%I#18 2019年10月22日04:22:25

%序号11,19,67,13262147,131669,13255127,132383,13,67,1332544331,13，

%电话：271,134057,13

%N最小素因子2^（2^N+2）+3。

%C这些数字不会出现在A023394中（费马数A000215的素因子）。

%C来自恰瓦乌，2019年10月21日：（开始）

%C a（22）=67，a（26）=1399，a（28）=10957，a（30）=117127，a（32）=67，a（36）=12781849，a（38）=262147，a（42）=67，a（48）=6391117，a（50）=1265347，a（52）=67，a（54）=2383，a（58）=26833，a（62）=67，a（64）=517261，a（68）=2251，a（72）=67，a（74）=137077，a（78）=562 273，a（82）=67，a（84）=1399，a（86）=3253，a（88）=271，a（92）=67，a（94）=2203，a（96）=329347，a（98）=2383，a（100）=5323，a（110）=2759137，a（114）=122553，a（116）=659941，a（126）=48337，a，a（130）=2403229，a（134）=2534659，a（140）=41257。

%C定理：对于n>0，a（n）>=13。

%C证明。2^（2^n+2）+3是奇数，不是3的倍数，因此a（n）>3。对于所有素数3<p<14，p-3是2的幂。对于p=5，2^4==1模5，因此对于n=1，2^（2^n+2）+3==4模5，对于n>1，2^（2^n+2）+3==7==2模5。对于p=7，2^3==1 mod 7。由于2^n+2<>2 mod 3，2^（2^n+2）<>4 mod 7，因此2^。

%C对于p=11，2^10==1模11。由于2^n+2对于n>0是偶数，2^n=2<>3模10，因此2^（2^nx2）<>2^3模11和2^。证明结束。

%C定理：对于n>=1，a（2n+1）=13。

%C归纳证明。a（3）=13，因为2^（2^3+2）+3=1027=13*79。

%C假设a（2n+1）=13，这意味着2^（2n/1）+2）==10模13。

%那么2^（2^，2n+3）+2）=2^（3*2^。对于n>=1，2^（2n+1）是4的倍数，因此2^。

%这意味着2^（2n+3）+2）==2^。根据上面的第一个结果，a（2n+3）=13。

%C证明结束。

%C猜想1:当n>=0时，a（10n+2）=67。

%C猜想2:a（36n+16）=271，对于n>=0和n<>1 mod 5。

%C猜想3:a（84n+22）=523，对于n>=0和n<>0 mod 5。

%C猜想4:a（58n+26）=1399，当n>=0且不在猜想1-3中时。

%C猜想5:a（138n+6）=1669，对于n>=0和n<>2 mod 5。

%C猜想6:a（44n+10）=2383，当n>=0且未被猜想1-5覆盖时。

%C（结束）

%F最小素因子为4*A000215（n）-1，费马数为A000215.-_Wolfdieter Lang，2014年11月5日

%t PrimeFactors[n_]：=扁平[表[#[[1]]，{1}]&/@FactorInteger[n]]；表[PrimeFactors[2^（2^n+2）+3][1]，{n，0，7}]（*Vincenzo Librandi_，2014年10月15日*）

%o（PARI）a（n）=因子（2^（2^n+2）+3）[1，1]；\\_米歇尔·马库斯，2014年10月15日

%o（PARI）表示（n=1,19，my（x=2^（2^n+2）+3）；对于素数（k=3，oo，如果（x%k==0，打印1（k，“，”））；中断））\\胡戈·普福尔特纳，2019年8月8日

%Y参考A000215、A023394、A057733。

%K nonn，难，更多

%0、1

%2014年10月14日，A_Arkadiusz Wesolowski