%I#174 2023年6月24日12:55:23

%S 1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,1,4,2,1,5,2,1,2,5,1,5,2,6,2,1,6,3,1,7,2,2,1,7,3，

%T 2,1,8,3,1,2,8,3,2,1,1,9,3,2,1,1,9,4,2,1,1,1,10,2,2,1,10,4,2,11,4，

%U 2,1,2,11,4,3,1,1,12,2,2,1,1,12,5,2,1,1,13,4,2,1,13,3,1,2,1,14,5,2,2,2,1

%N按行读取的不规则三角形：T（N，k）是将所有<=N的正整数划分为k个连续部分的总数与将所有<=N的正整型划分为k+1个连续部分（N>=1，1<=k<=A003056（N））的总数之差。

%C原名称为：按行读取的三角形：T（n，k）=A235791（n，k）-A235791（n，k+1），假设三角形A23579l的虚拟右边界为A000004。

%C T（n，k）也是方格网第一象限上锯齿形路径中第k段的长度，连接点（n，0）和点（m，m），从垂直方向的一段开始，其中m<=n。

%C猜想：由x轴、这条Z字形路径和对角线[（0，0），（m，m）]定义的多边形的面积等于A024916（n）/2，即所有正整数的所有除数之和的一半<=n，具有相同的属性。对于四个象限中的每个八分位，依此类推。

%C对于A024916和A000203的表示，我们使用两个辛烷值，例如：第一个辛烷和第二个辛烷，或第六个辛烷或第七个辛烷等，请参见A237593。

%C至少在n=128时，两条之字形路径从不交叉（手动检查）。

%C由第n行三角形及其镜像行组成的有限序列给出第n行三角A237593。

%C A196020和A237271之间的连接如下：A196020-->A236104-->A235791-->此序列-->A237593-->A239660-->A237270-->A227271。

%C Franklin T.Adams-Waters关于A235791和相关序列中“sigma对称表示”相关序列的评论，2014年3月31日。（开始）

%C首先使用A235791，这非常简单。然后转到A237591（也很简单）和A237593（仍然很简单）。

%C然后需要将A237593的行解释为Dyck路径。这种解释是根据行程长度进行的，因此2,1,1,2表示向上两次、向下一次、向上一次和向下两次。因为A237593的行是对称的，并且长度均匀，所以此路径始终是对称的。

%C现在，令人惊讶的事实是，n的Dyck路径所包围的区域（位于其侧面）总是包括n-1的包围区域；加上的平方数是sigma（n）。

%C最后，看由n而非n-1封闭的连接区域；这些区域的大小是sigma的对称表示。（结束）

%C发件人_Hartmut F.W.Hoft_，2014年4月7日：（开始）

%C行总和为A235791（n，1）-A235791（n，floor（（sqrt（8n+1）-1）/2）+1）=n-0。

%编写了C Mathematica函数来检查猜想以及非交叉之字形路径（Dyck路径旋转90度），直至n=30000（同样适用于A237593）。（结束）

%C终止于点（m，m）的第n条Z字形路径，其中m=A240542（n）。-_Omar E.Pol，2014年4月16日

%C From _Omar E.Pol_，2015年8月23日：（开始）

%Cn是奇素数，当且仅当对于k的其余值，T（n，2）=1+T（n-1,2）和T（n，k）=T（n-1，k）。

%C三角形第n行的元素与三角形A261350的第n行元素一起构成三角形A237593的第n列。

%C T（n，k）也是A245092中所述阶梯金字塔前视图左侧第n层（从顶部开始）第k垂直侧的面积（或单元数），参见示例部分。

%C（结束）

%C发件人：Omar E.Pol_，2015年11月19日：（开始）

%C T（n，k）也是图的第n行中第k和（k+1）个线段（从左到右）之间的单元格数，如示例部分所示。

%C注意，图中第n行中水平线段的数量等于A001227（n），即n的奇数除数（End）

%C猜想：三角形第n行中的f（n，k）值为1或2，表示所有有天花板的k（（sqrt（4*n+1）-1）/2）<=k<=floor（（squart（8*n+1；通过2500000次测试。另见A285356_Hartmut F.W.Hoft_，2017年4月17日

%C猜想：T（n，k）是所有<=n的正整数被精确地划分为k个连续部分的总数与所有<=n的正整数划分为精确地k+1个连续部分之间的差值_Omar E.Pol_，2017年4月30日

%C From _Omar E.Pol_，2021年8月31日：（开始）

%C似乎T（n，2）/T（n，1）收敛到1/3。

%C似乎T（n，3）/T（n，2）收敛到1/2。

%C看来T（n，4）/T（n，3）收敛到3/5。

%C似乎T（n，5）/T（n，4）收敛到2/3。（结束）

%换句话说：T（n，k）是σ（n）对称表示的最大Dyck路径的第k条线段的长度_Omar E.Pol，2021年9月8日

%H G.C.Greubel，n表，前150行的a（n）</a>

%F T（n，k）=天花板（（n+1）/k-（k+1）/2）-天花板（（n+1）/（k+1）-（k+2）/2），对于1<=n和1<=k<=地板（（sqrt（8n+1）-1）/2）_Hartmut F.W.Hoft_，2014年4月7日

%e三角形开始：

%e 1；

%e 2；

%e 2，1；

%e 3，1；

%e 3，2；

%e 4、1、1；

%e 4、2、1；

%e 5、2、1；

%e五、二、二；

%e第6、2、1、1条；

%e 6、3、1、1；

%e第7、2、2、1条；

%e第7、3、2、1条；

%e 8、3、1、2；

%e八、三、二、一、一；

%e第9、3、2、1、1条；

%e 9、4、2、1、1；

%e 10、3、2、2、1；

%e 10、4、2、2、1；

%e 11、4、2、1、2；

%e 11、4、3、1、1、1；

%e第12、4、2、2、1、1条；

%e第12、5、2、2、1、1条；

%e 13、4、3、2、1、1；

%e 13、5、3、1、2、1；

%e十四、五、二、二、一；

%e第14、5、3、2、1、2条；

%e第15、5、3、2、1、1和1条；

%e。。。

%e对于n=10，三角形A235791的第10行是[10，4，2，1]，所以第10行为[6，2，1，1]。

%e摘自2015年8月23日的Omar e.Pol_：（开始）

%e初始术语说明：

%e行_

%e 1 _ |1|

%e 2 _ |2_|

%e 3_|2|1|

%e 4 _ |3 _ |1|

%e 5_|3|2_|

%e 6_|4_|1|1|

%e 7_|4|2|1|

%e 8 _ |5 _ |2 _ |1|

%e 9 _ |5 | 2 | 2_|

%e 10_|6_|2|1|1|

%e 11 _ |6 | 3 _ |1 | 1|

%e 12_|7_|2|2|1|

%e 13 _ |7 | 3 | 2 _ |1|

%e 14_|8_|3_|1|2_|

%e 15 _ |8 | 3 | 2 | 1 | 1|

%e 16_|9_|3|2|1|1|

%e 17_|9|4_|2_|1|1|

%e 18 _ |10 _ |3 | 2 | 2 | 1|

%e 19 _ |10 | 4 | 2 | 2 _ |1|

%e 20_|11_|4_|2|1|2_|

%e 21 _ |11 | 4 | 3 _ |1 | 1 |1|

%e 22 _ | 12 _ | 4 | 2 | 2 | 1 | 1|

%e 23 _ | 12 | 5 _ | 2 | 2 | 1 | 1|

%e 24_|13_|4|3|2_|1|1|

%e 25 _ |13 | 5 | 3 _ |1 | 2 | 1|

%e 26 _ |14 _ |5 _ |2 | 2 _ |1|

%e 27 _ |14 | 5 | 3 | 2 | 1 | 2_|

%e 28|15|5|3|2|1|1|1|

%e。。。

%e该图还表示A245092中所述金字塔前视图的左侧。另一半前视图见A261350。有关金字塔和西格玛对称表示的更多信息，请参见A237593。（结束）

%e来自Omar e.Pol_，2021年9月8日：（开始）

%e对于n=12，第四象限中sigma（12）的对称表示如下所示：_

%电子||

%电子||

%电子||

%电子||

%电子||

%e _ _ _ ||

%e _ | __|

%电子_||

%电子|_|

%电子|__|1

%e _ _ _ _ __|2

%e | _ _ _ _ __ _ _ |2

%第7页

%e、。

%e从第一个顶点到最大Dyck路径中心顶点的连续线段的长度分别为[7、2、2、1]，与第十二行三角形相同。（结束）

%t行[n_]：=楼层[（Sqrt[8*n+1]-1）/2]；f[n_，k_]：=天花板[（n+1）/k-（k+1）/2]-天花板[（n+1）/（k+1）-（k+2）/2]；

%t表格[f[n，k]，{n，1,50}，{k，1，row[n]}]//展平

%t（*哈特穆特·F·W·霍夫特，2014年4月8日*）

%o（PARI）行235791（n）=向量（（平方（8*n+1）-1）\2，i，1+（n-（i*（i+1）/2））\i）；

%o行（n）={my（orow=concat（row235791（n），0））；向量（#orow-1，i，orow[i]-orow[i+1]）；}\\_Michel Marcus_，2014年3月27日

%o（Python）

%o来自sympy导入sqrt

%o导入数学

%o def T（n，k）：返回int（math.ceil（（n+1）/k-（k+1）/2））-int（math.ceil（（n+1）/（k+1）-（k+2）/2））

%o表示范围（1，29）中的n：打印（[T（n，k）表示范围（1,int（（sqrt（8*n+1）-1）/2）+1）中的k）#_Indranil Ghosh_，2017年4月30日

%Y第n行的长度为A003056（n），因此第k列从第A000217（k）行开始。

%Y行总和给出A000027。

%Y列1为A008619，n>=1。

%Y右边框表示A042974。

%Y参考A0000203、A0001227、A024916、A196020、A235791、A236104、A237048、A237270、A237271、A237593、A239660、A239931-A2239934、A240542、A244580、A245092、A249351、A259176、A259177、A261350、A261699、A262626、A285356、A286000、A286001。

%K nonn，标签

%O 1,2号机组

%2014年2月22日，A_Omar E.Pol_

%2015年8月23日，_Omar E.Pol_又添加了3行

%E 2017年4月30日评论中的新名称_Omar E.Pol，2023年6月18日