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#49通过迈克尔·德弗利格2024年4月20日星期六23:50:34 EDT |
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#48通过乔恩·肖恩菲尔德2024年4月20日星期六22:33:17 EDT |
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#47通过乔恩·肖恩菲尔德2024年4月20日星期六22:33:08 EDT |
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矩阵数量M=[= [a、 b；c、 d]带0<=<=a、 b、c、d<<n使得M*转置（M)==[) == [1,0;0,1]（型号n）。
O（2，Z_n）中的元素的形式为[x，y；-ty，tx]，其中x^2+y^2==1（mod n），t^2==1（mod n）。证明：如果n=Product_{i=1..k}（p_i）^（e_i），则可以通过以下方式显示 这个证明O（2，Z_n）与Product_{i=1..k}O（2、Z_（p_i）^（e_i））同构的中国剩余定理，因此我们可以只研究O（2；Z_p^e）中的元素。
设M=[x，y；z，w]是这样的矩阵,;根据条件，我们有x^2+y^2==z^2+w^2==1（模p^e），x*z+y*w==0（模p*e）。这里x，y中至少有一个与p^e互素，否则x^2+y^2不能与1模p^e同余。如果gcd（x，p^e）=1，则设t=x^（-1）*w；如果gcd（y，p^e）=1，设t=-y^（-1）*z（如果gcd。特别地，SO（2，Z_n）中的元素的形式为[x，y；-y，x]，因为行列式被限制为1模n。参见A060968型.
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a（22）以外的术语通过从 乔格·阿恩特2012年4月13日
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#46通过乔恩·肖恩菲尔德2024年4月20日星期六22:28:23 EDT |
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| 评论
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如果n是奇数，O（2，Z_n）的秩（即生成元的最小数目）是2*omega（n）；如果n是偶数但不能被4整除，则是2*omega（n）-1；如果n可以被4整掉但不能被8整除，那么是2*Ω（n）+1是如果n可以被8整除，ω=A001221号.
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| 状态
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经核准的
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#45通过彼得·卢什尼美国东部时间2020年10月15日星期四13:02:52 |
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#44通过宋嘉宁2020年10月9日星期五09:09:38 EDT |
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#43通过宋嘉宁2020年10月9日星期五美国东部夏令时09:08:05 |
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| 评论
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O（2，Z_n）中的元素的形式为[x，y；-ty，tx]，其中x^2+y^2==1（mod n），t^2==1（mod n）。证明：如果n=Product_{i=1..k}（p_i）^（e_i），则可以用中国剩余定理证明O（2，Z_n）同构于Product_{i=1..k}O（2-_i） ），所以我们可以只研究O（2，Z_p^e）中的元素。
一般来说，设R是任何具有单位的交换环，O（m，R）是m×m矩阵m over R的群，使得m*m^T=E类我和SO（m，R）是m X m矩阵m over R的群，使得m*m^T=E类我并且det（M）=1，则O（M，R）/SO（M、R）同构于R*}中的{单位根，其中R*是R的乘法群。这是因为如果我们定义f（M）=det。这里，O（2，Z_n）是SO（2，Z_n）和{[a，0；0,1]的内半积：a^2=1}。因此：
如果p是奇素数或p^e=4，则O（2，Z_p^e）是SO（2，Z_p^e）和{E类我，P}，其中E类我=[1,0；0,1]，P=[-1,0；0.1]。对于SO（2，Z_p^e）中的任意M，我们有p*M*p=M^（-1）。对于奇数素数p，O（2，Z_p^e）实际上同构于二面体群D_（2*（p+1）*p^（e-1）），如果p==3（mod 4），如果p==1（mod4），则D_（2*（p-1）*p~（e-1A060968型O（2，Z_4）与D_8XC_2同构。
如果e>=3，则O（2，Z_2^e）是SO（2，Z_2^e{E类我、P、Q、，性能确认P（P）*问}，其中E类我=[1,0；0,1]，P=[-1,0；0,1]和Q=[2^（e-1）+1,0；0,1]。对于SO（2，Z_2^e）中的任意M，我们有P*M*P=M^（-1）；Q*M*Q=M，如果M的右上方条目是偶数，则为（2^（e-1）+1）*M。
O（2，Z_n）的指数（即，最小e>0，使得M^e=E类我对于O（2，Z_n）中的每一个MA235863型（n） ●●●●。
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#42通过宋嘉宁2020年10月9日星期五09:00:56 EDT |
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一般来说，设R是任何具有单位的交换环，O（m，R）是mXm矩阵的群A类M（M）超过R，以便A类M（M）*A类M（M）^T=E和SO（m，R）是m X m矩阵的组A类M（M）超过R，以便A类M（M）*A类M（M）^T=E和det(A类M（M）)=1，则O（m，R）/SO。这里，O（2，Z_n）是SO（2，Z_n）和{[a，0；0,1]的内半积：a^2=1}。因此：
如果p是奇素数或p^e=4，那么O（2，Z_p^e）是SO（2，Z_p^e{我E类，P}，其中我E类=[1,0；0,1]和P=[-1,0；0,1]。对于SO（2，Z_p^e）中的任意M，我们有p*M*p=M^（-1）。对于奇数素数p，O（2，Z_p^e）实际上同构于二面体群D_（2*（p+1）*p^（e-1）），如果p==3（mod 4），如果p==1（mod4），则D_（2*（p-1）*p~（e-1A060968型O（2，Z_4）与D_8XC_2同构。
如果e>=3，则O（2，Z_2^e）是SO（2，Z_2^e{我E类，P，Q，PQ}，其中我E类=[1,0；0,1]，P=[-1,0；0.1]，Q=[2^（e-1）+1,0；01]。对于SO（2，Z_2^e）中的任意M，我们有P*M*P=M^（-1）；如果M的右上角条目为偶数，则Q*M*Q=M，否则为（2^（e-1）+1）*M。
O（2，Z_n）的指数（即，最小e>0，这样x个M（M）^e=e，每x个M（M）in O（2，Z_n））由下式给出A235863型（n） ●●●●。
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| 公式
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与a（2）相乘=12当e>=3时，a（4）=16，a（2^e）=2^（e+3）；a（p^e）=2*（p-1）*p^（e-1）如果p==1（mod 4），2*（p+1）*p*（e-1。
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| 状态
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#41通过宋嘉宁2020年10月9日星期五08:38:29 EDT |
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#40通过宋嘉宁2020年10月9日星期五08:37:56 EDT |
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如果p是奇素数或p^e=4，则O（2，Z_p^e）是SO（2，Z_p^e）和{I，p}的内半积，其中I=[1,0；0,1]和p=[-1,0；0,1]。对于SO（2，Z_p^e）中的任意M，我们有p*M*p=M^（-1）。对于奇数素数p，O（2，Z_p^e）实际上同构于二面体群D_（2*（p+1）*p^（e-1）），如果p==3（mod 4），如果p==1（mod4），则D_（2*（p-1）*p~（e-1A060698型A060968型O（2，Z_4）与D_8XC_2同构。
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