搜索: a000004-编号:a000004
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1, 2, 1, 3, 2, 3, 4, 3, 6, 1, 5, 4, 7, 2, 7, 6, 5, 12, 3, 14, 3, 7, 6, 14, 4, 15, 6, 7, 8, 7, 15, 5, 28, 7, 14, 1, 9, 8, 24, 6, 30, 12, 15, 2, 15, 10, 9, 28, 7, 31, 14, 28, 3, 30, 7, 11, 10, 30, 8, 56, 15, 30, 4, 31, 14, 3, 12, 11, 31, 9, 60, 24, 31, 5, 60, 15, 6, 3, 13, 12, 48, 10, 62, 28, 56, 6, 62, 28, 12, 6, 5, 14, 13, 51, 11, 63, 30, 60, 7, 63, 30, 15, 7, 10, 7
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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通过降序反对偶读取方形数组,如A(1,1)、A(1,2)、A。
位置2^k处的行是1、2、3…、。。。,(A000027号). 第2n行等于第n行。
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链接
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例子
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第1至19行的15个初始术语如下所示:
1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...
2: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...
3: 3, 6, 7, 12, 14, 15, 24, 28, 30, 31, 48, 51, 56, 60, 62, ...
4: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...
5: 7, 14, 15, 28, 30, 31, 56, 60, 62, 63, 112, 120, 124, 126, 127, ...
6: 3, 6, 7, 12, 14, 15, 24, 28, 30, 31, 48, 51, 56, 60, 62, ...
7: 7, 14, 15, 28, 30, 31, 56, 60, 62, 63, 112, 120, 124, 126, 127, ...
8: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...
9: 15, 30, 31, 60, 62, 63, 120, 124, 126, 127, 240, 248, 252, 254, 255, ...
10: 7, 14, 15, 28, 30, 31, 56, 60, 62, 63, 112, 120, 124, 126, 127, ...
11: 3, 6, 12, 15, 24, 27, 30, 31, 48, 51, 54, 60, 62, 63, 96, ...
12: 3, 6, 7, 12, 14, 15, 24, 28, 30, 31, 48, 51, 56, 60, 62, ...
13: 5, 10, 15, 20, 21, 30, 31, 40, 42, 45, 47, 60, 61, 62, 63, ...
14: 7, 14, 15, 28, 30, 31, 56, 60, 62, 63, 112, 120, 124, 126, 127, ...
15:15、30、31、60、62、63、120、124、126、127、240、248、252、254、255。。。
16: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...
17: 31, 62, 63, 124, 126, 127, 248, 252, 254, 255, 496, 504, 508, 510, 511, ...
18: 15, 30, 31, 60, 62, 63, 120, 124, 126, 127, 240, 248, 252, 254, 255, ...
19: 7, 14, 28, 31, 56, 62, 63, 112, 119, 124, 126, 127, 224, 238, 248, ...
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数学
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X[a_,b_]:=模块[{a,b,C,X},
A=反转@整数位数[a,2];
B=反转@整数位数[b,2];
C=展开[
求和[A[[i]]*x^(i-1),{i,1,长度[A]}]*
和[B[[i]]*x^(i-1),{i,1,长度[B]}]];
多项式模型[C,2]/。x->2];
T[n_,k_]:=模块[{x=BitX或[n-1,2n-1],k0=k},
对于[i=1,True,i++,如果[n*i==X[X,i],
如果[k0==1,返回[i],k0--]]];
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黄体脂酮素
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(PARI)
up_to=120;
A048720型(b,c)=来自数字(Vec(Pol(binary(b)))*Pol(二进制(c)))%2,2);
A115872sq(n,k)={my(x=A065621美元(n) );对于(i=1,oo,如果(n*i)==A048720型(x,i),如果(1==k,返回(i),k--));};
A115872list(up_to)={my(v=向量(up_to),i=0);对于(a=1,oo,对于(col=1,a,i++;如果(i>up_to,返回(v));v[i]=A115872sq(col,(a-(col-1))));(v);};
v115872=A115872列表(up_to);
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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添加示例部分,并将数据部分扩展到n=105安蒂·卡图恩2019年5月8日
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状态
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经核准的
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1, 2, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a(0)=1,a(1)=2,a(2)=4,a(n)=0,对于n>2。
G.f.:(1+2*x+4*x^2)。
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黄体脂酮素
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(PARI){concat([1,2,4],向量(102))}
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000004美元(零序),A058331号(2*n^2+1),A130706号(1, 2, 0, 0, 0, 0, ...),A130779号(1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, ...).
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容易的,非n
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作者
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经核准的
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3, 14, 36, 36, 12, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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当n>4时,a(0)=3,a(1)=14,a(2)=36,a(3)=36、a(4)=12,a(n)=0。
总尺寸:3+14*x+36*x^2+36*x^3+12*x^4。
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黄体脂酮素
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(PARI){concat([3,14,36,36,12],向量(98))}
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000004美元(零序),A166941号(乘积加上四个连续非负数之和),A166926号(1,2,4,0,0,0,0,…),A130706号(1, 2, 0, 0, 0, 0, ...),A130779号(1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, ...).
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容易的,非n
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作者
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经核准的
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1、3、4、2、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a(0)=1,a(1)=3,a(2)=4,a(3)=2,a(n)=0,对于n>3。
通用名称:(1+x)*(1+2*x+2*x^2)。
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黄体脂酮素
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(PARI){连接([1,3,4,2],向量(99))}
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000004美元(零序),A167875号(乘积的三分之一加上三个连续非负整数的和),A166926号(1, 2, 4, 0, 0, 0, 0, ...),A130706号(1, 2, 0, 0, 0, 0, ...),A130779号(1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, ...),A167858号(3, 14, 36, 36, 12, 0, 0, 0, ...).
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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当n>1时,a(0)=1,a(1)=3,a(n)=0。
镀锌:1+3*x。
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黄体脂酮素
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(PARI){concat([1,3],向量(103))}
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000004美元(零序),A016777号(3*n+1),A053220型((3*n-1)*2^(n-2)),A027471号(n-1)*3^(n-2)),A081039号((3*n+4)*4^(n-1),a(0)=1,a(1)=7),A130706号(1, 2, 0, 0, 0, ...),A166926号(1, 2, 4, 0, 0, 0, ...),A130779号(1,1,2,0,0,0,…)。
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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配方奶粉
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a(0)=1,a(1)=4,a(2)=2,a(n)=0,对于n>2。
总尺寸:1+4*x+2*x^2。
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黄体脂酮素
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(PARI){concat([1,4,2],向量(100))}
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000004美元(零序),A028387号(n+(n+1)^2),A166926号(1, 2, 4, 0, 0, 0, 0, ...),A130706号(1, 2, 0, 0, 0, 0, ...),A130779号(1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, ...),A167858号(3, 14, 36, 36, 12, 0, 0, 0, ...),A167876号(1, 3, 4, 2, 0, 0, 0, ...).
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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A000012号
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| 最简单的正数序列:全1的序列。 (原M0003)
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+10 2441
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(列表;桌子;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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将n写成素数乘积的方法的数量。
将n写成2的不同幂之和的方式。
一个正整数无限序列的例子,其不同的两两串联都是素数-唐·雷布尔2005年4月17日
对于n>=0,设M(n)是第一行=(n n+1),第二行=(n+1 n+2)的矩阵。则a(n)=det的绝对值(M(n))-K.V.Iyer公司2009年4月11日
a(n)是一个完全乘法的算术函数。
a(n)也是n个节点上的完整图的数量巴勃罗·查韦斯,2009年9月15日
第n素数减去φ(素数(n));第n个素数的除数减去第n个素的完美分割数;第n素数的完美分割数;第n个非命题数的完美分割数-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2009年10月26日
对于所有n>0,a(n)=n的极限值序列*Sum_{k>=n}k/(k+1)!求和!。此外,a(n)=n^0-哈兰·J·兄弟2009年11月1日
a(n)也是n个顶点上的0-正则图的个数-杰森·金伯利2009年11月7日
1) 当序列被读取为规则三角形数组时,T(n,k)是(x^(n+1)-1)/(x-1)展开式中的k次幂系数。
2) 序列也可以被读取为一个长度为1的行的二项式数组,类似于二项式、三项式等系数的数组。在q项数组中,T(n,k)是((x^q-1)/(x-1))^n展开式中的k次幂系数,行n的和为q^n,长度为(q-1)*n+1。(结束)
从2×n网格的西北角到西南角的最大自我回避步行次数。
作为下三角数组,T是A133314号.将每个第n对角线乘以t^n得到M(t)=I/(I-t*S)=I+t*S+(t*S。。。其中S是轮班操作员A129184号,且T=M(1)。M(t)的逆矩阵是t的第一个子对角线乘以-t,其他子对角线则乘以零,因此A167374号是T的逆函数。乘以T^n/n!给出了带有逆exp(-t*S)的exp(t*S)-汤姆·科普兰2012年11月10日
考虑n>=1个互不相交的球面,每个球面都有表面积S。当且仅当球面S_j上存在点q时,将球面S_i上的点p定义为“公共点”,j!=i、 这样线段pq INTERSECT S_i={p}和pq INTER S_j={q};否则,p是“私有点”。完全由所有n个球体上的所有私有点组成的总表面积是a(n)*S=S(Zeitz中的“私有行星问题”)-里克·L·谢泼德2014年5月29日
a(n)也是由M(i,j)=二项式(i,j=0≤i,j<=n)定义的(n+1)X(n+1”)矩阵M的行列式,因为M是主对角线均为1的下三角矩阵-宋嘉宁2018年7月17日
a(n)也是对称n X n矩阵M的行列式,由M(i,j)=min(i,j)定义,对于1<=i,j<=n(参见Xavier Merlin参考)-伯纳德·肖特,2018年12月5日
a(n)也是对称n X n矩阵M的行列式,由M(i,j)=τ(gcd(i,j))定义为1≤i,j≤n(参见De Koninck&Mercier参考)-伯纳德·肖特2020年12月8日
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参考文献
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J.-M.De Koninck和A.Mercier,1001 Problèmes en Théorie Classique des Nombres,Probléme 692第90和297页,Ellipses,巴黎,2004年。
L.B.W.Jolley,系列总结,第二修订版,多佛(1961年)。
泽维尔·梅林(Xavier Merlin),《阿尔盖布雷·梅瑟迪克斯》(Méthodix Algèbre,Execice 1-a),第153页,《椭圆》,巴黎,1995年。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
S.Wolfram,《一种新的科学》,Wolfram Media,2002年;第55页。
Paul Zeitz,《数学问题解决的艺术和工艺》,The Great Courses,The Teaching Company,2010年(DVD和课程指南,第6讲:“图片、重播和观点”,第32-34页)。
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链接
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杰里米亚·巴茨、布鲁斯·迪尔登和乔尔·利亚姆斯,差额平衡数的类别,arXiv:1810.07895[math.NT],2018年。
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr,河内塔——神话与数学,Birkhäuser 2013。参见第172页。图书网站
杰里·梅茨格和托马斯·理查兹,囚犯问题变体,《整数序列杂志》,第18卷(2015年),第15.2.7条。
Michael Z.Spivey和Laura L.Steil,k二项式变换和Hankel变换《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.1.1条。
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配方奶粉
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a(n)=1。
G.f.:1/(1-x)。
例如:exp(x)。
G.f.:产品{k>=0}(1+x^(2^k))-扎克·塞多夫2007年4月6日
a(p^e)=1的完全乘法。
被反对偶视为正方形数组,g.f.1/((1-x)(1-y)),例如f.总和T(n,m)x^n/n!y^m/m!=e^{x+y},例如f.总和T(n,m)x^ny^m/m!=e^y/(1-x)。视为三角形数组,g.f.1/((1-x)(1-xy)),例如f.总和T(n,m)x^ny^m/m!=e^{xy}/(1-x)-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年2月6日
a(n)=Sum_{l=1..n}(-1)^(l+1)*2*cos(Pi*l/(2*n+1))=1在n>=1中相同(对于n=0,从未定义的和中取0)。摘自乔利参考文献,(429)第80页。解释:考虑切比雪夫多项式S(2*n,x)的x=0和n个正零点之间的n段(参见A049310型). 然后,从以最大零结尾的线段开始(从右到左)的其他线段的长度之和为1-沃尔夫迪特·朗2016年9月1日
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例子
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1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+…)))=A001622号.
1/9 = 0.11111111111111...
不可被3整除的非负奇数的Modd 7:
A007310元: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, ...
模式3:1、1、1。。。
(结束)
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MAPLE公司
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seq(1,i=0..150);
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数学
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阵列[1&,50](*Joseph Biberstine(jrbibers(AT)indiana.edu),2006年12月26日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[1:n英寸[0..100]];
(PARI){a(n)=1};
(哈斯克尔)
a000012=常数1
(Maxima)临时名单(1,n,1,30)/*马丁·埃特尔2012年11月7日*/
(Python)打印([1代表范围(90)内的n)]#迈克尔·布拉尼基2022年4月4日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1,1,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.1个
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评论
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这本质上是雅可比θ函数θ_2(q)的q展开。(在θ2中,必须忽略初始因子2*q^(1/4),然后用q^代替q(1/2)。另请参见A005369号.) -N.J.A.斯隆2014年8月3日
拉马努扬的θ函数f(a,b)=Sum_{n=-inf.inf}a^(n*(n+1)/2)*b^(n*(n-1)/2)。
该序列是序列b^n中以b为基数的数字的串联,对于任意基数b>=2。-Davis Herring(Herring(AT)lanl.gov),2004年11月16日
带交替符号的Polcoeff逆=A006950型: (1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, ...). -加里·亚当森2010年3月15日
这个序列与Ramanujan的二元θ函数有关,因为这个序列也是广义六边形数的特征函数-奥马尔·波尔2012年6月8日
D.Zagier在《模块形式的1-2-3》第30页列出的14个原始eta-products中的第3个,它们是重量为1/2的全纯模块形式-迈克尔·索莫斯2016年5月4日
将n划分为包含1的连续部分的数量,n>=1-奥马尔·波尔2020年11月27日
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参考文献
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J.H.Conway和N.J.A.Sloane,“球形填料、晶格和群”,Springer-Verlag,第103页。
M.D.Hirschhorn,《q的力量》,施普林格出版社,2017年。见Psi第9页。
J.Tannery和J.Molk,Eléments de la Théorie des Fonctions Elliptiques,第2卷,Gauthier-Villars,巴黎,1902年;切尔西,纽约,1972年,见第27页。
E.T.Whittaker和G.N.Watson,《现代分析课程》,剑桥大学出版社,第4版,1963年,第464页。
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链接
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K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl,整数表示为三角数之和,《数学幻想曲》,1995年8月,第50卷,第1-2期,第73-94页,命题1。
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配方奶粉
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f(x,x^3)的x次幂展开式,其中f(,)是Ramanujan的一般θ函数。
q^(-1)*(φ(q)-phi(q^4))/2的q^8次幂展开-迈克尔·索莫斯2014年7月1日
q^(-1/8)*eta(q^2)^2/eta(q)的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2005年4月13日
周期2序列的欧拉变换[1,-1,…]-迈克尔·索莫斯2003年3月24日
给定g.f.A(x),则B(q)=q*A(q^8)满足0=f(B(q-迈克尔·索莫斯2005年4月13日
a(n)=b(8*n+1),其中b()=A098108号()与b(2^e)=0^e相乘,如果p>2,b(p^e)=(1+(-1)^e)/2-迈克尔·索莫斯2005年6月6日
G.f.:θ_2(sqrt(q))/(2*q^(1/8))。
G.f.:1/(1-x/(1+x/(1+x^1/(1-x/(1A+x^2/(1-x/(1+x^3/…))))-迈克尔·索莫斯2012年5月11日
G.f.:产品{k>0}(1-x^(2*k))/(1-xneneneeh(2*k-1))-弗拉德塔·乔沃维奇2002年5月2日
G.f.:总和{j>=0}产品{k=0..j}x ^j-乔恩·佩里2004年3月30日
a(n)=楼层(1-cos(Pi*sqrt(8*n+1))/2)-卡尔·R·怀特2006年3月18日
a(n)=f(n,0),f(x,y)=如果x>0,则f(x-y,y+1),否则0^(-x)-莱因哈德·祖姆凯勒,2008年9月27日
由于s角数的特征函数是由floor(sqrt(2n/(s-2)+((s-4)/(2s-4))^2)+1/2)。
(结束)
G.f.是满足f(-1/(16t))=2^(-1/2)(t/i)^(1/2)G(t)的周期1傅立叶级数,其中q=exp(2pi i t),G()是A002448号. -迈克尔·索莫斯,2016年5月5日
G.f.:和{n>=0}x^(n*(n+1)/2)=Product_{n>=1}(1-x^n)*(1+x^n)^2=Product_}n>=1{(1-x^(2*n))*。从theta_2(0,sqrt(q))/(2*q^(1/8))函数的和和积表示。最后一个产品,由弗拉德塔·乔沃维奇通过将第二个乘积的奇诱导因子移动到第一个乘积,通过f(x):=Product_{n>=1}(1-x^(2*n-1))*Product_{n>=1}(1+x^n)=f(x^2)证明了从第二个到最后一个的欧拉恒等式。这导致f(x)=f(0)=1-沃尔夫迪特·朗2016年7月5日
a(0)=1,a(n)=(1/n)*和{k=1..n}A002129号(k) *a(n-k),对于n>0-满山圣一2017年4月8日
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例子
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G.f.=1+x+x^3+x^6+x^10+x^15+x^21+x^28+x^36+x^45+x^55+x^66+。。。
B(q)的G.f=q*A(q^8):q+q^9+q^25+q^49+q^81+q^121+q^169+q^225+q^289+qq^361+。。。
以三角形开始:
1;
1, 0;
1, 0, 0;
1, 0, 0, 0;
1,0,0,0,0;
1, 0, 0, 0, 0, 0;
…(结束)
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MAPLE公司
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如果issqr(1+8*n),则
1;
其他的
0;
结束条件:;
结束进程:
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数学
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a[n_]:=平方R[1,8n+1]/2;(*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,系列系数[(系列[EllipticTheta[3,Log[y]/(2I),x^2],{x,0,n+Floor@Sqrt[n]}]//Normal//TrigToExp)/。{y->x},{x,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*)
表[If[IntegerQ[(Sqrt[8n+1]-1)/2],1,0],{n,0,110}](*哈维·P·戴尔2012年10月29日*)
a[n_]:=级数系数[EllipticTheta[2,0,q^(1/2)]/(2q ^(1/8)),{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2014年7月1日*)
模块[{tr=Accumulate[Range[20]]},如果[MemberQ[tr,#],1,0]&/@Range[Max[tr]]](*哈维·P·戴尔2023年3月13日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<0,0,a=x*O(x^n);polceoff(eta(x^2+a)^2/eta(x+a),n))}/*迈克尔·索莫斯2011年3月14日*/
(PARI){a(n)=平方(8*n+1)}/*迈克尔·索莫斯2000年4月27日*/
(PARI)a(n)=异多角形(n,3)\\米歇尔·马库斯2015年1月22日
(哈斯克尔)
a010054=a010052。(+ 1) . (*8)
a010054_list=concatMap(\x->1:复制x 0)[0..]
(岩浆)基础(模块形式(Gamma0(16),1/2),362)[2]/*迈克尔·索莫斯2014年6月10日*/
(Python)
从症状导入整数
定义A010054号(n) :返回int(integer_ntroot((n<<3)+1,2)[1])#柴华武2022年11月15日
b=二进制递归序列(-1,0)
a=欧拉变换(b)
打印([a(n)代表范围(88)中的n])#彼得·卢什尼2022年11月17日
(克洛朱尔)
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000007号
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| {0}的特征函数:a(n)=0^n。 (原名M0002)
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+10 1000
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1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.1个
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评论
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将偏移量更改为1可以得到算术函数a(1)=1,n>1时a(n)=0,以及Dirichlet乘法的单位函数(参见Aposol)-N.J.A.斯隆
将偏移量更改为1将使其成为1的十进制扩展-N.J.A.斯隆2014年11月13日
帕斯卡三角形第n行的交替和给出了0的特征函数,a(n)=0^n-丹尼尔·福格斯2010年5月25日
从1 X n栅格的西北角到西南角的最大自空行走次数-肖恩·欧文2010年11月19日
历史上,对于0^0=1是否存在一些分歧。绘制x^0似乎支持这一结论,但绘制0^x表明0^0=0。Euler和Knuth支持0^0=1。对于某些计算器,0^0会触发错误,而在Mathematica中,0^0是不确定的-阿隆索·德尔·阿特2011年11月15日
将偏移量更改为1的另一个结果是,该序列可以描述为n的除数d的Moebius mu(d)之和-阿隆索·德尔·阿特2011年11月28日
根据约定0^0=1,对于n>0,0^n=0,序列a(n)=0^|n-k|,当n=k时等于1,对于n>=0为0,具有g.f.x^k。A000007号是k=0的情况-乔治·约翰逊2013年3月8日
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参考文献
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T.M.Apostol,《解析数论导论》,Springer-Verlag,1976年,第30页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
S.Wolfram,《一种新的科学》,Wolfram Media,2002年;第55页。
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链接
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Donald E.Knuth,关于符号的两个注释,arXiv:math/9205211[math.HO],1992年。请参阅0^0上的第6页。
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配方奶粉
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a(n)=Sum_{k=0..n}exp(2*Pi*i*k/(n+1))是单位根的和-弗兰兹·弗拉贝克2012年11月9日
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MAPLE公司
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规范:=[A,{A=Z}]:seq(组合结构[count](规范,大小=n+1),n=0..20);
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数学
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表[If[n==0,1,0],{n,0,99}]
表[Boole[n==0],{n,0,99}](*迈克尔·索莫斯2012年8月25日*)
联接[{1},LinearRecurrence[{1{,{0},102]](*雷·钱德勒,2015年7月30日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=!n};
(岩浆)[1]猫[0:n in[1..100]];//谢尔盖·哈勒,2006年12月21日
(哈斯克尔)
a000007=(0^)
a000007_list=1:重复0
(Python)
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A000265号
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| 从n中删除2的所有因子;或n的最大奇除数;或n的奇数部分。 (原M2222 N0881)
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+10 656
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1, 1, 3, 1, 5, 3, 7, 1, 9, 5, 11, 3, 13, 7, 15, 1, 17, 9, 19, 5, 21, 11, 23, 3, 25, 13, 27, 7, 29, 15, 31, 1, 33, 17, 35, 9, 37, 19, 39, 5, 41, 21, 43, 11, 45, 23, 47, 3, 49, 25, 51, 13, 53, 27, 55, 7, 57, 29, 59, 15, 61, 31, 63, 1, 65, 33, 67, 17, 69, 35, 71, 9, 73, 37, 75, 19, 77
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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连接线的斜率(o,a(o)),其中o=(2^k)(n-1)+1为2^k,(按设计)从(1,1)开始Josh Locker(joshlocker(AT)macfora.com),2004年4月17日
“顺序可以安排在表格中:
1
1 3 1
1 5 3 7 1
1 9 5 11 3 13 7 15 1
1 17 9 19 5 21 11 23 3 25 13 27 7 29 15 31 1
每一新行都是前一行,中间隔着奇数的延续。
这是一个分形序列。奇数元素表示奇数自然数。如果删除这些元素,则恢复原始序列-克里·米切尔2005年12月7日
不难证明前2^n项的和是(4^n+2)/3-尼克·霍布森2005年1月14日
关于马可·马托西奇(Marco Matosic)评论中描述的表格表示:在他的绘图中,从第三行开始,行中的第一个项等于1(或者,行中最后一个项也等于1),并不是按照实际顺序,而是作为一个虚构的项添加到绘图中(为了对称); 实际的A000265号(n) 可以认为是a(j,k)(其中j>=1是行号,k>=1为列下标),因此a(j、1)=1:
1
1 3
1 5 3 7
1 9 5 11 3 13 7 15
1 17 9 19 5 21 11 23 3 25 13 27 7 29 15 31
等等。
每行的k和j之间的关系是1<=k<=2^(j-1)。在这个经过修正的表格表示法中,Marco的概念“每一新行都是前一行,中间穿插着奇数的延续”仍然成立。(结束)
此序列是截断三角形:
1, 1;
3, 1, 5;
3, 7, 1, 9;
5, 11, 3, 13, 7;
15、1、17、9、19、5;
21, 11, 23, 3, 25, 13, 27;
7, 29, 15, 31, 1, 33, 17, 35;
...
c(n)=((n*(n+1)/2))/A069834号= 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 8, 8, 1, 1, ... 对于n>0。n*(n+1)/2是A069834号.(结束)
除了是乘法的,a(n)是一个强可除序列,即gcd(a(n,a(m))=a(gcd(n,m))对于n,m>=1。特别地,a(n)是一个可除序列:如果n除m,那么a(n”)除a(m)-彼得·巴拉2019年2月27日
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参考文献
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N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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V.Daiev和J.L.Brown,问题H-81,光纤。夸脱。,6 (1968), 52.
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配方奶粉
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如果p=2,则与a(p^e)=1相乘,如果p>2,则与p^e相乘-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
a(n)=Sum_{d除以n,并且d是奇数}phi(d)-弗拉德塔·乔沃维奇2002年12月4日
通用公式:-x/(1-x)+和{k>=0}(2*x^(2^k)/-拉尔夫·斯蒂芬2003年9月5日
(a(k),a(2k),b(3k),…)=a(k)*(a(1)、a(2)、a一般来说,a(n*m)=a(n)*a(m).-乔什·洛克(jlocker(AT)mail.rochester.edu),2005年10月4日
Dirichlet g.f.:zeta(s-1)*(2^s-2)/(2^s-1)-拉尔夫·斯蒂芬2007年6月18日
a(n)=n/gcd(2^n,n)。(这也表明实际偏移为0,a(0)=0。)-彼得·卢什尼2009年11月14日
对于Z中的所有n,a(-n)=-a(n)-迈克尔·索莫斯2011年9月19日
a((2*n-1)*2^p)=2*n-1,p>=0,n>=1-约翰内斯·梅耶尔2013年2月5日
G.f.:G(0)/(1-2*x^2+x^4)-1/(1-x),其中G(k)=1+1/(1-x^(2^k)*(1-2**^(k+1))+x^/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月6日
素数p>2的a(2)=1和a(p)=p的完全乘法,即序列b(n)=a(n)*A008683号(n) 对于n>0,是a(n)的Dirichlet逆-沃纳·舒尔特2018年7月8日
O.g.f.:f(x)-f(x^2)-f(x^4)-f(x^8)-。。。,其中F(x)=x/(1-x)^2是正整数的生成函数。
倒数的O.g.f.:和{n>=1}x^n/a(n)=L(x)+(1/2)*L(x^2)+(1/2)*L。。。,其中L(x)=对数(1/(1-x))。
求和{n>=1}x^n/a(n)=1/2*log(G(x)),其中G(x)=1+2*x+4*x^2+6*x^3+10*x^4+。。。是的o.g.fA000123号.(结束)
a(n)=和{d除以n}(-1)^(d+1)*phi(2*n/d)-彼得·巴拉2024年1月14日
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例子
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G.f.=x+x ^2+3*x ^3+x ^4+5*x ^5+3*x^6+7*x ^7+x ^8+9*x ^9+5*x^10+11*x ^11+。。。
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MAPLE公司
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A000265号:=程序(n)局部t1,d;t1:=1;对于从1乘2到n的d,如果n mod d=0,则t1:=d;fi;od;t1;结束:seq(A000265号(n) ,n=1..77);
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数学
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a[n_Integer/;n>0]:=n/2^整数指数[n,2];阵列[a,77](*Josh Locker*)
a[n_]:=如果[n==0,0,n/2^整数指数[n,2];(*迈克尔·索莫斯2014年12月17日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a000265=直到奇数(`div`2)
(方案)(定义(A000265号n) (let loop(n n))(如果(奇数?n)n(loop(/n 2)));;安蒂·卡图恩2017年4月15日
(Python)
来自未来进口部
当不是n%2时:
n//=2
(Java)
而(n%2==0)n>>=1;
返回n;
}
(朱莉娅)
使用整数序列
[1:77中n的奇数部分(n)]|>打印ln#彼得·卢什尼2021年9月25日
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交叉参考
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关键词
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多重,非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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更多来自Larry Reeves(larryr(AT)acm.org)的条款,2000年3月14日
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状态
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经核准的
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