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二聚体问题

二聚体问题

考虑2n-×2n平面正方形晶格L并调用两个顶点相邻的如果它们之间的距离是1。A类二聚体(或双原子分子)由L的两个相邻顶点组成以及连接它们的(非定向)键。A类二聚体覆盖L的是不相交二聚体的集合,其结合包含所有L的顶点。这是一个二聚体覆盖在4×4上的例子晶格(n=2):



Kasteleyn[14]、Fisher[15]和Temperley&Fisher[16]证明了,如果f(n)表示L的不同二聚体覆盖物的数量,则



他们还证明了所谓的分子自由度二聚体



加泰罗尼亚常数[14-29,45]令人着迷且出乎意料的出现。用图论的术语来说,这就是计数问题的解决方案正方形格子上的完美匹配。这也是答案问题是:覆盖2n-x2n棋盘和2-x1或1-x2多米诺骨牌?(参见我们的文章Kneser-Mahler多项式常数二聚体常数的另一种表现。)

这个问题的三维模拟仍然是经典的固态化学尚未解决的问题。

A类二聚体排列是不相交二聚体的集合(不是必须是L的封面)。下面是一个示例:



设g(n)表示不同二聚体排列的数目,等价于数量单体-二聚体覆盖物L的精确表达式渐近结果



仍然未知。

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