定理：对于n>1，a（n）+n是奇数。如果a（n）>0，则a（n2（mod 3）和a（n）+2n！==0（型号3）。
证明：对于n>1，n||n+1||||n+k必须是奇数才能成为素数，即n+k是奇数。n||n+1||||n+k可以写成x+y，其中x=n||n||||n||n和y=1||0…2||||0…k。唯一的例外是，对于某些i<=k，n+i的十进制数字比n多，在这种情况下，x和y中插入了一些额外的零。
在任何情况下，x都可以被n和数字和为k+1的10..10.1整除，即x==n*（k+1）（mod 3）。
类似地，y mod 3的位数之和==和{i=1..k}（i mod 3）==（和{i=1..k}i）==k（k+1）/2（mod 3。这意味着x+y==（k+1）（k+2n）/2（mod 3）。如果k+1或k+2n是3的倍数，那么x+y就是3的倍数。我们知道x+y>3，因为a（n）>0，因此x+y不是素数。
推论：假设n>3。如果n==0（mod 6），则a（n）==1（mod六）。如果n==1（mod 6），则a（n）==0（mod六）。如果n==2（mod 6），则a（n）==1或3（mod六）。如果n==3（mod 6），则a（n）==4（mod六）。如果n==4（mod 6），则a（n）==3（mod六）。如果n==5（mod 6），则a（n）==0或4（mod六）。
（结束）
