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| A230073型 |
| 代数数sqLhat（2*l）的最小多项式的系数A230072型，l>=1，与内接在半径为1长度单位的圆中的规则（2*l）边中所有长度的平方有关。 |
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1
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-1, 1, 1, -6, 1, 1, -14, 1, 1, -28, 70, -28, 1, 1, -44, 166, -44, 1, 1, -60, 134, -60, 1, 1, -90, 911, -2092, 911, -90, 1, 1, -120, 1820, -8008, 12870, -8008, 1820, -120, 1, 1, -138, 975, -1868, 975, -138, 1, 1, -184, 3740, -16136, 25414, -16136, 3740, -184, 1, 1, -230, 7085, -67528, 252242, -394404, 252242, -67528, 7085, -230, 1, 1, -248, 3612, -16072, 25670, -16072, 3612, -248, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,4个
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评论
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sqLhat（2*l），l>=1，从A230072型一个代数数（实际上是整数）的度增量（2*l）在有理数上，给出了所有直线/R（也称为弦/R）的长度比之和除以半径R圆内接的规则（2*1）边中的（2*1）^2的平方。这个数存在于代数数域Q（rho（2*I））中，其中rho（2%l）=2*cos（Pi/（2*l）））（参见A187360型以及下面用于此数字字段的W.Lang链接）。
sqLhat（2*l）=和的最小多项式(A230072型（l，m）*rho（2*l）^m，m=0..delta（2*1）），这里称为psqLhat（l，x），是根据共轭ρ（2*1）^{（j）}，j=0，。。。，通过计算共轭sqLhat（2*l）^{（j）}，j=0。。。，delta（2*l）-1，它们是rho（2*l）=：z中的多项式，具有通常的共轭规则。所有结果必须取ρ（2*l）的最小多项式C（2*1，z）的模（参见A187360型表2和C（n，x）的第3节），以获得最终写入字段Q（rho（2*l））幂基的元素。共轭物rho（2*l）^{（j）}就是C（2*1，z）的δ（2*1）根。因此，psqLhat（l，x）=乘积（x-替代（rho（2*l）=z，sqLhap（2*1）^{（j）}），j=0..δ（2*I）-1）（mod C（2*l，z））。
感谢Seppo Mustonen让我调查此事。我感谢他发送以下链接，链接到他关于n-gon中所有长度之和的平方的工作，称为L（n）^2。这里n是偶数（n=2*l），sqLhat（2*l）=（l（n）^2）/n^2。奇数n情形由下式得出A228780型如L（2*L+1）^2=（2*L+1）^2*S2（2*L+1）（注意，如果n是奇数，则所有不同的线长度在正n边形中精确地出现n次）。他的等式（6）中给出的多项式（这里是n偶数情况）通常不是一元化的，也不是不可约的。相反，我们应该考虑最小（一元、不可约和整数）多项式PsqL（l，x）：=（2*l）^（2*delta（2*1））*psqLhat（l，x/（2*1）^2），l>=1（对于n=2*l）。
Mustonen等式（6）中关于偶数n情况的多项式与PsqL（l，x）在l=2^k，k>=1时完全一致，对于l=1（k=0），必须取负数。在所有其他情况下，度数都不合适（Mustonen多项式可以在整数上约化）。然后，他对系数的猜想可以改写为对当前多项式psqLhat（2^k，x），k>=0的猜想（参见公式部分）。
S.Mustonen还猜测了他的多项式的其他零点。
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链接
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配方奶粉
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a（l，m）=[x^m]（psqLhat（l，x）），l>=1，m=0。。。，δ（2*l），带δ（2*1）=A055034号（2*l），并且psqLhat（2*l，x）的公式在上面的注释中给出。
Mustonen的猜想（改编后，请参阅上面的注释）是：a（2^k，m）=（（-1）^m）*二项式（2*2^k、2*m），k>=1，对于k=0a（1,0）=-1和a（1,1）=1是微不足道的。
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例子
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l、 n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1, 2: -1 1
2, 4: 1 -6 1
3, 6: 1 -14 1
4, 8: 1 -28 70 -28 1
5, 10: 1 -44 166 -44 1
6, 12: 1 -60 134 -60 1
7, 14: 1 -90 911 -2092 911 -90 1
8, 16: 1 -120 1820 -8008 12870 -8008 1820 -120 1
9，18:1-138 975-1868 975-138 1
10, 20: 1 -184 3740 -16136 25414 -16136 3740 -184 1
...
11, 22: 1 -230 7085 -67528 252242 -394404 252242 -67528 7085 -230 1
12, 24: 1 -248 3612 -16072 25670 -16072 3612 -248 1
13, 26: 1 -324 14626 -215604 1346671 -3965064 5692636 -3965064 1346671 -215604 14626 -324 1
14, 28: 1 -372 18242 -266916 1488367 -3925992 5377436 -3925992 1488367 -266916 18242 -372 1
15, 30: 1 -376 4380 -15944 24134 -15944 4380 -376 1
l=3，n=6：（六边形）psqL hat（3，x）=1-14*x+x ^2。两个根是正的：7+4*sqrt（3）=sqLhat（3）和7-4*sqrt（3）。对于所有长度比之和的平方，PsqL（3，x）=1296-504*x+x^2，前两个根按系数36缩放。
l=5，n=10:（十进制）=psqLhat（5，x）=1-44*x+166*x^2-44*x^3+x^4具有四个正根sqLhat=7+8*phi+4*sqrt（7+11*phi），15-8*phi+4*sqrt分别为8563，其中φ=rho（5）=（1+sqrt（5））/2（黄金分割）。PsqL（5，x）=100000000-44000000*x+1660000*x ^2-4400*x ^3+x ^4，前面的四个根按系数100缩放。
l=6，n=12：（十二边形）psqLhat（6，x）=1-60*x+134*x^2-60*x^3+x^4，四个正根sqLhat（12）=15+6*sqrt（6）+80*sqrt（3*（49-20*sqrt（6）））+
98平方米（2*（49-20*平方米（6））分别为0.01733238。
Mustonen对第1行的猜想l=2^k，k>=1（见上面的注释）：l=8（k=3）：（（-1）^m）*二项式（16,2*m），m=0..8:[1，-1201820，-8008，12870，-8008，1820，-120，1]，具有明显的对称性。
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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