搜索: a000011-编号:a000011
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0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 4, 7, 18, 31, 70, 126, 261, 484, 960, 1800, 3515, 6643, 12852, 24458, 47151, 90157, 173744, 333498, 643230, 1238671, 2392650, 4620006, 8939676, 17302033, 33538048, 65042526, 126289800, 245361172
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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计算连续取代的环烷多元醇(CSCP)。
考虑一个由n颗珠子组成的手镯,每颗珠子的一侧是蓝色,另一侧是红色。翻转手镯具有同时交换颜色和颠倒珠子顺序的效果。例如,翻转时rrbbrb变为rbrrbb。此类手镯的总数由A053656号(n) ●●●●。
交换颜色相当于颠倒珠子的顺序。例如,rrbbrb变为bbrrbr,当翻转时为brbbrr。手镯可能与它的反向(或补充)相同,也可能不同。平等的情况由A256217型(n) 其余的可以分为“手性”对,它们彼此相反,并按此顺序计数。a(n)是双色n珠手镯的数量,在反转时相等,但在旋转和翻转时不相等。
在化学术语中,这些对被称为“对映体对”。rrbbrb的例子对应于一对“手性”化学分子:L-手性肌醇和R-手性肌醇。
(结束)
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链接
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D.Bundala、M.Codish、L.Cruz-Filipe等人。,最优深度排序网络,arXiv预印本arXiv:1412.5302[cs.DS],2014。见表4和相关评论。
A.Yajima,如何计算肌醇同源物的立体异构体数量,公牛。化学。Soc.Jpn.公司。2014, 87, 1260-1264; doi:10.1246/bcsj.20140204。见表2(E_c)。
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配方奶粉
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例子
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a(6)=1对手镯是rrbbrb及其补码bbrrbr。在同时反转和交换颜色的情况下,这两种颜色是不一样的(rrbbrb相当于rbrrbb,通过旋转它与bbrrbr不同)。
用->-替换r,用-<-替换b,可以得到循环的两个不同方向:
->-.->-.-<-.-<-.->-.-<-:->-.-<-.->-.->-.->-.-<--<-
| | : | |
-----------.----------- : -----------.-----------
这两个可以用速记写为>><<><和<>><>。
a(8)=4对手镯是rrrrbrbb、rrrbrrbb、rrrbrbbb、errbrbrbb及其互补物。
(结束)
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数学
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关键词
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非n
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作者
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已批准
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1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 14, 16, 26, 32, 52, 64, 101, 128, 202, 256, 399, 512, 796, 1024, 1583, 2048, 3162, 4096, 6302, 8192, 12586, 16384, 25124, 32768, 50186, 65536, 100232, 131072, 200266, 262144, 400115, 524288, 799568, 1048576, 1597834, 2097152, 3193438, 4194304, 6382637, 8388608, 12757770, 16777216, 25501370
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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计算连续取代的环烷多元醇(CSCP)。
考虑一个由n个珠子组成的手镯,每一个珠子一边是蓝色,另一边是红色,当手镯翻转时,每个珠子都会变色。反转与交换颜色相同。a(n)是在反转、旋转和翻转下不变的颜色数-艾德·温2021年5月22日
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链接
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A.Yajima,如何计算肌醇同源物的立体异构体数量,公牛。化学。Soc.Jpn.公司。2014,87,1260-1264 |数字对象标识代码:10.1246/bcsj.20140204。见表2(M_c)。
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配方奶粉
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例子
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a(7)=8手镯为rrrrrrr、rrrrrr b、rrrrr bb、rrrrbbb、rrrrbrb、rrrbrrb、rrbbrrb、rrbrbrb-艾德·温2021年5月22日
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关键词
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非n
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作者
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已批准
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1, 2, 4, 8, 18, 44, 122, 362, 1162, 3914, 13648, 48734, 176906, 649532, 2405236, 8964800, 33588234, 126390032, 477353376, 1808676326, 6872485104, 26179922024, 99957747388, 382443112538, 1466024067850, 5629516646996, 21651955485304, 83400061453514
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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参考文献
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N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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E.N.Gilbert和J.Riordan,周期序列的对称类型伊利诺伊州J.数学。,5 (1961), 657-665.
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配方奶粉
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a(n)~4^(n-1)/(2*n)-塞德里克·洛兰2022年4月18日
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数学
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b[0]=1;b[n_]:=(2^楼层[n/2]+(表[EulerPhi[2d]*2^(n/d)/(2n),{d,除数[n]}]//累加//最后))/2;a[n]:=b[2n];表[a[n],{n,0,30}](*Jean-François Alcover公司2014年3月7日*)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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已批准
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1, 2, 4, 9, 23, 63, 190, 612, 2056, 7155, 25482, 92205, 337594, 1246863, 4636390, 17334801, 65108062, 245492244, 928772650, 3524337980, 13409202676, 51141124287, 195470831356, 748607855769, 2872202028517, 11038251159312
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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MAPLE公司
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使用(numtheory):b:=proc(n)局部s,d;如果n=0,则返回(1),否则s:=2^(楼层(n/2));对于除数(n)中的d,做s:=s+(φ(2*d)*2^(n/d))/(2*n);od;返回(s/2);fi;结束:seq(b(2*n-1),n=1..30)#Emeric Deutsch公司2006年2月13日
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非n,容易的
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作者
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1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 13, 21, 29, 45, 73, 123, 200, 369, 625, 1163, 2082, 3915, 7186, 13659, 25528, 48735, 92287, 176911, 337718, 649553, 1247065, 2405237, 4636787, 8964801, 17335426, 33588281, 65109226, 126390045, 245494391, 477353377
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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非n
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作者
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1, 0, 1, 1, 3, 2, 7, 7, 16, 19, 43, 58, 121, 182, 357, 603, 1161, 2036, 3913, 7131, 13639, 25438, 48733, 92135, 176902, 337472, 649514, 1246672, 2405235, 4636007, 8964799, 17334189, 33588189, 65106900, 126390021, 245490129, 477353375
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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关键词
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非n
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已批准
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1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 409, 995, 2439, 6033, 15068, 38005, 96807, 249049, 647137, 1698303, 4500410, 12038113, 32489271, 88423967, 242549338, 670146047, 1863859739, 5215185383, 14671904315, 41478618523, 117776926366, 335729266137
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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关键词
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非n
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作者
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已批准
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A001037号
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| GF(2)上n次不可约多项式的个数;翻身时不允许有2种颜色珠子的n珠项链数量,原始周期为n;长度为n的二进制Lyndon单词数。 (原M0116 N0046 N0287)
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+10 228
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1, 2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161, 2182, 4080, 7710, 14532, 27594, 52377, 99858, 190557, 364722, 698870, 1342176, 2580795, 4971008, 9586395, 18512790, 35790267, 69273666, 134215680, 260300986, 505286415, 981706806, 1908866960, 3714566310, 7233615333, 14096302710, 27487764474
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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该序列还表示有向图中长度L在x^2下的圈数N,所见模为梅森素数M_q=2^q-1。这个数字不依赖于q,L是q-1的任何除数。参见Shallit和Vasiga论文的定理5和推论3:N=和(eulerphi(d)/阶(d,2)),其中d是2^(q-1)-1的除数,使得阶(d、2)=L-托尼·雷克斯2005年11月17日
“二进制Lyndon单词数”是指:数字的不等模旋转(循环置换)且周期不小于n的二进制字符串数。这提供了以下链接:A103314号,因为这些字符串对应于U_m(单位的第m个根)的不等零和子集,通过将U_n(n|m)与0或更多U_d(n| d,d|m)的并集乘以某个exp幂(i2Pi/n)使它们相互不相交而获得。(但并非U_m的所有零和子集都是这种形式。)-M.F.哈斯勒2007年1月14日
此外,阈值布尔自动机网络的周期n的动态循环数,该网络是n的倍数大小的准最小正电路,并且是并行更新的Mathilde Noual(Mathilde.Noual(AT)ens-lyon.fr),2009年2月25日
此外,单位区间上帐篷映射f(x):=2min{x,1-x}的迭代中周期为(最小)n的周期点的数目-彼得罗·马杰2009年9月22日
与完全断开双曲迭代函数系统相关的移位动力系统中最小周期n的不同循环数(参见Barnsley链接)-米歇尔·马库斯2013年10月6日
对于n>0,a(n)也是与Kolakoski序列相关的变换的大小为n的轨道数A000002号(对于周期n为2^n个周期点的任何映射都是如此)。Kolakoski变换根据其运行长度的顺序改变1和2的序列。Kolakoski序列是这个变换的两个不动点之一,另一个是没有初始项的同一序列。A025142号和A025143号是大小为2的轨道的周期点。A027375号(n) =n*a(n)给出了最小周期n的周期点数。
继Kam Cheong Au(2020)之后,设d(w,N)为重量w的Q-span和有色多重zeta值(CMZV)的水平N的维数。这里Q是有理数。
Deligne的界表示当N>=3时,d(w,N)<=d(w,N),其中1+Sum_{w>=1}d(w、N)*t^w=(1-a*t+b*t^2)^(-1),其中a=phi(N)/2+omega=A001221号(N) 是N的不同素数)。
对于N=3,a=φ(3)/2+ω(3)=2/2+1=2和b=ω(三)-1=0。由此得出D(w,N=3)=A000079号(w) =2^w(重量)。
出于某种原因,金昌凹(2020)假设Deligne的界限很紧,即d(w,N)=d(w,N)。他为N>=3设置了求和{w>=1}c(w,N)*t^w=log(1+Sum{w>=1}d(w,N*t^w)=log。
他定义d*(w,N)=Sum_{k|w}(mu(k)/k)*c(w/k,N)为“重量w和水平N的基本常数的数目”。(使用术语A113788号,我们也许可以称d*(w,N)为权重w和级别N的不可约彩色多重zeta值的数量。)
利用g.f's理论的标准技术,我们可以证明和{w>=1}d*(w,N)*t^w=和{s>=1}(mu(s)/s)和{k>=1}c(k,N)*(t^s)^k=-Sum{s>=1}(μ(s)/s*log(1-a*t^s+b*t^(2*s)))。
对于N=3,我们看到a=2和b=0,因此d*(w,N=3)=a(w)=Sum_{k|w}(mu(k)/k)*2^(w/k)/。见锦昌澳(2020年)第6页的表1。(结束)
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参考文献
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Michael F.Barnsley,《分形无处不在》,学术出版社,圣地亚哥,1988年,第171页,引理3。
E.R.Berlekamp,《代数编码理论》,McGraw-Hill,纽约,1968年,第84页。
E.L.Blanton,Jr.、S.P.Hurd和J.S.McCranie。在平方模m定义的有向图上,当m有本原根时。恭喜。数字。82 (1991), 167-177.
P.J.Freyd和A.Scedrov,《类别,寓言》,北荷兰,阿姆斯特丹,1990年。见1.925。
M.Lothaire,《单词组合数学》,Addison-Wesley,Reading,马萨诸塞州,1983年,第65、79页。
盖伊·梅兰松,使用Maple分解无限单词,MapleTech Journal,第4卷,第1期,1997年,第34-42页,特别是第36页。
M.R.内斯特,(1999)。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括N0046和N0287条目中的这一序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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E.L.Blanton,Jr.、S.P.Hurd和J.S.McCranie,关于模n平方定义的有向图,斐波纳契夸脱。30 (1992), 322-333.
埃米利·查利尔、马诺·菲利伯特和马诺·斯蒂普兰蒂,尼尔登语,arXiv:1804.09735[math.CO],2018年。还有J.Comb。你的。A、 167(2019),60-90。
E.N.Gilbert和J.Riordan,周期序列的对称类型伊利诺伊州J.数学。,5 (1961), 657-665.
A.Knopfmacher和M.E.Mays,图形组成I:基本枚举,整数1(2001),A4,等式(1)。
乔治·彼得里德斯(George Petrides)和约翰·米克尔特维特(Johannes Mykkeltveit),周期二元序列的非线性复杂性分类《序列及其应用SETA 2006》,计算机科学讲义,第4086/2006卷,第209-222页。[来自N.J.A.斯隆2009年7月9日]
Y.Puri和T.Ward,周期轨道的算法和增长,J.整数序列。,第4卷(2001年),编号01.2.1。
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配方奶粉
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对于n>=1:
a(n)=(1/n)*和{d|n}亩(n/d)*2^d。
2^n=Sum_{d|n}d*a(d)。
G.f.:1-求和{n>=1}莫比乌斯(n)*log(1-2*x^n)/n,其中莫比乌s(n)=A008683号(n) -保罗·D·汉纳2010年10月13日
对于n>=1:
a(n)=(1/n)*Sum_{k=1..n}mu(gcd(n,k))*2^(n/gcd(n,k))/phi(n/gcd(n、k))。
a(n)=(1/n)*Sum_{k=1..n}mu(n/gcd(n,k))*2^gcd(n,k)/phi(n/gcd(n、k))。(结束)
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例子
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a(0)=1=#{“”},
a(1)=2={“0”,“1”},
a(2)=1={“01”},
a(3)=2={“001”,“011”},
a(4)=3=#{“0001”,“0011”,”0111“},
a(5)=6=#{“00001”,“00011”,“00101”,”00111“,”01011“,“01111”}。
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MAPLE公司
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带有(数字理论):A001037号:=proc(n)局部a,d;如果n=0,则返回(1);否则a:=0:对于除数(n)中的d,做a:=a+mobius(n/d)*2^d;od:返回(a/n);fi;结束;
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数学
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f[n_]:=块[{d=除数@n},加号@@(MoebiusMu[n/d]*2^d/n)];数组[f,32]
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黄体脂酮素
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(PARI)A001037号(n) =如果(n>1,sumdiv(n,d,moebius(d)*2^(n/d))/n,n+1)\\编辑人M.F.哈斯勒2016年1月11日
(PARI){a(n)=polcoeff(1-和(k=1,n,moebius(k)/k*log(1-2*x^k+x*O(x^n)),n)}\\保罗·D·汉纳2010年10月13日
(PARI)a(n)=如果(n>1),我的;对于步骤(i=2^n+1,2^(n+1),2,s+=polisirreducible(Mod(1,2)*Pol(binary(i)));s、 n+1)\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年1月26日
(哈斯克尔)
a001037 0=1
a001037 n=(总和$map(\d->(a000079 d)*a008683(n`div`d))$
a027750_行n)`div`n
(Python)
来自症状输入除数,mobius
定义a(n):如果n>1,则返回和(mobius(d)*2**(n//d)for d in divisors(n))/n#因德拉尼尔·戈什2017年4月26日
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交叉参考
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A000031号
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| 翻身时不允许有2种颜色的n珠项链数量;还有来自简单n级循环移位寄存器的输出序列数;度除n的二元不可约多项式的个数。 (原名M0564 N0203)
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+10 161
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1, 2, 3, 4, 6, 8, 14, 20, 36, 60, 108, 188, 352, 632, 1182, 2192, 4116, 7712, 14602, 27596, 52488, 99880, 190746, 364724, 699252, 1342184, 2581428, 4971068, 9587580, 18512792, 35792568, 69273668, 134219796, 260301176, 505294128, 981706832
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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另外,a(n)-1是词典编纂最小deBruijn循环(Fredricksen)的真值表中的1的数量。
在音乐中,a(n)是n个音符的等调调谐系统中不同类别的音阶和和弦的数量-保罗·坎特雷尔2011年12月28日
此外,长度为n的二进制字(Champarnaud,Hansel,Perrin)的不可避免集合的最小基数-杰弗里·沙利特,2019年1月10日
φ(n)和2^n的(1/n)*Dirichlet卷积,n>0-理查德·奥尔勒顿2021年5月6日
a(n)是n的偶数!=0, 2. 证明:用奇数s写出n=2^e*s,然后a(n)*s=Sum_{d|s}Sum__{k=0..e}φ((2^e*s/(2^k*d))*2^ 2^k*s-k-1)+2^(2^e*s-e)==和{k=0.分钟{e-1,1}}2^(2 ^k*s-k-1)(模2)。a(n)是奇数当且仅当s=1和e-1=0,或n=2。
a(n)==2(mod 4)当且仅当n=1,4或n=2*p^e,素数p==3(mod4)。
a(n)==4(mod 8)当且仅当n=2^e,e>=3时为3*2^e,或n=p^e,4*p^e!=12,素数p==3(mod 4),或n=2s,其中s是奇数,使得phi(s)==4(mod 8)。(结束)
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参考文献
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S.W.Golomb,《移位寄存器序列》,Holden-Day,旧金山,1967年,第120、172页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
R.P.Stanley,《枚举组合数学》,剑桥,第2卷,1999年;参见问题7.112(a)。
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链接
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新泽西州罚款,周期序列类伊利诺伊州J.数学。,2 (1958), 285-302.
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Juhani Karhumäki、S.Puzynina、M.Rao和M.A.Whiteland,关于k-阿贝尔等价类的基数,arXiv预印本arXiv:1605.03319[math.CO],2016。
维勒·萨洛,一排导线的通用门,arXiv:1809.08050[math.GR],2018年。
J.A.Siehler,有限的灯组:导游之旅《大学数学杂志》,第43卷,第3期(2012年5月),第203-211页。
N.J.A.斯隆,关于单删除修正码,arXiv:math/0207197[math.CO],2002;《规范与设计》(俄亥俄州哥伦布,2000年),273-291,俄亥俄州立大学数学系。Res.Inst.出版物。,10,de Gruyter,柏林,2002年。
大卫·汤姆森,音乐多边形《今日数学》,第57卷,第2期(2021年4月),第50-51页。
R.C.Titsworth,周期序列的等价类伊利诺伊州J.数学。,8(1964),第266-270页。
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配方奶粉
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G.f.:1-总和{n>=1}φ(n)*log(1-2*x^n)/n-赫伯特·科西姆巴2016年10月29日
a(0)=1;a(n)=(1/n)*和{k=1..n}2^gcd(n,k)-伊利亚·古特科夫斯基2021年4月16日
a(0)=1;a(n)=(1/n)*Sum_{k=1..n}2^(n/gcd(n,k))*phi(gcd(n,k))/phi(n/gcd(n、k))-理查德·奥尔勒顿2021年5月6日
Dirichlet g.f.:f(s+1)*(zeta(s)/zeta(s+1)),其中f(s)=和{n>=1}2^n/n^s-宋嘉宁2021年11月13日
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例子
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对于n=3和n=4,项链是{000001011111}和{0000000100111111}。
类似的移位寄存器序列是{000…、001001…、011011…、111…}和{000…,00010001…、00110011…、0101…、01110111…、111..}。
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MAPLE公司
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带有(数字理论);A000031号:=proc(n)局部d,s;如果n=0,则返回(1);其他s:=0;对于除数(n)中的d,做s:=s+phi(d)*2^(n/d);od;返回(s/n);fi;结束;[顺序(A000031号(n) ,n=0..50)];
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数学
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a[n_]:=总和[如果[Mod[n,d]==0,EulerPhi[d]2^(n/d),0],{d,1,n}]/n
a[n_]:=折叠[#1+2^(n/#2)EulerPhi[#2]&,0,除数[n]]/n(*本·布兰曼2011年1月8日*)
表[Expand[CycleIndex[CyclicGroup[n],t]/。表[t[i]->2,{i,1,n}]],{n,0,30}](*杰弗里·克雷策2011年3月6日*)
mx=40;系数列表[级数[1-和[EulerPhi[i]对数[1-2*x^i]/i,{i,1,mx}],{x,0,mx{],x](*赫伯特·科西姆巴2016年10月29日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a000031 0=1
a000031 n=(`div`n)$总和$
zipWith(*)(映射a000010 divs)(映射a 000079$reverse div)
其中divs=a027750_row n
(Python)
从sympy导入到divisors
定义A000031号(n) :返回除数(n,生成器=True)中d的和(totient(d)*(1<<n//d))//如果其他n为1#柴华湖2022年11月16日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的,核心
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作者
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扩展
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1995年《整数序列百科全书》中的图M3860中有一个错误:在第三行中A000031号=M0564应为(1/n)和φ(d)2^(n/d)。
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状态
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已批准
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A051168美元
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| 由行读取的0<=k<=h的三角形数组T(h,k):T(h、k)=具有k个1和h-k个0的二进制Lyndon单词数。 |
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+10 54
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1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 0, 0, 1, 3, 7, 8, 7, 3, 1, 0, 0, 1, 4, 9, 14, 14, 9, 4, 1, 0, 0, 1, 4, 12, 20, 25, 20, 12, 4, 1, 0, 0, 1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 0, 0, 1, 5, 18, 40, 66, 75, 66, 40, 18, 5, 1, 0, 0, 1, 6
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,18
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评论
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T(h,k)是k个一和h-k个零的非周期二进制字的类数;如果v是u的循环排列(例如,u=111000,v=110001),则单词u、v属于同一类,如果一个单词不是2个或更多相同子单词的并列,则该单词是非周期的。
这个三角形也可以被视为正方形数组A(r,n),即所有1序列的第r次Witt变换的第n项,r>=1,n>=0,由反对角线读取:
此数组的开头如下:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9
0 1 2 3 5 7 9 12 15 18 22 26 30 35 40 45 51 57 63
0 1 2 5 8 14 20 30 40 55 70 91 112 140 168 204 240 285 330
0 1 3 7 14 25 42 66 99 143 200 273 364 476 612 775 969 1197 1463
0 1 3 9 20 42 75 132 212 333 497 728 1026 1428 1932 2583 3384 4389 5598
0 1 4 12 30 66 132 245 429 715 1144 1768 2652 3876 5537 7752 10659 14421 19228
0 1 4 15 40 99 212 429 800 1430 2424 3978 6288 9690 14520 21318 30624 43263 60060
0 1 5 18 55 143 333 715 1430 2700 4862 8398 13995 22610 35530 54477 81719 120175
0 1 5 22 70 200 497 1144 2424 4862 9225 16796 29372 49742 81686 130750 204248
0 1 6 26 91 273 728 1768 3978 8398 16796 32065 58786 104006 178296 297160 482885
0 1 6 30 112 364 1026 2652 6288 13995 29372 58786 112632 208012 371384 643842
0 1 7 35 140 476 1428 3876 9690 22610 49742 104006 208012 400023 742900 1337220
0 1 7 40 168 612 1932 5537 14520 35530 81686 178296 371384 742900 1432613 2674440
...
它本质上是对称的:A(r,r+i)=A(r、r-i+1)。
一些对角线是:
Fredman(1975)证明了满足a_0+…+的非负整数分量向量(a_0,…,a{n-1})的个数S(n,k,v)a{n-1}=k和Sum{i=0..n-1}i*a_i=v(modn)由S(n,k,v)=(1/(n+k))*Sum{d|gcd(n,k)}给出A054533号(d,v)*二项式((n+k)/d,k/d)=S(k,n,v)。Elashvili等人(1999)也证明了这一点,他还证明了S(n,k,v)=Sum_{d|gcd(n,k,v)}S(n/d,k/d,1)。这里,S(n,k,1)=T(n+k,k)-Petros Hadjicostas公司2019年7月9日
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链接
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A.Elashvili和M.Jibladze,循环群正则表示的Hermite互易,印度。数学。(N.S.)9(1998),第2期,233-238;MR1691428(2000c:13006)。
A.Elashvili、M.Jibladze和D.Pataraia,项链与“Hermite互惠”的组合《代数组合》10(1999),第2期,173-188;MR1719140(2000年j:05009)。见第174页-N.J.A.斯隆2014年8月6日
P.Stanica和S.Maitra,旋转对称布尔函数-计数和加密属性,光盘。申请。数学。156 (2008) 1567-1580; 见式(3)中的h{n,w}。
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配方奶粉
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{(0,0),(1,0)(1,1)}中(h,k)的T(h,k)=1;如果h>=2且k=0或k=h,T(h,k)=0。否则,T(h,k)=(1/h)*(C(h,k)-S(h,k=Sum_{d<=2,d|h,d|k}(h/d)*T(h/d,k/d)。
1-x-y=Product_{i,j}(1-x^i*y^j)^T(i+j,j),其中i>=0,j>=0不都为零-迈克尔·索莫斯2004年7月3日
素数行由(1+x)^p/p给出,非整数系数四舍五入为零。例如,对于下面的h=2,(1+x)^2/2=(1+2*x+x^2)/2=0.5+x+0.5*x^2给出(0,1.0)-汤姆·科普兰2014年10月21日
T(n,k)=(1/n)*Sum_{d|gcd(n,k)}mu(d)*二项式(n/d,k/d),对于n>0-安德鲁·霍罗伊德2017年3月26日
列k>=1的O.g.f:(x^k/k)*和{d|k}mu(d)/(1-x^d)^(k/d)。
二元o.g.f.:求和{n,k>=0}T(n,k)*x^n*y^k=1-求和{d>=1}(mu(d)/d)*log(1-x^d*(1+y^d))。
(结束)
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例子
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三角形开始于:
h=0:1
h=1:1,1
h=2:0,1,0
h=3:0,1,1,0
h=4:0,1,1,1,0
h=5:0,1,2,2,1,0
h=6:0、1、2、3、2、1、0
h=7:0、1、3、5、5、3、1、0
h=8:0、1、3、7、8、7、3、1、0
h=9:0、1、4、9、14、14、9、4、1、0
...
T(6,3)对类{111000}、{110100}、{110010}进行计数,每个类有6个非周期性的。类{100100}包含3个周期单词,按T(3,1)计算为{100},由3个非周期单词100010001组成。
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MAPLE公司
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A:=程序(r,n)局部gf,d,genf;genf:=1/(1-x);gf:=0;对于numtheory[除数](r)中的d,做gf:=gf+numtheori[mobius](d)*(subs(x=x^d,genf))^(r/d);od:gf:=膨胀(gf/r);系数(gf,x=0,n);结束过程:
A051168美元:=proc(n,k),如果n<=1,则为1;elif n=0或n=k然后为0;其他A(n-k,k);结束条件:;
结束过程:
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数学
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表[If[n===0,1,1/n Plus@@(MoebiusMu[#]二项式[n/#,k/#]&/@除数[GCD[n,k]])],{n,0,12},{k,0,n}](*沃特·梅森2008年7月20日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){T(n,k)=局部(A,ps,c);如果(k<0||k>n,0,如果(n==0&&k==0,1,A=x*O(x^n)+y*O(y^n);ps=1-x-y+A;对于(m=1,n),对于(i=0,m,c=polceoff(ps,i,x),m-i,y);如果x^i+A)^c);-c))}/*迈克尔·索莫斯2004年7月3日*/
(PARI)T(n,k)=如果(n==0,1,(1/n)*sumdiv(gcd(n,k),d,moebius(d)*二项式(n/d,k/d));
tabl(nn)=用于(n=0,nn,用于(k=0,n,print1(T(n,k),“,”));打印)\\米歇尔·马库斯2018年5月16日
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