\\ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++\\强连通有向图\\作者：安德鲁·霍罗伊德，2022年1月\\ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++\\如果打算计算几个以上的项，那么就给PARI更多的内存！\\这可以用“default”完成。例如：\\默认值（parisizemax，10^9）\\简介\\ ------------\\Liskovets首先列举了强图。此处使用的方法\\包括莱特和罗宾逊的重大（巧妙）改进\\（和/或阅读）。[警告：这不是为了准确或完整\\历史记录]\\这里的主要参考文件是：\\R.W.Robinson，带强分量限制的计数有向图，\\组合数学与图论’95（T.-H.Ku编辑），《世界科学》，新加坡（1995），343-354。\\尽管本文讨论了标记的情况和\\源和汇，它包含此处用作简单方程式的方法：\\\\特别是式（18）规定：\\Ggf（exp（-C（x）））*Ggf，\\其中C（x）是任意一组强连通有向图的e.g.f\\G（x）是例如f.是强分量为C（x）的图的集合\\罗伯逊用三角形表示的Ggf（）是运算符\\将e.g.f.转换为g.g.f.（图形生成函数）。\\虽然该等式是针对由\\例如，f，它适用于由循环指数系列表示的组合类。\\\\一些特殊情况：\\Ggf（exp（-Singleton））*Ggf，\\Ggf（exp（-强连接有向图））*Ggf，\\Ggf（exp（-强连接定向图））*Ggf。\\\\第二个方程式可以重写：\\强连接图=-log（UnGcf（1/Ggf（图）））。\\\\下面注释的PARI很快证明了它的威力\\标记案例的方程式：\\Ggf算子只需将级数的项除以2^（k*（k-1）/2）和\\UnGgf做这个实验。/*Ggf（p）={my（n=serprec（p，x）-1）；serconvol（p，sum（k=0，n，x^k/2^（k*（k-1）/2），O（x*x^n））}UnGgf（p）={my（n=serprec（p，x）-1）；serconvol（p，sum（k=0，n，x^k*2^（k*（k-1）/2），O（x*x^n））}强分量（graphEgf）={-log（UnGgf（1/Ggf））}数列Egf（n）={和（k=0，n，2^（k*（k-1））*x^k/k！，O（x*x^n））}\\序列A053763-有向图的数量。Vec（塞拉普拉斯语（DigraphEgf（12））\\序列A003030-强连通有向图的个数。Vec（serlaplace（强组件（DigraphEgf（12）））*/\\\\未标记的案例遵循相同的行，但没有\\相当于Ggf（据我所知），所以“UnGgf（1/Ggf（graphEgf））”\\作为单个操作“InvGgfCIData”执行。相反\\需要一个循环指数系列。\\（关于以PARI幂级数表示的循环指数系列的一些PARI代码，请参见A339645）\\这里我们使用了一种更有效的数组表示，因为all\\使用标准幂级数函数无法快速实现重要操作。\\实际代码开始。\\连接两个排序的小向量，保持顺序。\\专门用于合并两个分区。\\例如：合并（[1,1,4]，[3,6]）=>[1,1,3,4,6]合并（p1，p2）={my（v=向量小（#p1+#p2），i=1，j=1，k=1）；而（i<=#p1&&j<=#p2，如果（p1[i]<=p2[j]，v[k]=p1[i；i++，v[k]=p2[j；j++）；k++）；而（i<=#p1，v[k]=p1[i]；i++；k++）；而（j<=#p2，v[k]=p2[j]；j++；k++）；v；}\\创建要排序的分区映射。\\分区的秩是它在分区的生成顺序中出现的顺序。\\这用于支持按分区索引的矩阵。\\尽管有更多节省内存的方法可以利用\\分区的特定顺序，这是总内存占用的一小部分。构建分区索引（n）={my（M=Map（），ix=1）；对于部分（p=n，映射（M，p，ix）；ix++）；M；}\\给出特定类型（其中该类型是分区）的排列数。permcount（v）={my（m=1，s=0，k=0，t）；对于（i=1，#v，t=v[i]；k=if（i>1&&t==v[i-1]，k+1,1）；m*=t*k；s+=t）；s！/m}\\用于构造各种图的循环索引序列的函数。\\参数v是（循环类型的）分区\\参数yf用于在需要时捕获边缘数据。数字边缘（v，yf）={prod（i=2，#v，prod（j=1，i-1，my（g=gcd（v[i]，v[j]））；yf（v[i]*v[j]/g）^（2*g））有循环边的数字（v，yf）={prod（i=2，#v，prod（j=1，i-1，my（g=gcd（v[i]，v[j]））；yf（v[i]*v[j]/g）^（2*g）））*prod（i=1，#v，yf（v[i]）^v[i]}定向图形边（v，yf）={prod（i=2，#v，prod（j=1，i-1，my（g=gcd（v[i]，v[j]））；yf（v[i]*v[j]/g）^g））*prod（i=1，#v，my，c=v[i]）；yv（c）^（（c-1）\2））}\\可以将上面的其中一个传递给此函数，以实际创建周期索引序列。\\循环指数序列表示为向量向量。图形CIData（n，edgeFunc，yf=e->2）={my（结果=向量（n+1））；对于（n=0，n，my（v=向量（numbpart（n）），xi=0）；部分（p=n，xi++；v[xi]=permcount（p）*edgeFunc（p，yf）；);结果[1+n]=v；);结果；}\\这是InvGgf的未标记等价物（1/Ggf（graphEgfSeries））\\这是它自己的反义词。这是求强图个数的核心算法。\\与A122078中给出的“DagCycleIndexData”函数进行比较。InvGgfCIData（块，yf=e->2）={my（n=#blocks-1，results=向量（n+1））；结果[1]=[1]；对于（n=1，n，my（v=向量（numbpart（n）），pm=建筑分区索引（n）；对于（i=1，n，my（j=n-i，uj=结果[j+1]，ui=块[i+1]，b=二项式（n，i），Q=向量（i），xj=0）；对于部分（pj=j，xj++；对于（s=1，#Q，Q[s]=prod（t=1，#pj，my（g=gcd（s，pj[t]））；yf（s*pj[t]/g）^g）；我的（xi=0）；对于部分（pi=i，xi++；my（col=mapget（pm，Merge（pi，pj）））；v[col]-=uj[xj]*b*ui[xi]*prod（t=1，#pi，Q[pi[t]]）；); \\ 圆周率); \\ 第页); \\ 我结果[n+1]=v；); \\ n个结果；}\\帮助将存储为向量向量的循环索引序列转换为o.g.f.，以计数未标记的对象。未标记Ogf（数据）={总和（n=0，#data-1，vecsum（data[n+1]）*x^n/n！，O（x^#数据））；}\\唯一需要的其他操作是组合对数。给出了它的循环索引系列实现\\在A339645中（组合物种的功能）。这里我们作弊，先转换成o.g.f，然后取\\逆欧拉变换是组合对数的o.g.f.等价物。\\欧拉逆变换（单变量和多变量）\\单变量版本获取一个向量并返回相同长度的向量。InvEulerT（v）={my（p=log（1+x*Ser（v）））；dirdiv（向量（#v，n，polcoef（p，n）），向量（#vn，1/n））}\\多元版本适用于幂级数。主变量必须是x。InvEulerMTS（p）={my（n=serprec（p，x）-1，q=log（p），vars=variables（p））；总和（i=1，n，moebius（i）*substvec（q+O（x*x^（n\i））），vars，apply（v->v^i，vars））/i）}\\强连通定向图的序列。A350489seq（n）={concat（[1]，-InvEulerT（Vec（-1+未标记Ogf（InvGgfCIData（GraphCIData（n，OrientedGraphEdges，e->3））））}A350750行（n）={my（v=Vec（-InvEulerMTS（未标记Ogf（InvGgfCIData（GraphCIData（n，OrientedGraphEdges，e->1+2*y^e），e->1+y^e，））））；向量（#v，n，Vecrev（v[n]，1+n*（n-1）/2））}A350751seq（n）={my（g=-InvEulerMTS）（未标记Ogf（InvGgfCIData（GraphCIData（n，OrientedGraphEdges，e->1+2*y^e+O（y*y^n）），e->1+y^e+O（y*y^n，））））；Vec（总和（i=1，n，polcof（g，i，x）），-n）}\\强连通有向图的序列。A035512seq（n）={concat（[1]，-InvEulerT（Vec（-1+未标记Ogf（InvGgfCIData（GraphCIData（n，DigraphEdges））））]}A057276行（n）={[Vecrev（p）|p<-Vec（-InvEulerMTS（未标记Ogf（InvGgfCIData（GraphCIData（n，DigraphEdges，e->1+y^e），e->1+y^e）））]}A350753行（n）={my（yf（e）=1+y^e+O（y*y^n））A350752seq（n）={my（yf（e）=1+y^e+O（y*y^n））\\具有多个边和环的强连通有向图的序列。A139622行（n）={my（yf（e）=1/（1-y^e）+O（y*y^n））A139627seq（n）={my（A=A139622rows（n））；concat（[1]，向量（#A，n，vecsum（A[n]））}\\此处不使用以下内容，但转换表示为向量向量的循环指数序列\\变成幂级数。取决于A339645 PARI脚本中定义的sMonomic函数。ToCycleIndexSeries（数据）={总和（n=0，#数据-1，my（行=数据[n+1]，t=0，xi=0）；对于部分（pi=n，xi++；t+=row[xi]*s单项式（pi））；x^n*t/n！，O（x^#数据）);}\\结束