搜索： a000016-编号：a000014
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1, 2, 4, 10, 30, 94, 316, 1096, 3856, 13798, 49940, 182362, 671092, 2485534, 9256396, 34636834, 130150588, 490853416, 1857283156, 7048151672, 26817356776, 102280151422, 390937468408, 1497207322930, 5744387279818, 22076468764192
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（和{d|2n+1}φ（d）*2^（（2n+1）/d））/（4n+2）。
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=sumdiv（2*n+1，d，eulerphi（d）*2^（（2*n+1）/d））/（4*n+2）\\米歇尔·马库斯2013年9月11日
（Python）
从sympy导入到divisors
m=（n<<1）+1
返回和（totient（d）<<m//d-1 for d in divisors（m，generator=True））//m#柴华武2023年2月21日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 5, 0, 1, 6, 1, 2, 11, 1, 1, 16, 4, 1, 30, 2, 1, 57, 1, 0, 95, 1, 13, 172, 1, 1, 317, 16, 1, 591, 1, 2, 1124, 1, 1, 2048, 10, 52, 3857, 2, 1, 7286, 97, 16, 13799, 1, 1, 26386, 1, 1, 49968, 0, 319, 95331, 1, 2, 182363
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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1,9
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链接
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Yan Bo Ti、Gabriel Verret和Lukas Zobernig，p秩为零的阿贝尔簇，arXiv:2203.08401[math.NT]，2022。
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MAPLE公司
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f:=proc（n）局部d，sum1；总和1:=0；对于从1到n的d do，如果d mod 2=1并且n mod d=0，则sum1:=sum1+（phi（d）-mobius（d））*2^（n/d）；fi；od；总和1/（2*n）；结束；
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数学
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表[DivisorSum[n，Mod[#，2]EulerPhi[#]*2^（n/#）/（2n）&]-DivisorSam[n，Total[MoebiusMu[#]x2^（n/#）]/（2N）&，OddQ]，{n，69}](*迈克尔·德弗利格2022年3月26日*）
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 3, 5, 8, 15, 26, 47, 86, 158, 293, 548, 1024, 1928, 3643, 6899, 13108, 24970, 47663, 91181, 174768, 335546, 645278, 1242767, 2396746, 4628198, 8947868, 17318417, 33554432, 65075294, 126322568, 245426708
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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3、3
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链接
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 0, 2, 1, 4, 4, 12, 15, 34, 55, 110, 190, 370, 664, 1272, 2350, 4466, 8372, 15926, 30105, 57390, 109202, 208738, 398985, 764906, 1467370, 2820770, 5427543, 10459456, 20176561, 38969684, 75339232, 145804978, 282429242, 547573768, 1062501151, 2063317650
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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1,5
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参考文献
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P.J.Cameron，与置换群有关的一些计数问题，离散数学。，225 (2000), 77-92.
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链接
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MAPLE公司
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使用（numtheory）：ietr:=proc（p）局部a，c；c： =proc（n）选项记忆；局部j；n*p（n）-添加（c（j）*p（n-j），j=1..n-1）结束；a： =proc（n）选项记忆；局部d`如果`（n=0，1，add（mobius（n/d）*c（d），d=除数（n））/n）end-end:a:=ietr（n->add（phi（d）*2^（n.d）/2/n，d=select（m->modp（m，2）=1，除数（n）））：seq（a（n），n=1.40）#阿洛伊斯·海因茨2008年9月8日
seq（a（n），n=1..39）#彼得·卢什尼2022年11月21日
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数学
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ietr[p_]：=模[{a，c}，c[n_]：=c[n]=模[}j}，n*p[n]-和[c[j]*p[n-j]，{j，1，n-1}]]；a[n_]：=a[n]=模[{d}，如果[n==0，1，和[MoebiusMu[n/d]*c[d]，{d，除数[n]}]/n]]；a] ；a=ietr[函数[n，和[EulerPhi[d]*2^（n/d）/2/n，{d，选择[Divisors[n]，OddQ]}]]；表[a[n]，{n，1，40}](*Jean-François Alcover公司2014年1月17日之后阿洛伊斯·海因茨*)
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 6, 16, 52, 172, 586, 2048, 7286, 26216, 95326, 349536, 1290556, 4793492, 17895736, 67108864, 252645136, 954437292, 3616814566, 13743895360, 52357696956, 199911205052, 764877654106, 2932031008768, 11258999068468, 43303842570872, 166799986203766, 643371375338656, 2484744621997516
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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0.3
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链接
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配方奶粉
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当n>0时，a（n）=（1/（4*n））*Sum_{奇数d除以n}φ（d）*4^（n/d）。
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数学
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a[n_]：=除数和[n，EulerPhi[#]*4^（n/#）&，奇数Q[#]&]/（4*n）；a[0]=1；数组[a，30，0](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年10月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n==0，1，sumdiv（n，d，if（d%2，eulerphi（d）*4^（n/d））/（4*n））\\米歇尔·马库斯2018年3月11日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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1, 2, 3, 5, 7, 11, 17, 27, 43, 73, 125, 219, 391, 707, 1293, 2389, 4437, 8293, 15579, 29377, 55593, 105533, 200859, 383221, 732757, 1403849, 2694405, 5179939, 9973431, 19229827, 37125563, 71762397, 138871261, 269021849, 521666985
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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0,2
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链接
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000031号
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| 翻身时不允许有2种颜色的n珠项链数量；还有来自简单n级循环移位寄存器的输出序列数；度除n的二元不可约多项式的个数。
（原名M0564 N0203）
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+10
161
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1, 2, 3, 4, 6, 8, 14, 20, 36, 60, 108, 188, 352, 632, 1182, 2192, 4116, 7712, 14602, 27596, 52488, 99880, 190746, 364724, 699252, 1342184, 2581428, 4971068, 9587580, 18512792, 35792568, 69273668, 134219796, 260301176, 505294128, 981706832
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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0,2
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评论
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此外，a（n）-1是字典最小德布鲁因循环（Fredricksen）的真值表中的1个数。
在音乐中，a（n）是n个音符的等调调谐系统中不同类别的音阶和和弦的数量-保罗·坎特雷尔2011年12月28日
此外，不可避免的一组长度为n的二进制单词（Champarnaud、Hansel、Perrin）的最小基数-杰弗里·沙利特2019年1月10日
φ（n）和2^n的（1/n）*Dirichlet卷积，n>0-理查德·奥尔勒顿2021年5月6日
a（n）是n的偶数！=0, 2. 证明：用奇数s写出n=2^e*s，然后a（n）*s=Sum_{d|s}Sum__{k=0..e}φ（（2^e*s/（2^k*d））*2^ 2^k*s-k-1）+2^（2^e*s-e）==和{k=0.分钟{e-1,1}}2^（2 ^k*s-k-1）（模2）。a（n）是奇数当且仅当s=1和e-1=0，或n=2。
a（n）==2（mod 4）当且仅当n=1，4或n=2*p^e，素数p==3（mod4）。
a（n）==4（mod 8）当且仅当n=2^e，e>=3时为3*2^e，或n=p^e，4*p^e！=12，素数p==3（mod 4），或n=2s，其中s是奇数，使得phi（s）==4（mod 8）。（结束）
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参考文献
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S.W.Golomb，移位寄存器序列，Holden Day，旧金山，1967年，第120、172页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，枚举组合数学，剑桥，1999年第2卷；参见问题7.112（a）。
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链接
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J.-M.Champarnaud、G.Hansel和D.Perrin，不变长度的不可避免集合，国际。J.阿尔及利亚。计算。14 (2004), 241-251.
詹姆斯·伊斯特和罗恩·奈尔斯，给定周长的整数多边形，arXiv:1710.11245[math.CO]，2017年。
新泽西州罚款，周期序列类，伊利诺斯州数学杂志。，2 (1958), 285-302.
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 见第18、64页。
E.N.Gilbert和J.Riordan，周期序列的对称类型伊利诺伊州J.数学。，5 (1961), 657-665.
Juhani Karhumäki、S.Puzynina、M.Rao和M.A.Whiteland，关于k-阿贝尔等价类的基数，arXiv预印本arXiv:1605.03319[math.CO]，2016。
维勒·萨洛，一排导线的通用门，arXiv:1809.08050[math.GR]，2018年。
N.J.A.斯隆，关于单删除修正码，arXiv:math/0207197[math.CO]，2002；《规范与设计》（俄亥俄州哥伦布，2000年），273-291，俄亥俄州立大学数学系。Res.Inst.出版。，10，de Gruyter，柏林，2002年。
大卫·汤姆森，音乐多边形《今日数学》，第57卷，第2期（2021年4月），第50-51页。
R.C.Titsworth，周期序列的等价类伊利诺伊州J.数学。，8 (1964), 266-270.
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配方奶粉
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G.f.：1-Sum_｛n>=1｝phi（n）*log（1-2*x^n）/n-赫伯特·科西姆巴2016年10月29日
a（0）=1；a（n）=（1/n）*和{k=1..n}2^gcd（n，k）-伊利亚·古特科夫斯基2021年4月16日
a（0）=1；a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}2^（n/gcd（n，k））*phi（gcd（n，k））/phi（n/gcd（n、k））-理查德·奥尔勒顿2021年5月6日
Dirichlet g.f.：f（s+1）*（zeta（s）/zeta（s+1）），其中f（s）=和{n>=1}2^n/n^s-宋嘉宁2021年11月13日
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例子
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对于n=3和n=4，项链是{000001011111}和{0000000100111111}。
类似的移位寄存器序列是{000…、001001…、011011…、111…}和{000…，00010001…、00110011…、0101…、01110111…、111..}。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）；A000031号：=proc（n）局部d，s；如果n=0，则返回（1）；其他s：=0；对于除数（n）中的d，做s：=s+phi（d）*2^（n/d）；od；返回（s/n）；fi；结束；[序列号(A000031号（n） ，n=0..50）]；
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数学
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a[n_]：=总和[如果[Mod[n，d]==0，EulerPhi[d]2^（n/d），0]，{d，1，n}]/n
a[n_]：=折叠[#1+2^（n/#2）EulerPhi[#2]&，0，除数[n]]/n(*本·布兰曼2011年1月8日*）
表[Expand[CycleIndex[CyclicGroup[n]，t]/。表[t[i]->2，｛i，1，n｝]]，｛n，0，30｝](*杰弗里·克雷策2011年3月6日*）
mx=40；系数列表[级数[1-和[EulerPhi[i]对数[1-2*x^i]/i，{i，1，mx}]，{x，0，mx{]，x](*赫伯特·科西姆巴2016年10月29日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a000031 0=1
a000031 n=（`div`n）$总和$
zipWith（*）（映射a000010 divs）（映射a 000079$reverse div）
其中divs=a027750_row n
（Python）
从sympy导入到divisors
定义A000031号（n） ：返回除数（n，生成器=True）中d的和（totient（d）*（1<<n//d））//如果其他n为1#柴华武2022年11月16日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的,核心
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作者
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扩展
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1995年《整数序列百科全书》中的图M3860中有一个错误：在第三行中A000031号=M0564应为（1/n）和φ（d）2^（n/d）。
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状态
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经核准的
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1, 2, 2, 3, 2, 5, 2, 6, 5, 8, 2, 21, 2, 14, 22, 30, 2, 61, 2, 86, 67, 45, 2, 283, 66, 80, 197, 340, 2, 766, 2, 663, 543, 234, 703, 2532, 2, 388, 1395, 4029, 2, 4688, 2, 4476, 7032, 1005, 2, 17883, 2434, 9713, 7684, 14472, 2, 25348, 17562, 37829, 16786, 3721
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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a（n）=2当且仅当n是素数。
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（6）统计这些分区：6、33、321、222、111111。
a（1）=1到a（10）=8个分区（a=10）：
1 2 3 4 5 6 7 8 9安
11 111 22 11111 33 1111111 44 333 55
1111 222 2222 432 22222
321 3221 531 32221
111111 4211 111111111 33211
11111111 42211
52111
1111111111
（结束）
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数学
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表[Count[Integer Partitions[n]，p_/；成员Q[p，平均值[p]]]，{n，40}]
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黄体脂酮素
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（Python）
从sympy.utilities.iterables导入分区
定义A237984型（n） ：如果不是n%s，则返回总和（1代表s，p代表分区（n，大小=True）中的p，而n//代表p）#柴华武2023年9月21日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 30, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 84, 89, 90, 97, 101, 103, 105, 107, 109, 110, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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整数分区的Heinz数（y_1，…，y_k）是素数（y_1）**质数（yk）。
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链接
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例子
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术语序列及其素数开始于：
2: {1}
3: {2}
4: {1,1}
5:｛3｝
7: {4}
8: {1,1,1}
9: {2,2}
11: {5}
13: {6}
16: {1,1,1,1}
17: {7}
19: {8}
23: {9}
25: {3,3}
27: {2,2,2}
29: {10}
30: {1,2,3}
31: {11}
32: {1,1,1,1,1}
37: {12}
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数学
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素数MS[n_]：=如果[n==1，{}，扁平[Cases[FactorInteger[n]，{p_，k_}:>表[PrimePi[p]，{k}]]]；
选择[Range[100]，MemberQ[primeMS[#]，Mean[primeMS[#]]&]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A000048号
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| 带有2种颜色珠子和原始时期n的n珠项链的数量，不允许翻转，但这两种颜色可以互换。
（原名M0711 N0262）
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+10
66
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1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 16, 28, 51, 93, 170, 315, 585, 1091, 2048, 3855, 7280, 13797, 26214, 49929, 95325, 182361, 349520, 671088, 1290555, 2485504, 4793490, 9256395, 17895679, 34636833, 67108864, 130150493, 252645135, 490853403, 954437120, 1857283155
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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0,5
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评论
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还有基本周期为2n的2n-珠平衡双人项链，相当于它们的互补物。
同样，长度为n的二进制Lyndon单词的奇数为1（对于n>=1）。
还有迹为1的n次二元不可约多项式的个数。
还有具有线性系数1的n次二元不可约多项式的数量（这与迹-1条件相同，因为不可约多项式的倒数再次是不可约的）。
二元不可约2*n次自互易多项式的个数；除了x+1以外，奇数次没有这样的多项式。
满足Sum_{i=1..n}i*x_i=1（mod n+1）的二进制向量数（x_1，…x_n）=Varshamov-Tenengolts代码VT_1（n）的大小。
此外，阈值布尔自动机网络的周期2n的动态循环数，该网络是一个大小为nq的准最小负电路，其中q是奇数，并且是并行更新的Mathilde Noual（Mathilde.Noual（AT）ens-lyon.fr），2009年3月3日
GF（2）上2n次n>1不可约多项式上对称群S3作用的三元轨道数-让·弗朗西斯·米肯，Philippe Ravache（菲利普·拉瓦什（AT）univ-rouen.fr），2009年10月4日
猜想：也是Zagier-约化不定二元二次型的caliber-n圈数，和不变等于s，其中（s-1）/n是一个奇数-巴里·史密斯2014年12月14日
第31页的Metropolis，Stein，Stein（1973）参考表II列出了k=2至15的a（k），实际上是序列A056303号因为对于k＜2，存在a（k）＝0-迈克尔·索莫斯2014年12月20日
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参考文献
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B.D.Ginsburg，《关于编码理论中适用的数论函数》，Problemy Kibernetiki，第19期（1967年），第249-252页。
H.Kawakami，《x_{n+1}=x_n^2-lambda的旋转序列表》，G.Ikegami的第73-92页，动力系统和非线性振荡编辑，第1卷，《世界科学》，1986年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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J.Demongeot、M.Noual和S.Sene，关于正负阈值布尔自动机电路的吸引子个数，hal-00647877预印本（2009）。[摘自Mathilde Noual（Mathilde.Noual（AT）ens-lyon.fr），2009年3月3日]
新泽西州罚款，周期序列类伊利诺伊州J.数学。，2 (1958), 285-302.
E.N.Gilbert和J.Riordan，周期序列的对称类型伊利诺伊州J.数学。，5（1961），第657-665页。
R.W.Hall和P.Klingsberg，不对称节奏和平铺规范，美国。数学。月刊，113（2006），887-896。
N.Metropolis、M.L.Stein和P.R.Stein，单位区间上变换的有限极限集《组合理论》，A 15（1973），25-44；再版于P.Cvitanovic编辑，《混沌中的普遍性》，Hilger，Bristol，1986年，第187-206页。
Simon Michalowsky、Bahman Gharisfard、Christian Ebenbauer、，有向图上分布优化的李括号近似方法，arXiv:1711.05486[math.OC]，2017年。
N.J.A.斯隆，关于单删除修正码，arXiv:math/0207197[math.CO]，2002；《规范与设计》（俄亥俄州哥伦布，2000年），273-291，俄亥俄州立大学数学系。Res.Inst.出版。，10，de Gruyter，柏林，2002年。
J.-Y.Thibon，单峰置换的循环枚举器，arXiv:math/0102051[math.CO]，2001年。
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配方奶粉
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a（n）=（1/（2*n））*Sum_{奇数d除以n}mu（d）*2^（n/d），其中mu是Mobius函数A008683号.
和{k除以m/k为奇数的m}k*a（k）=2^（m-1）。（这解释了序列非常接近的观察结果A006788号除非m有一些相对于m很小的非平凡奇除数，否则m*a（m）项将支配和。例如，我们可以看到a（n）=A006788号（n） 当n具有2^m或2^m*p形式之一时，其中p是带有a（2^m）<p的奇素数。）-巴里·史密斯2015年10月24日
一般公式：1+Sum_{k>=1}mu（2*k）*log（1-2*x^k）/（2*k）-伊利亚·古特科夫斯基2019年11月11日
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例子
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a（5）=3对应于项链00001、00111、01011。
a（6）=5，从000001、000011、000101、000111、001011开始。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）；A000048号：=程序（n）局部d，t1；如果n=0，则返回（1），否则t1:=0；对于从1到n的d，如果n模d=0且d模2=1，则t1:=t1+mobius（d）*2^（n/d）/（2*n）；fi；od；返回（t1）；fi；结束；
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数学
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a[n_]：=总数[MoebiusMu[#]*2^（n/#）&/@选择[Divisors[n]，OddQ]]/（2n）；a[0]=1；表[a[n]，{n，0，35}](*Jean-François Alcover公司2011年7月21日*）
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，DivisorSum[n，MoebiusMu[#]2^（n/#）&，OddQ]/（2n）]；(*迈克尔·索莫斯2014年12月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）A000048号（n） =总和（n，d，（d%2）*（莫比乌斯（d）*2^（n/d））/（2*n）\\迈克尔·波特2009年11月9日
（PARI）L（n，k）=总和（gcd（n，k），d，moebius（d）*二项式（n/d，k/d））；
a（n）=sum（k=0，n，如果（（n+k）%2==1，L（n，k），0））/n；
向量（55，n，a（n））\\乔格·阿恩特2012年6月28日
（Python）
从sympy导入除数，mobius
def a（n）：如果n<1，则返回1（mobius（d）*2**（n//d）for d in divisors（n）if d%2）//（2*n）#因德拉尼尔·戈什2017年4月28日
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交叉参考
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的,已更改
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