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| A285061型 |
| Sheffer三角形S2[4,1]=（exp（x），exp（4*x）-1）。 |
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10
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1, 1, 4, 1, 24, 16, 1, 124, 240, 64, 1, 624, 2656, 1792, 256, 1, 3124, 26400, 33920, 11520, 1024, 1, 15624, 250096, 546560, 331520, 67584, 4096, 1, 78124, 2313360, 8105664, 7822080, 2745344, 372736, 16384, 1, 390624, 21132736, 114627072, 165398016, 88940544, 20299776, 1966080, 65536, 1, 1953124, 191757120, 1574682880, 3270274560, 2529343488, 863256576, 138215424, 10027008, 262144
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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对于Sheffer三角形（无限下三角指数卷积矩阵），请参阅下面的W.Lang链接A006232号，带有参考。
这是Sheffer三角形Stirling2（n，m）的推广=A048993美元（n，m）表示为（exp（x），exp（x）-1），可命名为S2[1,0]。
关于Sheffer三角形（exp（x），（1/4）*（exp（4*x）-1），请参见A111578号也是P.Bala链接，其中该三角形T（n，m）/4^m命名为S_{（4,0,1）}。三角形T（n，m）*m！在中给出A285066型.
这个三角形出现在序列{（1+4*m）^n}_{m>=0}的o.g.f.g（n，x）中*x^m/（1-x）^（m+1），n>=0。因此，相应的例如f.是通过线性拉普拉斯逆变换，e（n，t）=和{m>=0}（1+4*m）^n t^m/m！=exp（t）*Sum_{m=0..n}t（n，m）*t^m。
对应的具有反向行的欧拉三角形是rEu（n，k）=Sum_{m=0..k}（-1）^（k-m）*二项式（n-m，k-m）*T（n，k）*k！，0<=k<=n。这是A225118型带有行反转。
一般来说，Sheffer三角形S2[d，a]出现在算子（a*1+d*E_x）=Sum_{m=0..n}S2（d，a；n，m）x^m*（d_x）^m与导数d_x和Euler算子E_x=x*d_x的重新排序中。对于[d，a]=[1,0]，这成为标准的Stirling2属性。
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链接
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配方奶粉
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三项递推（根据上述转换性质，其中[d，a]=[4,1]）：T（n，-1）=0，T（0，0）=1，T（n、m）=0如果n<m。
T（n，m）=和{k=0..m}二项式（m，k）*（-1）^（k-m）*（1+4*k）^n/m！，0≤m≤n，满足重现性。
例如，行多项式R（n，x）=Sum_{m=0..n}T（n，m）*x^m:exp（z）*exp（x*xp（4*x）-1））。这是三角形的例子。
对于列m的序列，例如：exp（x）*（（exp（3*x）-1）^m）/m！（谢弗财产）。
m列序列的O.g.f:（4*x）^m/Product_{j=0..m}（1-（1+4*j）*x）（通过示例f.的拉普拉斯变换）。
T（n，m）=和{k=0..n}二项式（n，k）*4^k*Stirling2（k，m），0<=m<=n，其中Stirling 2在A048993美元.
从上面给出的z序列中，列m=0的项T（n，0）=4^n的一个非平凡递归：T（n、0）=n*Sum_{j=0..n-1}z（j）*T（n-1，j），n>=1，T（0，0）=1。
从上面给出的a序列中，m>=1列条目的递归：T（n，m）=（n/m）*Sum_{j=0..n-m}二项式（m-1+j，m-1）*a（j）*T（n-1，m-1+j），m>=1。
行多项式R（n，x）（Meixner型）的递归性：R（n、x）=（（1+4*x）+4*x*d_x）*R（n-1，x），带微分d_x，对于n>=1，输入R（0，x）=1。
列序列m:T（n，m）=（1/（n-m））*[（n/2）*（2+4*m）*T（n-1，m）+m*Sum_{p=m..n-2}二项式（n，p）（-4）^（n-p）*Bernoulli（n-pA282629型下面给出了一个示例-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
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例子
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三角形T（n，m）开始于：
n\m 0 1 2 3 4 6 7 8 9
0: 1
1: 1 4
2: 1 24 16
3: 1 124 240 64
4: 1 624 2656 1792 256
5: 1 3124 26400 33920 11520 1024
6: 1 15624 250096 546560 331520 67584 4096
7: 1 78124 2313360 8105664 7822080 2745344 372736 16384
8: 1 390624 21132736 114627072 165398016 88940544 20299776 1966080 65536
...
三期复发：T（4,1）=4*1+（1+4*1）*124=624。
行多项式R（3，x）（Meixner型）的递归：（（1+4*x）+4*x*d_x）*（1+24*x+16*x^2）=1+124*x+240*x^2+64*x^3。
列m=2和n=4:T（4，2）=（1/2）*[2*（2+4*2）*T（3，2）+2*6*（-4）^2*Bernoulli（2）*T（2，2））]=（1/2）*（20*240+12*16*（1/6）*16）=2656的Boas-Buck递推-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
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数学
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表[Sum[二项式[n，k]*4^k*StirlingS2[k，m]，{k，0，n}]，{n，0，20}，{m，0，n}]//压扁(*因德拉尼尔·戈什2017年5月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，m）=总和（k=0，n，二项式（n，k）*4^k*stirling（k，m，2））；
对于（n=0，20，对于（m=0，n，打印1（T（n，m），“，”）；）；打印（）；）\\因德拉尼尔·戈什2017年5月6日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000012号,A000302号, 4*A003463号,A111578号,A006232号/A006233号, 16*A016234号,A282629型,A285062型/A285063型,285064加元,A285065型,285066加元.
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关键词
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作者
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经核准的
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