这似乎构成了k小于10^8的所有“非退化”情形。也就是说,k不允许有前导零,但是k的所有“合法”置换(其中k的长度为m)也必须是m。因此,在构造全置换积时允许前导零。
从大卫·A·科尼思2019年2月15日:(开始)
设S(m)是m的所有合法置换的乘积的不同素数之和。
设Z(m)是一个数字,其中在m的第一个数字之后插入一个0(m>0)。例如,Z(1)=10,Z(19)=109。
所有最多有k位数的项只能通过迭代中的项来找到邮编:A179239最多k位数。
例如,345在邮编:A179239.S(345)=S(543),即543。因为543是345的置换,S=543在序列中。
同样的,445也在邮编:A179239S(445)=341445不产生项。当S(445)=S(454)=S(544),所有这些数不产生一个项,也不必检查。
我们有S(Z(m))>=S(m)。证明:Z(m)的置换给出了与m相同的不同素数因子,甚至更多。因此,S(Z(m))>=S(m)。
这可以用来排除候选人。例如,S(10378)=1447642。一个数字为Z(10378)=100378的数字可以有最大的可能值是873100,但是1447642>873100。因此100378不能产生一个项,也不必检查。
为了在不检查所有排列的情况下快速地消除一个候选者,可以让置换的最后一个数字d为gcd(d,10)=1,以希望得到大素数因子(如果有这样的d)。例如,当检查1378是否给出一个候选者时,从以1或3结尾的12个排列开始。
在m有数字0的情况下,要找到S(m),可以使用已知的S(m')值,其中m'从m中移除了一个数字0,然后继续寻找仅具有前导非零数字的置换的S(m)。(结束)
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