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(帕里)T（n，k）={和（i=0，k，（-1）^i*二项式（4*n+1，i）*二项法（k+4-i，4）^n）}\\安德鲁·霍罗伊德2020年5月8日

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阿洛伊斯·海因茨：是的，谢谢。

通常，定义b（k，e，p）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（e*p+1，i）*二项法（k+e-i，e）^p，64，n）。

安德鲁·霍罗伊德：按A237252进行编辑。

例如：

总和{i=1..n}}C（3+i，4）^3=C（n+4,13）+112*C（n+5,13）+1828*C（n+6,13）+8464*C。

系数不规则的 三角形 阅读 通过 排:b条吨(k个,4n个,第页k个)=总和{i=0..k-4}（-1）^i*C类*二项式(4*第页n个+1，i)*C类) *二项式（k）+4-i、 4）^第页n个,哪里 0<=k个=<=4+我.*(n个-1).

使用 这些 系数 我们 可以 获得 公式 对于 这个在 总和一般的,定义 b条(k个,e（电子）,第页) =总和{i=10..n个}C类k个} (-1)^我*二项式(e（电子）*第页+1,我)*二项式(3k个+e（电子）-我，4e（电子）)^第页 和.然后 C类吨（n）,k个) =b条(k个,6,4)^第页.n个).

让我们定义：

使用这些系数，我们可以得到二项式（n，e）^p和Sum_{i=1..n}二项式（e-1+i，e）^p的公式。

特别地：

二项式（n，e）^p=和{k=0..e*（p-1）}b（k，e，p）*二项式。

b条(k个,4,第页) = 总和{i=01..k个-4n个}C类二项式(4*第页+e（电子）-1,+我)*C类(,e（电子）)^第页=总和_{k个=0..e（电子）*(第页-我1)}b条(k个,e（电子）,4)^第页,哪里 ) *二项式(n个+e（电子）+k个=,e（电子）*第页+我.1).

例如：

b条吨(4n个,k个)是 这个 数 属于 排列 属于 4,第页) = 无法区分的 副本 属于 1;..n个 具有 确切地 k个 下降.A类 下降 是 一 一对 属于 相邻的 元素 具有 这个 第二 要素 较少的 比 这个 第一_安得烈 豪罗伊德_,五月 08 2020

b（5,4，p）=5^p-（4*p+1）；

b（6,4，p）=15^p-（4*p+1）*5^p+C（4*p+1,2）；

b（7.4，p）=35^p-（4*p+1）*15^p+C（4*p+1,2）*5^p-C（4*1,3）；

b（8.4，p）=70^p-（4*p+1）*35^p+C（4*p+1,2）*15^p-C（4*1,3）*5^p+C（4*p+1,4）。

通常如果b（k，e，p）=和{i=0..k-e}（-1）^i C（e*p+1，i）*C（k-i，e）^p，其中k=e+i。

和{i=1..n}C（e-1+i，e）^p=和{i=0..e*（p-1）}b（e+i，e，p）*C（n+1+i，e*p+1），和：

C（n，e）^p=和{i=0..e*（p-1）}b（e+i，e，p）*C（n+i，e*p）。

和{i=1..n}C类二项式（3+i，4）^p=总和_{我{k个=0..4**(第页-4}b条1)}吨(4+我,4,第页)*C类,k个) *二项式（n+4+我,k个,4*p+1),和).

C类二项式（n，4）^p=总和_{我k个=0..4**(第页-4}b条1)}吨(4+我,4,第页)*C类,k个) *二项式（n）+我,k个,4*p）。

求和{i=1..n}C（3+i，4）^3=C（n+4,13）+112*C（n+5,13）+1828*C（n+6,13）+8464*C（n+7,13）+38440*C（n+8,13）+8464*C。

C（n，4）^3=C（n、12）+112*C（n+1,12）+1828*C（n+2.12）+8464*C（n+3.12）+13840*C。

系数对于 三角形例子:

T（n，0）=1；

T（n，1）=5^n-（4*n+1）；

T（n，2）=15^n-（4*n+1）*5^n+C（4*n+1,2）；

T（n，3）=35^n-（4*n+1）*15^n+C（4*n+1,2）*5^n-C（4*n+1,3）；

T（n，4）=70^n-（4*n+1）*35^n+C。

三角形T（n，k）开始于：

...

例子：

求和{i=1..n}C（3+i，4）^3=C（n+4,13）+112*C（n+5,13）+1828*C（n+6,13）+8464*C（n+7,13）+38440*C（n+8,13）+8464*C。

C（n，4）^3=C（n，12）+112*C（n+1,12）+1828*C（n+2.12）+8464*C（n+3.12）+13840*C（n+4.12）+8464*C（n+5.12）+1828*C（n+6.12）+112*C（n+7.12）+C（n+8.12）。

T（n，k）={和（i=0，k，（-1）^i*二项式（4*n+1，i）*二项法（k+4-i，4）^n）}\\安德鲁·霍罗伊德2020年5月8日

列k=2..8为A151640号,A151641号,A151642美元,A151643号,A151644号,A151645号,A151646号.

行总和为A014608号.

e=1..6的类似三角形：173018年（或A008292号),A154283号,A174266号，这个序列，A237202型,A237252型.

p=2..3的和{i=1..n}二项式（3+i，4）^p给出：A086023号,A086024号.

参见。A087127美元,A086023号,A086024号,A086025号,A087107号,A087108年,A087109年,A087110号,A087111号,A154283号,A174266号,A181544号.

编辑人安德鲁·霍罗伊德2020年5月8日

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