%I#38 2024年1月14日00:14:17

%S 1,1,16,36,16,1112182884641384084641828112,1160840136，

%电话724320496175515018688215719841501868849617557242040136608,1，

%电话：13104693960372299207330591106501577152290669723686983012768093200908410698301127680

%N行读取的不规则三角形：T（N，k）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（4*N+1，i）*二项法（k+4-i，4）^N，0<=k<=4*（N-1）。

%一般来说，定义b（k，e，p）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（e*p+1，i）*二项法（k+e-i，e）^p。然后T（n，k）=b（k、4、n）。

%利用这些系数，我们可以得到二项式（n，e）^p和和{i=1..n}二项式。

%C特别是：

%C二项式（n，e）^p=Sum_{k=0..e*（p-1）}b（k，e，p）*二项式（n+k，e*p）。

%C求和{i=1..n}二项式（e-1+i，e）^p=Sum_{k=0..e*（p-1）}b（k，e，p）*二项式（n+e+k，e*p+1）。

%C T（n，k）是1…n的4个不可区分副本的置换数，精确到k个下降。下降是一对相邻元素，第二个元素小于第一个元素_安德鲁·霍罗伊，2020年5月8日

%H Vincenzo Librandi，n的表，n=1..780的a（n）</a>

%F求和{i=1..n}二项式（3+i，4）^p=求和{k=0..4*（p-1）}T（p，k）*二项式（n+4+k，4*p+1）。

%F二项式（n，4）^p=和{k=0..4*（p-1）}T（p，k）*二项式。

%e T（n，0）=1；

%e T（n，1）=5^n-（4*n+1）；

%e T（n，2）=15^n-（4*n+1）*5^n+C（4*n+1,2）；

%e T（n，3）=35^n-（4*n+1）*15^n+C（4*n+1,2）*5^n-C（4*n+1,3）；

%e T（n，4）=70^n-（4*n+1）*35^n+C（4*n+1,2）*15^n-C（4*n+1,3）*5^n+C（4*1,4）。

%e三角形T（n，k）开始：

%e 1，

%e 1、16、36、16、1；

%e 1、112、1828、8464、13840、8464、1828、112、1；

%电子邮箱：1608、40136、724320、4961755、15018688、21571984、150186884、496175、72432040136、608、1；

%电子邮箱：1314、693960、37229920、733059110、6501577152、29066972368、69830127680、93200908410、698301127680，29066972.368、650157152、73305911、3722920、6939603104、1；

%e 1、15600、11000300、1558185200、75073622025、1585757994496、16938467955200、99825129369600、342907451401150、710228619472800、903546399077256、71022619472800、3429074、5101150、99825129369600、1693846、795500、158579944967507362025、155818.5200、110003003、15600，1；

%e。。。

%e示例：

%e和{i=1..n}C（3+i，4）^3=C（n+4,13）+112*C（n+5,13）+1828*C（n+6,13）+8464*C（n+7,13）+3840*C（n+8,13）+8464*C。

%e C（n，4）^3=C。

%tb[k_，4，p_]：=总和[（-1）^i*二项式[4*p+1，i]*二项法[k-i，4]^p/。k->4+i，{i，0，k-4}]；行[p_]：=表[b[k，4，p]，{k，4*p}]；表[第[p]行，{p，1，6}]//扁平（*_Jean-François Alcover_，2014年2月5日*）

%o（PARI）T（n，k）={和（i=0，k，（-1）^i*二项（4*n+1，i）*二项

%Y列k=2..8为A151640、A151641、A1511642、A151693、A15164、A1516.4、A1516.45和A151646。

%Y行总和为A014608。

%e=1..6的Y相似三角形：A173018（或A008292），A154283，A174266，此序列，A237202，A237252。

%Y和{i=1..n}二项式（3+i，4）^p对于p=2..3给出：A086023，A086024。

%Y参见A087127、A087107、A087108、A087109、A087 110、A087111、A181544。

%K nonn，标签

%氧1,3

%A _Yahia Kahloune_，2014年2月1日

%E a（36）由_Winenzo Librandi修订，2014年2月14日

%E编辑：Andrew Howroyd_，2020年5月8日