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(问候来自整数序列在线百科全书!)

A003558号修订版#215


A003558号 最小数m>0,使2^m==+-1(mod 2n+1)。 59
1,1,2,3,3,5,6,4,4,9,6,11,10,9,14,5,5,12,18,12,10,7,12,23,21,8,26,20,9,29,30,6,6,33,22,35,9,20,30,39,27,41,8,28,11,12,10,36,24,15,50,51,12,53,18,36,14,44,12,24,55,20,50,7,65,18,36,34,69,46 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

评论

2的乘法子目(mod 2n+1)(或sord(2,2n+1))。

这被称为2模b的准序,b=2*n+1,n>=1,在Hilton/Pederson的参考文献中。

有关计算的复杂性,请参见A002326号.

另外,一副n张牌的所谓“牛奶洗牌”的顺序,它将牌(1,2,…,n)映射到(1,n,2,n-1,3,n-2,…),见Lévy的论文。-杰弗里·沙利特2019年6月9日

在基-n卡普雷卡映射的迭代下,即使n>2(A165012号,A165051号,A165090,A151949号在基4,6,8,10)中,几乎所有的循环的长度都是a(n/2-1);在附加约束下证明了循环至少包含一个满足“位数(n-1)-位数0=o(总位数)”的元素。-约瑟夫·迈尔斯2009年9月5日

加里·W·亚当森2011年9月20日:(开始)

a(n)可以通过使用x^2-2,种子2*cos(2*Pi/n)的迭代循环长度来确定;如A065941号2011年9月6日评论。logistic方程4x*(1-x)的迭代映射同样是混沌的,具有相同的周期长度,但以sin^2 2*Pi/N,N=2n+1启动轨迹[Kappraff&Adamson,2004]。将牛顿方法应用于i=sqrt(-1)[Strang,also Kappraff and Adamson,2003],可以得到周期长度相同的混沌项,从而得到cot(2*Pi/N)轨迹的态射:(x^2-1)/2x。(完)

加里·W·亚当森2019年9月11日:(开始)

利用x^2-2和种子2*cos(Pi/7),我们得到了周期三轨道1.8019377…->1.24697…->-.44541。。。对于奇素数N,轨迹项表示规则星2N个边的对角线长度,其中边是最短的值(在本例中为0.445…)(参见“多边形和混沌”,第9页图4)。我们可以用最小值除以这些长度,得到14个边的3条对角线:(1,2.801937…,4.048917…)。用奇数(1,3,5)标记按大小排列的项,我们发现对角线长度与对角线公式(sin(j*Pi)/14)/(sin(Pi/14))一致,j=(1,3,5)。(结束)

第n行有符号根A054142号多项式对于运算(-2,x^2)是混沌的,周期长度为a(n)。例如:从一个根开始到x^3-5x^2+6x-1=0;(2+2*cos(2*Pi/N)=3.24697…);我们得到了轨迹(3.24697…->1.55495…->.198062…);循环长度为3的多项式的根与a(3)=3匹配。-加里·W·亚当森2011年9月21日

还有一个(n-1)=card{cos((2^k)*Pi/(2*n-1)):n}中的k表示n>=1(参见A216066号一个基本相同的序列)。-罗马维图拉2012年9月1日

朱哈尼·海诺2015年10月26日:(开始)

从数字1和n开始一个序列。对于下一个数字,将之前的数字向后添加,直到总和为偶数。那么新的数字是sum/2。我猜想序列返回到1,n,a(n)是循环长度。

例如:1,7,4,2,1,7,。。。所以a(7)=4。

1,6,3,5,4,2,1,6,。。。所以a(6)=6。(结束)

朱哈尼·海诺2015年11月6日:(开始)

上述猜想的证明:设n=-1/2;因此2n+1=0,所以操作是mod(2n+1)。当成员是偶数时,它被2除。当它是奇数时,乘以n,所以有效地除以-2。从新成员m是1<=m<=n的意义上来说,这都是定义良好的。现在看看从一个奇数成员m开始会发生什么。下一个成员是-m/2。只要有偶数个成员,除以2得到奇数-m/(2^k)。现在加上所有以m开头的成员。总和是m/(2^k)。它除以2,所以下一个成员是m/(2^(k+1))。这与定义中的(-m/(2^k))/(-2)相同。

所以实际上从1开始,总是除以2,虽然符号有时会改变。最终再次到达1。链可以向后移动,然后2^(循环长度)==+-1(mod 2n+1)。

最后,我们处理一个(0):序列1,0以0继续,并且从不返回到1。所以让我们声明周期长度0表示不可用。(结束)

加里·W·亚当森2019年8月20日:(开始)

序列中的项可以通过应用加倍序列mod(2n+1)来获得,然后计算项的个数直到下一个项==+1(mod 2n+1),例如:给定25,轨迹为(1,2,4,8,16,7,14,3,6,12)。

周期结束,因为下一项是24==-1(mod 25),周期为10。(结束)

加里·W·亚当森2019年9月4日:(开始)

Kappraff和Adamson在“多边形与混沌”第13页第7节“混沌与数字”中的猜想:给定N=2n+1的循环长度,对于1/N的展开,同样的循环长度存在于4,9,16,25,…,m^2。

示例:7的循环长度为3,同样,底座4中的1/7的循环长度为:021021021。。。。在基数9中,1/7的展开是.125125125。。。检查:前几个项是1/9+2/81+5/729=104/279=.1426611。。。(接近1/7=.142857)。(结束)

加里·W·亚当森2019年9月24日:(开始)

在1/2规则中,当基=1/2中的基除以1/2时。当循环中的所有项都相同时,恒等式在(某些基)=.a,a,a。。。。以1/N的“a”最小值为例,在基(N-1)^2=.a,a,a,。。。对于N个奇数:

1/3在基数4=.1,1,1,。。。

1/5在基数16=.3,3,3,。。。

1/7英寸底座36=.5,5,5,。。。

1/9在64进制中=.7,7,7,。。。

1/11英寸底座100=.9,9,9,。。。(检查:前三个学期是9/100+

9/(100^2)+9/(100^3)=.090909其中1/11=.090909。(结束)

对于N=2n+1,相应的条目等于N的多项式次数(Lang,表2,第46页)。如图所示,x^3-3x-1是N=9的最小多项式,根(1.87938…,-1.53208…,0.347296…);使用x^2-2匹配2*cos(Pi/9)轨迹的(abs)值。因此,a(4)=3。如果N是素数,则表2中所示的多项式与中相同N的多项式相同A065941号. 如果不同,表2中所示的最小多项式是A065941号. -加里·W·亚当森2019年10月1日

2*cos(Pi/N)轨迹中的项(根到A187360型和(Lang)),通过使用运算L(m)2*cos(x)-->2*cos(m*x)从倍增轨道(mod N)快速得到,其中L(2),二次Lucas多项式(A034807型)是x^2-2。与七边形有关,使用种子2*cos(Pi/7),我们得到了周期为3的周期为1.8019…,1.24697…,和.445041。这些根可以被映射到所有的CIS上。给定统一根(极1角(k*2*Pi/N),k=1,2,…(N-1)/2),通过添加1A(0)或(a+b*I)=(1+0i)将左(L)圆上的这些点映射到(R)圆上。但是这个运算和向量加法是一样的,其中合成向量是1+1A(k*(2*Pi/N))。示例:给定左圆上2*Pi/7处的半径,则映射到右圆上的(1+1A(2*Pi/7));或1A(2*Pi/7)-->(1.8019377…A(Pi/7)。类似地,1+1A((2)*2*Pi/7))映射到(1.24697…A(2*Pi/7);而1+1A(3*2*Pi/7)映射到(.445041…A(3*Pi/7)。-加里·W·亚当森2019年10月23日

2^(a(n))==A332433(n) (mod(2*n+1)),和(2^(a(n))-A332433(n) )/(2*n+1)=A329593型(n) ,对于n>=0。-狼牙2020年4月9日

参考文献

《数学挂毯:展示数学的美丽统一》,剑桥大学出版社,2010年,第261-264页。

卡尔·希克,《三角学与Unterhaltsome Zahlentheorie》,博科斯·德鲁克,祖里希出版社,2003年(ISBN 3-9522917-0-6)。

链接

T、 D.不,n=0..1000时的n,a(n)表

R、 Bekes,J.Pedersen,B.Shao,疯狂茶党循环分区,科罗拉多州。数学。J、 43(1)(2012)25-36,Jstor公司.

丹尼尔·加布里奇,杰弗里·沙利特,边框、回文前缀和方形前缀,arXiv:1906.03689[cs.DM],2019年。

P、 希尔顿,J.佩德森,关于因式分解2^k+-1,数学。教育。5(1)(1994)29-31。

杰伊·卡普拉夫和加里·W·亚当森,余切函数与狭义相对论、银均值、p-圈和混沌理论的关系;FORMA,第18卷,第3期,第249-262页(2003年)。

杰伊·卡普拉夫和加里·W·亚当森,多边形与混沌《动力系统与几何理论杂志》,第2卷(2004年),第65页。

沃尔夫迪特·朗,正则N-边域Q(2Cos-Pi/N)及其Galois群和长度比,arXiv:1210.1018v2[math.GR]。

保罗·莱维,置换类,综合数学。8(1951年),第1-48页。

H、 J.史密斯,超精密整数计算器。[断链?]

吉尔伯特·斯特朗,混乱地寻找我,大学数学学报22,3-12,(1991)【JSTOR】

埃里克·韦斯坦的数学世界,乘法序.

埃里克·韦斯坦的数学世界,子序函数

S、 沃尔夫拉姆,细胞自动机的代数性质(1984),附录B。

公式

a(n)=对数2(A160657号(n) +2)-1。-纳撒尼尔·约翰斯顿2009年5月22日

a(n)<=n-查尔斯R格雷特豪斯四世,2012年9月15日[n>=1]

a(n)=min{k>0 | q_k=q_0},其中q_0=1且q_k=| 2*n+1-2*q{k-1}|(参见[Schick,第4页];q_k=1,n=1;q_k=A010684号(k) 对于n=2;q=邮编:A130794(k) 对于n=3;q=|A154870号(k-1)| n=4;q|k=|A135449号(k) | n=5)-乔纳森·斯科韦拉2013年6月29日

例子

a(3)=3,因为f(x)=x^2-2的周期为3,使用种子2*cos(2*Pi/7),其中7=2*3+1。

a(15)=5,因为logistic方程4x*(1-x)的迭代映射有一个周期5,使用种子sin^2(2*Pi)/N;N=31=2*15+1。

枫木

A003558号:=过程(n)

局部m,mo;

如果n=0,则

返回0;

结束if;

从1开始

mo:=modp(2^m,2*n+1);

如果mo在{1,2*n}中,则

返回m;

结束if;

结束do:

结束过程:

顺序(A003558号(n) ,n=0..20)#R、 J.马萨2014年12月1日

f: =proc(n)局部t;

t:=数值:—mlog(-1,2,n);

如果t=失败,则数量:顺序(2,n)否则t fi

结束过程:

0,顺序(f(2*k+1),k=1..1000)#罗伯特·以色列2015年10月26日

数学

子序[a,n_u]:=如果[n>1&&GCD[a,n]==1,Min[multiplicationorder[a,n,{-1,1}]],0];

联接[{1},表[子顺序[2,2n+1],{n,100}]](*T、 D.不,2006年8月2日*)

黄体脂酮素

(PARI)a(n)={m=1;而(m,if((2^m)%(2*n+1)==1 | |(2^m)%(2*n+1)==2*n,返回(m));m++)}\\阿尔图阿尔坎2015年11月6日

交叉引用

囊性纤维变性。A054142号,A065941号,A085478号,A160657号,邮编:A179480,A135303号(车厢编号),甲16371(一个教练的奇数素数),A000215型(费马数)。

A216066号是一个基本相同的序列,除了偏移量。

囊性纤维变性。A329593型,A332433(标志)。

上下文顺序:A023160型 A085312 A046530*A216066号 A234094 A301853型

相邻序列:A003555号 A003556号 A003557号*A003559号 A003560 A003561号

关键字

作者

N、 斯隆

扩展

更多条款哈里J.史密斯2005年2月11日

条目修订人N、 斯隆,2006年8月2日和2017年12月10日

Mma修订人文琴佐·利班迪2020年4月11日

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