登录
OEIS基金会得到了OEIS用户的捐赠和西蒙斯基金会的资助。

 

标志


提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A230073号 代数数sqLhat(2*l)的最小多项式系数A230072号,l>=1,与在半径为1长度单位的圆内内接的规则(2*l)-边形中所有长度的平方有关。 1
-1、1、1、1、1、1、-14、1、1、-14、1、1、-28、70、28、28、1、1、-44、166、-44、1、1、1、-60、134、60、60、1、1、-90、911、2092、911、911、90、90、90、1、1、-120、1820、-8008、12870、-8008、12870、8008、1820、120、120、1、138、975、1868、975、1868、975、138、138、1、1、1、1、1、1、138、1、1、138、1、1、1、138、1、1、18、28、28、28、25252、252242、29242、394404、252242、252242、2527085,-230,1,1,-248,3612,-1607225670,-16072,3612,-248,1 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,4个

评论

本表l行长度为△(2*l)+1=A055034号(2*l)+1。

sqLhat(2*l),l>=1,自A230072号,有理数上的次数δ(2*l)的代数数(实际上是整数)给出了所有直线/R(也称为弦/R)的长度比之和除以(2*l)^2的平方,在半径为R的圆内接的正则(2*l)边形中。这个数存在于代数数域Q(rho(2*l)),其中rho(2*l)=2*cos(Pi/(2*l))(参见A187360型以及下面这个数字字段的W.Lang链接)。

最小多项式的和(2)=最小多项式(A230072号(l,m)*rho(2*l)^m,m=0..delta(2*l)),这里称psqLhat(l,x),是由共轭rho(2*l)^{(j)},j=0,…,delta(2*l)-1,与rho(2*l)^{(0)}=rho(2*l)1,与rho(2*2*l)^{(2*l)^{(j(j)},j=0,…,delta(2*l l)1,…,三角洲(2*l)1,这是多项式多项式的rho(2*2*l)=:z,z,…,三角洲(2*l)-1,2*l)-1,其中多项式的多项式,2*l(2离子。所有结果必须取rho(2*l)的最小多项式C(2*l,z)(参见A187360型表2和第3节中的C(n,x)),以便最终得到以Q(rho(2*l))为幂基的元素。共轭rho(2*l)^{(j)}只是C(2*l,z)的δ(2*l)根。因此,psqLhat(l,x)=积(x-代换(rho(2*l)=z,sqLhat(2*l)^{(j)}),j=0。。delta(2*l)-1)(模式C(2*l,z))。

感谢塞波·穆斯托宁让我调查此事。我感谢他把下面给出的链接发给他关于n-边形中所有长度之和的平方的工作,称为L(n)^2。这里n是偶数(n=2*l),sqLhat(2*l)=(l(n)^2)/n^2。奇数n情形可从A228780号正如L(2*L+1)^2=(2*L+1)^2*S2(2*L+1)(注意到如果n是奇数,所有不同的线长度在正则n边形中精确地出现n次)。他的等式(6)中给出的多项式(这里是n偶数情况)一般不是一元的,也不是不可约的。相反,我们应该考虑最小(一元、不可约和整数)多项式PsqL(l,x):=(2*l)^(2*delta(2*l))*psqLhat(l,x/(2*l)^2),l>=1(n=2*l)。

Mustonen公式(6)中关于偶数n的多项式与PsqL(l,x)精确地吻合,对于l=2^k,k>=1,并且对于l=1(k=0),我们必须取负值。在所有其他情况下,度数不匹配(Mustonen的多项式在整数上变得可约)。然后,他对系数的猜想可以重写为对当前多项式psqLhat(2^k,x),k>=0的一个猜想(见公式部分)。

S、 穆斯托宁还推测了他的多项式的其他零点。

链接

n=1..75的n,a(n)表。

沃尔夫迪特·朗,Q(2cos(pi/n)),它的Galois群和正则n边形上的长度比.

塞波·穆斯托宁,作为代数方程根的正多边形边、对角线的长度及其和.

公式

a(l,m)=[x^m](psqLhat(l,x)),l>=1,m=0,…,delta(2*l),带delta(2*l)=A055034号(2*l),psqLhat(2*l,x)的公式在上面的注释中给出。

Mustonen的猜想(改编,见上面的注释)是:a(2^k,m)=((-1)^m)*二项式(2*2^k,2*m),k>=1,对于k=0,a(1,0)=-1和a(1,1)=1是微不足道的。

例子

表a(l,m)(n=2*l)开始:(行长度)A055034号(2*1)

l、 n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1,1:-1

2,4:1-6 1

3,6:1-14 1

4,8:1-28 70-28 1

5,10:1-44 166-44 1

6,12:1-60 134-60 1

7、14:1-90 911-2092 911-90 1

8、16:1-120 1820-8008 12870-8008 1820-120 1

9,18:1-138 975-1868 975-138 1

10、20:1-184 3740-16136 25414-16136 3740-184 1

...

11,22:1-230 7085-67528 252242-394404 252242-67528 7085-230 1

12,24:1-248 3612-16072 25670-16072 3612-248 1

13、26:1-324 14626-215604 1346671-3965064 5692636-3965064 1346671-215604 14626-324 1

14,28:1-372 18242-266916 1488367-3925992 5377436-3925992 1488367-266916 18242-372 1

15,30:1-376 4380-15944 24134-15944 4380-376 1

l=3,n=6:(六边形)psqLhat(3,x)=1-14*x+x^2。这两个根是正的:7+4*sqrt(3)=sqLhat(3)和7-4*sqrt(3)。对于所有长度比之和的平方,PsqL(3,x)=1296-504*x+x^2,前两个根按因子36缩放。

l=5,n=10:(十进制)=psqLhat(5,x)=1-44*x x+166*x^2-44*x x^2-44*x^3+x^4有四个正根的sqLhat(10)=7+8*phi+4*sqrt(7+11*phii),15-8*phi+4*sqrt(18-11*phi),15-8*phi-4*sqrt(18-11*phi),15-8*phi-4*sqrt(18-11*phi),7+8*phi-4*sqrt(7+11*11*phii),约39.86345819,3.851840015,0.259616169,0.259616169,0.0.0.0.0.0.分别是02508563,其中phi=rho(5)=(1+sqrt(5))/2(黄金分割)。PsqL(5,x)=100000000-44000000*x+1660000*x ^2-4400*x ^3+x ^4,前面的四个根按系数100缩放。

l=6,n=12:(十二边形)psqLhat(6,x)=1-60*x+134*x^2-60*x^3+x^4,四个正根sqLhat(12)=15+6*sqrt(6)+80*sqrt(3*(49-20*sqrt(6)))+

98*sqrt(2*(49-20*sqrt(6)),15+6*sqrt(6)-80*sqrt(3*(49-20*sqrt(6)))-98*sqrt(2*(49-20*sqrt(6)),15-6*sqrt(6)+2*sqrt(2*(49-20*sqrt(6)),15-6*sqrt(6)-2*sqrt(2*(49-20*sqrt(6)),分别约57.69548054、1.69839638、0.58879070、0.01733238。

Mustonen对l=2^k,k>=1行的猜想(见上面的注释):l=8(k=3):(-1)^m)*二项式(16,2*m),m=0..8:[1,-1201820,-8008,12870,-8008,1820,-120,1],具有明显的对称性。

交叉引用

囊性纤维变性。A055034号,A187360型,28A2780号,A230072号(sqLhat(2*l))。

上下文顺序:A202875号 A203956号 A082105型*A143210 A205133号 A152238号

相邻序列:A230070型 A230071型 A230072号*A230074号 A230075型 A230076号

关键字

签名,塔夫

作者

狼牙2013年10月9日

状态

经核准的

查找|欢迎光临|维基|登记|音乐|地块2|演示|索引|浏览|更多|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索者|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金公司。

许可协议,使用条款,隐私政策。.

上次修改日期:美国东部时间2020年8月8日14:36。包含336298个序列。(运行在oeis4上。)