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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A229910型 a(n)={0<g<prime(n):g和g+g^{-1}都是模素数(n)}的本原根,其中g^{-1-}是g模素数的逆。 1
0, 0, 0, 0, 2, 0, 4, 2, 4, 4, 2, 4, 8, 6, 10, 8, 14, 4, 4, 12, 8, 6, 20, 24, 16, 16, 12, 26, 8, 16, 14, 12, 24, 14, 32, 10, 20, 18, 40, 48, 44, 4, 30, 16, 32, 18, 14, 18, 56, 8, 60, 40, 12, 40, 64, 64, 72, 20, 40, 32, 36, 80, 22, 44, 24, 72, 22, 36, 86, 32, 84, 88, 40, 24, 28, 94, 104, 28, 76, 28 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,5

评论

猜想:对于所有n>6,a(n)>0。换句话说,对于任何素数p>13,都有一个本原根g模p,使得g+g^{-1}也是一个本初根模p,其中g^{-1-}是g模p的逆。

注意,对于任何n>1,a(n)是偶数。事实上,如果g是素数p>3的本原根模,那么g模p的逆函数与g不同,因为g^2不能与1模p同余。

猜想:设F是|F|=q>13的有限域。那么F有一个本原根g(即循环群F\{0}的生成元),使得g+g^{-1}也是F的本原根。如果q>61,那么F有个本原根g,使得g-g^{-1}也是F的本原根。

作者已经证明了对于任何具有|F|>2^{66}的有限域F都是这样的。

链接

M.F.Hasler,n=1..1000时的n,a(n)表

例子

a(5)=2,因为2和6是模素数(5)=11的本原根,其中2*6==1(mod 11)和2+6=8也是模素数11的本原根部。

这个例子回忆起,没有对称性g->-g(在Z/pZ中)(也没有对称性w.r.t.奇数/偶数g),因此(不幸的是)不能通过取满足条件的g<prime(n)/2的两倍计数来计算a(n)。例如,对于p=19=素数(8),集合中只有g=14(=-5)和g=15(=-4)-M.F.哈斯勒2013年10月6日

数学

gp[g_,p_]:=gp[g,p]=Mod[g,p]>0&&Length[Union[Table[Mod[g^k,p],{k,1,p-1}]]==p-1

a[n_]:=和[If[gp[g,素数[n]]&&gp[g+PowerMod[g,-1,素数[0]],素数[n]],1,0],{g,1,素数[1}]

表[a[n],{n,1,80}]

黄体脂酮素

(PARI)A229910型(n) =我的(p=质数(n));总和(g=2,p-2,znorder(Mod(g,p))==p-1&Mod(g,p)^-1+g&znorder\\M.F.哈斯勒2013年10月6日

(PARI)A229910型(n) ={my(p=prime(n),u=0,s=0,i);n=p-1;对于(g=2,p-2,bitest(u,g)&next;znorder(Mod(g,p))<n&next;u+=1<lift(i=Mod(g,p)^-1);i+g||next;zorder(i+g)<n|s++);s*2}\\大约快20%-M.F.哈斯勒2013年10月6日

(Perl)使用理论“:all”;子a229910{my$p=第n素数(移位);标量#达娜·雅各布森2016年9月19日

交叉参考

囊性纤维变性。A001918号,A229899型.

囊性纤维变性。A010554号.

上下文中的序列:A094572号 A323905型 A079534号*A097042号 A332001型 A196606型

相邻序列:A229907型 A229908型 A229909型*A229911型 A229912型 A229913型

关键词

非n

作者

孙志伟2013年10月3日

扩展

对值a(1..400)进行了双重检查,并将其扩展为n=1000M.F.哈斯勒2013年10月6日

状态

经核准的

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上次修改时间:2023年1月29日07:25 EST。包含359915个序列。(在oeis4上运行。)