搜索： a000466-编号：a000465
|
| |
| |
|
|
|
0, 5, 58, 207, 500, 985, 1710, 2723, 4072, 5805, 7970, 10615, 13788, 17537, 21910, 26955, 32720, 39253, 46602, 54815, 63940, 74025, 85118, 97267, 110520, 124925, 140530, 157383, 175532, 195025, 215910, 238235, 262048, 287397, 314330, 342895
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
对于方程y^2=x^3+k的许多k值，所有的解都是已知的。例如，我们有k=-2:（x，y）=（3，-5）和（3,5）的解。所有整数k的完整分辨率未知。定理：设k≤-1，无平方因子，k==2或3（mod 4）。假设类的数量h（Q（sqrt（k））不能被3整除。那么方程y^2=x^3+k承认整数解当且仅当k=1-3a^2或1-3a^2，其中a是整数。在这种情况下，解是x=a^2-k，y=a（a^2+3k）或-a（a^2+3k）（第一个参考文献给出了这个定理的证明）。通过k=-1-3a^2，我们得到了解x=4a^2+1，y=a（8a^2+3）或-a（8a*2+3”）。对于k=1-3a^2的情况，我们得到了序列给出的解x=4a^2-1A000466号.
|
|
|
参考文献
|
T.Apostol，《解析数论导论》，施普林格出版社，1976年
D.Duverney，名义理论（2e版），Dunod，2007年，第151页
|
|
|
链接
|
W.J.Ellison、F.Ellion、J.Pesek、C.E.Stall和D.S.Stall，丢番图方程y^2+k=x^3，J.数论4（1972），107-117。
|
|
|
配方奶粉
|
y=a*（8*a^2-3）。
a（n）=8*n^3-24*n^2+21*n-5。
通用格式：x^2*（5+38*x+5*x^2）/（1-x）^4。（结束）
a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n3）-a（n-4）-文森佐·利班迪2012年7月2日
例如：exp（x）*（5*x+24*x^2+8*x^3）-斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月4日
|
|
|
例子
|
其中a=3，x=35，y=207，然后207^2=35^2-26。
|
|
|
MAPLE公司
|
对于0到100之间的a，do:z:=evalf（a*（8*a^2-3））：打印（z）：od：
|
|
|
数学
|
系数列表[级数[x*（5+38*x+5*x^2）/（1-x）^4，{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2012年7月2日*）
系数列表[级数[E^x（5x+24x^2+8x^3），{x，0,40}]，x]*表[n！，{n，0,40}](*斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月4日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（岩浆）I:=[0,5,58,207]；[n le 4选择I[n]else 4*自我（n-1）-6*自我（n-2）+4*自我（n-3）-自我（n-4）：[1..40]]中的n//文森佐·利班迪2012年7月2日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A005563号
|
| a（n）=n*（n+2）=（n+1）^2-1。
（原M2720）
|
|
+10
295
|
|
|
|
0、3、8、15、24、35、48、63、80、99、120、143、168、195、224、255、288、323、360、399、440、483、528、575、624、675、728、783、840、899、960、1023、1088、1155、1224、1295、1368、1443、1520、1599、1680、1763、1848、1935、2024、2115、2208、2303、2400、2499、2600
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
Erdős推测n^2-1=k！有解当且仅当n为5、11或71时（当k为4、5或7时）。
二阶线性递归y（m）=2y（m-1）+a（n）*y（m-2），y（0）=y（1）=1，具有只涉及整数幂的闭式解-伦·斯迈利2001年12月8日
设k为正整数，M_n为n×n矩阵M_（i，j）=k^abs（i-j），则det（M_n）=（-1）^（n-1）*a（k-1）^-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月28日
也可以将k编号为4*k+4是一个正方形-西诺·希利亚德2003年12月18日
对于每个项k，函数sqrt（x^2+1）从1开始，在k次迭代后生成一个整数-杰拉尔德·麦卡维2004年8月19日
方程X^3+X^2=Y^2的解的非负X值。要查找Y值：b（n）=n（n+1）（n+2）-穆罕默德·布哈米达2007年11月6日
序列允许我们找到方程的X值：X+（X+1）^2+（X+2）^3=Y^2。为了证明X=n^2+2n:Y^2=X+（X+1）^2+（X+2）^3=X^3+7*X^2+15X+9=（X+1”）（X^2+6X+9）=（X+1）*（X+3）^2，它的意思是：（X+1。我们可以设：k=n+1，这给出：X=n^2+2n和Y=（n+1）（n^2+2n+3）-穆罕默德·布哈米达2007年11月12日
蟾蜍和青蛙拼图：
这也是n只青蛙和n只蟾蜍在2n+1方块（或位置，或睡莲叶）上交换位置所需的移动次数，其中一个移动是一次滑动或跳跃，如n=2，a（n）=8
T T-F F
T-T F F
温度-温度
T英尺T英尺-
T F-F T
-前变速器前变速器
F-T F T（飞行时间）
F F T-T
前F-T T
霍尔顿的文章提醒了我这一点，但在查阅辛马斯特的资料后，我发现这个谜团至少可以追溯到1867年。
1883年，爱德华·卢卡斯（Edouard Lucas）可能是第一个公布每种动物n的移动次数的人。（结束）
设f（x）是x中的多项式，则f（x+n*f（x））全等于0（mod（f（x））；这里n属于n。当x属于Z时，商f（x+n*f（x））/f =A056108号（n） +a（n）*sqrt（2）-A.K.德瓦拉吉2009年9月18日
对于n>0，连分式[n，1，n]=（n+1）/a（n）；例如，[6，1，6]=7/48-加里·W·亚当森，2010年7月15日
起始（3，8，15，…）=[3，5，2，0，0，…]的二项式变换；例如，a（3）=15=（1*3+2*5+1*2）=（3+10+2）-加里·W·亚当森2010年7月30日
a（n）本质上是多边形数的情况0。多边形数定义为P_k（n）=Sum_{i=1..n}（（k-2）*i-（k-3））。因此P_0（n）=2*n-n^2，a（n）=-P_0（n+2）。另请参见A067998号对于k=1的情况A080956号. -彼得·卢什尼，2011年7月8日
a（n）是具有来自{1，…，n+1}的整数元素的2x2矩阵的最大行列式，因此具有来自{1，…，5}的整数元素的2x2矩阵的最大行列式=5^2-1=a（4）=24-阿尔多·冈萨雷斯-洛伦佐2011年10月12日
使用四个连续的三角形数字t1、t2、t3和t4，绘制点（0，0）、（t1，t2）和（t3，t4）以创建三角形。这个三角形面积的两倍是这个序列中从n=1开始的数字，得出8-J.M.贝戈2012年5月3日
给定一个自旋为S=n/2（总是半整数）的粒子，其自旋矢量大小平方的量子力学期望值计算为<S^2>=S（S+1）=n（n+2）/4，即n=2S的四分之一a（n）。这在磁学和磁共振理论中起着重要作用-斯坦尼斯拉夫·西科拉2012年5月26日
数量m，使楼层（sqrt（m））=楼层（m/floor（sqrt（m）-佐藤拓美2012年10月10日
Len Smiley于2001年12月8日提到的a（n）=2*a（n-1）+a（m-2）*a（n-2），n>=2，a（0）=0，a（1）=1的闭式解中的整数是m和-m+2，其中m>=3是一个正整数-费利克斯·P·穆加二世2014年3月18日
设m>=3是一个正整数。如果a（n）=2*a（n-1）+a（m-2）*a（n-2），n>=2，a（0）=0，a（1）=1，那么lim_{n->oo}a（n+1）/a（n）=m-费利克斯·P·穆加二世2014年3月18日
对于n>=4，轮图W_n的Szeged指数（带有n+1个顶点）。在Sarma等人的参考文献中，定理2.7是不正确的-Emeric Deutsch公司2014年8月7日
如果P_{k}（n）是第n个k角数，则a（n）=t*P_{s}（n+2）-s*P_}t}（n+2）表示s=t+1-布鲁诺·贝塞利2014年9月4日
对于n>=1，a（n）是简单李代数a_n的维数-沃尔夫迪特·朗2015年10月21日
对于n>0，a（n）mod（n+1）=a（n-托拉赫·拉什2016年4月4日
推测：当使用埃拉托斯特尼筛和筛分（n+1..a（n）），除数（1..n）和n>0时，将不会有超过一个（n-1）的复合数-弗雷德·丹尼尔·克莱恩2016年4月8日
a（n）mod 8是周期性的，周期4重复（0,3,0,7），即a（n）mod 8=5/2-（5/2）cos（n*Pi）-sin（n*Pi/2）+sin（3*n*Pi/2）-安德烈斯·西卡廷2016年6月2日
从Klauber三角形（参见Kival Ngaokrajang链接）右侧开始的第二条合成对角线（唯一的素数是数字3），它是由正整数和前1、后3、后5等组成的，每个都位于最后一个的下方-查尔斯·库斯尼奇2017年7月3日
a（n）是n阶Raviart-Tomas或nédélec第一类有限元空间三角形单元中的自由度-马修·斯克洛格斯2020年4月22日
对于n>1，a（n-2）是Quine-McCluskey算法第二阶段的最大元素数，其minterms不被n位函数覆盖。在n=3时，我们有a（3-2）=a（1）=1*（1+2）=3和f（a，B，C）=σ（0,1,2,5,6,7）。
.
0 1 2 5 6 7
+---------------
*（0,1）| X X
（0,2）| X X
（1,5）| X X
*（2,6）| X X
*（5,7）| X X
（6,7）| X X
.
*：表示覆盖的元素。（结束）
1/a（n）是第一个k个奇数之和与下一个n*k个奇数之和的比率-梅尔文·佩拉尔塔2021年7月15日
|
|
|
参考文献
|
E.R.Berlekamp、J.H.Conway和R.K.Guy，《胜利之道》，纽约学术出版社，第2卷。，1982年，见蟾蜍和青蛙拼图下的索引。
马丁·加德纳（Martin Gardner），《令人困惑的谜题和令人兴奋的小品》（Perplexing Puzzles and Tanovating Teasers），第21页（《一角硬币和一分钱的开关》（The Dime and Penny Switcheroo））。
R.K.Guy，《数论中未解决的问题》，第D25节。
Derek Holton，学校数学，37#1（2008年1月）20-22。
爱德华·卢卡斯（Edouard Lucas），《数学评论》（Récréations Mathématiques），高瑟·维拉斯（Gauthier-Villars），第2卷（1883）141-143。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
Jeremiah Bartz、Bruce Dearden和Joel Iiams，间隙平衡数的类别，arXiv:1810.07895[math.NT]，2018年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014。
斯坦尼斯拉夫·斯库拉，OEIS上的磁共振，Stan的核磁共振博客（2014年12月31日），2019年11月12日检索。
|
|
|
配方奶粉
|
通用：x*（3-x）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=（n！+（n+1）！）/（n-1）！，n>0-加里·德特利夫斯2009年8月10日
a（n）=楼层（n^5/（n^3+1）），偏移量为1（a（1）=0）-加里·德特利夫斯，2010年2月11日
a（n）=a（n-1）+2*n+1（a（0）=0）-文森佐·利班迪2010年11月18日
a（n）=2/（积分_{x=0..Pi/2}（sin（x））^（n-1）*（cos（x））^3），对于n>0-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
G.f.:U（0），其中U（k）=-1+（k+1）^2/（1-x/（x+（k+1）^2/U（k+1；（连分数，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月19日
a（n）=15*C（n+4.3）*C（n+4.5）/（C（n/4.2）*C-加里·德特利夫斯2013年8月5日
a（n）=（n+2）/（n-1）！+n！），n>0-伊万·伊纳基耶夫，2013年11月11日
a（-2-n）=Z中所有n的a（n）-迈克尔·索莫斯2014年8月7日
对于n>=1，a（n^2+n-2）=a（n-1）*a（n）-米科·拉巴兰2017年10月15日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=1/4-阿米拉姆·埃尔达尔2020年11月4日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=2。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=-sqrt（2）*sin（sqrt（二）*Pi）/Pi。（结束）
|
|
|
例子
|
G.f.=3*x+8*x^2+15*x^3+24*x^4+35*x^5+48*x^6+63*x^7+80*x^8+。。。
|
|
|
数学
|
表[n^2-1，{n，42}](*零入侵拉霍斯，2007年3月21日*）
列表相关[{1，2}，范围[-1，50]，{1，-1}，0，Plus，Times](*哈维·P·戴尔2015年8月29日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）连接（0，Vec（x*（3-x）/（1-x）^3+O（x^90））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月22日
（最大值）makelist（n*（n+2），n，0，56）/*马丁·埃特尔2012年10月15日*/
（哈斯克尔）
a005563 n=n*（n+2）
a005563_list=zip带（*）[0..][2..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年12月16日
（岩浆）[0..60]]中的[n*（n+2）：n//G.C.格鲁贝尔2024年3月29日
（SageMath）[n*（n+2）表示范围（61）内的n]#G.C.格鲁贝尔2024年3月29日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A016754美元
|
| 奇数平方：a（n）=（2n+1）^2。同样居中的八角数字。 |
|
+10
291
|
|
|
|
1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089, 1225, 1369, 1521, 1681, 1849, 2025, 2209, 2401, 2601, 2809, 3025, 3249, 3481, 3721, 3969, 4225, 4489, 4761, 5041, 5329, 5625, 5929, 6241, 6561, 6889, 7225, 7569
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
褐鼠繁殖很快。从三个月大的时候开始，它可以一年生7次其他老鼠。幼崽的平均数量是8只。现在的序列给出了老鼠的总数，时间间隔为一年中的12/7，幼鼠在一年中24/7开始生育后代-汉斯·伊斯达尔2008年1月26日
如果Y是（2n+1）-集X的固定2-子集，则a（n-1）是与Y相交的X的3-子集的数目-米兰Janjic2007年10月21日
顺序是从1开始，在方向1、25。。。以及从9开始的直线，在9、49、……方向。。。，在顶点为正方形的正方形螺旋中A000290型. -奥马尔·波尔，2008年5月24日
作为分子出现在Pi-3的非简单连分式展开式中：Pi-3=K_{K>=1}（1-2*K）^2/6=1/（6+9/（6+25/（6+49/（6+…））），另请参阅A007509号. -亚历山大·波沃洛茨基2011年10月12日
所有术语都以1、5或9结尾。模100，所有项都在{1、9、21、25、29、41、49、61、69、81、89}之间-M.F.哈斯勒2012年3月19日
对于n>1，a（n）是由点（（n-2）*（n-1），（n-1-J.M.贝戈2014年5月27日
Z^2的对数（x，y），即max（abs（x），abs（y））<=n-米歇尔·马库斯2014年11月28日
除a（1）=4外，基于5细胞von Neumann邻域，由“规则737”定义的二维细胞自动机生长的第n阶段的活跃（ON，黑色）细胞的数量-罗伯特·普莱斯2016年5月23日
a（n）是2n+1个连续数字的和，其中第一个数字是n+1-伊万·伊纳基耶夫2016年12月21日
a（n）是所有元素都在{0..n}中且行列式=2*永久的2X2矩阵的数目-印地瑞尼Ghosh2016年12月25日
a（n）是最小奇数k＝x+y，其中0＜x＜y，使得存在n个不同的对（x，y），其中x*y/k是整数；例如，a（2）=25，对应的两对是（5,20）和（10,15）。与“偶数”类似的序列是A016742号（见2018年1月26日的评论）-伯纳德·肖特2023年2月24日
|
|
|
参考文献
|
L.Lorentzen和H.Waadeland，《续分数及其应用》，北荷兰，1992年，第586页。
|
|
|
链接
|
杰里米亚·巴茨、布鲁斯·迪尔登和乔尔·利亚姆斯，间隙平衡数的类别，arXiv:1810.07895[math.NT]，2018年。
|
|
|
配方奶粉
|
外径：（1+6*x+x^2）/（1-x）^3-R.J.马塔尔2008年1月11日
a（n）=4*n*（n+1）+1=4*n^2+4*n+1-阿图尔·贾辛斯基2008年3月27日
a（n）=a（n-1）+8*n，n>0，a（0）=1-文森佐·利班迪2010年8月1日
a（n+1）=a（n）+4+4*sqrt（a（n））。
a（n-1）=a（n）+4-4平方米。
a（n+1）=2*a（n）-a（n-1）+8。
a（n+1）=3*a（n）-3*a（n-1）+a（n-2）。
（a（n+1）-a（n-1））/8=sqrt（a（n））。
a（n+1）*a（n-1）=（a（n）-4）^2。
极限{n->oo}a（n）/a（n-1）=1。（结束）
a（n）=二项（2*n+2,2）+二项（2*n+1,2）-约翰·莫洛卡赫2013年7月12日
和{n>=0}a（n）/n！=13*e。
和{n>=0}（-1）^（n+1）*a（n）/n！=3/e.（结束）
产品{n>=0}（1+1/a（n））=cosh（Pi/2）。
求和{k=1..n+1}1/（k*a（k）*a（k-1））=1/（9-3/（17-60/（33-315/（57-…-n^2*（4*n^2-1）/（（2*n+1）^2+2*2^2））））。
3/2-2*log（2）=和{k>=1}1/（k*a（k）*a（k-1））=1/（9-3/（17-60/（33-315/（57-…-n^2*（4*n^2-1）/（（2*n+1）^2+2*2^2-…））））。
8*a（n）=（2*n+1）*（a（n+1）-a（n-1））。
求和{n>=0}（-1）^n/（a（n）*a（n+1））=1/2-Pi/8=1/（9+（1*3）/（8+（3*5）/（8+…+（4*n^2-1）/（8%…））））。对于连续分数，使用Lorentzen和Waadeland，第586页，方程4.7.9，n=1。囊性纤维变性。A057813号.（结束）
|
|
|
数学
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
（哈斯克尔）
a016754 n=a016754_列表！！n个
a016754_list=扫描（+）1$tail a008590_list
（岩浆）[1..100 x 2]中的n^2:n//文森佐·利班迪2017年1月3日
（Python）
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000290型,A000384号,A001263号,A001539号,A001844号,A003881号,A005408号,A006752号,A014105号,A016742号,A016802型,A016814号,A016826号,A016838号,A033996号,A046092号,A060300型,A138393号,A167661号,A167700个.
|
|
|
关键字
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108, 112, 116, 120, 124, 128, 132, 136, 140, 144, 148, 152, 156, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 200, 204, 208, 212, 216, 220, 224, 228
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
除了初始项外，Gamma_0（14）的权重空间2n尖点的维数也是形式的。
如果X是一个n集，并且X的Y和Z不相交的2个子集，那么a（n-3）等于X的3个子集的数目，这些子集与Y和Z相交-米兰Janjic2007年8月26日
允许重复的5个对象u，v，z，x，y的n项数（n>=1），包含n-1u。示例：如果n=1，则n-1=零（0）u，a（1）=4，因为我们有v，z，x，y。如果n=2，则n-1=一（1）u，a（2）=8，因为我们有vu，zu，xu，yu，uv，uz，ux，uy。A038231号格式化为三角形数组：对角线：4、8、12、16、20、24、28、32-零入侵拉霍斯2008年8月6日
a（n）*Pi=由半径为2的圆从零开始沿正x轴滚动而生成的摆线的非负零点-韦斯利·伊万·赫特2013年7月1日
除了初始项之外，边长为2的n维三次格子（n>1）上的最小路径的顶点数，直到一个自空行走被卡住为止。A004767号+ 1. -马修·雷曼2013年12月23日
当轨道基数等于2688时，Aut（Z^7）的轨道数是轨道代表格点的无穷范数n的函数-菲利普·谢瓦利埃2015年12月29日
|
|
|
链接
|
汤姆·M·阿波斯托，解析数论导论《施普林格·弗拉格出版社》，1976年，第3页。
弗兰克·拉马哈罗，几类结阴影的统计，arXiv:1802.07701[math.CO]，2018年。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014年，2015年。
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.：4*x/（1-x）^2-大卫·威尔丁2014年6月21日
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
（哈斯克尔）
a008586=（*4）
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000290型,A000466号,A001844号,A004767号,A008574号,A030308号,A033888号,A035008号,A038231号,A048272号,A053755号,A090418号,A214546型.
|
|
|
关键字
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 2, 8, 16, 128, 256, 1024, 2048, 32768, 65536, 262144, 524288, 4194304, 8388608, 33554432, 67108864, 2147483648, 4294967296, 17179869184, 34359738368, 274877906944, 549755813888, 2199023255552, 4398046511104, 70368744177664, 140737488355328, 562949953421312
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
对于任意奇数k，（1+x）^（k/2）或（1-x）^（k/2”）中系数x^n的分母-迈克尔·索莫斯2004年9月15日
2^m*伽马（m+3/4）/（伽马（3/4）*Gamma（m+1））的分母-斯蒂芬·克劳利2007年3月19日
Jacobi_P（n，1/2，1/2，x）展开式中的分母-保罗·巴里2008年2月13日
1，-1/3，1/5，-1/7，1/9，…的二项式变换的分子。。。（Madhava-Gregory-Leibniz系列用于Pi/4）：1、2/3、8/15、16/35、128/315、256/693。。。。第一个差异是-1/3、-2/15、-8/105、-16/315、-128/3465、-256/9009。。。包含相同的分子，取反。第二个差异是1/5、2/35、8/315、16/1155、128/15015。。。同样使用相同的分子。第二列：2/3、-2/15、2/35、-2/63、2/99；看见A000466号（n+1）=A005563号（2n+1）。第三列：8*（1/15，-1/105，1/315，-1/693，…），见A061550号。请参阅A173294号和A173296号. -保罗·柯茨2010年2月16日
arcsin（x）/sqrt（1-x^2）幂级数的分子，以x=0为中心-约翰·莫洛卡赫2013年8月2日
求和{n>=0}exp（（-1）^n*Euler（2*n）*x^n/（2*n））的泰勒级数展开式中系数的分母，参见A280442型对于分子-约翰内斯·梅耶尔2017年1月5日
Pochhammer（n+1，-1/2）/sqrt（Pi）的分母-亚当·胡吉尔2022年9月11日
a（n）是cos（x）^（2*n）从x=0到2*Pi的平均值的分母-斯特凡诺·斯佩齐亚2023年5月16日
4^n/二项式（2n，n）是指当一次抽出一只袜子直到找到匹配的袜子时，从n双不同袜子的抽屉中随机抽出的袜子数量的预期值（King和King，2005）-阿米拉姆·埃尔达尔2023年7月2日
a（n）是（1/Pi）*Integral_{x=-oo..+oo}sech（x）^（2*n+1）dx的分母。相应的分子是A001790美元（n） ●●●●-亚辛2023年7月29日
a（n）是Integral_{x=0..Pi/2}sin（x）^（2*n+1）dx的分子。相应的分母为A001803号（n） ●●●●-亚辛2023年9月22日
|
|
|
参考文献
|
W.Feller，《概率论及其应用导论》，第1卷，第2版，纽约：Wiley，1968年；第三章，方程式4.1。
B.D.Hughes，《随机行走和随机环境》，牛津大学，1995年，第1卷，第513页，等式（7.282）。
Eli Maor，e：数字的故事。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社（1994年），第72页。
|
|
|
链接
|
C.M.Bender和K.A.Milton，连分式作为离散非线性变换，arXiv:hep-th/93040621993年。见n=1时的V_n。
伊莎贝尔·卡桑、赫尔穆斯·马洛内克、玛丽亚·艾琳·法尔坎奥和格拉萨·托马兹，多维多项式序列的组合恒等式，J.国际顺序。，第21卷（2018年），第18.7.4条。
杰里米和帕特里夏·金，问题89.G《问题角》，《数学公报》，第90卷，第515号（2005年），第314页；解决方案同上，第90卷，第517号（2006年），第163-164页。
V.H.Moll，积分的评价：个人故事，通知Amer。数学。Soc.，49（第3期，2002年3月），311-317。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=分母（二项式（-1/2，n））-彼得·卢什尼2012年11月21日
|
|
|
例子
|
平方码（1+x）=1+（1/2）*x-（1/8）*x^2+（1/16）*x*3-（5/128）*x_4+（7/256）*x_25-（21/1024）*x_3+（33/2048）*x~7+。。。
二项式（2n，n）/4^n=>1，1/2，3/8，5/16，35/128，63/256，231/1024，429/2048，6435/32768。。。
序列e（0，n）开始于1，3/2，21/8，77/16，1155/128，4389/256，33649/1024，129789/2048，4023459/32768。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
e:=进程（l，m）局部k；加上（2^（k-2*m）*二项式（2*m-2*k，m-k）*二项式（m+k，m）*二项式（k，l），k=l.m）；结束：seq（denom（e（0，n）），n=0..24）；
Z[0]：=0：对于k到30，做Z[k]：=简化（1/（2-Z*Z[k-1]）od:g:=总和（（Z[j]-Z[j-1]），j=1..30）：gser:=级数（g，Z=0，27）：seq（denom（系数（gser，Z，n）），n=-1..23）#零入侵拉霍斯2008年5月21日
|
|
|
数学
|
a[n，m]：=二项式[n-m/2+1，n-m+1]-二项式[n-m/2，n-m+1]；s[n]：=和[a[n，k]，{k，0，n}]；表[分母[s[n]]，{n，0，26}]（*Michele Dondi（bik.mido（AT）tiscalinet.it），2002年7月11日*）
分母[表[二项式[2n，n]/4^n，{n，0，30}]](*哈维·P·戴尔2012年10月29日*）
表[分母@LegendreP[2n，0]，{n，0，24}](*安德烈斯·西卡廷2018年1月22日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=如果（n<0，0，分母（二项式（2*n，n）/4^n））/*迈克尔·索莫斯2004年9月15日*/
（PARI）a（n）=我的（s=n）；而（n>>=1，s+=n）；2秒\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年4月7日
（PARI）a（n）=分母（I^-n*pollegendre（n，1/2））\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年3月18日
（鼠尾草）
（最大值）
a（n）：=分母（二项式（-1/2，n））；
名单（a（n），n，0，24）/*彼得·卢什尼2012年11月21日*/
（岩浆）[分母（二项式（2*n，n）/4^n）：n in[0..30]]//文森佐·利班迪2015年7月18日
（Python 3.10+）
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A161198号与n的所有值的（1-x）^（（-1-2*n）/2）的级数展开有关的三角形。
囊性纤维变性。A000108号,A000120号,A000466号,A001511号,A005563号,A048881号,A060818型,A061550号,A120778号,A173294号,A173296号,A173755号,A280442型.
|
|
|
关键字
|
非n,容易的,美好的,压裂
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A000447号
|
| a（n）=1^2+3^2+5^2+7^2+…+（2*n-1）^2=n*（4*n^2-1）/3。
（原名M4697 N2006）
|
|
+10
84
|
|
|
|
0, 1, 10, 35, 84, 165, 286, 455, 680, 969, 1330, 1771, 2300, 2925, 3654, 4495, 5456, 6545, 7770, 9139, 10660, 12341, 14190, 16215, 18424, 20825, 23426, 26235, 29260, 32509, 35990, 39711, 43680, 47905, 52394, 57155, 62196, 67525, 73150, 79079, 85320, 91881, 98770, 105995, 113564, 121485
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
n步随机游走下面积方差的4倍：例如，有三步时，面积可以是9/2、7/2、3/2、1/2、-1/2、-3/2、-7/2或-9/2，每一步的概率为1/8，方差为35/4或a（3）/4-亨利·博托姆利2003年7月14日
另外，a（n）=（1/6）*（8*n^3-2*n），n>0：结构化八角菱形数（顶点结构9）。囊性纤维变性。A059722号=交替顶点；A000447号=结构性钻石；和结构正方形反菱形数（顶点结构9）。囊性纤维变性。A096000型=交替顶点；A100188号=结构化防钻石。囊性纤维变性。A100145号了解更多关于结构化数字的信息。-James A.Record（James.Record（AT）gmail.com），2004年11月7日
使用三个连续的数字u，v，w，（u+v+w）^3-（u^3+v^3+w^3）等于该序列中数字的18倍-J.M.贝戈2011年8月24日
1-n<=x<=y<=z<=n-1的整数解的数目-迈克尔·索莫斯2011年12月27日
还有第n个Haüy方形金字塔中的立方体数量-埃里克·韦斯特因2017年9月27日
|
|
|
参考文献
|
G.Chrystal，《代数教科书》，第一卷，A.&C.布莱克，1886年，第二十章，第二节。10，示例2。
F.E.Croxton和D.J.Cowden，《应用一般统计》。第二版，Prentice-Hall，新泽西州恩格尔伍德克利夫斯，1955年，第742页。
E.Deza和M.M.Deza，数字，世界科学出版社（2012），第140页。
C.V.Durell，《高等代数》，第1卷，G.Bell&Son，1932年，练习IIIe，第4号。
L.B.W.Jolley，《级数求和》。第二版，纽约州多佛，1961年，第7页。
J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第217页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
J.L.Bailey，便于拟合某些逻辑曲线的表格《数学年鉴》。《统计》，第2卷（1931年），第355-359页。[带注释的扫描副本]
F.E.Croxton和D.J.Cowden，应用一般统计学1955年，新泽西州恩格尔伍德克利夫斯市普伦蒂斯·霍尔第二版[仅742-743页的注释扫描]
T.P.Martin，原子壳，物理。报告，第273卷（1996年），第199-241页，等式（11）。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
|
|
|
配方奶粉
|
通用格式：x*（1+6*x+x^2）/（1-x）^4。
对于Z中的所有n，a（n）=-a（-n）。
a（n+1）=（2*n+1）*（2*n+2）（2*n+3）/6-瓦伦丁·巴科耶夫2009年3月3日
a（0）=0，a（1）=1，a（2）=10，a（3）=35，a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n-3）-a（n-4）-哈维·P·戴尔2012年5月25日
a（n）=v（n，n-1），其中v（n、k）是具有奇数指数的第一类中心阶乘数-米尔恰·梅卡2014年1月25日
对于任何非负整数m和n，8*（n^3）*a（m）+2*m*a（n）=a（2*m*n）-伊万·伊纳基耶夫2017年3月4日
例如：exp（x）*x*（1+4*x+（4/3）*x^2）-沃尔夫迪特·朗2017年3月11日
和{n>=1}1/a（n）=6*log（2）-3。
Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=3-3*log（2）。（结束）
|
|
|
例子
|
G.f.=x+10*x^2+35*x^3+84*x^4+165*x^5+286*x^6+455*x^7+680*x^8+。。。
a（2）=10，因为（-1，-1，-1），（-1，-1-，0），（-1-，-1，1），（-1,0-，0”，（-1,1，0，1）、（-1，0-，1，1）（0-1，1,1），“（0,0-），（0,0,1），”（0,1，1）“，（1,1,1）是-1<=x<=y<=z<=1的10个解（x，y，z）。
a（0）=0，对应于空和。
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
线性递归〔｛4，-6，4，-1｝，｛0，1，10，35｝，80〕(*哈维·P·戴尔2012年5月25日*）
联接[{0}，累加[Range[1，81，2]^2]](*哈维·P·戴尔2013年7月18日*）
系数列表[级数[x（1+6x+x^2）/（-1+x）^4，{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月27日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=n*（4*n^2-1）/3}；
（哈斯克尔）
a000447 n=a000447_列表！！n个
a000447_list=扫描1（+）a016754_list
（PARI）concat（0，Vec（x*（1+6*x+x^2）/（1-x）^4+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2016年1月11日
（岩浆）[0..50]]中的[n*（4*n^2-1）/3:n//文森佐·利班迪2016年1月12日
（Python）
|
|
|
交叉参考
|
（1/12）*t*（n^3-n）+n，对于t=2,4,6。。。给予A004006号,A006527号,A006003号,A005900型,A004068号,A000578号,A004126号,A000447号,A004188年,A004466号,A004467号,A007588号,A062025型,A063521号,A063522号,A063523号.
|
|
|
关键字
|
非n,美好的,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
Chrystal和Durell参考R.K.盖伊2004年4月2日
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 5, 17, 37, 65, 101, 145, 197, 257, 325, 401, 485, 577, 677, 785, 901, 1025, 1157, 1297, 1445, 1601, 1765, 1937, 2117, 2305, 2501, 2705, 2917, 3137, 3365, 3601, 3845, 4097, 4357, 4625, 4901, 5185, 5477, 5777, 6085, 6401, 6725, 7057
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
对于a=0，1，2，……，Mordell方程y^2=x^3-3a^2-1的解x-米歇尔·拉格诺2010年2月12日
a（n）+6是n=0..6和n=15..20的素数-阿尔图·阿尔坎2015年9月28日
|
|
|
参考文献
|
Donald E.Knuth，《计算机编程的艺术》，Addison Wesley，马萨诸塞州雷丁市，1997年，第1卷，练习1.2.1第11期，第19页。
|
|
|
链接
|
汤姆·M·阿波斯托，解析数论导论《施普林格·弗拉格出版社》，1976年，第3页。
|
|
|
配方奶粉
|
外径：（1+2*x+5*x^2）/（1-x）^3。
a（n）=3a（n-1）-3a（n-2）+a（n-3）。（结束）
等于[1,4,8,0,0,0，…]的二项式变换-加里·W·亚当森2008年4月30日
a（n+1）=和{k=0..n}（-1）^n*（2*n+1）^3/（（2*n+1）^4+4）的分母，见Knuth参考-莱因哈德·祖姆凯勒2010年4月11日
a（n）=8*n+a（n-1）-4。a（0）=1-文森佐·利班迪2010年8月6日
a（n）=（（2*n-1）^2+（2*n+1）^2）/2-J.M.贝戈，2012年5月31日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+8，其中a（0）=1，a（1）=5-文森佐·利班迪2013年6月26日
求和{n>=0}1/a（n）=（1+（Pi/2）*coth（Pi/3））/2。
求和{n>=0}（-1）^n/a（n）=（1+（Pi/2）*csch（Pi/2））/2。（结束）
产品{n>=0}（1+1/a（n））=sqrt（2）*csch（Pi/2）*sinh（Pi/sqrt（2中））。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=（Pi/2）*csch（Pi/2）。（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
与（组合）：seq（fibonacci（3,2*n），n=0..42）#零入侵拉霍斯2008年4月21日
|
|
|
数学
|
系数列表[级数[（1+2x+5x^2）/（1-x）^3，{x，0，50}]，x](*文森佐·利班迪2013年6月26日*）
线性递归[{3，-3，1}，{1，5，17}，50](*哈维·P·戴尔2021年12月28日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）用于（x=0100，打印1（4*x^2+1“，”））\\西诺·希利亚德2006年8月26日
（岩浆）m:=50；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（（1+2*x+5*x^2）/（（1-x）^3））；/*或*/I:=[1,5]；[n le 2选择I[n]else 2*Self（n-1）-Self（n-2）+8:n in[1..50]]//文森佐·利班迪，2013年6月26日
（哈斯克尔）
a053755=（+1）。(* 4) . (^ 2) --莱因哈德·祖姆凯勒2015年4月20日
（Python）对于范围（0，50）中的n：打印（4*n**2+1，end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月1日
（GAP）列表（[0..45]，n->4*n^2+1）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年11月1日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
Stuart M.Ellerstein（Ellerstein（AT）aol.com），2000年4月6日
|
|
|
扩展
|
通过以下公式修正了方程式，并删除了基于不同偏移量的示例R.J.马塔尔2010年3月18日
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 101, 103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 121, 123, 125, 127, 129, 131
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
T（n，k）=n^2-n+2*k-1，对于1<=k<=n。
温度（n，k）+T（n，n-k+1）=A001105号（n） ，1<=k<=n。
Sum_{k=1..n}（-1）^（k-1）*T（n，k）=（-1）^（n-1）*A065599型（n） （交替符号行和）。
求和{j=1.n}（求和{k=1.n}T（j，k））=A000537号（n） （前n行的总和）。
|
|
|
例子
|
三角形开始：
1;
3, 5;
7, 9, 11;
13, 15, 17, 19;
21, 23, 25, 27, 29;
31, 33, 35, 37, 39, 41;
43, 45, 47, 49, 51, 53, 55;
57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71;
73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89; （结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
n^2-n+2*k-1；
|
|
|
数学
|
表[n^2-n+2*k-1，{n，15}，{k，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2024年3月10日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（哈斯克尔）
a176271 n k=a176271_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a176271_row n=a176271_tabl！！（n-1）
a176271_tabl=f 1 a005408_列表，其中
f x ws=us：f（x+1）vs其中（us，vs）=splitAt x ws
（岩浆）[1..n]中的[n^2-n+2*k-1:k，[1..15]]中的n//G.C.格鲁贝尔2024年3月10日
（SageMath）展平（[[n^2-n+2*k-1表示范围（1，n+1）中的k）]表示范围（1,16）中的n）#G.C.格鲁贝尔2024年3月10日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
3, 35, 99, 195, 323, 483, 675, 899, 1155, 1443, 1763, 2115, 2499, 2915, 3363, 3843, 4355, 4899, 5475, 6083, 6723, 7395, 8099, 8835, 9603, 10403, 11235, 12099, 12995, 13923, 14883, 15875, 16899, 17955, 19043, 20163, 21315, 22499, 23715, 24963, 26243, 27555
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,1
|
|
|
评论
|
log（sqrt（2）+1）/sqrt（2）=0.6322524…=2/3-2/35+2/99-2/195+2/323，…=(1 - 1/3) + (1/7 - 1/5) + (1/9 - 1/11) + (1/15 - 1/13) + (1/17 - 1/19) + (1/23 - 1/21) + ... -加里·W·亚当森2009年3月1日
数k，使k+1是一个正方形，k+5可以被8整除-布鲁诺·贝塞利2017年9月27日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
通用格式：（3+26*x+3*x^2）/（1-x）^3-杰姆·奥利弗·拉丰2009年3月7日
当n>0时，a（n）=32*n+a（n-1），a（0）=3-文森佐·利班迪2010年11月12日
a（n）=a（m）+16*（n-m）*（n+m+1）。前面的公式是针对m=n-1得出的-布鲁诺·贝塞利2017年9月29日
乘积_｛n>=0｝（1-1/a（n））=sqrt（2）*cos（Pi/（2*sqrt（2）））。
产品{n>=0}（1+1/a（n））=sqrt（2）。（结束）
|
|
|
数学
|
系数列表[级数[（3+26 x+3 x^2）/（1-x）^3，{x，0，41}]，x]（*或*）表[（4 n+1）（4 n+3），{n，0，41}](*迈克尔·德弗利格2017年9月29日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（最大值）makelist（（4*n+1）*（4*n+3），n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年11月12日*/
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000217号,A000290型,A001533号,A001538号,A004767号,A016286号,A016813号,A016826号,A157142号,133766英镑,A154633号.
|
|
|
关键字
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A323182型
|
| 平方数组T（n，k），n>=0，k>=0由反对偶读取，其中T（n、k）是第二类切比雪夫多项式U_{n}（x），在x=k处求值。 |
|
+10
14
|
|
|
|
1, 1, 0, 1, 2, -1, 1, 4, 3, 0, 1, 6, 15, 4, 1, 1, 8, 35, 56, 5, 0, 1, 10, 63, 204, 209, 6, -1, 1, 12, 99, 496, 1189, 780, 7, 0, 1, 14, 143, 980, 3905, 6930, 2911, 8, 1, 1, 16, 195, 1704, 9701, 30744, 40391, 10864, 9, 0, 1, 18, 255, 2716, 20305, 96030, 242047, 235416, 40545, 10, -1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,5
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
当n>1时，T（0，k）=1，T（1，k）=2*k和T（n，k）=2*k*T（n-1，k）-T（n-2，k）。
|
|
|
例子
|
方形数组开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
-1, 3, 15, 35, 63, 99, 143, ...
0, 4, 56, 204, 496, 980, 1704, ...
1, 5, 209, 1189, 3905, 9701, 20305, ...
0, 6, 780, 6930, 30744, 96030, 241956, ...
-1, 7, 2911, 40391, 242047, 950599, 2883167, ...
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）T（n，k）=波尔切比雪夫（n，2，k）；
矩阵（7，7，n，k，T（n-1，k-1））\\米歇尔·马库斯2019年1月7日
|
|
|
交叉参考
|
0-19列给出A056594号,A000027号（n+1），A001353号（n+1），A001109号（n+1），A001090号（n+1），A004189号（n+1），A004191号,A007655号（n+2），A077412号,A049660美元（n+1），A075843号（n+1），A077421号,A077423号,A097309号,A097311号,A097313号,A029548号,A029547号,A144128号（n+1），A078987号.
第0-10行给出A000012号,A005843号,A000466号,A144138号,A144139号,A242850型,A242851型,A242852型,A242853号,A242854型,A243130型.
|
|
|
关键字
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.049秒内完成
|
