|
|
评论
|
第n行（即序列M（n））表示n维布尔立方体（超立方体）{0,1}^n的等（汉明）权向量，其中n=1,2。。。{0,1}^n的向量A_i=（A_1，A_2，…，A_n）的序列号用#A_i表示，它是n位二进制表示为A_1、A_2、…、。。。，当{0,1}^n的向量按字典顺序排列时，它们的序列号形成序列0，1，2。。。，2^n-1。序列M（n）有n+1个项，用#M（n，0），#M（n，1），…，表示#m（n，n）。这里#m（n，k）是与大小为2^n的二进制向量m（n、k）相对应的自然数，对于k=0，1。。。，n、如果向量a_i（{0,1}^n的）的权重等于k，或者如果i=0，1，…，则m（n，k）的第i个坐标是单位。。。，2^n-1。因此，m（n，k）是n维布尔立方体所有向量的特征向量，其权重等于k。每个特征向量m（n、k）由其在m（n）中的序列号#m（n）表示，对于k=0，1。。。，n.（名词）。
向量m（n，k），对于某些k，0<=k<=n，可以用作掩码，以检查n个变量的给定布尔函数在权重k的向量上是否取1值——这就是为什么选择符号m和m的原因。该检查是通过函数的真值表向量和掩码之间的按位连接完成的，因此速度非常快。
类似于帕斯卡三角形，该三角形生成了一系列子序列（有关说明，请参见示例部分）：
A） 按列读取（从左到右）：
1, 2, 8, 128, 32768, 2147483648, 9223372036854775808, ...:A058891号（n+1）（类型a（n）的整数=2^（2^（n-1）-1），对于n=1，2，…）。这里#m（n，0），对于n=1，2。。。，是{0,1}^n的所有向量的特征向量的序列号，权重=0（该关系由安德鲁·霍罗伊德);
1, 6, 104, 26752, 1753251840, 7530159316599308288, ... （截至2018年7月8日不在OEIS中）：#m（n，1），n=1，2。。。，是{0,1}^n的所有向量的特征向量的序列号，权重=1；
1、22、5736、375941248、16146555367130677248、。。。（截至2018年7月8日不在OEIS中）：#m（n，2），n=2，3。。。，是{0,1}^n的所有向量的特征向量的序列号，权重=2，依此类推。
B） 由斜边读取，或与斜边平行：
1, 1, 1, 1, ...:A000012号（所有1的序列）。这里#m（n，n），对于n＝1，2。。。，是{0,1}^n的所有向量的特征向量的序列号，权重=n；
2, 6, 22, 278, 65814, 4295033110, ...:A060803型（总和{k=0..n}2^（2^k））。这里#m（n，n-1），对于n=1，2。。。，是{0,1}^n的所有向量的特征向量的序列号，权重=n-1；
8, 104, 5736, 18224744, 282668995843688, ... （截至2018年7月8日不在OEIS中）：#m（n，n-2），n=2，3。。。，是{0,1}^n的所有向量的特征向量的序列号，权重=n-2，依此类推。
|
|
|
例子
|
M（0）=1
M（1）=2，1-根据定义给出。对于n>1，我们使用归纳方法（即迭代）而不是递归，因为计算M（n）项的直接递归函数是无效的。
为了获得M（2），我们应用n=2的递归公式：
#m（2,0）=2^（2^（2-1））*#m（1,0）=4*2=8；
#m（2,1）=2^（2^（2-1））*#m（1,1）+#m（1.0）=4*1+2=6；
#m（2,2）=1。
因此，M（2）=8，6，1。
为了获得M（3），我们计算：
#米（3,0）=2^（2^（3-1））*#m（2,0）=16*8=128；
#m（3,1）=2^（2^（3-1））*#m（2,1）+#m（2,0）=16*6+8=104；
#m（3,2）=2^（2^（3-1））*#m（2,2）+#m（2.1）=16*1+6=22；
#m（3.3）=1。
因此，M（3）=128、104、22、1。
让我们澄清一下术语的含义。{0,1}^3的字典顺序是（0,0,0），（0,0，1），（0，1,0）。。。，7.我们有：
m（3,0）=（1,0,0,0,1,0,0）是权重为0的唯一向量的特征向量，因此#m（3.0）=2^7=128；
m（3,1）=（0,1,1,0,1,0,0）是权重为1且#m（3,1）=104的所有向量的特征向量；
m（3,2）=（0,0,0,1,0,1,1,0）是权重为2的所有向量的特征向量，然后#m（3,1,2）=22；
m（3,3）=（0,0,00,0,1）权重为3的唯一向量的特征向量，#m（3,1）=1。
L（3）=L（3,0），。。。，l（3,3）=（0），（1,2,4），（3,5,6），（7）=0，1,2,4,3,5，6,7。
我们记得m（n，k）的坐标从左到右编号为0，1。。。，2^n-1和L（n）包含所有这些整数，并在子序列中进行分区。
对于L（3）的子序列，我们注意到：
l（3,0）=0，这是权重为0的{0,1}^3的唯一向量（0,0,0）的序列号。它对应于m（3,0），因为m（3,1）仅在其最左边的坐标中包含一个单位。
l（3,1）=1,2,4，这是权重为1的{0,1}^3的所有3个向量的序列号。所以l（3,1）对应于m（3,1）——注意，1、2和4是m（3+1）包含单位的坐标。
l（3,2）=3,5,6，这是权重为2的{0,1}^3的所有3个向量的序列号。它对应于m（3,1）——注意，3、5和6是m（3,2）包含单位的坐标。
l（3,3）=7，这是权重3的{0,1}^3的唯一向量（1,1,1）的序列号。它对应于m（3,3）。
三角形开始：
1,
2、1，
8、6、1，
128, 104, 22, 1,
32768, 26752, 5736, 278, 1,
2147483648、1753251840、375941248、18224744、65814、1、，
…（结束）
|
