%I#65 2021年3月31日22:34:58

%S 1,2,2,2,1,1,1,1,3,3,2,2,4,2,5,3,2,2,2,3,1,5,2,2,5,8,1,2,6，

%T 3,3,2,3,7,5,2,8,6,1,4,6,2,6,9,5,4,7,6,2,6,7,5,2,1,6,2,10,9,6，

%U 3、3、6、2、3、8、12、5、5、7、11、5、1

%N将N写成w^2+x^2+y^2+z^2的有序方式的数量，其中w、x、y和z是非负整数。

%C猜想：（i）对于所有n=0,1,2，…，a（n）>0，。。。，而a（n）=1仅适用于n=0，4^k*6（k=0,1,2，…），16^k*m（k=0，1,2，…和m=5，7，8，31，43，61，116）。

%C（ii）任何大于15的整数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中w，x，y，z为非负整数，6*x+10*y+12*z为正方形。

%C（iii）不在7、15、23、71、97中的每个非负整数n可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中w、x、y、z是非负整数，2*x+6*y+10*z是平方。此外，任何不在7，43，79之间的非负整数n都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中包含w，x，y，z个非负整数和3*x+5*y+6*z个平方。

%C有关推测，另见A271510和A271513。

%C a（n）>0验证所有n<=3*10^7。-_孙志伟2016年11月28日

%天津大学的C Qing-Hu Hou已经验证了上述猜想中的a（n）>0以及部分（ii）和（iii）的n到10^9_孙志伟2016年12月4日

%C假设所有n的a（n）>0=0,1,2，。。。被称为1-3-5猜想，作者宣布了1350美元的奖金来奖励其解决方案_孙志伟2017年1月17日

%C Qing-Hu Hou已经完成了对n到10^10的a（n）>0的验证_孙志伟2017年2月17日

%C安东尼奥·马基雅维罗（António Machiavelo）和尼古拉·佐帕尼迪斯（Nikolaos Tsopanidis）在2021年发表的JNT论文中最终证明了1-3-5猜想。这是一个伟大的成就_孙志伟，2021年3月31日

%孙志伟，n的表，n=0..10000的a（n）</a>

%H Antonio Machiavelo和Nikolaos Tsopanidis，<a href=“https://arxiv.org/abs/2003.02592“>Zhi-Wei Sun的1-3-5猜想和变化</a>，arXiv:2003.02592[math.NT]，2020。

%H Antonio Machiavelo和Nikolaos Tsopanidis，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.jnt.2020.10.001“>孙志伟的1-3-5猜想与变分</a>，《数论杂志》222（2021），1-20。

%H Antonio Machiavelo、Rogério Reis和Nikolaos Tsopanidis，<a href=“https://arxiv.org/abs/2005.13526“>关于孙志伟“1-3-5猜想”及其改进的报告，arXiv:2005.13526[math.NT]，2020。

%H Antonio Machiavelo、Rogério Reis和Nikolaos Tsopanidis，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.jnt.2021.01.001“>关于孙志伟1-3-5猜想及其改进的报告，《数论》222（2021），21-29。

%孙志伟，<a href=“http://arxiv.org/abs/1604.06723“>精炼拉格朗日四平方定理，arXiv:1604.06723[math.NT]，2016。

%孙志伟，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2016.11.008“>精炼拉格朗日四平方定理，J.数论175（2017），167-190。（见推测4.3（i）和备注4.3。）

%e a（5）=1，因为5=2^2+1^2+0^2+0^2与1+3*0+5*0=1^2。

%e a（6）=1，因为6=2^2+1^2+1 ^2+0 ^2，1+3*1+5*0=2 ^2。

%e a（7）=1，因为7=2^2+1^2+1 ^2+1^2，1+3*1+5*1=3^2。

%e a（8）=1，因为8=0 ^2+0 ^2+2 ^2+2 ^2，0+3*2+5*2=4 ^2。

%e a（24）=1，因为24=4^2+0^2+2^2+2 ^2，0+3*2+5*2=4^2。

%e a（31）=1，因为31=1^2+5^2+2^2+1^2，其中5+3*2+5*1=4^2。

%e a（43）=1，因为43=1^2+1^2+5^2+4^2，1+3*5+5*4=6^2。

%e a（61）=1，因为61=6^2+0^2+0 ^2+5^2，0+3*0+5*5=5^2。

%e a（116）=1，因为116=10^2+4^2+0^2+0 ^2，4+3*0+5*0=2^2。

%t SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]]

%t Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[x+3y+5z]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n]}，{y，0，Sqrt[n-x*2]}，}；打印[n，“”，r]；继续，{n，0,80}]

%Y参见A000118、A000290、A270969、A271510、A271513、A273294、A273302、A276533、A278560。

%K nonn公司

%0、2

%孙志伟，2016年4月9日