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搜索: a000011-编号:a000011
显示找到的96个结果中的1-10个。 第页12 4 5 6 7 8 9 10
    排序:关联|参考文献||被改进的|创建     格式:长的|短的|数据
A256216型 a(n)=A053656号(n)-A000011号(n) ●●●●。 +20
9
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 4, 7, 18, 31, 70, 126, 261, 484, 960, 1800, 3515, 6643, 12852, 24458, 47151, 90157, 173744, 333498, 643230, 1238671, 2392650, 4620006, 8939676, 17302033, 33538048, 65042526, 126289800, 245361172 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,8
评论
计算连续取代的环烷多元醇(CSCP)。
发件人艾德·温安德鲁·霍罗伊德2021年5月22日:(开始)
考虑一个由n颗珠子组成的手镯,每颗珠子的一侧是蓝色,另一侧是红色。翻转手镯具有同时交换颜色和颠倒珠子顺序的效果。例如,翻转时rrbbrb变为rbrrbb。此类手镯的总数由A053656号(n) ●●●●。
交换颜色相当于颠倒珠子的顺序。例如,rrbbrb变为bbrrbr,当翻转时为brbbrr。手镯可能与它的反向(或补充)相同,也可能不同。平等的情况由A256217型(n) 其余的可以分为“手性”对,它们彼此相反,并按此顺序计数。a(n)是双色n珠手镯的数量,在反转时相等,但在旋转和翻转时不相等。
在化学术语中,这些对被称为“对映体对”。rrbbrb的例子对应于一对“手性”化学分子:L-手性肌醇和R-手性肌醇。
a(n)也是非自反的n圈图的非同构方向数的一半。同样,自我反常取向的计算方法是A256217型(n) 和总数A053656号(n) ●●●●。
(结束)
链接
D.Bundala、M.Codish、L.Cruz-Filipe等人。,最优深度排序网络,arXiv预印本arXiv:1412.5302[cs.DS],2014。见表4和相关评论。
藤田新作,扩展Fujita Proligand方法对肌醇衍生物和间性腺同源物的α-β逐项计数,公牛。化学。Soc.Jpn.公司。2017年,90,343-366 | doi:10.1246/bcsj.20160369。见表8。
A.Yajima,如何计算肌醇同源物的立体异构体数量,公牛。化学。Soc.Jpn.公司。2014, 87, 1260-1264; doi:10.1246/bcsj.20140204。见表2(E_c)。
配方奶粉
a(n)=A053656号(n)-A000011号(n) ●●●●。
A053656号(n) =2*a(n)+A256217型(n) -安德鲁·霍罗伊德艾德·温2021年6月15日
例子
发件人艾德·温安德鲁·霍罗伊德2021年5月22日:(开始)
a(6)=1对手镯是rrbbrb及其补码bbrrbr。在同时反转和交换颜色的情况下,这两种颜色是不一样的(rrbbrb相当于rbrrbb,通过旋转它与bbrrbr不同)。
用->-替换r,用-<-替换b,可以得到循环的两个不同方向:
->-.->-.-<-.-<-.->-.-<-:->-.-<-.->-.->-.->-.-<--<-
| | : | |
-----------.----------- : -----------.-----------
这两个可以用速记写为>><<><和<>><>。
a(8)=4对手镯是rrrrbrbb、rrrbrrbb、rrrbrbbb、errbrbrbb及其互补物。
(结束)
数学
表[Total[EulerPhi[#]2^(n/#)&/@Divisors[n]]/(2n)+2^(n/2-2)(1-Mod[n,2])-如果[n<1,Boole[n==0],2^商[n,2]/2+除数和[n,EulerPhi[2#]2#(n/#1)&]/(4n)],{n,35}](*迈克尔·德弗利格2015年9月5日之后Jean-François Alcover公司A053656号迈克尔·索莫斯A000011号*)
交叉参考
关键词
非n
作者
N.J.A.斯隆2015年3月26日
状态
已批准
A256217型 a(n)=A000011号(n)-2016年2月(n) ●●●●。 +20
9
1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 14, 16, 26, 32, 52, 64, 101, 128, 202, 256, 399, 512, 796, 1024, 1583, 2048, 3162, 4096, 6302, 8192, 12586, 16384, 25124, 32768, 50186, 65536, 100232, 131072, 200266, 262144, 400115, 524288, 799568, 1048576, 1597834, 2097152, 3193438, 4194304, 6382637, 8388608, 12757770, 16777216, 25501370 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
计算连续取代的环烷多元醇(CSCP)。
考虑一个由n个珠子组成的手镯,每一个珠子一边是蓝色,另一边是红色,当手镯翻转时,每个珠子都会变色。反转与交换颜色相同。a(n)是在反转、旋转和翻转下不变的颜色数-艾德·温2021年5月22日
链接
藤田新作,扩展Fujita Proligand方法对肌醇衍生物和间性腺同源物的α-β逐项计数,公牛。化学。Soc.Jpn.公司。2017, 90, 343-366; doi:10.1246/bcsj.20160369。见表8。
A.Yajima,如何计算肌醇同源物的立体异构体数量,公牛。化学。Soc.Jpn.公司。2014,87,1260-1264 |数字对象标识代码:10.1246/bcsj.20140204。见表2(M_c)。
配方奶粉
a(n)=A056503号(n) 对于奇数n-安德鲁·霍罗伊德2021年6月14日
例子
a(7)=8手镯为rrrrrrr、rrrrrr b、rrrrr bb、rrrrbbb、rrrrbrb、rrrbrrb、rrbbrrb、rrbrbrb-艾德·温2021年5月22日
a(12)=A056503号(12) + 1. 额外的手镯是rrrbrrbbbrbb-安德鲁·霍罗伊德2021年6月25日
交叉参考
关键词
非n
作者
N.J.A.斯隆2015年3月26日
状态
已批准
A000117号 周期为2n的偶数序列数(A000011号).
(原名M1150 N0438)
+20
1, 2, 4, 8, 18, 44, 122, 362, 1162, 3914, 13648, 48734, 176906, 649532, 2405236, 8964800, 33588234, 126390032, 477353376, 1808676326, 6872485104, 26179922024, 99957747388, 382443112538, 1466024067850, 5629516646996, 21651955485304, 83400061453514 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.2个
参考文献
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
阿洛伊斯·海因茨,n=0..500时的n,a(n)表
E.N.Gilbert和J.Riordan,周期序列的对称类型伊利诺伊州J.数学。,5 (1961), 657-665.
配方奶粉
a(n)~4^(n-1)/(2*n)-塞德里克·洛兰2022年4月18日
数学
b[0]=1;b[n_]:=(2^楼层[n/2]+(表[EulerPhi[2d]*2^(n/d)/(2n),{d,除数[n]}]//累加//最后))/2;a[n]:=b[2n];表[a[n],{n,0,30}](*Jean-François Alcover公司2014年3月7日*)
交叉参考
囊性纤维变性。A000011号.
关键词
非n,容易的,美好的
作者
扩展
更多术语来自大卫·W·威尔逊2000年1月13日
状态
已批准
A092668号 的二等分A000011号. +20
1
1, 2, 4, 9, 23, 63, 190, 612, 2056, 7155, 25482, 92205, 337594, 1246863, 4636390, 17334801, 65108062, 245492244, 928772650, 3524337980, 13409202676, 51141124287, 195470831356, 748607855769, 2872202028517, 11038251159312 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.2个
链接
MAPLE公司
使用(numtheory):b:=proc(n)局部s,d;如果n=0,则返回(1),否则s:=2^(楼层(n/2));对于除数(n)中的d,做s:=s+(φ(2*d)*2^(n/d))/(2*n);od;返回(s/2);fi;结束:seq(b(2*n-1),n=1..30)#Emeric Deutsch公司2006年2月13日
交叉参考
囊性纤维变性。A000011号,A000117号.
关键词
非n,容易的
作者
N.J.A.斯隆2004年11月24日
扩展
更多术语来自Emeric Deutsch公司2006年2月13日
状态
已批准
A054181号 逆Moebius变换A000011号(从第0学期开始)。 +20
0
1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 13, 21, 29, 45, 73, 123, 200, 369, 625, 1163, 2082, 3915, 7186, 13659, 25528, 48735, 92287, 176911, 337718, 649553, 1247065, 2405237, 4636787, 8964801, 17335426, 33588281, 65109226, 126390045, 245494391, 477353377 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.2个
链接
关键词
非n
作者
N.J.A.斯隆2000年4月29日
状态
已批准
A054183号 Moebius变换A000011号(从第0学期开始)。 +20
0
1, 0, 1, 1, 3, 2, 7, 7, 16, 19, 43, 58, 121, 182, 357, 603, 1161, 2036, 3913, 7131, 13639, 25438, 48733, 92135, 176902, 337472, 649514, 1246672, 2405235, 4636007, 8964799, 17334189, 33588189, 65106900, 126390021, 245490129, 477353375 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,5
链接
关键词
非n
作者
N.J.A.斯隆2000年4月29日
状态
已批准
A054198号 的二项式变换A000011号. +20
0
1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 409, 995, 2439, 6033, 15068, 38005, 96807, 249049, 647137, 1698303, 4500410, 12038113, 32489271, 88423967, 242549338, 670146047, 1863859739, 5215185383, 14671904315, 41478618523, 117776926366, 335729266137 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0.2个
链接
关键词
非n
作者
N.J.A.斯隆2000年4月29日
状态
已批准
A001037号 GF(2)上n次不可约多项式的个数;翻身时不允许有2种颜色珠子的n珠项链数量,原始周期为n;长度为n的二进制Lyndon单词数。
(原M0116 N0046 N0287)
+10
228
1, 2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161, 2182, 4080, 7710, 14532, 27594, 52377, 99858, 190557, 364722, 698870, 1342176, 2580795, 4971008, 9586395, 18512790, 35790267, 69273666, 134215680, 260300986, 505286415, 981706806, 1908866960, 3714566310, 7233615333, 14096302710, 27487764474 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.2个
评论
自由李代数的维数-参见A059966号,这基本上是相同的序列。
该序列还表示有向图中长度L在x^2下的圈数N,所见模为梅森素数M_q=2^q-1。这个数字不依赖于q,L是q-1的任何除数。参见Shallit和Vasiga论文的定理5和推论3:N=和(eulerphi(d)/阶(d,2)),其中d是2^(q-1)-1的除数,使得阶(d、2)=L-托尼·雷克斯2005年11月17日
除了a(0)=1之外,Bau-Sen Du的[1985/2007]表1第6页将此序列作为第7列(最右边)。表中的其他列包括(但未标识为)A006206号-A006208号. -乔纳森·沃斯邮报2007年6月18日
“二进制Lyndon单词数”是指:数字的不等模旋转(循环置换)且周期不小于n的二进制字符串数。这提供了以下链接:A103314号,因为这些字符串对应于U_m(单位的第m个根)的不等零和子集,通过将U_n(n|m)与0或更多U_d(n| d,d|m)的并集乘以某个exp幂(i2Pi/n)使它们相互不相交而获得。(但并非U_m的所有零和子集都是这种形式。)-M.F.哈斯勒2007年1月14日
此外,阈值布尔自动机网络的周期n的动态循环数,该网络是n的倍数大小的准最小正电路,并且是并行更新的Mathilde Noual(Mathilde.Noual(AT)ens-lyon.fr),2009年2月25日
此外,单位区间上帐篷映射f(x):=2min{x,1-x}的迭代中周期为(最小)n的周期点的数目-彼得罗·马杰2009年9月22日
与完全断开双曲迭代函数系统相关的移位动力系统中最小周期n的不同循环数(参见Barnsley链接)-米歇尔·马库斯2013年10月6日
发件人Jean-Christophe Hervé2014年10月26日:(开始)
对于n>0,a(n)也是与Kolakoski序列相关的变换的大小为n的轨道数A000002号(对于周期n为2^n个周期点的任何映射都是如此)。Kolakoski变换根据其运行长度的顺序改变1和2的序列。Kolakoski序列是这个变换的两个不动点之一,另一个是没有初始项的同一序列。A025142号A025143号是大小为2的轨道的周期点。A027375号(n) =n*a(n)给出了最小周期n的周期点数。
对于n>1,该序列等于A059966号和至A060477号,对于n=1,a(1)=A059966号(1)+1 =A060477号(1)-1; 这是因为所有3个序列的第n项等于(1/n)*sum_{d|n}mu(n/d)*(2^d+e),其中e=-1/0/1用于resp。A059966号/这个序列/A060477号,当n=1时,sum{d|n}mu(n/d)等于1,当n>1时,sum等于0。(结束)
警告:A000031号A001037号很容易混淆,因为它们有相似的公式。
发件人Petros Hadjicostas公司,2020年7月14日:(开始)
继Kam Cheong Au(2020)之后,设d(w,N)为重量w的Q-span和有色多重zeta值(CMZV)的水平N的维数。这里Q是有理数。
Deligne的界表示当N>=3时,d(w,N)<=d(w,N),其中1+Sum_{w>=1}d(w、N)*t^w=(1-a*t+b*t^2)^(-1),其中a=phi(N)/2+omega=A001221号(N) 是N的不同素数)。
对于N=3,a=φ(3)/2+ω(3)=2/2+1=2和b=ω(三)-1=0。由此得出D(w,N=3)=A000079号(w) =2^w(重量)。
出于某种原因,金昌凹(2020)假设Deligne的界限很紧,即d(w,N)=d(w,N)。他为N>=3设置了求和{w>=1}c(w,N)*t^w=log(1+Sum{w>=1}d(w,N*t^w)=log。
对于N=3,我们得到c(w,N=3)=A000079号(w) w=2^w/w。
他定义d*(w,N)=Sum_{k|w}(mu(k)/k)*c(w/k,N)为“重量w和水平N的基本常数的数目”。(使用术语A113788号,我们也许可以称d*(w,N)为权重w和级别N的不可约彩色多重zeta值的数量。)
利用g.f's理论的标准技术,我们可以证明和{w>=1}d*(w,N)*t^w=和{s>=1}(mu(s)/s)和{k>=1}c(k,N)*(t^s)^k=-Sum{s>=1}(μ(s)/s*log(1-a*t^s+b*t^(2*s)))。
对于N=3,我们看到a=2和b=0,因此d*(w,N=3)=a(w)=Sum_{k|w}(mu(k)/k)*2^(w/k)/。见锦昌澳(2020年)第6页的表1。(结束)
参考文献
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链接
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埃里克·魏斯坦的数学世界,不可约多项式
埃里克·魏斯坦的数学世界,林登·沃德
维基百科,林登语
配方奶粉
对于n>=1:
a(n)=(1/n)*和{d|n}亩(n/d)*2^d。
A000031号(n) =Sum_{d|n}a(d)。
2^n=Sum_{d|n}d*a(d)。
a(n)=A027375号(n) /编号。
a(n)=A000048号(n)+A051841号(n) ●●●●。
对于n>1,a(n)=A059966号(n)=A060477号(n) ●●●●。
G.f.:1-求和{n>=1}莫比乌斯(n)*log(1-2*x^n)/n,其中莫比乌s(n)=A008683号(n) -保罗·D·汉纳2010年10月13日
发件人理查德·奥尔勒顿2021年5月10日:(开始)
对于n>=1:
a(n)=(1/n)*Sum_{k=1..n}mu(gcd(n,k))*2^(n/gcd(n,k))/phi(n/gcd(n、k))。
a(n)=(1/n)*Sum_{k=1..n}mu(n/gcd(n,k))*2^gcd(n,k)/phi(n/gcd(n、k))。(结束)
a(n)~2^n/n-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年8月11日
例子
二进制字符串(Lyndon单词,cf。A102659号):
a(0)=1=#{“”},
a(1)=2={“0”,“1”},
a(2)=1={“01”},
a(3)=2={“001”,“011”},
a(4)=3=#{“0001”,“0011”,”0111“},
a(5)=6=#{“00001”,“00011”,“00101”,”00111“,”01011“,“01111”}。
MAPLE公司
带有(数字理论):A001037号:=proc(n)局部a,d;如果n=0,则返回(1);否则a:=0:对于除数(n)中的d,做a:=a+mobius(n/d)*2^d;od:返回(a/n);fi;结束;
数学
f[n_]:=块[{d=除数@n},加号@@(MoebiusMu[n/d]*2^d/n)];数组[f,32]
黄体脂酮素
(PARI)A001037号(n) =如果(n>1,sumdiv(n,d,moebius(d)*2^(n/d))/n,n+1)\\编辑人M.F.哈斯勒2016年1月11日
(PARI){a(n)=polcoeff(1-和(k=1,n,moebius(k)/k*log(1-2*x^k+x*O(x^n)),n)}\\保罗·D·汉纳2010年10月13日
(PARI)a(n)=如果(n>1),我的;对于步骤(i=2^n+1,2^(n+1),2,s+=polisirreducible(Mod(1,2)*Pol(binary(i)));s、 n+1)\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年1月26日
(哈斯克尔)
a001037 0=1
a001037 n=(总和$map(\d->(a000079 d)*a008683(n`div`d))$
a027750_行n)`div`n
(Python)
来自症状输入除数,mobius
定义a(n):如果n>1,则返回和(mobius(d)*2**(n//d)for d in divisors(n))/n#因德拉尼尔·戈什2017年4月26日
交叉参考
第2列,共列A074650型.
的行总和A051168美元,它给出了具有固定数量的零和一的Lyndon单词的数量。
Euler变换是A000079号.
请参见A058943号A102569号初始条款。另请参见A058947号,A011260型,A059966号.
GF(2)、GF(3)、GF(4)、GF-(5)和GF(7)上的不可约:A058943号,A058944号,A058948号,A058945号,A058946号.GF(2),GF(3),GF-(4),GF_(5),GF~(7)上的本原不可约:A058947号,A058949号,A058952号,A058950型,A058951号.
囊性纤维变性。A000031号(n珠项链,但可以具有周期划分n),A014580型,A046211号,A046209号,A006206号-A006208号,A038063型,A060477号,A103314号.
囊性纤维变性。A027750型,A008683号,A254040型.
另请参见A102659号查找二进制Lyndon单词本身的列表。
囊性纤维变性。A000010号,A008683号.
关键词
非n,核心,容易的,美好的
作者
扩展
修订人N.J.A.斯隆2012年6月10日
状态
已批准
A000031号 翻身时不允许有2种颜色的n珠项链数量;还有来自简单n级循环移位寄存器的输出序列数;度除n的二元不可约多项式的个数。
(原名M0564 N0203)
+10
161
1, 2, 3, 4, 6, 8, 14, 20, 36, 60, 108, 188, 352, 632, 1182, 2192, 4116, 7712, 14602, 27596, 52488, 99880, 190746, 364724, 699252, 1342184, 2581428, 4971068, 9587580, 18512792, 35792568, 69273668, 134219796, 260301176, 505294128, 981706832 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.2个
评论
另外,a(n)-1是词典编纂最小deBruijn循环(Fredricksen)的真值表中的1的数量。
在音乐中,a(n)是n个音符的等调调谐系统中不同类别的音阶和和弦的数量-保罗·坎特雷尔2011年12月28日
此外,长度为n的二进制字(Champarnaud,Hansel,Perrin)的不可避免集合的最小基数-杰弗里·沙利特,2019年1月10日
φ(n)和2^n的(1/n)*Dirichlet卷积,n>0-理查德·奥尔勒顿2021年5月6日
发件人宋嘉宁2021年11月13日:(开始)
a(n)是n的偶数!=0, 2. 证明:用奇数s写出n=2^e*s,然后a(n)*s=Sum_{d|s}Sum__{k=0..e}φ((2^e*s/(2^k*d))*2^ 2^k*s-k-1)+2^(2^e*s-e)==和{k=0.分钟{e-1,1}}2^(2 ^k*s-k-1)(模2)。a(n)是奇数当且仅当s=1和e-1=0,或n=2。
a(n)==2(mod 4)当且仅当n=1,4或n=2*p^e,素数p==3(mod4)。
a(n)==4(mod 8)当且仅当n=2^e,e>=3时为3*2^e,或n=p^e,4*p^e!=12,素数p==3(mod 4),或n=2s,其中s是奇数,使得phi(s)==4(mod 8)。(结束)
参考文献
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埃里克·魏斯坦的数学世界,项链
Wolfram研究公司,项链数量
配方奶粉
a(n)=(1/n)*Sum_{d除以n}φ(d)*2^(n/d)=A053635号(n) /n,其中φ为A000010号.
警告:容易混淆A001037号,具有类似的公式。
G.f.:1-总和{n>=1}φ(n)*log(1-2*x^n)/n-赫伯特·科西姆巴2016年10月29日
a(0)=1;a(n)=(1/n)*和{k=1..n}2^gcd(n,k)-伊利亚·古特科夫斯基2021年4月16日
a(0)=1;a(n)=(1/n)*Sum_{k=1..n}2^(n/gcd(n,k))*phi(gcd(n,k))/phi(n/gcd(n、k))-理查德·奥尔勒顿2021年5月6日
Dirichlet g.f.:f(s+1)*(zeta(s)/zeta(s+1)),其中f(s)=和{n>=1}2^n/n^s-宋嘉宁2021年11月13日
例子
对于n=3和n=4,项链是{000001011111}和{0000000100111111}。
类似的移位寄存器序列是{000…、001001…、011011…、111…}和{000…,00010001…、00110011…、0101…、01110111…、111..}。
MAPLE公司
带有(数字理论);A000031号:=proc(n)局部d,s;如果n=0,则返回(1);其他s:=0;对于除数(n)中的d,做s:=s+phi(d)*2^(n/d);od;返回(s/n);fi;结束;[顺序(A000031号(n) ,n=0..50)];
数学
a[n_]:=总和[如果[Mod[n,d]==0,EulerPhi[d]2^(n/d),0],{d,1,n}]/n
a[n_]:=折叠[#1+2^(n/#2)EulerPhi[#2]&,0,除数[n]]/n(*本·布兰曼2011年1月8日*)
表[Expand[CycleIndex[CyclicGroup[n],t]/。表[t[i]->2,{i,1,n}]],{n,0,30}](*杰弗里·克雷策2011年3月6日*)
a[0]=1;a[n_]:=除数和[n,EulerPhi[#]*2^(n/#)&]/n;表[a[n],{n,0,40}](*Jean-François Alcover公司2016年2月3日*)
mx=40;系数列表[级数[1-和[EulerPhi[i]对数[1-2*x^i]/i,{i,1,mx}],{x,0,mx{],x](*赫伯特·科西姆巴2016年10月29日*)
黄体脂酮素
(PARI){A000031号(n) =如果(n==0,1,sumdiv(n,d,eulerphi(d)*2^(n/d))/n)}\\Randall L Rathbun公司2002年1月11日
(哈斯克尔)
a000031 0=1
a000031 n=(`div`n)$总和$
zipWith(*)(映射a000010 divs)(映射a 000079$reverse div)
其中divs=a027750_row n
--莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月21日
(Python)
从sympy导入到divisors
定义A000031号(n) :返回除数(n,生成器=True)中d的和(totient(d)*(1<<n//d))//如果其他n为1#柴华湖2022年11月16日
交叉参考
第2列,共列A075195号.
囊性纤维变性。A001037号(同一问题的原始解决方案),A014580型,A000016号,A000013号,A000029号(如果允许翻转),A000011号,A001371号,A058766号.
中三角形的行和A047996号.
除以2等于A053634号.
A008965号(n) =a(n)-1,允许不同的偏移。
囊性纤维变性。A008965号,A053635号,A052823号,A100447号(二等分)。
囊性纤维变性。A000010号.
关键词
非n,容易的,美好的,核心
作者
扩展
1995年《整数序列百科全书》中的图M3860中有一个错误:在第三行中A000031号=M0564应为(1/n)和φ(d)2^(n/d)。
状态
已批准
A051168美元 由行读取的0<=k<=h的三角形数组T(h,k):T(h、k)=具有k个1和h-k个0的二进制Lyndon单词数。 +10
54
1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 0, 0, 1, 3, 7, 8, 7, 3, 1, 0, 0, 1, 4, 9, 14, 14, 9, 4, 1, 0, 0, 1, 4, 12, 20, 25, 20, 12, 4, 1, 0, 0, 1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 0, 0, 1, 5, 18, 40, 66, 75, 66, 40, 18, 5, 1, 0, 0, 1, 6 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,18
评论
T(h,k)是k个一和h-k个零的非周期二进制字的类数;如果v是u的循环排列(例如,u=111000,v=110001),则单词u、v属于同一类,如果一个单词不是2个或更多相同子单词的并列,则该单词是非周期的。
T(2n,n)、T(2n+1,n)和T(n,3)匹配A022553号,A000108号,A001840号分别是。行总和匹配A001037号.
发件人R.J.马塔尔2008年7月31日:(开始)
这个三角形也可以被视为正方形数组A(r,n),即所有1序列的第r次Witt变换的第n项,r>=1,n>=0,由反对角线读取:
此数组的开头如下:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9
0 1 2 3 5 7 9 12 15 18 22 26 30 35 40 45 51 57 63
0 1 2 5 8 14 20 30 40 55 70 91 112 140 168 204 240 285 330
0 1 3 7 14 25 42 66 99 143 200 273 364 476 612 775 969 1197 1463
0 1 3 9 20 42 75 132 212 333 497 728 1026 1428 1932 2583 3384 4389 5598
0 1 4 12 30 66 132 245 429 715 1144 1768 2652 3876 5537 7752 10659 14421 19228
0 1 4 15 40 99 212 429 800 1430 2424 3978 6288 9690 14520 21318 30624 43263 60060
0 1 5 18 55 143 333 715 1430 2700 4862 8398 13995 22610 35530 54477 81719 120175
0 1 5 22 70 200 497 1144 2424 4862 9225 16796 29372 49742 81686 130750 204248
0 1 6 26 91 273 728 1768 3978 8398 16796 32065 58786 104006 178296 297160 482885
0 1 6 30 112 364 1026 2652 6288 13995 29372 58786 112632 208012 371384 643842
0 1 7 35 140 476 1428 3876 9690 22610 49742 104006 208012 400023 742900 1337220
0 1 7 40 168 612 1932 5537 14520 35530 81686 178296 371384 742900 1432613 2674440
...
它本质上是对称的:A(r,r+i)=A(r、r-i+1)。
一些对角线是:
A(r,r+1):A000108号
A(r,r):A022553号
A(r,r-1):A000108号
A(r,r+2):A000150型
A(r,r+3):A050181号
A(r,r+4):A050182号
A(r,r+5):A050183号
A(r,r-2):A000150型(结束)
Fredman(1975)证明了满足a_0+…+的非负整数分量向量(a_0,…,a{n-1})的个数S(n,k,v)a{n-1}=k和Sum{i=0..n-1}i*a_i=v(modn)由S(n,k,v)=(1/(n+k))*Sum{d|gcd(n,k)}给出A054533号(d,v)*二项式((n+k)/d,k/d)=S(k,n,v)。Elashvili等人(1999)也证明了这一点,他还证明了S(n,k,v)=Sum_{d|gcd(n,k,v)}S(n/d,k/d,1)。这里,S(n,k,1)=T(n+k,k)-Petros Hadjicostas公司2019年7月9日
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弗雷德曼先生,一类分区的对称关系,J.组合理论。A 18(1975),199-202。
罗密奥·梅什特罗维奇,不同类别的二进制项链及其计数的组合方法,arXiv:1804.00992[math.CO],2018年。
彼得·莫雷,形式级数Witt变换,离散。数学。第295卷第1-3卷(2005)143-160。
F.Ruskey,项链、Lyndon单词、De Bruijn序列等。[缓存副本,经许可,仅限pdf格式]
P.Stanica和S.Maitra,旋转对称布尔函数-计数和加密属性,光盘。申请。数学。156 (2008) 1567-1580; 见式(3)中的h{n,w}。
配方奶粉
{(0,0),(1,0)(1,1)}中(h,k)的T(h,k)=1;如果h>=2且k=0或k=h,T(h,k)=0。否则,T(h,k)=(1/h)*(C(h,k)-S(h,k=Sum_{d<=2,d|h,d|k}(h/d)*T(h/d,k/d)。
1-x-y=Product_{i,j}(1-x^i*y^j)^T(i+j,j),其中i>=0,j>=0不都为零-迈克尔·索莫斯2004年7月3日
素数行由(1+x)^p/p给出,非整数系数四舍五入为零。例如,对于下面的h=2,(1+x)^2/2=(1+2*x+x^2)/2=0.5+x+0.5*x^2给出(0,1.0)-汤姆·科普兰2014年10月21日
T(n,k)=(1/n)*Sum_{d|gcd(n,k)}mu(d)*二项式(n/d,k/d),对于n>0-安德鲁·霍罗伊德2017年3月26日
发件人Petros Hadjicostas公司2019年6月16日:(开始)
列k>=1的O.g.f:(x^k/k)*和{d|k}mu(d)/(1-x^d)^(k/d)。
二元o.g.f.:求和{n,k>=0}T(n,k)*x^n*y^k=1-求和{d>=1}(mu(d)/d)*log(1-x^d*(1+y^d))。
(结束)
例子
三角形开始于:
h=0:1
h=1:1,1
h=2:0,1,0
h=3:0,1,1,0
h=4:0,1,1,1,0
h=5:0,1,2,2,1,0
h=6:0、1、2、3、2、1、0
h=7:0、1、3、5、5、3、1、0
h=8:0、1、3、7、8、7、3、1、0
h=9:0、1、4、9、14、14、9、4、1、0
...
T(6,3)对类{111000}、{110100}、{110010}进行计数,每个类有6个非周期性的。类{100100}包含3个周期单词,按T(3,1)计算为{100},由3个非周期单词100010001组成。
MAPLE公司
A:=程序(r,n)局部gf,d,genf;genf:=1/(1-x);gf:=0;对于numtheory[除数](r)中的d,做gf:=gf+numtheori[mobius](d)*(subs(x=x^d,genf))^(r/d);od:gf:=膨胀(gf/r);系数(gf,x=0,n);结束过程:
A051168美元:=proc(n,k),如果n<=1,则为1;elif n=0或n=k然后为0;其他A(n-k,k);结束条件:;
结束过程:
序列(A051168美元(n,k),k=0..n),n=0..10)#R.J.马塔尔2011年3月29日
数学
表[If[n===0,1,1/n Plus@@(MoebiusMu[#]二项式[n/#,k/#]&/@除数[GCD[n,k]])],{n,0,12},{k,0,n}](*沃特·梅森2008年7月20日*)
黄体脂酮素
(PARI){T(n,k)=局部(A,ps,c);如果(k<0||k>n,0,如果(n==0&&k==0,1,A=x*O(x^n)+y*O(y^n);ps=1-x-y+A;对于(m=1,n),对于(i=0,m,c=polceoff(ps,i,x),m-i,y);如果x^i+A)^c);-c))}/*迈克尔·索莫斯2004年7月3日*/
(PARI)T(n,k)=如果(n==0,1,(1/n)*sumdiv(gcd(n,k),d,moebius(d)*二项式(n/d,k/d));
tabl(nn)=用于(n=0,nn,用于(k=0,n,print1(T(n,k),“,”));打印)\\米歇尔·马库斯2018年5月16日
交叉参考
第1-11列:A000012号,A004526号(n-1),A001840号(n-4),A006918号(n-4),A011795号(n-1),A011796号(n-6)中,A011797号(n-1),A031164号(n-9),A011845型,A032168号,A032169号。另请参阅A000150型.
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非n,表格
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