a(7)=10598252544。
证明:
我们有q=τ(10598252544)/10598252544=1/27599616。因此,任何也得到tau(k)/k值的数字k都必须<=4/q^2=3046955213389824<2^52。
引理1。tau(k)/k=1/27599616的任何数字k必须是53光滑的。
矛盾证明:如果k不是53光滑的,那么它有一个素因子p>=59。
但由于tau(k)/k的分母没有这样一个素因子,我们也需要p | tau(k)。然而,如果τ(k)有这样一个素因子,则存在一个素因数r,即r^(p-1)|k。这样的r至少是2,所以r ^(p-1)至少是2^(59-1)>4/q^2=3046955213389824。因为这样的k最多是4/q^2=3046955213389824,这是一个矛盾。
引理2。正好存在7个值k(包括10598252544),tau(k)/k=1/27599616。
证明:我们应该有27599616 | k。否则,我们不能让tau(k)/k的分母是27599626的倍数。检查所有53个平滑数<=3046955213389824,这些数字是27599616的倍数,正好给出7个τ(k)/k=1/27599616的值k。这些值是:10598252544、17222160384、17663754240、18215746560、18546941952、2870360040和30911569920。
引理3:没有m<10598252544,其中正好有七个k具有tau(m)/m=tau(k)/k。
证明:根据引理1的证明中所示的类似推理,我们必须具有这样的k是31光滑的,因为1059825244<2^34。检查所有31-光滑数<10598252544时,没有m表示存在7个这样的k。(结束)
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