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A105236号 a(n+5)=(a(n+4)*a(n+1)+2*a(n+3)*a(n+2))/a(n)。
(历史;已发布版本)
第25版批准人俄罗斯考克斯2022年11月27日星期日12:10:20 EST
名称

a(n+5)=(a(n+4)*a(n+1)+2*a(n+3)*a(n+2))/a(n)。

数据

1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 11, 41, 233, 689, 5337, 49081, 458299, 3603685, 93208147, 1476087601, 27470407569, 816413467841, 43620306030449, 1172020019840081, 70063780891581107, 5804382690927311525, 511286588817798535899

抵消

0,6

评论

这是Somos 5型双线性递推,因此a(n)项与椭圆曲线E上的点P_n=P_0+n*P序列相关。在这种情况下,曲线E具有积分j变异j=10976。

链接

Seiichi Manyama,<a href=“/A105236号/b105236.txt“>n表,n=0..147时为a(n)</a>

A.N.W.Hone,<A href=“https://arxiv.org/abs/math/0501554“>Somos 5序列初值问题的Sigma函数解,arXiv:math/0501554[math.NT],2005-2006。

A.N.W.Hone,<A href=“https://arxiv.org/abs/math/0501162“>超椭圆sigma函数的双线性递推和加法公式</a>,arXiv:math/0501162[math.NT],2005。

A.N.W.Hone,<A href=“https://doi.org/10.112/S0024609304004163“>椭圆曲线和二次递归序列,Bull.Lond.Math.Soc.37(2005)161-171。

A.J.van der Poorten,<A href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Poorten/vdp40.html“>椭圆曲线和连分式,《国际数列杂志》,第8卷,第2期(2005年),第05.2.5条。

数学

递归表[{a[0]==a[1]==a[2]==a[3]==a[4]==1,a[n]==(2a[-3+n]a[-2+n]+a[-4+n]a[-1+n])/a[-5+n]},a,{n,30}](*哈维·P·戴尔2013年9月15日*)

黄体脂酮素

(岩浆)[n le 5选择1 else(自我(n-1)*自我(n-4)+2*自我(n-2)*自身(n-3))/自我(n-5):[1..41]]中的n//G.C.格鲁贝尔2022年11月26日

(SageMath)

@缓存函数

定义a(n):#a=A105236号

如果(n<5):返回1

else:返回(a(n-1)*a(n-4)+2*a(n-2)*a(n-3))/a(n-5)

[范围(41)中n的a(n)]#G.C.格鲁贝尔2022年11月26日

交叉参考

囊性纤维变性。A006720型,A006721号.

关键词

非n,改变

作者

Andrew N.W.Hone(anwh(AT)kent.ac.uk),2005年4月14日

状态

经核准的

讨论
11月27日周日 12:10
俄罗斯考克斯:固定SagePath间距。
A000891号 a(n)=(2*n)*(2*n+1)!/(n!*(n+1)!)^2
(历史;已发布版本)
修订号130批准人俄罗斯考克斯2022年11月27日星期日12:05:18 EST
名称

a(n)=(2*n)*(2*n+1)!/(n!*(n+1)!)^2

数据

1, 3, 20, 175, 1764, 19404, 226512, 2760615, 34763300, 449141836, 5924217936, 79483257308, 1081724803600, 14901311070000, 207426250094400, 2913690606794775, 41255439318353700, 588272005095043500

抵消

0,2

评论

具有n+1列和n+1行的平行四边形多边形的数量-Emeric Deutsch公司2003年5月21日

<n,2,n>六边形的平铺数。

a(n)是[2n+1]到n+1块的非交叉分区数。例如,a[1]表示13-2、1-23、12-3-大卫·卡伦2005年7月25日

自a(n)=Sum_{k=0..2n}二项式(2n,k)以来,在正方形格的上半部分上长度为2n的返回游动的次数*A126120号(k)*A126869号(n-k)-安德鲁·萨瑟兰2008年3月24日

有关从原点开始到晶格点(0,m)结束的上半平面中行走的序列计数,请参见A145600个(m=1),A145601号(m=2),A145602号(m=3)和A145603号(m=4)-彼得·巴拉2008年10月14日

两条n链的正确合并数-亨利·穆勒2012年8月17日

a(n)是使用(1,0)和(0,1)作为步长从(0,0)到(n+1,n+1)的非交叉晶格路径对的数目。这里,非交叉意味着除了原点和终点之外,两条路径不共享一个顶点。例如,a(1)=3,因为我们有三个从(0,0)到(2,2)的这样的对:{NNEE,EENN},{NNEE、ENEN}、{NENE、EENN}-冉·潘2015年10月1日

此外,具有2(n+1)个节点和n+1个叶子的有序根树的数量,即一半的节点是叶子。这些树按A358579型。无序版本为A185650个. -古斯·怀斯曼2022年11月27日

参考文献

J.M.Borwein和P.B.Borwein.,《Pi和AGM》,威利出版社,1987年,第8页。

E.R.Hansen,《系列和产品表》,Prentice-Hall,恩格尔伍德悬崖,新泽西州,1975年,第94页。

链接

文森佐·利班迪(Vincenzo Librandi),<a href=“/A000891号/b000891.txt“>n表,n=0..100时为a(n)</a>

Abderrahim Arabi、Hacène Belbachir和Jean-Philippe Dubernard,<a href=“https://arxiv.org/abs/2105.00971“>平行四边形多立方体的枚举,arXiv:2105.00971[cs.DM],2021。

E.Barcucci、A.Frosini和S.Rinaldi,<A href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2005.01.006“>关于矩形中的直接凸多边形,《离散数学》,298(2005).62-78。

Paul Barry,<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Barry/barry91.html“>关于广义Pascal三角的基于整数序列的构造,J.Integer Seque.,Vol.9(2006),Article 06.2.4。

P.Barry,<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Barry4/barry142.html“>关于Narayana三角的推广,J.Int.Seq.14(2011)#11.4.5

W.Y.C.Chen、S.X.M.Pang、E.X.Y.Qu和R.P Stanley,<a href=“http://arxiv.org/abs/0804.2930“>非交叉自由堤坝路径和非交叉分区对,arXiv:0804.2930[math.CO],2008。

W.Y.C.Chen、S.X.M.Pang、E.X.Y.Qu和R.P Stanley,<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2008.06.042“>非交叉自由Dyck路和非交叉分区对,《离散数学》,309(2009),2834-2838。

I.Marin和E.Wagner,<a href=“http://arxiv.org/abs/203.5981“>Links-Gould多项式的三次定义代数发件人N.J.A.斯隆2012年9月21日

H.Mühle,<a href=“http://arxiv.org/abs/1206.3922“>计算链和反链的正确合并,arXiv:1206.3922[math.CO],2012。

G.Xin,<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.aam.2007.04.007“>与有界高度表有关的行列式,《高级应用数学》45(2010)197-211。

配方奶粉

-4*a(n)=A010370型(n+1)。

G.f.:(1-E(16*x)/(Pi/2))/(4*x),其中E()是第二类椭圆积分。[编辑:奥利维尔·杰拉德2011年2月16日]

通用公式:3F2(1,1/2,3/2;2,2;16*x)=(1-2F1(-1/2,1/2;1;16*x))/(4*x)-奥利维尔·杰拉德2011年2月16日

例如:求和{n>=0}a(n)*x^(2*n)/(2*n)!=贝塞尔I(0,2*x)*BesselI(1,2*x)/x-迈克尔·索莫斯2005年6月22日

a(n)=A001700号(n)*A000108号(n) =(1/2)*A000984号(n+1)*A000108号(n) ●●●●-零入侵拉霍斯2007年6月6日

对于n>0,a(n)=(n+2)*A000356号(n) 启动(1、5、35、294…)-加里·亚当森2011年4月8日

a(n)=A001263号(2*n+1,n+1)=二项式(2*n+1,n+1)*二项式。

G.f.:如果G_N(x)=1+和{k=1..N}(2*k)*(2*k+1)*x^k)/(k!*(k+1)!)^2,G_N(x)=1+12*x/(G(0)-12*x);G(k)=16*x*k^2+32*x*k+k^2+4*k+12*x+4-4*x*(2*k+3)*(2*k+5)x(k+2)^2/G(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月24日

递归D-有限(n+1)^2*a(n)-4*(2*n-1)*(2*n+1)*a(n-1)=0-R.J.马塔尔2012年12月3日

a(n)=A005558号(2n)-马克·范·霍伊2014年8月20日

a(n)=A000894号(n) /(n+1)=A248045型(n+1)/A000142号(n+1)-莱因哈德·祖姆凯勒2014年9月30日

发件人伊利亚·古特科夫斯基2017年2月1日:(开始)

例如:2F2(1/2,3/2;2,2;16*x)。

a(n)~2^(4*n+1)/(Pi*n^2)。(结束)

a(n)=A005408号(n)*(A000108号(n) )^2-伊万·伊纳基耶夫2019年11月13日

a(n)=det(M(n)),其中M(n)是n X n矩阵,M(i,j)=二项式(n+j+1,i+1)-贝诺伊特·克洛伊特2022年10月22日

例子

G.f.=1+3*x+20*x^2+175*x^3+1764*x^4+19404*x^5+。。。

发件人古斯·怀斯曼2022年11月27日:(开始)

a(2)=20个有6个节点和3个叶子的有序根树:

(((o)oo)

(((oo)o)

((ooo))((o)(oo))(o)o(o))

(o(o)o)(o(o)o)

(o(oo))(o(o)(o))

(oo(o))(o(o)o))

(o((oo))

(o(o))

(结束)

MAPLE公司

with(combstruct):bin:={B=并集(Z,Prod(B,B))}:seq(1/2*二项式(2*i,i)*(计数([B,bin,未标记],大小=i)),i=1.18)#零入侵拉霍斯2007年6月6日

数学

a[n_]:=如果[n==-1,0,二项式[2 n+1,n]^2/(2 n+1)];(*迈克尔·索莫斯2014年5月28日*)

a[n_]:=级数系数[(1-超几何2F1[-1/2,1/2,1,16x])/(4x),{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2014年5月28日*)

a[n_]:=如果[n<0,0,(2n)!级数系数[BesselI[0,2x]BesselI[1,2X]/x,{x,0,2n}]];(*迈克尔·索莫斯2014年5月28日*)

a[n_]:=级数系数[(1-椭圆[16x]/(Pi/2))/(4x),{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2016年9月18日*)

a[n_]:=(2 n+1)加泰罗尼亚数字[n]^2;

数组[a,20,0](*彼得·卢什尼2020年3月3日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=二项式(2*n+1,n)^2/(2*n+1)}/*迈克尔·索莫斯2005年6月22日*/

(PARI)a(n)=矩阵(矩阵(n,n,i,j,二项式(n+j+1,i+1))\\雨果·普福尔特纳2022年10月22日

(岩浆)[0..20]]中的[阶乘(2*n)*Factorial(2*n+1)/(阶乘(n)*阶乘(n+1))^2:n//文森佐·利班迪2011年8月15日

(哈斯克尔)

a000891 n=a001263(2*n-1)n--莱因哈德·祖姆凯勒2013年10月10日

交叉参考

囊性纤维变性。A000356号,A010370型,A038535号.

囊性纤维变性。A145600个,A145601号,A145602号,A145603号. -彼得·巴拉2008年10月14日

囊性纤维变性。A000142号,A000894号,A248045型.

等于的一半A267981型.

计算树的排名A358579型.

A001263号按节点和叶对有序根树进行计数。

A090181号按节点和内部对有序根树进行计数。

囊性纤维变性。A000108号,A065097号,A080936号,A185650个,A358371型,A358586型,A358590型.

关键词

非n

作者

N.J.A.斯隆

扩展

更多术语来自安德鲁·萨瑟兰2008年3月24日

状态

经核准的

A275692型 对k进行编号,使k的二进制数字的每次旋转都小于k。
(历史;已发布版本)
第27版批准人俄罗斯考克斯2022年11月26日星期六16:14:47 EST
名称

对k进行编号,使k的二进制数字的每次旋转都小于k。

数据

0, 1, 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 20, 24, 26, 28, 30, 32, 40, 48, 50, 52, 56, 58, 60, 62, 64, 72, 80, 84, 96, 98, 100, 104, 106, 108, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 124, 126, 128, 144, 160, 164, 168, 192, 194, 196, 200, 202, 208, 210, 212, 216, 218, 224, 226, 228

抵消

1,3

评论

0和条款A065609型不在里面的A121016号.

二进制数字为d的术语数量为A001037号(d) ●●●●。

取a(n)的二进制表示,将其反转,每个数字加1。结果是的十进制表示A102659号(n) ●●●●。

发件人古斯·怀斯曼2020年4月19日:(开始)

也对k进行编号,使第k个成分按标准顺序排列(第k行A066099型)是林登语。例如,所有Lyndon单词的顺序都是从以下开始的:

0: () 52: (1,2,3) 118: (1,1,2,1,2)

1: (1) 56: (1,1,4) 120: (1,1,1,4)

2: (2) 58: (1,1,2,2) 122: (1,1,1,2,2)

4: (3) 60: (1,1,1,3) 124: (1,1,1,1,3)

6: (1,2) 62: (1,1,1,1,2) 126: (1,1,1,1,1,2)

8: (4) 64: (7) 128: (8)

12: (1,3) 72: (3,4) 144: (3,5)

14: (1,1,2) 80: (2,5) 160: (2,6)

16: (5) 84: (2,2,3) 164: (2,3,3)

20: (2,3) 96: (1,6) 168: (2,2,4)

24: (1,4) 98: (1,4,2) 192: (1,7)

26: (1,2,2) 100: (1,3,3) 194: (1,5,2)

28: (1,1,3) 104: (1,2,4) 196: (1,4,3)

30: (1,1,1,2) 106: (1,2,2,2) 200: (1,3,4)

32: (6) 108: (1,2,1,3) 202: (1,3,2,2)

40: (2,4) 112: (1,1,5) 208: (1,2,5)

48: (1,5) 114: (1,1,3,2) 210: (1,2,3,2)

50: (1,3,2) 116: (1,1,2,3) 212: (1,2,2,3)

(结束)

链接

Robert Israel,<a href=“/A275692型/b275692.txt“>n表,n=1..9868时为a(n)</a>

例子

6位于序列中,因为它的二进制表示110大于所有旋转011和101。

10不在序列中,因为它的二进制表示1010在旋转2位时不变。

发件人古斯·怀斯曼2019年10月31日:(开始)

术语序列及其二进制展开式和二进制索引开始于:

1: 1 ~ {1}

2: 10 ~ {2}

4: 100 ~ {3}

6: 110 ~ {2,3}

8: 1000 ~ {4}

12: 1100 ~ {3,4}

14: 1110 ~ {2,3,4}

16: 10000 ~ {5}

20: 10100 ~ {3,5}

24: 11000 ~ {4,5}

26: 11010 ~ {2,4,5}

28: 11100 ~ {3,4,5}

30: 11110 ~ {2,3,4,5}

32: 100000 ~ {6}

40: 101000 ~ {4,6}

48: 110000 ~ {5,6}

50: 110010 ~ {2,5,6}

52: 110100 ~ {3,5,6}

56: 111000 ~ {4,5,6}

58: 111010 ~ {2,4,5,6}

(结束)

MAPLE公司

过滤器:=proc(n)局部L,k;

五十: =转换(转换(n,二进制),字符串);

对于从1到长度(L)的k-1 do

如果lexorder(L,StringTools:-Rotate(L,k)),则返回false fi;

od;

真的

结束进程:

选择(过滤器,[0..1000]);

数学

filterQ[n_]:=模块[{bits,rr},bits=整数位数[n,2];rr=NestList[RotateRight,bits,Length[bits]-1]//静止;所有真[rr,起始数字[#,2]<n&]];

选择[Range[0,1000],filterQ](*Jean-François Alcover公司2019年4月29日*)

黄体脂酮素

(Python)

定义正常(n):

b=箱(n)[2:]

返回所有(b[i:]+b[:i]<b,对于范围(1,len(b))中的i)

打印([k代表范围(230)中的k,如果正常(k)])#迈克尔·布拉尼基2022年5月26日

交叉参考

类似的概念是A328596型.

二进制展开为非周期的数字是A328594型.

反向二进制展开为项链的数字是A328595型.

二进制项链是A000031号.

二进制Lyndon单词是A001037号.

林登的作品是A059966号.

二元展开的Lyndon因式分解的长度为A211100型.

二元展开的co-Lyndon因式分解的长度为A329312型.

反向二进制展开的Lyndon因式分解的长度为A329313型.

反向二进制展开的co-Lyndon因式分解的长度为A329326飞机.

囊性纤维变性。A000031号,A000740号,A008965号,A027375号,A102659号,A121016号.

以下所有内容均适用于标准顺序的成分(A066099型):

-长度为A000120号.

-项链是A065609型.

-总和为A070939号.

-旋转对称性的计算方法为A138904号.

-严格的成分是A233564型.

-恒定成分为A272919型.

-林登的作品是A275692型(此序列)。

-Co-Lyndon成分为A326774型.

-旋转周期为A333632型.

-共项链是A333764飞机.

-Co-Lyndon因子分解的计算方法为A333765型.

-Lyndon因子分解的计算方法A333940型.

-反向项链A333943型.

囊性纤维变性。A034691号,A060223号,A124767号,A269134号,A292884型.

关键词

非n

作者

罗伯特·伊斯雷尔2016年8月5日

状态

经核准的

A275692型 对k进行编号,使k的二进制数字的每次旋转都小于k。
(历史;已发布版本)
第25版批准人俄罗斯考克斯2022年11月26日星期六15:57:19 EST
名称

对k进行编号,使k的二进制数字的每次旋转都小于k。

数据

0, 1, 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 20, 24, 26, 28, 30, 32, 40, 48, 50, 52, 56, 58, 60, 62, 64, 72, 80, 84, 96, 98, 100, 104, 106, 108, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 124, 126, 128, 144, 160, 164, 168, 192, 194, 196, 200, 202, 208, 210, 212, 216, 218, 224, 226, 228

抵消

1,3

评论

0和条款A065609型不在里面的A121016号.

二进制数字为d的术语数量为A001037号(d) ●●●●。

取a(n)的二进制表示,将其反转,每个数字加1。结果是的十进制表示A102659号(n) ●●●●。

发件人古斯·怀斯曼2020年4月19日:(开始)

也对k进行编号,使第k个成分按标准顺序排列(第k行A066099型)是林登语。例如,所有Lyndon单词的顺序都是从以下开始的:

0: () 52: (1,2,3) 118: (1,1,2,1,2)

1: (1) 56: (1,1,4) 120: (1,1,1,4)

2: (2) 58: (1,1,2,2) 122: (1,1,1,2,2)

4: (3) 60: (1,1,1,3) 124: (1,1,1,1,3)

6: (1,2) 62: (1,1,1,1,2) 126: (1,1,1,1,1,2)

8: (4) 64: (7) 128: (8)

12: (1,3) 72: (3,4) 144: (3,5)

14: (1,1,2) 80: (2,5) 160: (2,6)

16: (5) 84: (2,2,3) 164: (2,3,3)

20: (2,3) 96: (1,6) 168: (2,2,4)

24: (1,4) 98: (1,4,2) 192: (1,7)

26: (1,2,2) 100: (1,3,3) 194: (1,5,2)

28: (1,1,3) 104: (1,2,4) 196: (1,4,3)

30: (1,1,1,2) 106: (1,2,2,2) 200: (1,3,4)

32: (6) 108: (1,2,1,3) 202: (1,3,2,2)

40: (2,4) 112: (1,1,5) 208: (1,2,5)

48: (1,5) 114: (1,1,3,2) 210: (1,2,3,2)

50: (1,3,2) 116: (1,1,2,3) 212: (1,2,2,3)

(结束)

链接

Robert Israel,<a href=“/A275692型/b275692.txt“>n表,n=1..9868时为a(n)</a>

例子

6位于序列中,因为它的二进制表示110大于所有旋转011和101。

10不在序列中,因为它的二进制表示1010在旋转2位时不变。

发件人古斯·怀斯曼2019年10月31日:(开始)

术语序列及其二进制展开式和二进制索引开始于:

1: 1 ~ {1}

2: 10 ~ {2}

4: 100 ~ {3}

6: 110 ~ {2,3}

8: 1000 ~ {4}

12: 1100 ~ {3,4}

14: 1110 ~ {2,3,4}

16: 10000 ~ {5}

20: 10100 ~ {3,5}

24: 11000 ~ {4,5}

26: 11010 ~ {2,4,5}

28: 11100 ~ {3,4,5}

30: 11110 ~ {2,3,4,5}

32: 100000 ~ {6}

40: 101000 ~ {4,6}

48: 110000 ~ {5,6}

50: 110010 ~ {2,5,6}

52: 110100 ~ {3,5,6}

56: 111000 ~ {4,5,6}

58: 111010 ~ {2,4,5,6}

(结束)

MAPLE公司

过滤器:=proc(n)局部L,k;

五十: =转换(转换(n,二进制),字符串);

对于从1到长度(L)的k-1 do

如果lexorder(L,StringTools:-Rotate(L,k)),则返回false fi;

od;

真的

结束进程:

选择(过滤器,[0..1000]);

数学

filterQ[n_]:=模块[{bits,rr},bits=整数位数[n,2];rr=NestList[RotateRight,bits,Length[bits]-1]//静止;所有真[rr,起始数字[#,2]<n&]];

选择[Range[0,1000],filterQ](*Jean-François Alcover公司2019年4月29日*)

黄体脂酮素

(Python)

定义正常(n):

b=箱(n)[2:]

返回所有(b[i:]+b[:i]<b,对于范围(1,len(b))中的i)

打印([k代表范围(230)中的k,如果正常(k)])#迈克尔·布拉尼基2022年5月26日

交叉参考

类似的概念是A328596型.

二进制展开为非周期的数字是A328594型.

反向二进制展开为项链的数字是A328595型.

二进制项链是A000031号.

二进制Lyndon单词是A001037号.

林登的作品是A059966号.

二元展开的Lyndon因式分解的长度为A211100型.

二元展开的co-Lyndon因式分解的长度为A329312型.

反向二进制展开的Lyndon因式分解的长度为A329313型.

反向二进制展开的co-Lyndon因式分解的长度为A329326飞机.

囊性纤维变性。A000031号,A000740号,A008965号,A027375号,A102659号,A121016号.

以下所有内容均适用于标准顺序的成分(A066099型):

-长度为A000120号.

-项链是A065609型.

-总和为A070939号.

-旋转对称性的计算方法为A138904号.

-严格的成分是A233564型.

-恒定成分为A272919型.

-林登的作品是A275692型(此序列)。

-Co-Lyndon成分为A326774型.

-旋转周期为A333632型.

-共项链是A333764飞机.

-Co-Lyndon因子分解的计算方法为A333765型.

-Lyndon因子分解的计算方法A333940型.

-反向项链A333943型.

囊性纤维变性。A034691号,A060223号,A124767号,A269134号,A292884型.

关键词

非n,改变

非n

作者

罗伯特·伊斯雷尔2016年8月5日

状态

经核准的

A353734型 中的术语索引A353730型这是2的幂。
(历史;已发布版本)
第11版批准人俄罗斯考克斯2022年5月19日星期四23:13:30 EDT
名称

中的术语索引A353730型这是2的幂。

数据

1, 2, 4, 9, 19, 79, 159, 319, 1279, 10239,20479,40959,163839,1310719,5242879,10485759

抵消

1,2

评论

2的幂是按2、1、4、8、16……的顺序出现的。。。2的每一次幂最终都会出现在A353730型(在里面 增加的 秩序 除了 对于 这个 最初的 反转),所以序列是无限的。

a(17)>=83886079,自A353730型(20971519)=42002和A353730型(41943039) = 60626. -俄罗斯考克斯2022年5月19日

例子

A353730型(79)=32,所以79是一个术语。

交叉参考

囊性纤维变性。A353730型.

关键词

非n,更多

作者

N.J.A.斯隆2022年5月18日

扩展

a(9)来自柴华武2022年5月18日

a(10)来自柴华武2022年5月19日

a(11)-a(16)来自俄罗斯考克斯2022年5月19日

状态

经核准的

A353730型 a(1)=2;此后,a(n)是尚未使用的最小正数,它与a(n。
(历史;已发布版本)
第38版批准人俄罗斯考克斯2022年5月19日星期四22:21:33 EDT
名称

a(1)=2;此后,a(n)是尚未使用的最小正数,它与a(n。

数据

2, 1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 8, 13, 17, 19, 23, 25, 21, 29, 31, 37, 16, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 55, 79, 27, 49, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 26, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 85, 121, 223

抵消

1,1

评论

类似A247665型,如果条件“最小正数”更改为“最小数>=2”,则获得该值。

如果能证明数字6、10、12、14、15、18、20、22。。。此序列中缺少。似乎缺失的数字是6、10、12、14、15、18、20、22、24、28、30、33、34、35、36、38、39、40、42、44。。。,但由于没有证据表明其中任何一个确实缺失,因此还无法将此序列添加到OEIS中。

[需要更大的b文件]

链接

俄罗斯 考克斯,<a href=“/A353730型/b353730号_2.txt“>n表,n=1时为a(n)。。100000</年>

例子

a(1)=2必须是a(2)的相对素数,因此a(2)=1。

a(2)=1必须是a(3)和a(4)的相对素数,所以我们可以把它们取为3和4。

a(3)=3必须是a(5),a(6)的相对素数,所以我们可以把它们取为5和7。

a(4)=4必须是a(7),a(8)的相对素数,所以我们可以把它们取为9和11。

在第一步之后的每一步,我们必须选择两个新数字,并且我们必须确保它们不仅与a(n)有关,而且与所有已经选择的a(i),i>n有关。

黄体脂酮素

(Python)

从itertools导入计数,islice

从数学导入gcd

从集合导入deque

定义A353730型_gen():#术语生成器

aset,aqueue,c,f={2},deque([2]),1,真

产量2

为True时:

对于计数(c)中的m:

如果m不在aset和all中(对于aqueue中的a,gcd(m,a)==1):

产量m

资产增加(m)

水渠附加(m)

如果f:aqueue.popleft()

f=非f

而c在aset中:

c+=1

打破

A353730型_list=列表(岛屿(A353730型_发电机(),30))#柴华武2022年5月18日至19日

交叉参考

囊性纤维变性。A247665型;A353734型(2的权力)。

关键词

非n

作者

N.J.A.斯隆2022年5月16日

扩展

更多术语来自阿洛伊斯·海因茨2022年5月16日

更多术语来自柴华武2022年5月19日

更多术语来自俄罗斯考克斯2022年5月19日

状态

经核准的

讨论
5月19日星期四 22:21
OEIS服务器:已将新的b文件安装为b353730.txt。旧的b文件现在是b353730_2.txt。
A007318号 按行读取的帕斯卡三角形:C(n,k)=二项式(n,k)=n/(k!*(n-k)!),0<=k<=n。
(历史;已发布版本)
846版批准人俄罗斯考克斯2022年4月16日星期六16:47:01 EDT
身份证件

M0082号

名称

按行读取的帕斯卡三角形:C(n,k)=二项式(n,k)=n/(k!*(n-k)!),0<=k<=n。

数据

1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 5, 10, 10, 5, 1, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1, 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1, 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1

抵消

0,5

评论

A.W.F.公司。爱德华兹写道:“它(三角形)早在1654年,也就是布莱斯·帕斯卡(Blaise Pascal)写下三角算术的那一年,这本书就被首次记录下来了,但正是这本书首次将数字的所有不同方面结合在一起。在这本书中,帕斯卡将数字的性质发展成为一个纯粹的数学。。。然后,在一系列附录中,展示了这些性质如何与数字的研究、组合理论、二项式表达式的展开以及概率论中一个重要问题的解决相关。”(A.W.F.Edwards,《帕斯卡的算术三角》,约翰·霍普金斯大学出版社(2002),第xiii页)

爱德华兹(Edwards)报告称,1708年,蒙莫特(Montmort)首先以帕斯卡(Pascal)命名三角形,称之为“帕斯卡组合表”(Table de M.Pascal pour les combinations),1730年,德莫伊夫(de Moivre)将其命名为“三角算术PASCALANIUM”。(爱德华兹,第xiv页)

在中国,杨辉在1261年列出了(a+b)^n到n=6的系数,将这种扩展归功于大约1100年的嘉欣的《世素算书》。另一个突出的早期应用是1303年朱世嘉的《四行宝镜》。(爱德华兹,第51页)

在波斯,Al-Karaji在“1007年后不久的某个时间”发现了二项式三角形,而Al-Samawal在1180年前的某个时候在Al-bahir杂志上发表了它。(爱德华兹,第52页)

在印度,Halayuda对Pingala关于音节组合的论文(约公元前200年)的评论(约900年)清楚地描述了三角形的加法计算。(Amulya Kumar Bag,古印度二项式定理,第72页)

同样在印度,C(n,k)的乘法公式于850年为Mahavira所知,并于1150年由Bhaskara重申。(爱德华兹,第27页)

在意大利,塔塔格里亚(Tartaglia)在他的《将军特拉塔托》(General trattato,1556年)中发表了三角图,而卡达诺(Cardano)则在他的《新作品》(Opus novum,1570年)中出版了三角图。(爱德华兹,第39、44页)-俄罗斯考克斯2022年3月29日

有时也称为Omar Khayyam三角形。

有时也称为杨辉三角形。

C(n,k)=n元集的k元子集的数目。

第n行给出了(1+x)^n展开式中的系数。

二项式(n+k-1,n-1)是将k个无法区分的球放入n个盒子中的方法数(“条形和星形”参数-参见Feller)。

二项式(n-1,k-1)是n与k和的组合数(有序分区)。

二项式(n+k-1,k-1)是n的弱成分(有序弱分区)精确到k个和的数量-尤根·威尔2016年1月23日

二项式(n,k)是使用步骤(1,0)和(1,1)从(0,0)到(n,k)的晶格路径数-乔格·阿恩特2011年7月1日

如果将其视为无限下三角矩阵,则逆矩阵开始:

+1

-1 +1

+1 -2 +1

-1 +3 -3 +1

+1 -4 +6 -4 +1

开始于A006516号(n) 第个条目是奇数-Lekraj Beedassy公司2003年5月20日

二项式(n+k-1,n-1)是形状(n,1^k)的标准表格数-Emeric Deutsch公司2004年5月13日

可以看作是一个数组,由反对偶读取,其中第一行和第一列中的条目都是1,对于所有其他条目,A(i,j)=A(i-1,j)+A(i、j-1)。从(0,0)开始的每个n×n子数组的行列式为1-杰拉尔德·麦卡维2004年8月17日

此外,矩阵指数的下三角读数,其条目{j+1,j}等于j+1(所有其他条目都为零)Joseph Biberstine(jrbibers(AT)indiana.edu),2006年5月26日

二项式(n-3,k-1)计算S_n中图案231零次出现、图案132和k下降一次出现的排列。二项式(n-3,k-1)还计算S_n中模式231零次出现、模式213和k下降一次出现的排列David Hoek(David.hok(AT)telia.com),2007年2月28日

的反转A130595型(作为无限下三角矩阵)-菲利普·德尔汉姆2007年8月21日

考虑整数列表LL的列表L的形式LL=[m#L]=[m#[k#2]](其中“#”表示“时间”),如LL(m=3,k=3)=[2,2,2],[2,2,2],[2,2]]。如果像[1,1]、[2]、[2]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[1]、[2]这样的多个分区只计算一次,LL(m,k)的整数列表分区数等于二项式(m+k,k)。对于这个例子,我们发现4*5*6/3!=20=二项式(6,3)-托马斯·维德2007年10月3日

帕斯卡三角形及其逆三角形的无穷小生成器为A132440号. -汤姆·科普兰2007年11月15日

第n>=2行给出了以n为基数的k位数字(k>0)的个数,数字严格递减;例如,第10行A009995号类似地,第n-1>=2行给出了以n为基数的k位数字(k>1)的个数,数字严格递增;看见A009993号并进行比较A118629号. -里克·L·谢泼德2007年11月25日

来自Lee Naish(Lee(AT)cs.mu.oz.au),2008年3月7日:(开始)

二项式(n+k-1,k)是将长度为k的序列划分为n个子序列的方法数(参见Naish链接)。

二项式(n+k-1,k)也是以至少k为基数写的n个(或更少)数字的数目,其数字总和为k。例如,在十进制中,有二项式的(3+3-1,3)=10个3位数,其数字之和为3(参见A052217号)二项式(4+2-1,2)=10个四位数,其数字之和为2(参见A052216号). 此关系可用于生成序列数A052216号A052224号(以及使用大于10的基数的进一步序列)。(结束)

发件人米兰Janjic2008年5月7日:(开始)

用sigma_k(x_1,x_2,…,x_n)表示初等对称多项式。然后:

二项式(2n+1,2k+1)=σ{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2(i*Pi/(2n+1)),(i=1,2,…,n)。

二项式(2n,2k+1)=2n*sigma{n-1-k}(x_1,x_2,…,x_{n-1}),其中x_i=tan^2(i*Pi/(2n)),(i=1,2,…,n-1)。

二项式(2n,2k)=σ{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2((2i-1)Pi/(4n)),(i=1,2,…,n)。

二项式(2n+1,2k)=(2n+1)σ{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2((2i-1)Pi/(4n+2)),(i=1,2,…,n)。(结束)

给定矩阵R和S,其中R(n,k)=二项式(n,k)*R(n-k)和S(n,k-)=二项式(n、k)*S(n-k。并且,R、s和T的行多项式的例如f.s分别是exp(x*T)*exp[R(.)*x]、exp。请参见A132382号例如-汤姆·科普兰2008年8月21日

当矩形R(m,n)=二项式(m+n-2,m-1)时,权重数组W(通常定义为A144112号)R的本质是R本身,在这个意义上,如果W的第1行和第1列=A144225号则剩余数组为R-克拉克·金伯利2008年9月15日

如果A007318号=M作为无限下三角矩阵,M^n给出A130595型,A023531号,A007318号,A038207号,A027465号,A038231号,A038243号,A038255号,A027466号,A038279号,A038291号,A038303号,A038315号,A038327号,A133371号,A147716号,A027467号n分别为-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆2008年11月11日

多项式的系数,例如f.exp(x*t)*(cosh(t)+sinh(t))-彼得·卢什尼2009年7月9日

三角形或国际象棋的总和,参见A180662号有关它们的定义,请将帕斯卡三角形与20个不同的序列联系起来,请参阅交叉参考。由于这个三角形的对称性,所有的总和都成对出现。骑士总金额Kn14-Kn110已添加。值得注意的是,所有骑士和都与斐波那契数相关,即。,A000045号,但其他都没有-约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日

二项式(n,k)也是将n+1个球分布到k+1个瓮中的方法数,以便每个瓮至少得到一个球。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年1月29日

二项式(n,k)是从{1,…,k}增加到{1,..,n}的函数数,因为有二项式的(n,k)方法可以从余域{1,,…,n}s中选择范围内k个不同的有序元素。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日

中心二项系数:T(2*n,n)=A000984号(n) ,T(n,楼层(n/2))=A001405号(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月9日

二项式(n,k)是以k+1为中间元素的{1,…,n+1}的子集数。要了解这一点,请注意总和{j=0..min(k,n-k)}二项式(k,j)*二项式。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日

这是晶格Z^n的坐标三角形,参见Conway-Sloane,1997-N.J.A.斯隆2012年1月17日

高度为1的整数阶乘比序列的三个无穷族之一(参见Bober定理1.2)。其他两个是A046521号A068555号.对于实际r>=0,C_r(n,k):=楼层(r*n)/(地板(r*k)*地板(r*(n-k))!)是整数。请参见A211226型对于r=1/2的情况-彼得·巴拉2012年4月10日

定义一个有n行的有限三角形T(m,k),使T(m、0)=1为左列,T(m)=二项式(n-1,m)为右列,其他条目为T(m;k)=T(m-1,k-1)+T(m-l,k)(如帕斯卡三角形中所示)。T中所有项目的总和(有A000217号(n) 元素)为3^(n-1)-J.M.贝戈2012年10月1日

下三角Pascal矩阵是算子exp(RLR)在由多项式序列p_n(x)组成的基中的表示,该多项式序列由R p_n。请参见A132440号,A218272型,A218234号,A097805号、和A038207号转置和填充的Pascal矩阵可以与特殊线性组SL2相关联-汤姆·科普兰2012年10月25日

请参见A193242号. -亚历山大·波沃洛茨基2013年2月5日

集合{1,…,n}的置换p_1…p_n在位置i处下降,如果p_i>p_(i+1)。设S(n)表示{1,…,n}的置换p_1…p_n的子集,使得p_(i+1)-p_i<=1,。。。,n-1.然后二项式(n,k)给出了S(n+1)中k下降的置换数。或者,二项式(n,k)给出了S(n+1)中随k+1增加的排列数-彼得·巴拉2013年3月24日

和{n=>0}二项式(n,k)/n!)=e/k!,其中e=exp(1),同时允许n<k,其中二项式(n,k)=0。同时求和{n>=0}二项式(n+k-1,k)/n!=e(电子)*A000262号(k) /k!,对于k>=1等于e*A067764号(k)/A067653号(k) ●●●●-理查德·福伯格2014年1月1日

下面公式中定义的Pascal矩阵P(X)的平方n X n子矩阵(前n行和n列)在左边乘以Vandermonde矩阵V(X_1,…,X_n)(第一行中有一个)时,将矩阵转换为V(X_1+X,…,X_n+X),同时保持行列式不变-汤姆·科普兰2014年5月19日

对于k>=2,n>=k,k/((k/(k-1)-和{n=k.m.m}1/二项式(n,k))=m/(m-k+1)*(k-2)!)。注:k/(k-1)是无限和。请参见A000217号,A000292号,A000332号例如-理查德·福伯格2014年8月12日

设G_(2n)是对称群S_(2n。二项式(n,k)给出了G_(2n)中具有n+k个循环的置换数。囊性纤维变性。A130534型A246117号. -彼得·巴拉2014年8月15日

C(n,k)=半长n+1的Dyck路径数,其中k+1“u”位于奇数位置,k+1返回x轴。示例:{U=U在奇数位置,_=返回x轴}二项式(3,0)=1(Uududd_);二项式(3,1)=3[(Uududd_Ud_),(Ud_Uudd_);二项式(3,2)=3[(Ud_Ud_U udd_),(Uudd_U d_U d),(U d_Uudd_ d)];二项式(3,3)=1(Ud_Ud_uUd_)-罗杰·福特2014年11月5日

发件人丹尼尔·福格斯2015年3月12日:(开始)

二项式系数二项式(n,k)给出了n个种群加倍后第k代的个体数。每增加一倍种群,每个个体的克隆都会使其世代指数增加1,从而转到下一行。只需将每一行从0到2^n-1相加即可得到二项式系数。

0 1 3 7 15

0:O|.|..|….||

1:|O|O.|O…|(O…|)O|

2:||O|O操作。|O O O。哦|

3:|||O|O O O O|

4:||||O|

这是一个分形过程:要获得从0到2^n-1的图案,请在图案右侧附加一个从0到2 ^(n-1)-1的图案下移(一行)副本。(灵感来自“二项式堆”数据结构。)

生成指数序列:1’s计数序列:n的二进制展开中的1’s数(或n的二进制权重)(参见A000120号):

{0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...}

0到15的二进制扩展:

0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1111

(结束)

A258993型(n,k)=T(n+k,n-k),n>0-莱因哈德·祖姆凯勒2015年6月22日

T(n,k)是[n+1]的集合分区w的数量,该集合分区w避免了1/2/3,rb(w)=k。ls(w)=k也是如此,其中回避是指Klazar和ls,rb由Wachs和White定义。

满足本福德定律[Diaconis,1977]-N.J.A.斯隆2017年2月9日

设{A(n)}是一个有n个完全相同元素的集,{A(0)}为空集E。{A(n,1)}=A{(n)}的所有子集的集合,包括{A(n-)}和E。设A(n,k)是{A(n、k)}中的元素数。然后A(n,k)=C(n+k,k),每次迭代都复制帕斯卡三角形第k对角线的成员。请参见示例-格雷戈里·西蒙,2018年8月6日

二项式(n-1,k)也是避免213和312的排列数,其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日

二项式(n-1,k)也是避免132和213的排列数,其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日

二项式(n,k)是维数n的向量空间的第k次外幂的维数-斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月22日

C(n,k-1)是使用k种颜色的n维单纯形的面(或顶点)的无方向着色数。在列举无定向排列时,每个手性对都算作一对-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日

Dilcher和Stolarsky:“数学中最普遍的两个对象是素数序列和二项式系数(以及Pascal三角形)这两者之间的联系是由素数的一个著名特征给出的:考虑帕斯卡三角形第k行中的项,不包括首项和尾项。它们都可以被k整除当且仅当k是素数。" -汤姆·科普兰2021年5月17日

皮埃尔·雷蒙德·德·蒙莫特(1708)以法国数学家、物理学家和哲学家布莱斯·帕斯卡(1623-1662)的名字命名为“帕斯卡组合表”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月11日

将三角形的第n条对角线视为序列b(n),n从0开始。通过保持第0项不变,然后考虑n的所有组成,从中形成一个新序列,取b(i)对每个组成中相应数字i的乘积,加上与偶数部分组成对应的项,减去与奇数部分组成相对应的项。然后得到三角形的第n行,每第二项乘以-1,后面跟着无穷多个零。对于以1开头的序列,此操作是自反转操作的特例,因此反之亦然-托马斯·安东2021年7月5日

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与Pascal三角形相关的三角形和数组的索引条目</a>

<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

<a href=“/index/Be#Benford”>与Benford定律相关的序列索引条目</a>

配方奶粉

a(n,k)=C(n,k)=二项式(n,克)。

C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)。

三角形是对称的:C(n,k)=C(n、n-k)。

a(n+1,m)=a(n,m)+a(n、m-1),a(n;-1):=0,a(m,n):=0,n<m;a(0,0)=1。

C(n,k)=n/(k!(n-k)!)如果0<=k<=n,则为0。

G.f.:1/(1-y-x*y)=和_(C(n,k)*x^k*y^n,n,k>=0)

G.f.:1/(1-x-y)=和_(C(n+k,k)*x^k*y^n,n,k>=0)。

第n行的G.f:(1+x)^n=Sum_{k=0..n}C(n,k)*x^k。

柱n:x^n/(1-x)^n的G.f。

例如:A(x,y)=exp(x+x*y)。

例如,对于n列:x^n*exp(x)/n!。

一般来说A007318号表示为:T(0,0)=1,T(n,k)=T(n-1,k-1)+m*T(n-1,k),其中n是行index,k是列;T(n,k)=m^(n-k)*C(n,k)。

按行读取三角形T(n,k);由提供A000007号三角洲A000007号,其中DELTA是Deléham的运算符,定义于A084938号.

设P(n+1)=(n+1)的整数分区数;设p(i)=(n+1)的第i个分区的部分数;设d(i)=(n+1)的第i个分区的不同部分的数目;设m(i,j)=(n+1)的第i分区的第j部分的重数。将运算符Sum_{i=1..P(n+1),P(i)=k+1}定义为从i=1到i=P(n/1)的和,但只考虑具有P(i)=(k+1)部分的分区。定义操作符Product_{j=1..d(i)}=Product从j=1运行到j=d(i)。那么C(n,k)=和{p(i)=(k+1),i=1.p(n+1)}p(i[产品{j=1..d(i)}m(i,j)!]。例如,C(5,3)=10,因为n=6有以下m=3部分的分区:(114),(123),(222)。对于它们的多重性,我们有:(114):3/(2!*1!) = 3; (123): 3!/(1!*1!*1!) = 6; (222): 3!/3! = 1.总和为3+6+1=10=C(5,3)-托马斯·维德2005年6月3日

C(n,k)=和{j=0..k}=(-1)^j*C(n+1+j,k-j)*A000108号(j) ●●●●-菲利普·德尔汉姆2005年10月10日

通用格式:1+x*(1+x)+x^3*(1++x)^2+x^6*(1+x)^3+-迈克尔·索莫斯2006年9月16日

求和{k=0..楼层(n/2)}x^(n-k)*T(n-k,k)=A000007号(n) ,A000045号(n+1),A002605号(n) ,A030195号(n+1),A057087号(n) ,A057088号(n) ,A057089号(n) ,A057090型(n) ,A057091号(n) ,A057092号(n) ,A057093号(n) 对于x=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。求和{k=0..楼层(n/2)}(-1)^k*x^(n-k)*T(n-k,k)=A000007号(n) ,A010892号(n) ,A009545号(n+1),A057083号(n) ,A001787号(n+1),A030191号(n) ,A030192号(n) ,A030240型(n) ,A057084号(n) ,A057085号(n+1),A057086号(n) ,A084329号(n+1),x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,20-菲利普·德尔汉姆2006年9月16日

C(n,k)<=A062758号(n) 对于n>1-莱因哈德·祖姆凯勒2008年3月4日

C(t+p-1,t)=和{i=0..t}C(i+p-2,i)=和}i=1..p}C(i+t-2,t-1)。二项式数是它的左亲和所有右祖先的和,等于它的右亲和所有左祖先的和Lee Naish(Lee(AT)cs.mu.oz.au),2008年3月7日

发件人保罗·D·汉纳2011年3月24日:(开始)

设A(x)=Sum_{n>=0}x^(n*(n+1)/2)*(1+x)^n是平面三角形的g.f:

A(x)=1+(x+x^2)+(x^3+2*x^4+x^5)+(x ^6+3*x^7+3*x ^8+x^9)+。。。

则A(x)等于级数Sum_{n>=0}(1+x)^n*x^n*Product_{k=1..n}(1-(1+x)*x^(2*k-1))/(1-(1+x)*x ^(2*k));

此外,A(x)等于连分数1/(1-x*(1+x)/(1+x*(1-x)*(1+x)/)。

这些公式是由于(1)q级数恒等式和(2)部分椭圆θ函数表达式。(结束)

对于n>0:T(n,k)=A029600型(n,k)-A029635号(n,k),0≤k≤n-莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月16日

三角形的第n行是对自然数(1,2,3,…,n)的前n项应用ConvOffs变换的结果。请参见A001263号A214281型以获取此转换的定义-加里·亚当森2012年7月12日

发件人L.埃德森·杰弗里,2012年8月2日:(开始)

三角形的第n行(n>=0)由无穷矩阵P^n的第n对角化给出,其中P=(P_{i,j}),i,j>=0是生产矩阵

0, 1,

1, 0, 1,

0, 1, 0, 1,

0, 0, 1, 0, 1,

0, 0, 0, 1, 0, 1,

0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,

0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,

…(结束)

三角形的第n行也由由递归P_0(x)=1,P_1(x)=x+1,P_n(x-L.埃德森·杰弗里2013年8月12日

有关Pascal-like三角形任意左右边界的闭合公式,请参见A228196型. -鲍里斯·普蒂夫斯基2013年8月18日

关于广义帕斯卡三角形的闭合公式,请参见A228576号. -鲍里斯·普蒂夫斯基2013年9月4日

(1+x)^n=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*和{i=0..k}k^(i-i)*二项式(k,i)*x^(n-i)/(n-i)-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年10月21日

例如:A(x,y)=exp(x+x*y)=1+(x+y*x)/(E(0)-(x+y*x)),其中E(k)=1+;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月8日

例如:E(0)-1,其中E(k)=2+x*(1+y)/(2*k+1-x*(1+y)/E(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日

通用系数:1+x*(1+x)*(1+x^2*(1++x)/(W(0)-x^2-x^3)),其中W(k)=1+(1+x)*x^(k+2)-(1+x)*xqu(k+3)/W(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日

和{n>=0}C(n,k)/n!=e/k!,其中e=exp(1),而允许n<k,其中C(n,k)=0。同时求和{n>=0}C(n+k-1,k)/n!=e(电子)*A000262号(k) /k!,对于k>=1等于e*A067764号(k)/A067653号(k) ●●●●-理查德·福伯格2014年1月1日

和{n>=k}1/C(n,k)=k/(k-1)对于k>=1-理查德·福伯格2014年2月10日

发件人汤姆·科普兰2014年4月17日和26日:(开始)

将Pascal下三角矩阵的每个第n对角线乘以x^n,并将结果指定为A007318号(x) =P(x)。然后利用:xD:^n=x^n*(d/dx)^n和B(n,x),Bell多项式(A008277号),

A) P(x)=经验(x*dP)=经验[x*(e^M-I)]=经验[M*B(.,x)]=(I+dP)^B(.、x)

带dP=A132440号,男=A238385型-一、 I=单位矩阵,以及

B) P(:xD:)=exp(dP:xD:A238363型).

C) P(x)^y=P(y*x)。P(2倍)=A038207号(x) =exp[M*B(.,2x)],n维超立方体的面向量。

D) P(x)=[St2]*exp(x*M)*[St1]=[St2]*(I+dP)^x*[St1)

E) =[St1]^(-1)*(I+dP)^x*[St1]=[St2]*

其中[St1]=填充A008275号与[St2]相同=A048993号=填充A008277号exp(x*M)=(I+dP)^x=总和(k=0,..,无穷大,C(x,k)dP^k)。(结束)

T(n,k)=A245334型(n,k)/A137948号(n,k),0≤k≤n-莱因哈德·祖姆凯勒2014年8月31日

发件人彼得·巴拉2014年12月21日:(开始)

递归方程:T(n,k)=T(n-1,k)*(n+k)/(n-k)-T。注意,将递归中的减号改为加号可以递归二项式系数的平方-参见A008459号.

行的例如f.和三角形的对角线之间有一个关系,即exp(x)*例如f.对于行n=例如f.对角线n。例如,对于n=3,我们有exp(x)*(1+3*x+3*x^2/2!+x^3/3!)=1+4*x+10*x^2!+20*x^3/3!+35*x^4/4!+。。。。此属性更普遍地适用于形式为(f(x),x/(1-x))的Riordan数组,其中f(x)是形式为1+f_1*x+f_2*x^2+…的o.g.f。。。。例如,请参见,A055248号A106516号.

让P表示现在的三角形。对于k=0,1,2,。。。定义P(k)为下单位三角形块数组

/确定0(_k)\

\0 P/将k X k单位矩阵I_k作为左上块;特别地,P(0)=P。无穷乘积P(0,P(1)*P(2)*。。。,这是明确定义的,等于第二类斯特林数的三角形A008277号.按相反顺序的无穷乘积,即*P(2)*P(1)*PA130534型.(结束)

C(a+b,C)=和{k=0..a}C(a,k)*C(b,b-C+k)。这是普鲁德尼科夫等人参考文献第4.2.5节方程式1的推广,其中a=b=c=n:c(2*n,n)=Sum_{k=0..n}c(n,k)^2。有关新公式的动画,请参见“链接”部分-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2015年8月26日

Pascal矩阵P(n,x)=(1+x)^n的行多项式与Bernoulli多项式Br(n,x)及其本影合成逆Bv(n,x=(-Br(.,-Bv(.,x))^n=(-1)^n Br,M是对角矩阵图(1,-1,1,-1,…),Br是伯努利多项式系数的矩阵,Bv是由Br(n,Bv(.,x))=x^n=Bv(n,Br(.,x))定义的本影逆多项式的矩阵。注M=M^(-1)-汤姆·科普兰2015年9月5日

1/(1-x)^k=(r(x)*r(x^2)*r其中r(x)=(1+x)^k-加里·亚当森2016年10月17日

Riordan阵列k列的Boas-Buck型递归(参见2017年8月10日的备注A046521号,也供参考),Boas-Buck序列b(n)={repeat(1)}。T(n,k)=((k+1)/(n-k))*Sum_{j=k..n-1}T(j,k),对于n>=1,T(n、n)=1。通过T(n,k)=二项式(n,k),这可以简化为已知的二项式恒等式(例如,Graham等人,第161页)-沃尔夫迪特·朗2018年11月12日

C((p-1)/a,b)==(-1)^b*fact_a(a*b-a+1)/fact_a(a*b)(mod p),其中fact_n表示第n个多因子,a除以p-1,方程式右侧分数的分母表示模逆-艾萨克·萨福克2019年1月7日

C(n,k-1)=A325002型(n,k)-[k==n+1]=(A325002型(n,k)+A325003型(n,k))/2=[k==n+1]+A325003型(n,k)-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日

发件人赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2021年5月13日:(开始)

二项式和是斐波那契数A000045号:

和{k=0..n}C(n+k,2*k+1)=F(2*n)。

和{k=0..n}C(n+k,2*k)=F(2*n+1)。(结束)

例子

三角形T(n,k)开始于:

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11。。。

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

...

有C(4,2)=6种方式在3个不同的瓮中分配5个球BBBBB,<>()[],以便每个瓮获得至少一个球,即<BBB>(B)[B]、<B>(BBB。

从{1,2}到{1,2,3,4},共有C(4,2)=6个递增函数,即{(1,1),(2,2)},{(1.1),(2,3)}、{(1,1)、(2,4)}和{(1.3),(2.4)}-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日

含有中间元素3的{1,2,3,4,5}的C(4,2)=6个子集,即{3}、{1,3,4}、}1,3,5}、{2,3,4]、{2,5}和{1,2,4,5{-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日

{A(0)}=E的连续k次迭代是E;E;E、 ;。。。;相应的元素数为1,1,1,。。。{A(1)}={A}的连续k次迭代是(省略括号)A;a、 E;a、 E,E;。。。;相应的元素数为1,2,3,。。。{A(2)}={A,A}的连续k次迭代是aa;aa、a、E;aa、a、E和a、E与E;。。。;相应的元素数为1,3,6-格雷戈里·西蒙,2018年8月6日

k列的Boas-Buck型递推=4:T(8,4)=(5/4)*(1+5+15+35)=70。请参阅上面的Boas-Buck评论-沃尔夫迪特·朗2018年11月12日

MAPLE公司

A007318号:=(n,k)->二项式(n,k);

数学

扁平[表[二项式[n,k],{n,0,11},{k,0,n}]](*罗伯特·威尔逊v2004年1月19日*)

压扁[系数列表[系数列表[Series[1/(1-x-x*y),{x,0,12}],x],y]](*Mats Granvik公司2014年7月8日*)

黄体脂酮素

(AXIOM)--(启动)

)设置expose添加构造函数OutputForm

帕斯卡(0,n)==1

帕斯卡(n,n)==1

帕斯卡(i,j|0<i和i<j)==帕斯卡

pascalRow(n)==[pascal(i,n)for i in 0..n]

displayRow(n)==输出中心空白分隔行(n)

对于0..20中的i,重复显示第i行--(结束)

(PARI)C(n,k)=二项式(n,k)\\查尔斯·格里特豪斯四世,2011年6月8日

(Python)#请参阅Hobson链接。其他计划:

定义C(n,k):

如果k<0或k>n:

返回0

res=1

对于范围(k)内的i:

res*=(n-i)//(i+1)

返回res

#罗伯特·费雷奥2018年3月31日

定义C(n,k):来自numpy导入产品;返回触头([(n-j)/(j+1),对于范围(k)内的j)]

def C(n,k):从functools导入reduce;return reduce(lambda x,y:x*(n-y)//(1+y),range(k),1)#一些字符更长,但只使用整数。

#M.F.哈斯勒2019年12月13日

(哈斯克尔)

a007318 n k=a007318_tabl!!不!!k个

a007318_row n=a007318-tabl!!n个

a007318_list=连接a007318-tabl

a007318_tabl=迭代(\row->zipWith(+)([0]++行)(row++[0]))[1]

--参见。http://www.haskell.org/haskellwiki/Blow_your_mind#Mathematical_sequences

--莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月9日,2010年10月22日

(极大值)create_list(二项式(n,k),n,0,12,k,0,n)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/

(Sage)def C(n,k):返回子集(range(n),k).cardinality()#拉尔夫·斯蒂芬2014年1月21日

(岩浆)/*作为三角形:*/[[二项式(n,k):k in[0..n]]:n in[0..10]]//文森佐·利班迪2015年7月29日

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交叉参考

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行的部分和构成三角形A008949号.

反对偶三角形是A011973号.

无限矩阵平方:A038207号,立方:A027465号.

囊性纤维变性。A101164号。如果对行进行排序,则会得到A061554号A107430号.

另一个版本:A108044号.

囊性纤维变性。A008277号,A132311号,A132312号,A052216号,A052217号,A052218号,A052219号,A052220型,A052221号,A052222号,A052223号,A144225号,A202750型,A211226型,A047999号,A026729号,A052553号,A051920号,A193242号.

三角总和(见注释):A000079号(第1行);A000007号(第2行);A000045号(Kn11和Kn21);A000071号(Kn12和Kn22);A001924号(Kn13和Kn23);A014162号(Kn14和Kn24);A014166号(Kn15和Kn25);A053739号(Kn16和Kn26);A053295号(Kn17和Kn27);A053296号(Kn18和Kn28);A053308号(Kn19和Kn29);A053309号(Kn110和Kn210);A001519号(Kn3和Kn4);A011782号(图1和图2);A000930号(Ca1和Ca2);A052544号(Ca3和Ca4);A003269号(Gi1和Gi2);A055988号(Gi3和Gi4);A034943号(Ze1和Ze2);A005251号(Ze3和Ze4)-约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日

斐波那契-泛三角形:A027926号,A036355号,A037027号,A074829号,A105809号,A109906号,A111006号,A114197号,A162741号,A228074号,A228196型,A228576号.

囊性纤维变性。A137948号,A245334型.

囊性纤维变性。A085478号,A258993型.

对比(单色)A325002型(定向),[k==n+1](手性),A325003型(无意识),A325000型(k或更少颜色),A325009型(矫形面、矫形顶点),A325017型(矫形面、矫形顶点)。

m=1,…,的广义二项式系数(n,k)_m的三角形(或广义Pascal三角形),。。。,12:A007318号(帕斯卡),A001263号,A056939号,A056940号,A056941号,A142465号,A142467号,A142468号,A174109号,A342889型,A342890型,A342891型.

关键词

非n,,美好的,容易的,核心,,听到

作者

N.J.A.斯隆米拉·伯恩斯坦1994年4月28日

扩展

检查了所有链接,删除了8个似乎永远丢失的链接,这些链接可能并不重要-N.J.A.斯隆2018年5月8日

状态

经核准的

A007318号 按行读取的帕斯卡三角形:C(n,k)=二项式(n,k)=n/(k!*(n-k)!),0<=k<=n。
(历史;已发布版本)
844版批准人俄罗斯考克斯2022年3月29日星期二美国东部夏令时22:40:48
身份证件

M0082号

名称

按行读取的帕斯卡三角形:C(n,k)=二项式(n,k)=n/(k!*(n-k)!),0<=k<=n。

数据

1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 5, 10, 10, 5, 1, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1, 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1, 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1

抵消

0,5

评论

A.W.F.公司。爱德华兹写道:“它(三角形)早在1654年,也就是布莱斯·帕斯卡(Blaise Pascal)写下三角算术的那一年,这本书就被首次记录下来了,但正是这本书首次将数字的所有不同方面结合在一起。在这本书中,帕斯卡将数字的性质发展成为一个纯粹的数学。。。然后,在一系列附录中,展示了这些性质如何与数字的研究、组合理论、二项式表达式的展开以及概率论中一个重要问题的解决相关。”(A.W.F.Edwards,《帕斯卡的算术三角》,约翰·霍普金斯大学出版社(2002),第xiii页)

爱德华兹(Edwards)报告称,1708年,蒙莫特(Montmort)首先以帕斯卡(Pascal)命名三角形,称之为“帕斯卡组合表”(Table de M.Pascal pour les combinations),1730年,德莫伊夫(de Moivre)将其命名为“三角算术PASCALANIUM”。(爱德华兹,第xiv页)

在中国,杨辉在1261年列出了(a+b)^n到n=6的系数,将这种扩展归功于大约1100年的嘉欣的《世素算书》。另一个突出的早期应用是1303年朱世嘉的《四行宝镜》。(爱德华兹,第51页)

在波斯,Al-Karaji在“1007年后不久的某个时间”发现了二项式三角形,而Al-Samawal在1180年前的某个时候在Al-bahir杂志上发表了它。(爱德华兹,第52页)

在印度,Halayuda对Pingala关于音节组合的论文(约公元前200年)的评论(约900年)清楚地描述了三角形的加法计算。(Amulya Kumar Bag,古印度二项式定理,第72页)

同样在印度,C(n,k)的乘法公式于850年为Mahavira所知,并于1150年由Bhaskara重申。(爱德华兹,第27页)

在意大利,塔塔格里亚(Tartaglia)在他的《将军特拉塔托》(General trattato,1556年)中发表了三角图,而卡达诺(Cardano)则在他的《新作品》(Opus novum,1570年)中出版了三角图。(爱德华兹,第39、44页)-俄罗斯考克斯2022年3月29日

有时也称为杨辉三角形。

C(n,k)=n元集的k元子集的数目。

第n行给出了(1+x)^n展开式中的系数。

二项式(n+k-1,n-1)是将k个无法区分的球放入n个盒子中的方法数(“条形和星形”参数-参见Feller)。

二项式(n-1,k-1)是n与k和的组合数(有序分区)。

二项式(n+k-1,k-1)是n的弱成分(有序弱分区)精确到k个和的数量-尤根·威尔2016年1月23日

二项式(n,k)是使用步骤(1,0)和(1,1)从(0,0)到(n,k)的晶格路径数-乔格·阿恩特2011年7月1日

如果将其视为无限下三角矩阵,则逆矩阵开始:

+1

-1 +1

+1 -2 +1

-1 +3 -3 +1

+1 -4 +6 -4 +1

开始于A006516号(n) 第个条目是奇数-Lekraj Beedassy公司2003年5月20日

二项式(n+k-1,n-1)是形状(n,1^k)的标准表格数-Emeric Deutsch公司2004年5月13日

可以看作是一个数组,由反对偶读取,其中第一行和第一列中的条目都是1,对于所有其他条目,A(i,j)=A(i-1,j)+A(i、j-1)。从(0,0)开始的每个n×n子数组的行列式为1-杰拉尔德·麦卡维2004年8月17日

此外,矩阵指数的下三角读数,其条目{j+1,j}等于j+1(所有其他条目都为零)Joseph Biberstine(jrbibers(AT)indiana.edu),2006年5月26日

二项式(n-3,k-1)计算S_n中图案231零次出现、图案132和k下降一次出现的排列。二项式(n-3,k-1)还计算S_n中模式231零次出现、模式213和k下降一次出现的排列David Hoek(David.hok(AT)telia.com),2007年2月28日

的反转A130595型(作为无限下三角矩阵)-菲利普·德尔汉姆2007年8月21日

考虑整数列表LL的列表L的形式LL=[m#L]=[m#[k#2]](其中“#”表示“时间”),如LL(m=3,k=3)=[2,2,2],[2,2,2],[2,2]]。如果像[1,1]、[2]、[2]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[1]、[2]这样的多个分区只计算一次,LL(m,k)的整数列表分区数等于二项式(m+k,k)。对于这个例子,我们发现4*5*6/3!=20=二项式(6,3)-托马斯·维德2007年10月3日

帕斯卡三角形及其逆三角形的无穷小生成器为A132440号. -汤姆·科普兰2007年11月15日

第n>=2行给出了以n为基数的k位数字(k>0)的个数,数字严格递减;例如,第10行A009995号类似地,第n-1>=2行给出了以n为基数的k位数字(k>1)的个数,数字严格递增;看见A009993号并进行比较A118629号. -里克·L·谢泼德2007年11月25日

来自Lee Naish(Lee(AT)cs.mu.oz.au),2008年3月7日:(开始)

二项式(n+k-1,k)是将长度为k的序列划分为n个子序列的方法数(参见Naish链接)。

二项式(n+k-1,k)也是以至少k为基数写的n个(或更少)数字的数目,其数字总和为k。例如,在十进制中,有二项式的(3+3-1,3)=10个3位数,其数字之和为3(参见A052217号)二项式(4+2-1,2)=10个四位数,其数字之和为2(参见A052216号). 此关系可用于生成序列数A052216号A052224号(以及使用大于10的基数的进一步序列)。(结束)

发件人米兰Janjic2008年5月7日:(开始)

用sigma_k(x_1,x_2,…,x_n)表示初等对称多项式。然后:

二项式(2n+1,2k+1)=σ{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2(i*Pi/(2n+1)),(i=1,2,…,n)。

二项式(2n,2k+1)=2n*sigma{n-1-k}(x_1,x_2,…,x_{n-1}),其中x_i=tan^2(i*Pi/(2n)),(i=1,2,…,n-1)。

二项式(2n,2k)=σ{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2((2i-1)Pi/(4n)),(i=1,2,…,n)。

二项式(2n+1,2k)=(2n+1)σ{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2((2i-1)Pi/(4n+2)),(i=1,2,…,n)。(结束)

给定矩阵R和S,其中R(n,k)=二项式(n,k)*R(n-k)和S(n,k-)=二项式(n、k)*S(n-k。并且,R、s和T的行多项式的例如f.s分别是exp(x*T)*exp[R(.)*x]、exp。请参见A132382号例如-汤姆·科普兰2008年8月21日

当矩形R(m,n)=二项式(m+n-2,m-1)时,权重数组W(通常定义为A144112号)R的本质是R本身,在这个意义上,如果W的第1行和第1列=A144225号则剩余数组为R-克拉克·金伯利2008年9月15日

如果A007318号=M作为无限下三角矩阵,M^n给出A130595型,A023531号,A007318号,A038207号,A027465号,A038231号,A038243号,A038255号,A027466号,A038279号,A038291号,A038303号,A038315号,A038327号,A133371号,A147716号,A027467号n分别为-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆2008年11月11日

多项式的系数,例如f.exp(x*t)*(cosh(t)+sinh(t))-彼得·卢什尼2009年7月9日

三角形或国际象棋的总和,参见A180662号有关它们的定义,请将帕斯卡三角形与20个不同的序列联系起来,请参阅交叉参考。由于这个三角形的对称性,所有的总和都成对出现。骑士总金额Kn14-Kn110已添加。值得注意的是,所有骑士和都与斐波那契数相关,即。,A000045号,但其他都没有-约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日

二项式(n,k)也是将n+1个球分布到k+1个瓮中的方法数,以便每个瓮至少得到一个球。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年1月29日

二项式(n,k)是从{1,…,k}增加到{1,..,n}的函数数,因为有二项式的(n,k)方法可以从余域{1,,…,n}s中选择范围内k个不同的有序元素。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日

中心二项系数:T(2*n,n)=A000984号(n) ,T(n,楼层(n/2))=A001405号(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月9日

二项式(n,k)是以k+1为中间元素的{1,…,n+1}的子集数。要了解这一点,请注意总和{j=0..min(k,n-k)}二项式(k,j)*二项式。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日

这是晶格Z^n的坐标三角形,参见Conway-Sloane,1997-N.J.A.斯隆2012年1月17日

高度为1的整数阶乘比序列的三个无穷族之一(参见Bober定理1.2)。其他两个是A046521号A068555号.对于实际r>=0,C_r(n,k):=楼层(r*n)/(地板(r*k)*地板(r*(n-k))!)是整数。请参见A211226型对于r=1/2的情况-彼得·巴拉2012年4月10日

定义一个有n行的有限三角形T(m,k),使T(m、0)=1为左列,T(m)=二项式(n-1,m)为右列,其他条目为T(m;k)=T(m-1,k-1)+T(m-l,k)(如帕斯卡三角形中所示)。T中所有项目的总和(有A000217号(n) 元素)为3^(n-1)-J.M.贝戈2012年10月1日

下三角Pascal矩阵是算子exp(RLR)在由多项式序列p_n(x)组成的基中的表示,该多项式序列由R p_n。请参见A132440号,A218272型,A218234号,A097805号、和A038207号转置和填充的Pascal矩阵可以与特殊线性组SL2相关联-汤姆·科普兰2012年10月25日

请参见A193242号. -亚历山大·波沃洛茨基2013年2月5日

集合{1,…,n}的置换p_1…p_n在位置i处下降,如果p_i>p_(i+1)。设S(n)表示{1,…,n}的置换p_1…p_n的子集,使得p_(i+1)-p_i<=1,。。。,n-1.然后二项式(n,k)给出了S(n+1)中k下降的置换数。或者,二项式(n,k)给出了S(n+1)中随k+1增加的排列数-彼得·巴拉2013年3月24日

和{n=>0}二项式(n,k)/n!)=e/k!,其中e=exp(1),同时允许n<k,其中二项式(n,k)=0。同时求和{n>=0}二项式(n+k-1,k)/n!=e(电子)*A000262号(k) /k!,对于k>=1等于e*A067764号(k)/A067653号(k) ●●●●-理查德·福伯格2014年1月1日

下面公式中定义的Pascal矩阵P(X)的平方n X n子矩阵(前n行和n列)在左边乘以Vandermonde矩阵V(X_1,…,X_n)(第一行中有一个)时,将矩阵转换为V(X_1+X,…,X_n+X),同时保持行列式不变-汤姆·科普兰2014年5月19日

对于k>=2,n>=k,k/((k/(k-1)-和{n=k.m.m}1/二项式(n,k))=m/(m-k+1)*(k-2)!)。注:k/(k-1)是无限和。请参见A000217号,A000292号,A000332号例如-理查德·福伯格2014年8月12日

设G_(2n)是对称群S_(2n。二项式(n,k)给出了G_(2n)中具有n+k个循环的置换数。囊性纤维变性。A130534型A246117号. -彼得·巴拉2014年8月15日

C(n,k)=半长n+1的Dyck路径数,其中k+1“u”位于奇数位置,k+1返回x轴。示例:{U=U在奇数位置,_=返回x轴}二项式(3,0)=1(Uududd_);二项式(3,1)=3[(Uududd_Ud_),(Ud_Uudd_);二项式(3,2)=3[(Ud_Ud_U udd_),(Uudd_U d_U d),(U d_Uudd_ d)];二项式(3,3)=1(Ud_Ud_uUd_)-罗杰·福特2014年11月5日

发件人丹尼尔·福格斯2015年3月12日:(开始)

二项式系数二项式(n,k)给出了n个种群加倍后第k代的个体数。每增加一倍种群,每个个体的克隆都会使其世代指数增加1,从而转到下一行。只需将每一行从0到2^n-1相加即可得到二项式系数。

0 1 3 7 15

0:O|.|..|….||

1:|O|O.|O…|(O…|)O|

2:||O|O操作。|O O O。哦|

3:|||O|O O O O|

4:||||O|

这是一个分形过程:要获得从0到2^n-1的图案,请在图案右侧附加一个从0到2 ^(n-1)-1的图案下移(一行)副本。(灵感来自“二项式堆”数据结构。)

生成指数序列:1’s计数序列:n的二进制展开中的1’s数(或n的二进制权重)(参见A000120号):

{0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...}

0到15的二进制扩展:

0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1111

(结束)

A258993型(n,k)=T(n+k,n-k),n>0-莱因哈德·祖姆凯勒2015年6月22日

T(n,k)是[n+1]的集合分区w的数量,该集合分区w避免了1/2/3,rb(w)=k。ls(w)=k也是如此,其中回避是指Klazar和ls,rb由Wachs和White定义。

满足本福德定律[Diaconis,1977]-N.J.A.斯隆2017年2月9日

设{A(n)}是一个有n个完全相同元素的集,{A(0)}为空集E。{A(n,1)}=A{(n)}的所有子集的集合,包括{A(n-)}和E。设A(n,k)是{A(n、k)}中的元素数。然后A(n,k)=C(n+k,k),每次迭代都复制帕斯卡三角形第k对角线的成员。请参见示例-格雷戈里·西蒙,2018年8月6日

二项式(n-1,k)也是避免213和312的排列数,其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日

二项式(n-1,k)也是避免132和213的排列数,其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日

二项式(n,k)是维数n的向量空间的第k次外幂的维数-斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月22日

C(n,k-1)是使用k种颜色的n维单纯形的面(或顶点)的无方向着色数。在列举无定向排列时,每个手性对都算作一对-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日

Dilcher和Stolarsky:“数学中最普遍的两个对象是素数序列和二项式系数(以及Pascal三角形)这两者之间的联系是由素数的一个著名特征给出的:考虑帕斯卡三角形第k行中的项,不包括首项和尾项。它们都可以被k整除当且仅当k是素数。" -汤姆·科普兰2021年5月17日

皮埃尔·雷蒙德·德·蒙莫特(1708)以法国数学家、物理学家和哲学家布莱斯·帕斯卡(1623-1662)的名字命名为“帕斯卡组合表”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月11日

将三角形的第n条对角线视为序列b(n),n从0开始。通过保持第0项不变,然后考虑n的所有组成,从中形成一个新序列,取b(i)对每个组成中相应数字i的乘积,加上与偶数部分组成对应的项,减去与奇数部分组成相对应的项。然后得到三角形的第n行,每第二项乘以-1,后面跟着无穷多个零。对于以1开头的序列,此操作是自反转操作的特例,因此反之亦然-托马斯·安东2021年7月5日

参考文献

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<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

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配方奶粉

a(n,k)=C(n,k)=二项式(n,克)。

C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)。

三角形是对称的:C(n,k)=C(n、n-k)。

a(n+1,m)=a(n,m)+a(n、m-1),a(n;-1):=0,a(m,n):=0,n<m;a(0,0)=1。

C(n,k)=n/(k!(n-k)!)如果0<=k<=n,则为0。

G.f.:1/(1-y-x*y)=和_(C(n,k)*x^k*y^n,n,k>=0)

G.f.:1/(1-x-y)=和_(C(n+k,k)*x^k*y^n,n,k>=0)。

第n行的G.f:(1+x)^n=Sum_{k=0..n}C(n,k)*x^k。

柱n:x^n/(1-x)^n的G.f。

例如:A(x,y)=exp(x+x*y)。

例如,对于n列:x^n*exp(x)/n!。

一般来说A007318号表示为:T(0,0)=1,T(n,k)=T(n-1,k-1)+m*T(n-1,k),其中n是行index,k是列;T(n,k)=m^(n-k)*C(n,k)。

按行读取三角形T(n,k);由提供A000007号三角洲A000007号,其中DELTA是Deléham的运算符,定义于A084938号.

设P(n+1)=(n+1)的整数分区数;设p(i)=(n+1)的第i个分区的部分数;设d(i)=(n+1)的第i个分区的不同部分的数目;设m(i,j)=(n+1)的第i分区的第j部分的重数。将运算符Sum_{i=1..P(n+1),P(i)=k+1}定义为从i=1到i=P(n/1)的和,但只考虑具有P(i)=(k+1)部分的分区。定义操作符Product_{j=1..d(i)}=Product从j=1运行到j=d(i)。那么C(n,k)=和{p(i)=(k+1),i=1.p(n+1)}p(i[产品{j=1..d(i)}m(i,j)!]。例如,C(5,3)=10,因为n=6有以下m=3部分的分区:(114),(123),(222)。对于它们的多重性,我们有:(114):3/(2!*1!) = 3; (123): 3!/(1!*1!*1!) = 6; (222): 3!/3! = 1.总和为3+6+1=10=C(5,3)-托马斯·维德2005年6月3日

C(n,k)=和{j=0..k}=(-1)^j*C(n+1+j,k-j)*A000108号(j) ●●●●-菲利普·德尔汉姆2005年10月10日

通用格式:1+x*(1+x)+x^3*(1++x)^2+x^6*(1+x)^3+-迈克尔·索莫斯2006年9月16日

求和{k=0..楼层(n/2)}x^(n-k)*T(n-k,k)=A000007号(n) ,A000045号(n+1),A002605号(n) ,A030195号(n+1),A057087号(n) ,A057088号(n) ,A057089号(n) ,A057090型(n) ,A057091号(n) ,A057092号(n) ,A057093号(n) 对于x=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。求和{k=0..楼层(n/2)}(-1)^k*x^(n-k)*T(n-k,k)=A000007号(n) ,A010892号(n) ,A009545号(n+1),A057083号(n) ,A001787号(n+1),A030191号(n) ,A030192号(n) ,A030240型(n) ,A057084号(n) ,A057085号(n+1),A057086号(n) ,A084329号(n+1),x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,20-菲利普·德尔汉姆2006年9月16日

C(n,k)<=A062758号(n) 对于n>1-莱因哈德·祖姆凯勒2008年3月4日

C(t+p-1,t)=和{i=0..t}C(i+p-2,i)=和}i=1..p}C(i+t-2,t-1)。二项式数是它的左亲和所有右祖先的和,等于它的右亲和所有左祖先的和Lee Naish(Lee(AT)cs.mu.oz.au),2008年3月7日

发件人保罗·D·汉纳2011年3月24日:(开始)

设A(x)=Sum_{n>=0}x^(n*(n+1)/2)*(1+x)^n是平面三角形的g.f:

A(x)=1+(x+x^2)+(x^3+2*x^4+x^5)+(x ^6+3*x^7+3*x ^8+x^9)+。。。

则A(x)等于级数Sum_{n>=0}(1+x)^n*x^n*Product_{k=1..n}(1-(1+x)*x^(2*k-1))/(1-(1+x)*x ^(2*k));

此外,A(x)等于连分数1/(1-x*(1+x)/(1+x*(1-x)*(1+x)/)。

这些公式是由于(1)q级数恒等式和(2)部分椭圆θ函数表达式。(结束)

对于n>0:T(n,k)=A029600型(n,k)-A029635号(n,k),0≤k≤n-莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月16日

三角形的第n行是对自然数(1,2,3,…,n)的前n项应用ConvOffs变换的结果。请参见A001263号A214281型以获取此转换的定义-加里·亚当森2012年7月12日

发件人L.埃德森·杰弗里,2012年8月2日:(开始)

三角形的第n行(n>=0)由无穷矩阵P^n的第n对角化给出,其中P=(P_{i,j}),i,j>=0是生产矩阵

0, 1,

1, 0, 1,

0, 1, 0, 1,

0, 0, 1, 0, 1,

0, 0, 0, 1, 0, 1,

0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,

0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,

…(结束)

三角形的第n行也由由递归P_0(x)=1,P_1(x)=x+1,P_n(x-L.埃德森·杰弗里2013年8月12日

有关Pascal-like三角形任意左右边界的闭合公式,请参见A228196型. -鲍里斯·普蒂夫斯基2013年8月18日

关于广义帕斯卡三角形的闭合公式,请参见A228576号. -鲍里斯·普蒂夫斯基2013年9月4日

(1+x)^n=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*和{i=0..k}k^(i-i)*二项式(k,i)*x^(n-i)/(n-i)-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年10月21日

例如:A(x,y)=exp(x+x*y)=1+(x+y*x)/(E(0)-(x+y*x)),其中E(k)=1+;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月8日

例如:E(0)-1,其中E(k)=2+x*(1+y)/(2*k+1-x*(1+y)/E(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日

通用系数:1+x*(1+x)*(1+x^2*(1++x)/(W(0)-x^2-x^3)),其中W(k)=1+(1+x)*x^(k+2)-(1+x)*xqu(k+3)/W(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日

和{n>=0}C(n,k)/n!=e/k!,其中e=exp(1),而允许n<k,其中C(n,k)=0。同时求和{n>=0}C(n+k-1,k)/n!=e(电子)*A000262号(k) /k!,对于k>=1等于e*A067764号(k)/A067653号(k) ●●●●-理查德·福伯格2014年1月1日

和{n>=k}1/C(n,k)=k/(k-1)对于k>=1-理查德·福伯格2014年2月10日

发件人汤姆·科普兰2014年4月17日和26日:(开始)

将Pascal下三角矩阵的每个第n对角线乘以x^n,并将结果指定为A007318号(x) =P(x)。然后利用:xD:^n=x^n*(d/dx)^n和B(n,x),Bell多项式(A008277号),

A) P(x)=经验(x*dP)=经验[x*(e^M-I)]=经验[M*B(.,x)]=(I+dP)^B(.、x)

带dP=A132440号,男=A238385型-一、 I=单位矩阵,以及

B) P(:xD:)=exp(dP:xD:A238363型).

C) P(x)^y=P(y*x)。P(2倍)=A038207号(x) =exp[M*B(.,2x)],n维超立方体的面向量。

D) P(x)=[St2]*exp(x*M)*[St1]=[St2]*(I+dP)^x*[St1)

E) =[St1]^(-1)*(I+dP)^x*[St1]=[St2]*

其中[St1]=填充A008275号与[St2]相同=A048993号=填充A008277号exp(x*M)=(I+dP)^x=总和(k=0,..,无穷大,C(x,k)dP^k)。(结束)

T(n,k)=A245334型(n,k)/A137948号(n,k),0≤k≤n-莱因哈德·祖姆凯勒2014年8月31日

发件人彼得·巴拉2014年12月21日:(开始)

递归方程:T(n,k)=T(n-1,k)*(n+k)/(n-k)-T。注意,将递归中的减号改为加号可以递归二项式系数的平方-参见A008459号.

行的例如f.和三角形的对角线之间有一个关系,即exp(x)*例如f.对于行n=例如f.对角线n。例如,对于n=3,我们有exp(x)*(1+3*x+3*x^2/2!+x^3/3!)=1+4*x+10*x^2!+20*x^3/3!+35*x^4/4!+。。。。此属性更普遍地适用于形式为(f(x),x/(1-x))的Riordan数组,其中f(x)是形式为1+f_1*x+f_2*x^2+…的o.g.f。。。。例如,请参见,A055248号A106516号.

让P表示现在的三角形。对于k=0,1,2,。。。定义P(k)为下单位三角形块数组

/确定0(_k)\

\0 P/将k X k单位矩阵I_k作为左上块;特别地,P(0)=P。无穷乘积P(0,P(1)*P(2)*。。。,这是明确定义的,等于第二类斯特林数的三角形A008277号.按相反顺序的无穷乘积,即*P(2)*P(1)*PA130534型.(结束)

C(a+b,C)=和{k=0..a}C(a,k)*C(b,b-C+k)。这是普鲁德尼科夫等人参考文献第4.2.5节方程式1的推广,其中a=b=c=n:c(2*n,n)=Sum_{k=0..n}c(n,k)^2。有关新公式的动画,请参见“链接”部分-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2015年8月26日

Pascal矩阵P(n,x)=(1+x)^n的行多项式与Bernoulli多项式Br(n,x)及其本影合成逆Bv(n,x=(-Br(.,-Bv(.,x))^n=(-1)^n Br,M是对角矩阵图(1,-1,1,-1,…),Br是伯努利多项式系数的矩阵,Bv是由Br(n,Bv(.,x))=x^n=Bv(n,Br(.,x))定义的本影逆多项式的矩阵。注M=M^(-1)-汤姆·科普兰2015年9月5日

1/(1-x)^k=(r(x)*r(x^2)*r其中r(x)=(1+x)^k-加里·亚当森2016年10月17日

Riordan阵列k列的Boas-Buck型递归(参见2017年8月10日的备注A046521号,也供参考),Boas-Buck序列b(n)={repeat(1)}。T(n,k)=((k+1)/(n-k))*Sum_{j=k..n-1}T(j,k),对于n>=1,T(n、n)=1。通过T(n,k)=二项式(n,k),这可以简化为已知的二项式恒等式(例如,Graham等人,第161页)-沃尔夫迪特·朗2018年11月12日

C((p-1)/a,b)==(-1)^b*fact_a(a*b-a+1)/fact_a(a*b)(mod p),其中fact_n表示第n个多因子,a除以p-1,方程式右侧分数的分母表示模逆-艾萨克·萨福克2019年1月7日

C(n,k-1)=A325002型(n,k)-[k==n+1]=(A325002型(n,k)+A325003型(n,k))/2=[k==n+1]+A325003型(n,k)-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日

发件人赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2021年5月13日:(开始)

二项式和是斐波那契数A000045号:

和{k=0..n}C(n+k,2*k+1)=F(2*n)。

和{k=0..n}C(n+k,2*k)=F(2*n+1)。(结束)

例子

三角形T(n,k)开始于:

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11。。。

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

...

有C(4,2)=6种方式在3个不同的瓮中分配5个球BBBBB,<>()[],以便每个瓮获得至少一个球,即<BBB>(B)[B]、<B>(BBB。

从{1,2}到{1,2,3,4},共有C(4,2)=6个递增函数,即{(1,1),(2,2)},{(1.1),(2,3)}、{(1,1)、(2,4)}和{(1.3),(2.4)}-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日

含有中间元素3的{1,2,3,4,5}的C(4,2)=6个子集,即{3}、{1,3,4}、}1,3,5}、{2,3,4]、{2,5}和{1,2,4,5{-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日

{A(0)}=E的连续k次迭代是E;E;E、 ;。。。;相应的元素数为1,1,1,。。。{A(1)}={A}的连续k次迭代是(省略括号)A;a、 E;a、 E,E;。。。;相应的元素数为1,2,3,。。。{A(2)}={A,A}的连续k次迭代是aa;aa、a、E;aa、a、E和a、E与E;。。。;相应的元素数为1,3,6-格雷戈里·西蒙,2018年8月6日

k列的Boas-Buck型递推=4:T(8,4)=(5/4)*(1+5+15+35)=70。请参阅上面的Boas-Buck评论-沃尔夫迪特·朗2018年11月12日

MAPLE公司

A007318号:=(n,k)->二项式(n,k);

数学

扁平[表[二项式[n,k],{n,0,11},{k,0,n}]](*罗伯特·威尔逊v2004年1月19日*)

压扁[系数列表[系数列表[Series[1/(1-x-x*y),{x,0,12}],x],y]](*Mats Granvik公司2014年7月8日*)

黄体脂酮素

(AXIOM)--(启动)

)设置expose添加构造函数OutputForm

帕斯卡(0,n)==1

帕斯卡(n,n)==1

帕斯卡(i,j|0<i和i<j)==帕斯卡

pascalRow(n)==[pascal(i,n)for i in 0..n]

displayRow(n)==输出中心空白分隔行(n)

对于0..20中的i,重复显示第i行--(结束)

(PARI)C(n,k)=二项式(n,k)\\查尔斯·格里特豪斯四世,2011年6月8日

(Python)#请参阅Hobson链接。其他计划:

定义C(n,k):

如果k<0或k>n:

返回0

res=1

对于范围(k)内的i:

res*=(n-i)//(i+1)

返回res

#罗伯特·费雷奥2018年3月31日

定义C(n,k):来自numpy导入产品;返回触头([(n-j)/(j+1),对于范围(k)内的j)]

def C(n,k):从functools导入reduce;return reduce(lambda x,y:x*(n-y)//(1+y),range(k),1)#一些字符更长,但只使用整数。

#M.F.哈斯勒2019年12月13日

(哈斯克尔)

a007318 n k=a007318_tabl!!不!!k个

a007318_row n=a007318-tabl!!n个

a007318_list=连接a007318-tabl

a007318_tabl=迭代(\row->zipWith(+)([0]++行)(row++[0]))[1]

--参见。http://www.haskell.org/haskellwiki/Blow_your_mind#Mathematical_sequences

--莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月9日,2010年10月22日

(极大值)create_list(二项式(n,k),n,0,12,k,0,n)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/

(Sage)def C(n,k):返回子集(range(n),k).cardinality()#拉尔夫·斯蒂芬2014年1月21日

(岩浆)/*作为三角形:*/[[二项式(n,k):k in[0..n]]:n in[0..10]]//文森佐·利班迪2015年7月29日

(GAP)平面(列表([0..12],n->List([0..n],k->二项式(n,k)))#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月22日

交叉参考

等于A102363号——David G.Williams(大卫·威廉姆斯(AT)Paxway.com),2006年1月23日

行总和给出A000079号(2的权力)。

囊性纤维变性。A083093号(三角形读取模块3),A214292型(行的第一个差异)。

行的部分和构成三角形A008949号.

反对偶三角形是A011973号.

无限矩阵平方:A038207号,立方:A027465号.

囊性纤维变性。A101164号。如果对行进行排序,则会得到A061554号A107430号.

另一个版本:A108044号.

囊性纤维变性。A008277号,A132311号,A132312号,A052216号,A052217号,A052218号,A052219号,A052220型,A052221号,A052222号,A052223号,A144225号,A202750型,A211226型,A047999号,A026729号,A052553号,A051920号,A193242号.

三角总和(见注释):A000079号(第1行);A000007号(第2行);A000045号(Kn11和Kn21);A000071号(Kn12和Kn22);A001924号(Kn13和Kn23);A014162号(Kn14和Kn24);A014166号(Kn15和Kn25);A053739号(Kn16和Kn26);A053295号(Kn17和Kn27);A053296号(Kn18和Kn28);A053308号(Kn19和Kn29);A053309号(Kn110和Kn210);A001519号(Kn3和Kn4);A011782号(图1和图2);A000930号(Ca1和Ca2);A052544号(Ca3和Ca4);A003269号(Gi1和Gi2);A055988号(Gi3和Gi4);A034943号(Ze1和Ze2);A005251号(Ze3和Ze4)-约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日

斐波那契-泛三角形:A027926号,A036355号,A037027号,A074829号,A105809号,A109906号,A111006号,A114197号,A162741号,A228074号,A228196型,A228576号.

囊性纤维变性。A137948号,A245334型.

囊性纤维变性。A085478号,A258993型.

对比(单色)A325002型(定向),[k==n+1](手性),A325003型(无意识),A325000型(k或更少颜色),A325009型(矫形面、矫形顶点),A325017型(矫形面、矫形顶点)。

m=1,…,的广义二项式系数(n,k)_m的三角形(或广义Pascal三角形),。。。,12:A007318号(帕斯卡),A001263号,A056939号,A056940号,A056941号,A142465号,A142467号,A142468号,A174109号,A342889型,A342890型,A342891型.

关键词

非n,,美好的,容易的,核心,,听到

作者

N.J.A.斯隆米拉·伯恩斯坦1994年4月28日

扩展

检查了所有链接,删除了8个似乎永远丢失的链接,这些链接可能并不重要-N.J.A.斯隆2018年5月8日

状态

经核准的

A007318号 按行读取的帕斯卡三角形:C(n,k)=二项式(n,k)=n/(k!*(n-k)!),0<=k<=n。
(历史;已发布版本)
842版批准人俄罗斯考克斯2022年3月29日星期二22:30:27 EDT
身份证件

M0082号

名称

按行读取的帕斯卡三角形:C(n,k)=二项式(n,k)=n/(k!*(n-k)!),0<=k<=n。

数据

1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 5, 10, 10, 5, 1, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1, 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1, 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1

抵消

0,5

评论

A.W.F.公司。爱德华兹写道:“它(三角形)早在1654年,也就是布莱斯·帕斯卡(Blaise Pascal)写下三角算术的那一年,这本书就被首次记录下来了,但正是这本书首次将数字的所有不同方面结合在一起。在这本书中,帕斯卡将数字的性质发展成为一个纯粹的数学。。。然后,在一系列附录中,展示了这些性质如何与数字的研究、组合理论、二项式表达式的展开以及概率论中一个重要问题的解决相关。”(A.W.F.Edwards,《帕斯卡的算术三角》,约翰·霍普金斯大学出版社(2002),第xiii页)

爱德华兹(Edwards)报告称,1708年,蒙莫特(Montmort)首先以帕斯卡(Pascal)命名三角形,称之为“帕斯卡组合表”(Table de M.Pascal pour les combinations),1730年,德莫伊夫(de Moivre)将其命名为“三角算术PASCALANIUM”。(爱德华兹,第xiv页)

在中国,杨辉在1261年列出了(a+b)^n到n=6的系数,将这种扩展归功于大约1100年的嘉欣的《世素算书》。另一个突出的早期应用是1303年朱世嘉的《四行宝镜》。(爱德华兹,第51页)

在波斯,Al-Karaji在“1007年后不久的某个时间”发现了二项式三角形,而Al-Samawal在1180年前的某个时候在Al-bahir杂志上发表了它。(爱德华兹,第52页)

在印度,Halayuda对Pingala关于音节组合的论文(约公元前200年)的评论(约900年)清楚地描述了三角形的加法计算。(Amulya Kumar Bag,古印度二项式定理,第72页)

同样在印度,C(n,k)的乘法公式于850年为Mahavira所知,并于1150年由Bhaskara重申。(爱德华兹,第27页)

在意大利,塔塔格里亚(Tartaglia)在他的《将军特拉塔托》(General trattato,1556年)中发表了三角图,而卡达诺(Cardano)则在他的《新作品》(Opus novum,1570年)中出版了三角图。(爱德华兹,第39、44页)-俄罗斯考克斯2022年3月29日

C(n,k)=n元集的k元子集的数目。

第n行给出了(1+x)^n展开式中的系数。

二项式(n+k-1,n-1)是将k个无法区分的球放入n个盒子中的方法数(“条形和星形”参数-参见Feller)。

二项式(n-1,k-1)是n与k和的组合数(有序分区)。

二项式(n+k-1,k-1)是n的弱成分(有序弱分区)精确到k个和的数量-尤根·威尔2016年1月23日

二项式(n,k)是使用步骤(1,0)和(1,1)从(0,0)到(n,k)的晶格路径数-乔格·阿恩特2011年7月1日

如果将其视为无限下三角矩阵,则逆矩阵开始:

+1

-1 +1

+1 -2 +1

-1 +3 -3 +1

+1 -4 +6 -4 +1

开始于A006516号(n) 第个条目是奇数-Lekraj Beedassy公司2003年5月20日

二项式(n+k-1,n-1)是形状(n,1^k)的标准表格数-Emeric Deutsch公司2004年5月13日

可以看作是一个数组,由反对偶读取,其中第一行和第一列中的条目都是1,对于所有其他条目,A(i,j)=A(i-1,j)+A(i、j-1)。从(0,0)开始的每个n×n子数组的行列式为1-杰拉尔德·麦卡维2004年8月17日

此外,矩阵指数的下三角读数,其条目{j+1,j}等于j+1(所有其他条目都为零)Joseph Biberstine(jrbibers(AT)indiana.edu),2006年5月26日

二项式(n-3,k-1)计算S_n中图案231零次出现、图案132和k下降一次出现的排列。二项式(n-3,k-1)还计算S_n中模式231零次出现、模式213和k下降一次出现的排列David Hoek(David.hok(AT)telia.com),2007年2月28日

的反转A130595型(作为无限下三角矩阵)-菲利普·德尔汉姆2007年8月21日

考虑整数列表LL的列表L的形式LL=[m#L]=[m#[k#2]](其中“#”表示“时间”),如LL(m=3,k=3)=[2,2,2],[2,2,2],[2,2]]。如果像[1,1]、[2]、[2]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[1]、[2]这样的多个分区只计算一次,LL(m,k)的整数列表分区数等于二项式(m+k,k)。对于这个例子,我们发现4*5*6/3!=20=二项式(6,3)-托马斯·维德2007年10月3日

帕斯卡三角形及其逆三角形的无穷小生成器为A132440号. -汤姆·科普兰2007年11月15日

第n>=2行给出了以n为基数的k位数字(k>0)的个数,数字严格递减;例如,第10行A009995号类似地,第n-1>=2行给出了以n为基数的k位数字(k>1)的个数,数字严格递增;看见A009993号并进行比较A118629号. -里克·L·谢泼德2007年11月25日

来自Lee Naish(Lee(AT)cs.mu.oz.au),2008年3月7日:(开始)

二项式(n+k-1,k)是将长度为k的序列划分为n个子序列的方法数(参见Naish链接)。

二项式(n+k-1,k)也是以至少k为基数写的n个(或更少)数字的数目,其数字总和为k。例如,在十进制中,有二项式的(3+3-1,3)=10个3位数,其数字之和为3(参见A052217号)二项式(4+2-1,2)=10个四位数,其数字之和为2(参见A052216号). 此关系可用于生成序列数A052216号A052224号(以及使用大于10的基数的进一步序列)。(结束)

发件人米兰Janjic2008年5月7日:(开始)

用sigma_k(x_1,x_2,…,x_n)表示初等对称多项式。然后:

二项式(2n+1,2k+1)=σ{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2(i*Pi/(2n+1)),(i=1,2,…,n)。

二项式(2n,2k+1)=2n*sigma{n-1-k}(x_1,x_2,…,x_{n-1}),其中x_i=tan^2(i*Pi/(2n)),(i=1,2,…,n-1)。

二项式(2n,2k)=σ{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2((2i-1)Pi/(4n)),(i=1,2,…,n)。

二项式(2n+1,2k)=(2n+1)σ{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2((2i-1)Pi/(4n+2)),(i=1,2,…,n)。(结束)

给定矩阵R和S,其中R(n,k)=二项式(n,k)*R(n-k)和S(n,k-)=二项式(n、k)*S(n-k。并且,R、s和T的行多项式的例如f.s分别是exp(x*T)*exp[R(.)*x]、exp。请参见A132382号例如-汤姆·科普兰2008年8月21日

当矩形R(m,n)=二项式(m+n-2,m-1)时,权重数组W(通常定义为A144112号)R的本质是R本身,在这个意义上,如果W的第1行和第1列=A144225号则剩余数组为R-克拉克·金伯利2008年9月15日

如果A007318号=M作为无限下三角矩阵,M^n给出A130595型,A023531号,A007318号,A038207号,A027465号,A038231号,A038243号,A038255号,A027466号,A038279号,A038291号,A038303号,A038315号,A038327号,A133371号,A147716号,A027467号n分别为-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆2008年11月11日

多项式的系数,例如f.exp(x*t)*(cosh(t)+sinh(t))-彼得·卢什尼2009年7月9日

三角形或国际象棋的总和,参见A180662号有关它们的定义,请将帕斯卡三角形与20个不同的序列联系起来,请参阅交叉参考。由于这个三角形的对称性,所有的总和都成对出现。骑士总金额Kn14-Kn110已添加。值得注意的是,所有骑士和都与斐波那契数相关,即。,A000045号,但其他都没有-约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日

二项式(n,k)也是将n+1个球分布到k+1个瓮中的方法数,以便每个瓮至少得到一个球。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年1月29日

二项式(n,k)是从{1,…,k}增加到{1,..,n}的函数数,因为有二项式的(n,k)方法可以从余域{1,,…,n}s中选择范围内k个不同的有序元素。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日

中心二项系数:T(2*n,n)=A000984号(n) ,T(n,楼层(n/2))=A001405号(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月9日

二项式(n,k)是以k+1为中间元素的{1,…,n+1}的子集数。要了解这一点,请注意总和{j=0..min(k,n-k)}二项式(k,j)*二项式。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日

这是晶格Z^n的坐标三角形,参见Conway-Sloane,1997-N.J.A.斯隆2012年1月17日

高度为1的整数阶乘比序列的三个无穷族之一(参见Bober定理1.2)。其他两个是A046521号A068555号.对于实际r>=0,C_r(n,k):=楼层(r*n)/(地板(r*k)*地板(r*(n-k))!)是整数。请参见A211226型对于r=1/2的情况-彼得·巴拉2012年4月10日

定义一个有n行的有限三角形T(m,k),使T(m、0)=1为左列,T(m)=二项式(n-1,m)为右列,其他条目为T(m;k)=T(m-1,k-1)+T(m-l,k)(如帕斯卡三角形中所示)。T中所有项目的总和(有A000217号(n) 元素)为3^(n-1)-J.M.贝戈2012年10月1日

下三角Pascal矩阵是算子exp(RLR)在由多项式序列p_n(x)组成的基中的表示,该多项式序列由R p_n。请参见A132440号,A218272型,A218234号,A097805号、和A038207号转置和填充的Pascal矩阵可以与特殊线性组SL2相关联-汤姆·科普兰2012年10月25日

请参见A193242号. -亚历山大·波沃洛茨基2013年2月5日

集合{1,…,n}的置换p_1…p_n在位置i处下降,如果p_i>p_(i+1)。设S(n)表示{1,…,n}的置换p_1…p_n的子集,使得p_(i+1)-p_i<=1,。。。,n-1.然后二项式(n,k)给出了S(n+1)中k下降的置换数。或者,二项式(n,k)给出了S(n+1)中随k+1增加的排列数-彼得·巴拉2013年3月24日

和{n=>0}二项式(n,k)/n!)=e/k!,其中e=exp(1),同时允许n<k,其中二项式(n,k)=0。同时求和{n>=0}二项式(n+k-1,k)/n!=e(电子)*A000262号(k) /k!,对于k>=1等于e*A067764号(k)/A067653号(k) ●●●●-理查德·福伯格2014年1月1日

下面公式中定义的Pascal矩阵P(X)的平方n X n子矩阵(前n行和n列)在左边乘以Vandermonde矩阵V(X_1,…,X_n)(第一行中有一个)时,将矩阵转换为V(X_1+X,…,X_n+X),同时保持行列式不变-汤姆·科普兰2014年5月19日

对于k>=2,n>=k,k/((k/(k-1)-和{n=k.m.m}1/二项式(n,k))=m/(m-k+1)*(k-2)!)。注:k/(k-1)是无限和。请参见A000217号,A000292号,A000332号例如-理查德·福伯格2014年8月12日

设G_(2n)是对称群S_(2n。二项式(n,k)给出了G_(2n)中具有n+k个循环的置换数。囊性纤维变性。A130534型A246117号. -彼得·巴拉2014年8月15日

C(n,k)=半长n+1的Dyck路径数,其中k+1“u”位于奇数位置,k+1返回x轴。示例:{U=U在奇数位置,_=返回x轴}二项式(3,0)=1(Uududd_);二项式(3,1)=3[(Uududd_Ud_),(Ud_Uudd_);二项式(3,2)=3[(Ud_Ud_U udd_),(Uudd_U d_U d),(U d_Uudd_ d)];二项式(3,3)=1(Ud_Ud_uUd_)-罗杰·福特2014年11月5日

发件人丹尼尔·福格斯2015年3月12日:(开始)

二项式系数二项式(n,k)给出了n个种群加倍后第k代的个体数。每增加一倍种群,每个个体的克隆都会使其世代指数增加1,从而转到下一行。只需将每一行从0到2^n-1相加即可得到二项式系数。

0 1 3 7 15

0:O|.|..|….||

1:|O|O.|O…|(O…|)O|

2:||O|O操作。|O O O。哦|

3:|||O|O O O O|

4:||||O|

这是一个分形过程:要获得从0到2^n-1的图案,请在图案右侧附加一个从0到2 ^(n-1)-1的图案下移(一行)副本。(灵感来自“二项式堆”数据结构。)

生成指数序列:1’s计数序列:n的二进制展开中的1’s数(或n的二进制权重)(参见A000120号):

{0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...}

0到15的二进制扩展:

0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1111

(结束)

A258993型(n,k)=T(n+k,n-k),n>0-莱因哈德·祖姆凯勒2015年6月22日

T(n,k)是[n+1]的集合分区w的数量,该集合分区w避免了1/2/3,rb(w)=k。ls(w)=k也是如此,其中回避是指Klazar和ls,rb由Wachs和White定义。

满足本福德定律[Diaconis,1977]-N.J.A.斯隆2017年2月9日

设{A(n)}是一个有n个完全相同元素的集,{A(0)}为空集E。{A(n,1)}=A{(n)}的所有子集的集合,包括{A(n-)}和E。设A(n,k)是{A(n、k)}中的元素数。然后A(n,k)=C(n+k,k),每次迭代都复制帕斯卡三角形第k对角线的成员。请参见示例-格雷戈里·西蒙,2018年8月6日

二项式(n-1,k)也是避免213和312的排列数,其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日

二项式(n-1,k)也是避免132和213的排列数,其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日

二项式(n,k)是维数n的向量空间的第k次外幂的维数-斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月22日

C(n,k-1)是使用k种颜色的n维单纯形的面(或顶点)的无方向着色数。在列举无定向排列时,每个手性对都算作一对-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日

Dilcher和Stolarsky:“数学中最普遍的两个对象是素数序列和二项式系数(以及Pascal三角形)这两者之间的联系是由素数的一个著名特征给出的:考虑帕斯卡三角形第k行中的项,不包括首项和尾项。它们都可以被k整除当且仅当k是素数。" -汤姆·科普兰2021年5月17日

皮埃尔·雷蒙德·德·蒙莫特(1708)以法国数学家、物理学家和哲学家布莱斯·帕斯卡(1623-1662)的名字命名为“帕斯卡组合表”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月11日

将三角形的第n条对角线视为序列b(n),n从0开始。通过保持第0项不变,然后考虑n的所有组成,从中形成一个新序列,取b(i)对每个组成中相应数字i的乘积,加上与偶数部分组成对应的项,减去与奇数部分组成相对应的项。然后得到三角形的第n行,每第二项乘以-1,后面跟着无穷多个零。对于以1开头的序列,此操作是自反转操作的特例,因此反之亦然-托马斯·安东2021年7月5日

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与Pascal三角形相关的三角形和数组的索引条目</a>

<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

<a href=“/index/Be#Benford”>与Benford定律相关的序列索引条目</a>

配方奶粉

a(n,k)=C(n,k)=二项式(n,克)。

C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)。

三角形是对称的:C(n,k)=C(n、n-k)。

a(n+1,m)=a(n,m)+a(n、m-1),a(n;-1):=0,a(m,n):=0,n<m;a(0,0)=1。

C(n,k)=n/(k!(n-k)!)如果0<=k<=n,则为0。

G.f.:1/(1-y-x*y)=和_(C(n,k)*x^k*y^n,n,k>=0)

G.f.:1/(1-x-y)=和_(C(n+k,k)*x^k*y^n,n,k>=0)。

第n行的G.f:(1+x)^n=Sum_{k=0..n}C(n,k)*x^k。

柱n:x^n/(1-x)^n的G.f。

例如:A(x,y)=exp(x+x*y)。

例如,对于n列:x^n*exp(x)/n!。

一般来说A007318号表示为:T(0,0)=1,T(n,k)=T(n-1,k-1)+m*T(n-1,k),其中n是行index,k是列;T(n,k)=m^(n-k)*C(n,k)。

按行读取三角形T(n,k);由提供A000007号三角洲A000007号,其中DELTA是Deléham的运算符,定义于A084938号.

设P(n+1)=(n+1)的整数分区数;设p(i)=(n+1)的第i个分区的部分数;设d(i)=(n+1)的第i个分区的不同部分的数目;设m(i,j)=(n+1)的第i分区的第j部分的重数。将运算符Sum_{i=1..P(n+1),P(i)=k+1}定义为从i=1到i=P(n/1)的和,但只考虑具有P(i)=(k+1)部分的分区。定义操作符Product_{j=1..d(i)}=Product从j=1运行到j=d(i)。那么C(n,k)=和{p(i)=(k+1),i=1.p(n+1)}p(i[产品{j=1..d(i)}m(i,j)!]。例如,C(5,3)=10,因为n=6有以下m=3部分的分区:(114),(123),(222)。对于它们的多重性,我们有:(114):3/(2!*1!) = 3; (123): 3!/(1!*1!*1!) = 6; (222): 3!/3! = 1.总和为3+6+1=10=C(5,3)-托马斯·维德2005年6月3日

C(n,k)=和{j=0..k}=(-1)^j*C(n+1+j,k-j)*A000108号(j) ●●●●-菲利普·德尔汉姆2005年10月10日

通用格式:1+x*(1+x)+x^3*(1++x)^2+x^6*(1+x)^3+-迈克尔·索莫斯2006年9月16日

求和{k=0..楼层(n/2)}x^(n-k)*T(n-k,k)=A000007号(n) ,A000045号(n+1),A002605号(n) ,A030195号(n+1),A057087号(n) ,A057088号(n) ,A057089号(n) ,A057090型(n) ,A057091号(n) ,A057092号(n) ,A057093号(n) 对于x=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。求和{k=0..楼层(n/2)}(-1)^k*x^(n-k)*T(n-k,k)=A000007号(n) ,A010892号(n) ,A009545号(n+1),A057083号(n) ,A001787号(n+1),A030191号(n) ,A030192号(n) ,A030240型(n) ,A057084号(n) ,A057085号(n+1),A057086号(n) ,A084329号(n+1),x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,20-菲利普·德尔汉姆2006年9月16日

C(n,k)<=A062758号(n) 对于n>1-莱因哈德·祖姆凯勒2008年3月4日

C(t+p-1,t)=和{i=0..t}C(i+p-2,i)=和}i=1..p}C(i+t-2,t-1)。二项式数是它的左亲和所有右祖先的和,等于它的右亲和所有左祖先的和Lee Naish(Lee(AT)cs.mu.oz.au),2008年3月7日

发件人保罗·D·汉纳2011年3月24日:(开始)

设A(x)=Sum_{n>=0}x^(n*(n+1)/2)*(1+x)^n是平面三角形的g.f:

A(x)=1+(x+x^2)+(x^3+2*x^4+x^5)+(x ^6+3*x^7+3*x ^8+x^9)+。。。

则A(x)等于级数Sum_{n>=0}(1+x)^n*x^n*Product_{k=1..n}(1-(1+x)*x^(2*k-1))/(1-(1+x)*x ^(2*k));

此外,A(x)等于连分数1/(1-x*(1+x)/(1+x*(1-x)*(1+x)/)。

这些公式是由于(1)q级数恒等式和(2)部分椭圆θ函数表达式。(结束)

对于n>0:T(n,k)=A029600型(n,k)-A029635号(n,k),0≤k≤n-莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月16日

三角形的第n行是对自然数(1,2,3,…,n)的前n项应用ConvOffs变换的结果。请参见A001263号A214281型以获取此转换的定义-加里·亚当森2012年7月12日

发件人L.埃德森·杰弗里,2012年8月2日:(开始)

三角形的第n行(n>=0)由无穷矩阵P^n的第n对角化给出,其中P=(P_{i,j}),i,j>=0是生产矩阵

0, 1,

1, 0, 1,

0, 1, 0, 1,

0, 0, 1, 0, 1,

0, 0, 0, 1, 0, 1,

0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,

0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,

…(结束)

三角形的第n行也由由递归P_0(x)=1,P_1(x)=x+1,P_n(x-L.埃德森·杰弗里2013年8月12日

有关Pascal-like三角形任意左右边界的闭合公式,请参见A228196型. -鲍里斯·普蒂夫斯基2013年8月18日

关于广义帕斯卡三角形的闭合公式,请参见A228576号. -鲍里斯·普蒂夫斯基2013年9月4日

(1+x)^n=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*和{i=0..k}k^(i-i)*二项式(k,i)*x^(n-i)/(n-i)-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年10月21日

例如:A(x,y)=exp(x+x*y)=1+(x+y*x)/(E(0)-(x+y*x)),其中E(k)=1+;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月8日

例如:E(0)-1,其中E(k)=2+x*(1+y)/(2*k+1-x*(1+y)/E(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日

通用系数:1+x*(1+x)*(1+x^2*(1++x)/(W(0)-x^2-x^3)),其中W(k)=1+(1+x)*x^(k+2)-(1+x)*xqu(k+3)/W(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日

和{n>=0}C(n,k)/n!=e/k!,其中e=exp(1),而允许n<k,其中C(n,k)=0。同时求和{n>=0}C(n+k-1,k)/n!=e(电子)*A000262号(k) /k!,对于k>=1等于e*A067764号(k)/A067653号(k) ●●●●-理查德·福伯格2014年1月1日

和{n>=k}1/C(n,k)=k/(k-1)对于k>=1-理查德·福伯格2014年2月10日

发件人汤姆·科普兰2014年4月17日和26日:(开始)

将Pascal下三角矩阵的每个第n对角线乘以x^n,并将结果指定为A007318号(x) =P(x)。然后利用:xD:^n=x^n*(d/dx)^n和B(n,x),Bell多项式(A008277号),

A) P(x)=经验(x*dP)=经验[x*(e^M-I)]=经验[M*B(.,x)]=(I+dP)^B(.、x)

带dP=A132440号,男=A238385型-一、 I=单位矩阵,以及

B) P(:xD:)=exp(dP:xD:A238363型).

C) P(x)^y=P(y*x)。P(2倍)=A038207号(x) =exp[M*B(.,2x)],n维超立方体的面向量。

D) P(x)=[St2]*exp(x*M)*[St1]=[St2]*(I+dP)^x*[St1)

E) =[St1]^(-1)*(I+dP)^x*[St1]=[St2]*

其中[St1]=填充A008275号与[St2]相同=A048993号=填充A008277号exp(x*M)=(I+dP)^x=总和(k=0,..,无穷大,C(x,k)dP^k)。(结束)

T(n,k)=A245334型(n,k)/A137948号(n,k),0≤k≤n-莱因哈德·祖姆凯勒2014年8月31日

发件人彼得·巴拉2014年12月21日:(开始)

递归方程:T(n,k)=T(n-1,k)*(n+k)/(n-k)-T。注意,将递归中的减号改为加号可以递归二项式系数的平方-参见A008459号.

行的例如f.和三角形的对角线之间有一个关系,即exp(x)*例如f.对于行n=例如f.对角线n。例如,对于n=3,我们有exp(x)*(1+3*x+3*x^2/2!+x^3/3!)=1+4*x+10*x^2!+20*x^3/3!+35*x^4/4!+。。。。此属性更普遍地适用于形式为(f(x),x/(1-x))的Riordan数组,其中f(x)是形式为1+f_1*x+f_2*x^2+…的o.g.f。。。。例如,请参见,A055248号A106516号.

让P表示现在的三角形。对于k=0,1,2,。。。定义P(k)为下单位三角形块数组

/确定0(_k)\

\0 P/将k X k单位矩阵I_k作为左上块;特别地,P(0)=P。无穷乘积P(0,P(1)*P(2)*。。。,这是明确定义的,等于第二类斯特林数的三角形A008277号.按相反顺序的无穷乘积,即*P(2)*P(1)*PA130534型.(结束)

C(a+b,C)=和{k=0..a}C(a,k)*C(b,b-C+k)。这是普鲁德尼科夫等人参考文献第4.2.5节方程式1的推广,其中a=b=c=n:c(2*n,n)=Sum_{k=0..n}c(n,k)^2。有关新公式的动画,请参见“链接”部分-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2015年8月26日

Pascal矩阵P(n,x)=(1+x)^n的行多项式与Bernoulli多项式Br(n,x)及其本影合成逆Bv(n,x=(-Br(.,-Bv(.,x))^n=(-1)^n Br,M是对角矩阵图(1,-1,1,-1,…),Br是伯努利多项式系数的矩阵,Bv是由Br(n,Bv(.,x))=x^n=Bv(n,Br(.,x))定义的本影逆多项式的矩阵。注M=M^(-1)-汤姆·科普兰2015年9月5日

1/(1-x)^k=(r(x)*r(x^2)*r其中r(x)=(1+x)^k-加里·亚当森2016年10月17日

Riordan阵列k列的Boas-Buck型递归(参见2017年8月10日的备注A046521号,也供参考),Boas-Buck序列b(n)={repeat(1)}。T(n,k)=((k+1)/(n-k))*Sum_{j=k..n-1}T(j,k),对于n>=1,T(n、n)=1。通过T(n,k)=二项式(n,k),这可以简化为已知的二项式恒等式(例如,Graham等人,第161页)-沃尔夫迪特·朗2018年11月12日

C((p-1)/a,b)==(-1)^b*fact_a(a*b-a+1)/fact_a(a*b)(mod p),其中fact_n表示第n个多因子,a除以p-1,方程式右侧分数的分母表示模逆-艾萨克·萨福克2019年1月7日

C(n,k-1)=A325002型(n,k)-[k==n+1]=(A325002型(n,k)+A325003型(n,k))/2=[k==n+1]+A325003型(n,k)-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日

发件人赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2021年5月13日:(开始)

二项式和是斐波那契数A000045号:

和{k=0..n}C(n+k,2*k+1)=F(2*n)。

和{k=0..n}C(n+k,2*k)=F(2*n+1)。(结束)

例子

三角形T(n,k)开始于:

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11。。。

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

...

有C(4,2)=6种方式在3个不同的瓮中分配5个球BBBBB,<>()[],以便每个瓮获得至少一个球,即<BBB>(B)[B]、<B>(BBB。

从{1,2}到{1,2,3,4},共有C(4,2)=6个递增函数,即{(1,1),(2,2)},{(1.1),(2,3)}、{(1,1)、(2,4)}和{(1.3),(2.4)}-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日

含有中间元素3的{1,2,3,4,5}的C(4,2)=6个子集,即{3}、{1,3,4}、}1,3,5}、{2,3,4]、{2,5}和{1,2,4,5{-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日

{A(0)}=E的连续k次迭代是E;E;E、 ;。。。;相应的元素数为1,1,1,。。。{A(1)}={A}的连续k次迭代是(省略括号)A;a、 E;a、 E,E;。。。;相应的元素数为1,2,3,。。。{A(2)}={A,A}的连续k次迭代是aa;aa、a、E;aa、a、E和a、E与E;。。。;相应的元素数为1,3,6-格雷戈里·西蒙,2018年8月6日

k列的Boas-Buck型递推=4:T(8,4)=(5/4)*(1+5+15+35)=70。请参阅上面的Boas-Buck评论-沃尔夫迪特·朗2018年11月12日

MAPLE公司

A007318号:=(n,k)->二项式(n,k);

数学

扁平[表[二项式[n,k],{n,0,11},{k,0,n}]](*罗伯特·威尔逊v2004年1月19日*)

压扁[系数列表[系数列表[Series[1/(1-x-x*y),{x,0,12}],x],y]](*Mats Granvik公司2014年7月8日*)

黄体脂酮素

(AXIOM)--(启动)

)设置expose添加构造函数OutputForm

帕斯卡(0,n)==1

帕斯卡(n,n)==1

帕斯卡(i,j|0<i和i<j)==帕斯卡

pascalRow(n)==[pascal(i,n)for i in 0..n]

displayRow(n)==输出中心空白分隔行(n)

对于0..20中的i,重复显示第i行--(结束)

(PARI)C(n,k)=二项式(n,k)\\查尔斯·格里特豪斯四世,2011年6月8日

(Python)#请参阅Hobson链接。其他计划:

定义C(n,k):

如果k<0或k>n:

返回0

res=1

对于范围(k)内的i:

res*=(n-i)//(i+1)

返回res

#罗伯特·费雷奥2018年3月31日

定义C(n,k):来自numpy导入产品;返回触头([(n-j)/(j+1),对于范围(k)内的j)]

def C(n,k):从functools导入reduce;return reduce(lambda x,y:x*(n-y)//(1+y),range(k),1)#一些字符更长,但只使用整数。

#M.F.哈斯勒2019年12月13日

(哈斯克尔)

a007318 n k=a007318_tabl!!不!!k个

a007318_row n=a007318-tabl!!n个

a007318_list=连接a007318-tabl

a007318_tabl=迭代(\row->zipWith(+)([0]++行)(row++[0]))[1]

--参见。http://www.haskell.org/haskellwiki/Blow_your_mind#Mathematical_sequences

--莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月9日,2010年10月22日

(极大值)create_list(二项式(n,k),n,0,12,k,0,n)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/

(Sage)def C(n,k):返回子集(range(n),k).cardinality()#拉尔夫·斯蒂芬2014年1月21日

(岩浆)/*作为三角形:*/[[二项式(n,k):k in[0..n]]:n in[0..10]]//文森佐·利班迪2015年7月29日

(GAP)平面(列表([0..12],n->List([0..n],k->二项式(n,k)))#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月22日

交叉参考

等于A102363号——David G.Williams(大卫·威廉姆斯(AT)Paxway.com),2006年1月23日

行总和给出A000079号(2的权力)。

囊性纤维变性。A083093号(三角形读取模块3),A214292型(行的第一个差异)。

行的部分和构成三角形A008949号.

反对偶三角形是A011973号.

无限矩阵平方:A038207号,立方:A027465号.

囊性纤维变性。A101164号。如果对行进行排序,则会得到A061554号A107430号.

另一个版本:A108044号.

囊性纤维变性。A008277号,A132311号,A132312号,A052216号,A052217号,A052218号,A052219号,A052220型,A052221号,A052222号,A052223号,A144225号,A202750型,A211226型,A047999号,A026729号,A052553号,A051920号,A193242号.

三角总和(见注释):A000079号(第1行);A000007号(第2行);A000045号(Kn11和Kn21);A000071号(Kn12和Kn22);A001924号(Kn13和Kn23);A014162号(Kn14和Kn24);A014166号(Kn15和Kn25);A053739号(Kn16和Kn26);A053295号(Kn17和Kn27);A053296号(Kn18和Kn28);A053308号(Kn19和Kn29);A053309号(Kn110和Kn210);A001519号(Kn3和Kn4);A011782号(图1和图2);A000930号(Ca1和Ca2);A052544号(Ca3和Ca4);A003269号(Gi1和Gi2);A055988号(Gi3和Gi4);A034943号(Ze1和Ze2);A005251号(Ze3和Ze4)-约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日

斐波那契-泛三角形:A027926号,A036355号,A037027号,A074829号,A105809号,A109906号,A111006号,A114197号,A162741号,A228074号,A228196型,A228576号.

囊性纤维变性。A137948号,A245334型.

囊性纤维变性。A085478号,A258993型.

对比(单色)A325002型(定向),[k==n+1](手性),A325003型(无意识),A325000型(k或更少颜色),A325009型(矫形面、矫形顶点),A325017型(矫形面、矫形顶点)。

m=1,…,的广义二项式系数(n,k)_m的三角形(或广义Pascal三角形),。。。,12:A007318号(帕斯卡),A001263号,A056939号,A056940号,A056941号,A142465号,A142467号,A142468号,A174109号,A342889型,A342890型,A342891型.

关键词

非n,,美好的,容易的,核心,,听到

作者

N.J.A.斯隆米拉·伯恩斯坦1994年4月28日

扩展

检查了所有链接,删除了8个似乎永远丢失的链接,这些链接可能并不重要-N.J.A.斯隆2018年5月8日

状态

经核准的

A000045号 斐波那契数:F(n)=F(n-1)+F(n-2),其中F(0)=0,F(1)=1。
(历史;已发布版本)
1947版批准人俄罗斯考克斯2022年3月29日星期二21:31:01 EDT
身份证件

M0692编号0256

名称

斐波那契数:F(n)=F(n-1)+F(n-2),其中F(0)=0,F(1)=1。

数据

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155

抵消

0,4

评论

D.E.博士。Knuth写道:“在斐波纳契写下他的作品之前,印度学者已经讨论过序列F{n},他们长期以来对由单拍和双拍音符形成的节奏模式感兴趣。这种共有n拍的节奏的数量是F{n+1};因此Gopála(1135年之前)和Hemachandra(约1150年)提到数字1、2、3、5、8、13、21。。。明确地。“(TAOCP第1卷,第2版)-彼得·卢什尼2015年1月11日

根据历史记载(参见P.Singh和S.Kak的参考文献),广义斐波那契数列a、b、a+b、a+2b、2a+3b、3a+5b。。。也可以描述为Gopala-Hemachandra数H(n)=H(n-1)+H(n-2),其中F(n)=H(nLekraj Beedassy,2015年1月11日

苏珊塔·古纳提莱克写道:“他的序列在南亚广为人知,并用于计量科学。其发展部分归功于平加拉(公元前200年),后来与维拉汉卡(约公元700年)、戈帕拉(约公元1135年)和赫马钱德拉(约1150年)联系在一起,他们都生活和工作在斐波纳契之前。“(走向全球科学:挖掘文明知识,第126页)-俄罗斯考克斯2021年9月8日

有时也称为Hemachandra数字。

有时也称为拉梅序列。

有关“斐波纳契”1602年著作的照片,请参阅下面的莱昂纳多比萨链接。

F(n+2)=长度为n且没有连续0的二进制序列数。

F(n+2)=不包含连续整数的{1,2,…,n}的子集数。

F(n+1)=2X1多米诺骨牌对2Xn矩形的平铺数。

F(n+1)=路径图中n个顶点上的匹配数(即Hosoya指数):F(5)=5,因为路径图在顶点a、B、C、D上的匹配是空集,{AB}、{BC}、}和{AB、CD}-Emeric Deutsch公司2001年6月18日

F(n)=n+1的成分数,其中任何部分都不等于1。[格里马尔迪·凯利]

正项是z=2*x*y^4+(x^2)*y^3-2*(x^3)*y*2-y^5-(x^4)*y+2*y对于x,y>=0的解(Ribenboim,第193页)。当x=F(n)、y=F(n+1)且z>0时,则z=F(n+1)。

斐波那契搜索参见Knuth,第3卷;霍洛维茨和萨赫尼;等。

F(n)是帕斯卡三角形中45度斜率项的对角线和-阿玛纳斯·穆尔西,2001年12月29日(即A030528型,R.J.马塔尔2021年10月28日)

F(n+1)是梯形图L_n=P_2 X P_n.-中的完美匹配数沙伦·塞拉(sharonsela(AT)hotmail.com),2002年5月19日

F(n+1)=S_n中避免对合的(3412132)、(3412213)和(3412321)个数。

这也是Horadam层序(0,1,1)-罗斯·拉海耶2003年8月18日

的INVERT变换A019590型.INVERT([1,1,2,3,5,8,…])给出A000129号反向([1,2,3,5,8,13,21,…])给出A028859号. -安蒂·卡图恩2003年12月12日

空间R^3上k阶有意义微分运算的次数-布兰科·马列舍维奇2004年3月2日

F(n)=n-1的组分数量,不大于2。例如:F(4)=3,因为我们有3=1+1+1=1+2+1。

F(n)=n组成奇数部分的数量;例如,F(6)计数1+1+1+1+1,1+1+1+3,1+1+3+1,1+3+1+1,5+5,3+1+1+1,3+3,5+1-克拉克·金伯利2004年6月22日

F(n)=长度为n的二进制字的数量,从0开始,且所有长度为奇数;例如,F(6)计数010101、010111、010001、011101、011111、000101、000111、000001-克拉克·金伯利2004年6月22日

序列数(s(0),s(1),。。。,s(n)),使得0<s(i)<5,|s(ii)-s(i-1)|=1,s(0)=1是F(n+1);例如,F(5+1)=8对应于121212121232121234123212123232123234123432123434-克拉克·金伯利,2004年6月22日[由Neven Juric更正,2009年1月9日]

同样,F(6+1)=13对应于这13个序列,其中有7个数字:1212121、1212123、1212321、1212323、1212343、1232121、1232123、1232321、1232323、1232343、123 4323、1234343Neven Juric,2008年1月9日

在链接“Le nombre d'or dans l’ensemble de Mandelbrot”(法语)中讨论了F(n)和Mandelbrot-集之间的关系-杰拉尔德·麦卡维2004年9月19日

对于n>0,F(2n-1)*Phi=[F(2n);L(2n-1),L(2n-1),L)是第i个卢卡斯数(A000204号).... -克拉克·金伯利,2004年11月28日[由更正Hieronymus Fischer公司2010年10月20日]

对于任何非零数k,连续分数[4,4,…,4,k],即n 4's和单个k,等于(F(3n)+k*F(3n+3))/(F(3d-3)+k*F(3n))-格雷格·德累斯顿2019年8月7日

F(n+1)(对于n>=1)=1,2,3,…,的置换数p,。。。,n使得|k-p(k)|<=1,对于k=1,2,。。。,n.(对于<=2和<=3,请参见A002524号A002526号.) -克拉克·金伯利2004年11月28日

n>0的比率F(n+1)/F(n)是黄金分割的简单连分式展开的收敛性-乔纳森·桑多2004年12月19日

替换下连续单词(以a开头)的长度:{a->ab,b->a}-杰罗恩·F.J.拉罗斯2005年1月22日

斐波那契数列与任何加法数列一样,自然倾向于几何形式,公比不是有理幂10;因此,对于足够多的项,第一个有效数字的Benford定律(即,第一个数字1<=d<=9发生概率log10(d+1)-log10(d))成立-Lekraj Beedassy公司2005年4月29日(见Brown-Duncan,1970)-N.J.A.斯隆2017年2月12日)

F(n+2)=Sum_{k=0..n}二项式(floor((n+k)/2),k),行和A046854号. -保罗·巴里2003年3月11日

“zig-zag”偏序集的序理想数。见第1卷,第3章,问题。斯坦利23岁-米奇·哈里斯2005年12月27日

F(n+1)/F(n)也是Farey分数序列(参见A097545号黄金分割比,这是唯一法利分数和连分数相同的数字-约书亚·祖克2006年5月8日

a(n+2)是通过2块具有n个反射的玻璃板的路径数(反射发生在板/板或板/空气界面)。囊性纤维变性。A006356号-A006359号. -米奇·哈里斯2006年7月6日

F(n+1)等于n元篱笆的下行数(即减少子集),即{1,2,…,n}上高度为1的有序集,其1>2<3>4<。。。n,无其他可比性。或者,F(n+1)等于{1,2,…,n}的子集A的数目,其性质是,如果奇数k在A中,则{1,2、…,n{的相邻元素属于A,即k-1和k+1都在A中(前提是它们在{1,2…,nneneneep中)-布莱恩·戴维2006年8月25日

多对映体中Kekulé结构的数量。有关详细信息,请参阅Lukovits和Janezic的论文-Parthasarathy楠比2006年8月22日

逆:φ=(sqrt(5)+1)/2,四舍五入(log_phi(sqrt((5)a(n)+sqrtA001519号A001906号.-大卫·W·坎特雷尔(DWCantrell(AT)sigmaxi.net),2007年2月19日

1848年Jacobi的一个结果表明,在p.i.d.上的每个对称矩阵都与一个三对角矩阵同余。考虑n×n三对角矩阵行列式中最大和数T(n)。这与这种行列式中的和数相同,其中主、次和超对角元素都不为零。通过在第一行展开,我们看到T(n)的序列是斐波那契序列,在1上没有初始结巴拉里·格斯坦(Gerstein(AT)math.ucsb.edu),2007年3月30日

假设psi=log(phi)。如果n是偶数,则得到表示式F(n)=(2/sqrt(5))*sinh(n*psi);如果n是奇数,则F(n)=(2/sqrt(5))*cosh(n*psi)。卢卡斯数也有类似的表示(A000032号). 许多斐波那契公式现在很容易从适当的sinh和cosh公式推导出来。例如:德莫伊夫定理(cosh(x)+sinh(x))^m=cosh(mx)+sinh(mx-Hieronymus Fischer公司2007年4月18日

反向:地板(log_phi(sqrt(5)*F(n))+1/2)=n,对于n>1。同样对于n>0,floor((1/2)*log_phi(5*F(n)*F(n+1))=n。扩展对整数n有效,但n=0除外,-1:floor(1/2)*sign(F(n-Hieronymus Fischer公司2007年5月2日

F(n+2)=具有两点余域的Khalimsky-continuinus函数的个数Shiva Samieinia(Shiva(AT)math.su.se),2007年10月4日

这是Doroslovacki参考中的a_1(n)。

设φ=(sqrt(5)+1)/2=1.6180339。。。;则φ^n=(1/φ)*a(n)+a(n+1)。例如:φ^4=6.8541019…=(0.6180339…)*3+5。此外,φ=1/1+1/2+1/(2*5)+1/(5*13)+1/(13*34)+1/(34*89)+-加里·亚当森2007年12月15日

第一个差分序列F(n+1)-F(n)基本上是相同的序列:1,0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144-科尔姆·马尔卡希2008年3月3日

a(n)=在顺序相关且对每一步的数量或大小没有其他限制的情况下,采用奇数尺寸的台阶,以n个台阶向上运行的不同方式的数量-穆罕默德·阿扎里安2008年5月21日

等于三角形的行和A144152号. -加里·亚当森2008年9月12日

除了初始项外,这些分子收敛到递归x=1/(x+1)-西诺·希利亚德2008年9月15日

F(n)是长度为n且符合顺序构造规则的可能二进制序列的数目:如果最后一个符号为0,则添加补码(1);否则添加0或1。这里,0,1是任何2值符号集的元符号。这个规则与JFJ Laros的规则有明显的相似之处,但它是基于加法而不是替换,并且创建了一个树而不是单个序列-罗斯·德鲁2008年10月5日

F(n)=乘积{k=1..(n-1)/2}(1+4*cos^2k*Pi/n),其中项=斐波那契乘积多项式的根,A152063号. -加里·亚当森2008年11月22日

Fp==5^((p-1)/2)mod p,p=素数[Schroeder,p.90]-加里·亚当森&亚历山大·波沃洛茨基2009年2月21日

(Ln)^2-5*(Fn)^2=4*(-1)^n。例如:11^2-5*5=-4-加里·亚当森2009年3月11日

Kasteleyn关于mXn网格完美匹配数的公式的输出专门用于m=2的斐波那契序列Sarah-Marie Belcastro(smbelcas(AT)toroidalsnark.net),2009年7月4日

(F(n),F(n+4))满足丢番图方程:X^2+Y^2-7XY=9*(-1)^n-穆罕默德·布哈米达2009年9月6日

(F(n),F(n+2))满足丢番图方程:X^2+Y^2-3XY=(-1)^n-穆罕默德·布哈米达2009年9月8日

a(n+2)=A083662号(A131577号(n) )-莱因哈德·祖姆凯勒2009年9月26日

五边形上一个节点的长度为n+1的闭合行走次数与五边形中两个相邻节点之间长度为n/1的行走次数之差-亨利·博托姆利2010年2月10日

F(n+1)=长度n正好有一个弱上升的Motzkin路径数。长度为n的Motzkin路径是从(0,0)到(n,0)的晶格路径,由U=(1,1),D=(1,-1)和H=(1,0)步组成,永远不会低于x轴。Motzkin路径中的弱上升是连续U步和H步的最大序列。示例:a(5)=5,因为我们有(HHHH)、(HHU)D、(HUH)D、A114690型). -Emeric Deutsch公司2010年3月11日

(F(n-1)+F(n+1))^2-5F(n-2)*F(n+2)=9*(-1)^n-穆罕默德·布哈米达2010年3月31日

根据Pinter和Ziegler参考文献的摘要:作者“证明了斐波那契数列本质上是唯一的二元递归,它包含无穷多个三项算术级数。还给出了一般线性递归具有无穷多个四项算术级数的判据。”-乔纳森·沃斯邮报2010年5月22日

F(n+1)=路径图P_4上从初始节点开始的长度为n的路径数-约翰内斯·梅耶尔2010年5月27日

F(k)=在n×n板上放置k个非攻击皇后的方法数的生成函数分母中的分圆多项式数-瓦茨拉夫·科特索维奇2010年6月7日

当n->无穷大时,(a(n)/a(n-1)-a(n-1)/a(n))趋于1.0。示例:a(12)/a(11)-a(11)/a(12)=144/89-89/144=0.99992197-加里·亚当森2010年7月16日

发件人Hieronymus Fischer公司2010年10月20日:(开始)

斐波那契数是指那些数字m,使得m*phi比k*phi更接近整数,对于所有k,1<=k<m。更正式地说:a(0)=0,a(1)=1,a(2)=1、a(n+1)=最小m>a(n),使得m*phi比a(n”*phi更接近整数。

对于所有数字1<=k<F(n),不等式|k*phi-round(k*phi)|>|F(n。

当n>1时,F(n)*phi-圆形(F(n,*phi)=-((-phi)^(-n))。

当n>1时,分形(1/2+F(n)*phi)=1/2-(-phi)^(-n)。

分形(F(n)*phi)=(1/2)*(1+(-1)^n)-(-phi)^(-n),n>1。

反向:n=-log_phi|1/2-fract(1/2+F(n)*phi)|。

(结束)

F类(A001177号(n) *k)对于任何整数k,mod n=0-加里·德特利夫斯2010年11月27日

F(n+k)^2-F(n)^2=F(k)*F(2n+k),对于偶数k-加里·德特利夫斯2010年12月4日