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A271510型 将n写成x^2+y^2+z^2+w^2的有序方式的数量,其中x>=y>=0,z>=0和w>=0使得x^2+8*y^2+16*z^2是一个正方形。 53

%I#31 2017年2月11日11:21:46

%S 1,3,3,2,4,4,1,1,3,4,5,2,3,5,5,2,1,4,4,2,1,1,8,5,4,4,4,2,2,3,3,

%T 7,2,6,7,3,3,5,6,4,6,2,4,4,1,3,6,9,4,8,5,5,2,6,10,4,5,3,7,4,10,3,

%U 5,5,2,4,1,5,6,7,2,6,1,7,4,4

%N将N写成x^2+y^2+z^2+w^2的有序方式的数量,其中x>=y>=0,z>=0和w>=0使得x^2+8*y^2+16*z^2是一个正方形。

%C猜想:(i)对于所有n=0,1,2,…,a(n)>0,。。。,a(n)=1仅适用于n=0、7、23、71、77、105、191、215、311、335、2903、4^k*q(k=0、1、2…和q=6、15、47、138)。

%C(ii)任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2,其中x>=y>=0,z>=0和w>=0这样4*x^2+21*y^2+24*z^2(或5*x^2+40*y^2+4*z^ 2,20*x^2+85*y^2+16*z^2,25*x^ 2+480*y^ 2+96*z^2,36*x^2\+45*y^2\+40*z^2+9*z^2)是一个正方形。

%C(iii)对于任何有序对(b,C)=(48,112),(63,7),(112,1008),(136,24),(126,216),(360,40),(840,280),(1008,112)来说,每个自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2,其中x>=y>=0,z>=0和w>=0。

%C(iv)对于任何有序对(b,C)=(80,25),(81,48),(144,9),(114,153),(177,48)来说,每个自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2,其中x>=y>=0,z>=0和w>=0使得16*x^2+b*y^2+C*z^2是一个正方形。

%C这个猜想比拉格朗日的四平方定理强得多。显然,对于所有m,n=1,2,3,…,a(m^2*n)>=a(n),。。。。

%C有关推测,另见A271513和A271518。

%孙志伟,n=0..10000的n,a(n)表</a>

%孙志伟,<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2016.11.008“>完善拉格朗日四平方定理</a>,《数论》175(2017),167-190。也可从<a href=“http://arxiv.org/abs/1604.06723“>arXiv:1604.06723[math.NT]</a>,2016-2017。

%e a(6)=1,因为6=1^2+1^2+0^2+2^2,其中1=1和1^2+8*1^2+16*0^2=3^2。

%e a(7)=1,因为7=1^2+1^2+1^2+2^2,1=1,1 ^2+8*1^2+16*1^2=5^2。

%e a(15)=1,因为15=3^2+1^2+2^2+1^2,3>1和3^2+8*1^2+16*2^2=9^2。

%e a(23)=1,因为23=3^2+1^2+2^2+3^2,其中3>1和3^2+8*1^2+16*2^2=9^2。

%e a(47)=1,因为47=3^2+2^2+5^2+3^2,其中3>2和3^2+8*2^2+16*5^2=21^2。

%e a(71)=1,因为71=7^2+2^2+3^2+3 ^2,其中7>2和7^2+8*2^2+16*3^2=15^2。

%e a(77)=1,因为77=5^2+4^2+6^2+0^2,其中5>4和5^2+8*4^2+16*6^2=27^2。

%e a(105)=1,因为105=6^2+2^2+4^2+7^2,其中6>2和6^2+8*2^2+16*4^2=18^2。

%e a(138)=1,因为138=3^2+2^2+5^2+10^2,其中3>2和3^2+8*2^2+16*5^2=21^2。

%e a(191)=1,因为191=9^2+3^2+1^2+10^2,其中9>3和9^2+8*3^2+16*1^2=13^2。

%e a(215)=1,因为215=11^2+7^2+6^2+3^2,11>7和11^2+8*7^2+16*6^2=33^2。

%e a(311)=1,因为311=15^2+6^2+1^2+7^2,其中15>6和15^2+8*6^2+16*1^2=23^2。

%e a(335)=1,因为335=17^2+1^2+3^2+6^2,其中17>1和17^2+8*1^2+16*3^2=21^2。

%e a(2903)=1,因为2903=49^2+14^2+15^2+9^2,其中49>14和49^2+8*14^2+16*15^2=87^2。

%t SQ[n_]:=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]]

%t Do[r=0;Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]&&SQ[x^2+8y^2+16z^2],r=r+1],{y,0,Sqrt[n/2]},{x,y,Sqrt[n-y^2]},}z,0,Sqrt[n-x*2-y^2]{];打印[n,“”,r];继续,{n,0,80}]

%Y参见A000118、A000290、A270969、A271513和A271518。

%K nonn公司

%0、2

%A _孙志伟,2016年4月9日

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