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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A260306号 由和{k=0..n-1}n^k/k定义的θ(n)的Ramanujan渐近展开中的分子!+θ(n)*n^n/n!=实验(n)/2。 2
1,4,-8,-16,8992,334144,-698752,-23349012224,1357305243136,6319924923392,-8773495082018816,-490044770722654464,170965094337803780480380834367035260928,-88481173388026066736939008,-660883915180095254454665216,88896207963152174584309088256 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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设和{k=0..n-1}n^k/k!+θ(n)*n^n/n!=实验(n)/2。Ramanujan给出了渐近展开的初始项θ(n)=1/3+(4/135)/n+(-8/2835)/n^2+(-16/8505)/n^3+O(1/n^4)。这个序列给出了展开式中的分子,以及A065973号给出分母。

文献中也以1-theta(n)的形式考虑了Ramanujan的渐近性(参见Choi link中的公式(5))。以这种形式出现的分子如A090804型(分母相同)。第一学期A090804型(0)=2不同,其他项的符号与a(n)相反。

参考文献

G、 E.Andrews,R.Askey和R.Roy,《特殊函数》,剑桥,1999年;问题4,第616页。

B、 C.Berndt,Ramanujan's Notebook II,斯普林格,1989年;第181页,第48条。另见第184页,193页及其后。

E、 《一个复杂的问题》,牛津大学出版社,1935年,函数导论。

J、 马萨格里亚,不完全伽马函数与拉马努扬对经验(x)的有理逼近,J。统计。计算机。模拟,24(1986),163-168。

S、 Ramanujan,《论文集》,G.H.Hardy等人编辑,剑桥,1927年,第323-324页,问题294。

链接

G、 C.格雷贝尔和D.特纳,n=0..117的n,a(n)表

K、 崔先生,gamman分布方程与medianuan分布《美国数学学会论文集》121:1(1994年5月),第245-251页。

公式

分子/分母:a(n)/A065973号(n) =2^n*(3*n+2)!/(2*n+1)!*和{i=1..2*n+1}和{j=1..i}和{k=1..j}(-1)^(k+1)*2^i*k^(2*n+i+j+1)*C(2*n+1,i)*C(i,j)*C(j,k)/((2*n+i+j+1)!*(n+i+1)),其中C(n,k)=A007318型(n,k)是二项式系数。

a(n)/A065973号(n) =2^n*(3*n+2)!*和{i=1..2*n+1}和{j=1..i}(-1)^(j+1)*2^i*stirling2(2*n+i+j+1,j)/((2*n+i+j+1)!*(2*n-i+1)!*(i-j)!*(n+i+1))。

枫木

h:=proc(k)选项记住;local j;`if`(k<=0,1,

(h(k-1)/k-add((h(k-j)*h(j))/(j+1),j=1..k-1))/(1+1/(k+1)))结束:

A260306号:=n->`if`(n=0,1,-numer(h(2*n+1)*双阶乘(2*n)):

顺序(A260306号(n) ,n=0..16)#彼得·卢什尼2015年11月20日

数学

分子[表[2^n*(3*n+2)!*总和[总和[(-1)^(j+1)*2^i*斯特林2[2*n+i+j+1,j]/((2*n+i+j+1)!*(2*n-i+1)!*(i-j)!*(n+i+1)),{j,1,i}],{i,1,2*n+1}],{n,0,20}]](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月20日*)

交叉引用

囊性纤维变性。A065973号(分母),A090804型,A264148号,A005447号,A005446号.

上下文顺序:A038110号 A241197年 邮编:A130436*A074025型 A031462号 A045066号

相邻序列:A260303号 A260304号 A260305号*A260307号 A260308号 A260309号

关键字

签名,压裂

作者

弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2015年11月10日

扩展

更多条款来自瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月20日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年9月24日02:33。包含337315个序列。(运行在oeis4上。)