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A299537型 用x,y,z,w非负整数和z<=w将n^2写成x^2+y^2+z^2+w^2的方法的数量,使得x或y是4的幂(包括4^0=1),x+3*y也是4的幂。 31
1,1,1,1,1,4,1,1,4,3,1,2,6,1,2,3,1,8,6,2,4,3,8,3,1,6,8,4,1,6,10,3,4,2,5,6,3,4,8,1,1,7,5,1,5,6,4,2,4,13,5,6,7,5,1,3,7,2,3,12,6,2,11,5,3,11,2,1,6,13,5,1 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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1.6个
评论
猜想(i):对于所有n>0,a(n)>0,并且a(n,。。。m=1、2、3、5、7、11、15、19、43、47、135、1103。
猜想(ii):对于任何n>1的整数,我们可以将n^2写成x^2+y^2+z^2+w^2,其中x,y,z,w是非负整数,使得2*x或2*y是4的幂,2*(x+3*y)也是4的幂。
注意,81503^2不能用x,y,z,w非负整数以及集合{4^k:k=0,1,2,…}中的x和x+3*y写成x^2+y^2+z^2+w^2。然而,81503^2=16372^2+4^2+52372^2+60265^2,其中4=4^1和16372+3*4=4^7。
我们已经验证了n的猜想达到10^7。
另请参阅中的相关评论A300219A300360型,以及A299794型.
链接
孙志伟,拉格朗日四平方定理的精化,《J·数论》175(2017),167-190。
孙志伟,限制四平方和,arXiv:1701.05868[math.NT],2017-2018年。
例子
a(2)=1,因为2^2=1^2+1^2+1 ^2+1 ^2,1=4^0和1+3*1=4^1。
a(5)=1,因为5^2=4^2+0^2+0 ^2+3^2,4=4^1和4+3*0=4^1。
a(19)=1,因为19^2=1^2+0^2+6^2+18^2,1=4^0和1+3*0=4^0。
a(43)=1,因为43^2=4^2+20^2+8^2+37^2,4=4^1和4+3*20=4^3。
a(135)=1,因为135^2=16^2+16^2+17^2+132^2,16=4^2和16+3*16=4^3。
a(1103)=1,因为1103^2=4^2+4^2+716^2+839^2,4=4^1和4+3*4=4*2。
数学
SQ[n_]:=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]];
Pow[n_]:=Pow[n]=整数Q[Log[4,n]];
tab={};Do[r=0;Do[If[(Pow[y]||Pow[4^k-3y])&&SQ[n^2-y^2-(4^k-3Gy)^2-z^2],r=r+1],{k,0,Log[4,Sqrt[10]*n]},{y,0,Min[n,4^k/3]};tab=附加[tab,r],{n,1,80}];打印[选项卡]
交叉参考
关键词
非n
作者
孙志伟,2018年3月4日
状态
经核准的

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