A346669-OEIS公司

A346669飞机

数字r，使得非负m<r的数量m^k==m（modr）等于k*（非负m<r的数量，使得-m^k==m（mod r）），其中k=2^A007814号（r-1）+1。

3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 27, 29, 31, 35, 37, 39, 41, 43, 47, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 67, 71, 73, 75, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 111, 113, 115, 119, 123, 125, 127, 131, 135, 137, 139, 143, 149, 151, 155, 157, 159, 163, 167, 173, 175, 179, 181, 183, 187

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,1

猜想：这个序列包含奇数质数A065091号，但不包含Carmichael数字A002997号.

来自的证据宋嘉宁，2021年6月14日：（开始）

猜想：设v（n）=A007814号（n）是n的2元估值。定义

A（n）=A182816号（n）作为非负m<n的个数，使得m^n==m（modn），

B（n）=A333570型（n）作为非负m<n的个数，使得m^n==-m（modn），

C（n）表示非负m<n的个数，使得m^（2^v（n-1）+1）==m（mod n），以及

D（n）表示非负m<n的个数，使得m^（2^v（n-1）+1）==-m（mod n）。

那么A（n）/B（n）=n和C（n）/D（n，n）=2^v（n-1）+1当且仅当n是奇素数。

这个推测是正确的。

“<=”：如果n是奇数素数，则A（n）=n，B（n）=1，C（n）=2^v（n）+1，D（n）=1。

“=>”：如果A（n）/B（n）=n，因为A（n。

设n=（p_1）*（p_2）**（p_k）是一个Carmichael数。写入d=v（n-1），s=（n-1，/2^d为奇数。

如果m^（2^d+1）==-m（mod n），则m^“2^d”==-1（mod n/gcd（m，n））。由于m^（s+1）==1（mod n），我们有（-1）^s==1，所以n/gcd（m，n）=1，m=0。这表明D（n）＝1。

对于S}p_i中的gcd（m，n）=Product_{i，m^（2^v（n-1）+1）==m（modn）等价于m==0（S}p_ i中的mod Product_{i），m^（2^d）==1（mod Product_{i不在S}p_i中）。模n的解的数目是Product_{i，不在S}gcd（2^d，p_i-1）中。因此，我们得到了{1,2，…，k}}的C（n）=Sum_{S子集Product_{i不在S}gcd（2^d，p_i-1）=Product_{i=1..k}（1+gcd（2 ^d，p2-1））中。

如果n是一个Carmichael数，使得C（n）/D（n）=2^D+1，那么Product_{i=1..k}（1+gcd（2^D，p_i-1））=2^D+1。因此，对于1<=i<=k，gcd（2^d，p_i-1）<2^d。根据Zsigmondy定理，除非d=1或3，否则2^d+1有一个本原素因子p，这样p就不会将所有e<d除以2^e+1。因此，我们必须有d=1或者3（否则p不会将Product_{i=1..k}（1+gcd（2 ^d，p2-1）））除以k=1或2。但一个卡迈克尔数必须至少有3个素因子，这是一个矛盾！（结束）

在k=r的情况下，这个序列包含奇数素数和Carmichael数，但不包含任何其他数。

链接

n=1..65时的n，a（n）表。

黄体脂酮素

（Magma）[r:r in[2..190]|#[m:m in[0..r-1]| m^k mod r eq m]eq#[m:m in[0..r-1]|-m^k mod r eq m]*k，其中k为2^估值（r-1，2）+1]；

交叉参考

囊性纤维变性。A002997号,A007814号,A065091号,A182816号,A333570型,A340281型.

上下文中的序列：A353685型 A322840型 A336374飞机*A187929号 A272872型 A359080型

相邻序列：A346666飞机 A346667飞机 A346668飞机*A346670型 A346671型 A346672飞机

关键词

非n

作者

尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2021年7月28日

状态

经核准的