%I#38 2017年2月11日11:21:52

%S 1,3,2,1,4,6,3,2,5,6,1,2,5,1,5,4,4,3,2,6,5,1,1,3,8,2,4,66,6,4,2,3，

%T 8,3,7,7,1,6,6,8,6,1,2,11,7,12,12,8,2,7,5,9,4,4,4]7,2,4,9,7,4,11,6，

%U 1,5,8,7

%N将N写为w^2+x^2+y^2+z^2的有序方式的数量，其中w、x、y和z是非负整数。

%C猜想：（i）对于所有n=0,1,2，…，a（n）>0，。。。，a（n）=1仅适用于n=0、3、11、23、43、47、67、83、107、155、323、683、803、4^k*m（k=0、1、2…和m=22、38）。

%C（ii）任何自然数都可以用x，y，z整数和a*x^2+b*y^2+C*z^2平方写为w^2+x^2+y^2+z^2，只要（a，b，C）是以下三元组之一：（1,3,12），（1280560），（3,9,13），（4,5,12）， (4,5,60), (4,9,60), (4,12,21), (4,12,45), (4,12,69), (4,12,93), (4,12,237), (4,21,24), (4,21,36), (4,21,504), (4,24,93), (4,28,77), (4,45,120), (4,45,540), (4,45,600), (5,36,40), (7,9,126), (7,9,588), (8,16,73), (8,16,97), (8,49,112), (9,13,27), (9,16,24), (9,19,36), (9,21,91), (9,24,232), (9,28,63), (9,40,45), (9,40,56), (9,40,120), (9,45,115),（9,45235）、（12,13,24）、（12,13,36）、（12,36,37）、（12,36133）、（13,36,72）、（13,36108）、（15,24,25）、（15,49105）、（16,17,48）、（16,20,45）、（16,21,84）、（16,33,72）、（16,33176）、（16,45180）、（16,48,57）、（16,48105）、（16,48233）、（16,48249）、（19,45,57）、（19,45180）、（21,22 5,35），（21,25,75），（21,28,36），（21,28,60），（21,43105），（21100105），（24,25,72）， (24,25,120), (24,48,97), (24,81,184), (24,120,145), (25,36,75), (25,40,56), (25,45,51), (25,45,99), (25,48,96), (25,48,144), (25,54,90), (25,75,81), (25,80,184), (25,96,120), (25,200,216), (28,33,36), (28,36,77), (28,72,189), (32,64,73), (33,36,220), (33,48,144), (33,72,256), (33,88,144), (36,45,100), (36,45,172), (37,81,243), (40,81,120), (40,81,240), (41,64,256), (45,48,76), (48,144,177), (49,56,64), (49,63,72), (55,141,165), (57,64,192), (60,105,196), (64,65,160), (72,73,144), (81,160,240), (85,140,196), (105,112,144), (112,144,153), (136,144,153), (144,145,240), (144,160,225),(148,189,252), (175,189,225).

%C（iii）如果a、b和C是正整数，任何自然数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中包含x、y、z整数和a*x^2+b*y^2+C*z^2a平方，那么a、b、C不能是两两互质。

%这个猜想比拉格朗日的四平方定理更强。此外，为了我们的目的，还有许多其他合适的三元组（a，b，c）没有在猜想的第（ii）部分中列出。如果a、b和c是正整数，因此任何自然数都可以用x、y、z整数写成w^2+x^2+y^2+z^2，而a*x^2+b*y^2+c*z^2是一个正方形，那么a+b+c、4*a+b+c、a+4*b+c和a+b+4*c中的一个必须是一个方形，因为2^2+1^2+1^2+1 ^2是将7表示为四个正方形之和的唯一方法。

%C显然，a（m^2*n）>=a（n）对于所有m，n=1,2,3，。。。。

%C有关推测，另见A271510和A271518。

%孙志伟，n的表，n=0..10000的a（n）</a>

%孙志伟，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2016.11.008“>精炼拉格朗日四平方定理，《J·数论》175（2017），167-190。也可从<a href=“http://arxiv.org/abs/1604.06723“>arXiv:1604.06723[math.NT]</a>，2016-2017。

%e a（3）=1，因为3=0 ^2+1 ^2+1 ^2+1 ^2与3*1^2+4*1^2+9*1^2=4^2。

%e a（11）=1，因为11=1^2+3^2+0^2+1^2，其中3*3^2+4*0^2+9*1^2=6^2。

%e a（22）=1，因为22=4^2+2^2+1^2+1 ^2，带有3*2^2+4*1^2+9*1^2=5^2。

%e a（23）=1，因为23=3^2+1^2+2^2+3^2，其中3*1^2+4*2^2+9*3^2=10^2。

%e a（38）=1，因为38=0^2+6^2+1^2+1 ^2，其中3*6^2+4*1^2+9*1^2=11^2。

%e a（43）=1，因为43=4^2+3^2+3 ^2+3+3^2，其中3*3^2+4*3^2+9*3^2]=12^2。

%e a（47）=1，因为47=3^2+6^2+1^2+1 ^2，其中3*6^2+4*1^2+9*1^2=11^2。

%e a（67）=1，因为67=8^2+1^2+1 ^2+1A ^2，其中3*1^2+4*1^2+9*1^2=4^2。

%e a（83）=1，因为83=0^2+9^2+1^2+1^2，其中3*9^2+4*1^2+9*1^2=16^2。

%e a（107）=1，因为107=9^2+3^2+4^2+1^2，其中3*3^2+4*4^2+9*1^2=10^2。

%e a（155）=1，因为155=0^2+9^2+5^2+7^2，其中3*9^2+4*5^2+9*7^2=28^2。

%e a（323）=1，因为323=3^2+15^2+8^2+5^2，其中3*15^2+4*8^2+9*5^2=34^2。

%e a（683）=1，因为683=15^2+11^2+16^2+9^2，其中3*11^2+4*16^2+9*9^2=46^2。

%e a（803）=1，因为803=24^2+13^2+7^2+3^2，其中3*13^2+4*7^2+9*3^2=28^2。

%t SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]]

%t Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]&&SQ[3x^2+4y^2+9z^2]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n]}，{y，0，Sqrt[n-xs^2]}，}；打印[n，“”，r]；继续，{n，0,70}]

%Y参见A000118、A000290、A270969、A271510、A271518。

%K nonn公司

%0、2

%A _孙志伟，2016年4月9日