%I#59 2022年10月12日08:44:00

%S 1,2,0,4，-3,6，-3,8，-15,28，-24,12,0,14，-48,96，-95,18,55,20，-180232，

%电话-120,24，-35,76，-168460，-580,30515,32，-927804，-288456，-497,38，

%U-3601288、-1169、42847、44、-29583700、-528、48、-259914825262772、-5537、545955336、-69303820、-840,60、-791,62、-9606448、-123512936、-3167,68、-1543564821365,72、-26646,74、-136835776、-237308394、-16548,807101

%N.G.f.：求和{N=-oo..+oo}N*x^N*（1-x^N）^N。

%C将o.g.f.与Sum_｛n=-oo..+oo｝x^n*（1-x^n）^n=0进行比较。

%C比较l.g.f.与：Sum_{n=-oo..+oo，n<>0}x^n*（1-x^（n-1））^n/n=-log（1-x）。

%C只要a（n+2）是n>7的倍数，那么a（n=2）/n=-（n+4）/4，只有极少数例外（n=18131412……和n=10，a（12）=0）。特别是，当n-1是p=4k+3形式的素数时，则a（p+3）=-（k+2）（p+1）（与a（p）=p+1相比），k=11、16、26、31、37、41……除外。。。。这些例外到底是什么_M.F.Hasler，2017年10月10日

%H Paul D.Hanna，n表，n=0..6600时的a（n）</a>

%F o.g.F.A（x）=Sum_{n>=0}A（n）*x^n满足：

%F（1）A（x）=和{n=-oo..+oo}n*x^n*（1-x^n）^n。

%F（2）A（x）=和{n=-oo..+oo}n^2*x^（2*n）*（1-x^n）^（n-1）。

%F（3）A（x）=和{n=-oo..+oo}-n*x^（2*n）*（1-x^n）^（n-1）。

%F（4）A（x）=和{n=-oo..+oo}-（-1）^n*n*x^（n^2-n）/（1-x^n）^n。

%F（5）A（x）=和{n=-oo..+oo}-（-1）^n*n^2*x^（n^2-n）/（1-x^n）^（n+1）。

%F（6）A（x）=极限{k->oo}和{n=-oo..+oo}x^（n-k）*（1-x^n-x^。

%F（7）A（x）=极限{k->oo}和{n=-oo..+oo}x^（n-k）*（1-x^n+n*x^。

%F l.g.F.l（x）=Sum_{n>=1}a（n）*x^n/n满足：

%F（8）L（x）=-1+和{n=-oo..+oo，n<>0}x^n*（1-x^n）^n/n。

%对于奇素数p，F a（p）=p+1。

%例如：A（x）=1+2*x+4*x^3-3*x^4+6*x^5-3*x^6+8*x^7-15*x^8+28*x^9-24*x^10+12*x^11+14*x^13-48*x^14+96*x^15-95*x^16+18*x^17+55*x^18+20*x^19-180*x^20+232*x^21-120*x^22+24*x*^23-35*x^24+76*x^25-168*x^26+460*x^27-580*x^28+30*x^29+515*x^30+。。。

%e其中A（x）=P（x）+Q（x）

%e P（x）=x*（1-x）+2*x^2*（1-x^2）^2+3*x^3*（1-x^3）^3+4*x^4*（1-x^4）^4+5*x^5*（1-x^5）^5+…+n*x^n*（1+x^n）^n+。。。

%e Q（x）=1/（1-x）-2*x^2/（1-x^2）^2+3*x^6/（1-x ^3）^3-4*x^12/（1-x*4）^4+5*x^20/（1-x^5）^5+…+-（-1）^n*n*x^（n^2-n）/（1-x^n）^n+。。。

%e明确地说，

%e P（x）=x+x ^2+3*x ^3+5*x ^5-x ^6+7*x ^7-8*x ^8+18*x ^9-15*x ^10+11*x ^11-3*x ^12+13*x ^13-35*x ^14+65*x ^15-64*x ^16+17*x ^17+27*x ^18+19*x ^19-126 x ^20+168*x ^21-99*x ^22+23*x ^23-16*x ^24+50*x ^25-143 x ^26+351*x^27-413*x^28+29*x^29+340*x^30+。。。

%e Q（x）=1+x-x^2+x^3-3*x^4+x^5-2*x^6+x^7-7*x^8+10*x^9-9*x^10+x^11+3*x^12+x^13-13*x^14+31*x^15-31*x^16+x^17+28*x^18+x^19-54*x^20+64*x|21*x^22+x^23-19*x^24+26*x^25*x^26+109*x^27-167*x^28+x^29+175*x^30+。。。

%e此外，A（x）=M（x）+N（x）

%e M（x）=x^2+4*x^4*（1-x^2）+9*x^6*（1-x ^3）^2+16*x^8*（1-x^4）^3+25*x^10*（1-x2^5）^4+…+n^2*x^（2*n）*（1-x^n）^（n-1）+。。。

%e N（x）=1/（1-x）^2-4*x^2/（1-x^2）^3+9*x^6/（1-x^3）^4-16*x^12/（1-x*4）^5+25*x^20/（1-x ^5）^6+…+-（-1）^n*n^2*x^（n^2-n）/（1-x^n）^（n+1）+。。。

%e明确地说，

%e M（x）=x ^2+4*x ^4+5*x ^6+16*x ^8-18*x ^9+25*x ^10-3*x ^12+49*x ^14-100*x ^15+112*x ^16-99*x ^18+234*x ^20-294*x ^21+121*x ^22+56*x ^24-100*x^25+169*x ^26-648*x ^27+931*x ^28-1010*x ^30+。。。

%e N（x）=1+2*x-x^2+4*x^3-7*x^4+6*x^5-8*x^6+8*x^7-31*x^8+46*x^9-49*x^10+12*x^11+3*x^12+14*x^13-97*x^14+196*x^15-207*x^16+18*x^17+154*x^18+20*x^19-414*x^20+526*x^21-241*x^22+24*x*x^23-91*x ^24+176*x^25-337*x^26+1108*x^27-1511*x^28+30*x^29+1525*x^30+。。。

%e条款以2的幂开始：

%e a（2^n）=[2，0，-3，-15，-95，-927，-12351，-457215，-137484287，-71927383551，-12774376215944191，-207381050123487451951，-78004011261694477161745918353407，…]。

%e三次幂的条款开始：

%e a（3^n）=[2，4，28，460，10774，80195104，2894790054826，…，A292184（n），…]。

%e 5次方的条款开始：

%e a（5^n）=[2,6,76,37962612598806264828768869002981409762696876，…]。

%t项=200；求和[n*x^n*（1-x^n）^n，{n，-项，项}]+O[x]^项//

%t系数列表[#，x]&（*_Jean-François Alcover_，2017年10月11日*）

%o（PARI）{a（n）=my（l=1+o（x^（2*n+2））；polcoeff（总和（k=-n-2，n+2，k*x^k*（l-x^k）^k），n）}\\编辑：M.F.Hasler_，2017年10月11日

%o（PARI）{a（n）=my（l=1+o（x^（2*n+2））；polcoeff（sum（k=-n-2，n+2，if（k，k^2*x^

%o（PARI）{a（n）=my（x='x+o（'x^（2*n+2））；polceoff（总和（k=-n-2，平方（2*n）+2，-（-1）^k*k*x^

%o（PARI）{a（n）=我的（x='x+o（'x^（2*n+2））；polceoff（总和（k=-n-2，平方（2*n），如果（k，-（-1）^k*k*x^

%o表示（n=0，80，打印1（a（n），“，”）

%o（PARI）A291937_vec（n）={my（x='x+o（'x^（2*n+2））；-vec（总和（k=-n-2，sqrtint（2*n），如果（k，（-1）^k*k*x^。例如，sum（n=0..150，a（n））需要约10秒，vecsum（A291937_vec（150））需要大约0.1秒。-M.F.Hasler_，2017年10月11日

%Y参见A292184、A262007、A292177、A293129。

%K符号，看

%0、2

%A _保罗·D·汉纳，2017年9月6日