1；；42]]
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）#这个三角形是基于（0，0）的。
如果k==0：返回1
如果k==n：返回阶乘（n）^2
（马克西玛）
T（n，m）：=（2*（n+1））*求和（（-1）^k*二项式（n，m-k）*求和（2^（i-2*m）*stirling1（2*（n-m+1）+i，2*（n-m+1））*二项式（2*！，i、 0，2*k），k，0，m）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年10月5日*/
（哈斯克尔）
a008955 n k=a008955_tabl！！不！！k个
a00895_row n=a008955_tabl！！n个
a008955_tabl=[1]：f[1]1其中
f xsu t=ys:f ysv（t*v）其中
ys=zipWith（+）（xs++[t^2]）（[0]++映射（*u^2）（初始化xs）++[0]）
v=u+1
（PARI）T（n，k）=如果（k==0，1，如果（k==n，（n！）^2，n^2*T（n-1，k-1）+T（n-1，k））；
对于（n=0，8，对于（k=0，n，打印1（T（n，k），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2019年9月14日
（岩浆）
T： =func<n，k|阶乘（2*（n+1））*（&+[（-1）^j*二项式（n，k-j）*（+[2^（m-2*k）*StirlingFirst（2*（n-k+1）+m，2*（n-k+1）；
[T（n，k）：[0..n]中的k，[0..8]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年9月14日
（间隙）
T： =函数（n，k）
如果k＝0，则返回1；
elif k=n，则返回（阶乘（n））^2；
否则返回n^2*T（n-1，k-1）+T（n-1，k）；
fi；
结束；
平面（列表（[0..8]，n->List（[0..n]，k->T（n，k）））#G.C.格鲁贝尔2019年9月14日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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Riordan表的最后一列中有一个错误（将46076更改为21076）。
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状态
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经核准的
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4, 49, 273, 1023, 3003, 7462, 16422, 32946, 61446, 108031, 180895, 290745, 451269, 679644, 997084, 1429428, 2007768, 2769117, 3757117, 5022787, 6625311, 8632866, 11123490, 14185990, 17920890, 22441419, 27874539, 34362013, 42061513, 51147768, 61813752, 74271912
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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3.1个
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评论
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a（n）是集合{1，4，9，16，…，（n-1）^2}中每个唯一元素对的乘积之和（a（3）=1*4，a（4）=1*4+1*9+4*9，a（5）=1*4]+1*16+4*9+4*16+9+9*16，依此类推）-杰弗里·斯诺2013年9月23日
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参考文献
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J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第217页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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鲁迪·埃尔·哈达德，多重和和分区标识，arXiv:2102.00821[math.CO]，2021。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975【math.NT】，2009年。
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配方奶粉
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a（n）=（1/360）*n*（n-1）*（n-2）*（2*n-1）x（2*n-3）*（5*n+1）。
a（n）=和{0<i<j<n}（i*j）^2。
a（n）=二项式（2n，5）*（5*n+1）/4！。（结束）
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MAPLE公司
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seq（斯特林1（n，n-2）^2-2*斯特林1#米尔恰·梅卡2012年4月3日
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数学
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f[k_]：=k^2；t[n_]：=表[f[k]，{k，1，n}]
a[n_]：=对称多项式[2，t[n]]
a[n]：=1/360*n*（n-1）*（n-2）*（2n-1）x（2n-3）*（5n+1）；表[a[n]，{n，3，34}](*詹姆斯·C·麦克马洪2023年12月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n*（n-1）*（n-2）*（2*n-1）x（2*n-3）*（5*n+1）/360}\\鲁迪·埃尔·哈达德2022年2月17日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A352980型
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| a（n）=和{1<=i<j<k<=n}（k*j*i）^3。 |
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0, 0, 0, 216, 16280, 335655, 3587535, 25421200, 135459216, 584760870, 2145870870, 6918983280, 20073184560, 53334782501, 131555523645, 304453955520, 666698215360, 1390977293580, 2780695001196, 5351537889480, 9954554649480, 17957698726275
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0.4
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评论
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a（n）是三个不同的正整数立方体到n的所有乘积之和，即立方体集合{1^3，…，n^3}中三个不同元素的所有乘法之和。
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链接
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鲁迪·埃尔·哈达德，多重和和分区标识，arXiv:2102.00821[math.CO]，2021。
鲁迪·埃尔·哈达德，多重zeta值的推广。第2部分：多项总和《数论和离散数学注释》，28（2）2022200-233，DOI:10.7546/nntdm.2022.28.2.200-233。关于m=3和p=3，请参见定理5.1。
常系数线性递归的索引项，签名（13，-78286，-7151287，-17161716，-1287715，-286,78，-13,1）。[拼写错误由更正乔治·菲舍尔2022年9月30日]
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配方奶粉
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a（n）=和{k=3..n}和{j=2..k-1}和}i=1..j-1}k^3*j^3*i^3。
a（n）=n^2*（n+1）^2*，（n-1）*（n-2）*（35*n^6+5*n^5-237*n^4-77*n^3+502*n^2+148*n-336）/13440。
a（n）=二项（n+1,4）*二项（n+1,2）*（35*n^6+5*n^5-237*n^4-77*n^3+502*n^2+148*n-336）/280。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n^2*（n+1）^2*（n-1）*（n-2）*（35*n^6+5*n^5-237*n^4-77*n^3+502*n^2+148*n-336）/13404}；
（Python）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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A354021型
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| a（n）=和{1<=i<j<k<m<=n}（m*k*j*i）^2。 |
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0, 0, 0, 0, 576, 21076, 296296, 2475473, 14739153, 68943381, 268880381, 909450751, 2742417535, 7522650135, 19058554515, 45123156390, 100771975590, 213877057086, 434042943246, 846542846578, 1593528150578
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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a（n）是四个不同的正整数平方到n的所有乘积之和，也就是说，四个不同元素在平方集{1^2，…，n^2}中所有乘积的和。
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链接
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鲁迪·埃尔·哈达德，多重和和分区标识，arXiv:2102.00821[math.CO]，2021。
常系数线性递归的索引项，签名（13，-78286，-7151287，-17161716，-1287715，-286,78，-13,1）。
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配方奶粉
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a（n）=和{m=4..n}和{k=3..m-1}和}j=2..k-1}求和{i=1..j-1}（m*k*j*i）^2。
a（n）=n*（n+1）*（n-1）*（n-2）*。
a（n）=二项式（2*n+2,9）*（5*n+7）*（35*n^2+98*n+72）/（5！*4）。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n*（n+1）*（n-1）*；
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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