%I#18 2021年11月24日16:36:45

%电话：31,4312722328381110511471162721432731316339146515503，

%电话：64278863631164111692718523231312374327583289272961133151，

%电话：37663424634329144971458235667165563707837842780683841278764310630311025112393131071

%N素数p的形式为m^2+27。

%C形式为x^i，i的残数mod p与0，1或3（mod 6）同余的阶，形成一个参数（v，k，lambda）=（p，（p-1）/2，（p-3）/4的差集，其中x是一个本原根，使得3=x^j，j与1（mod 5）同余。这项建设是由于马歇尔霍尔。这种差集与二次剩余形成的差集（即Paley差集）具有相同的参数，但并不等价。这两个差集都会产生p+1大小的Hadamard矩阵。

%C From _Peter Bala，2021年11月19日：（开始）

%C2是立方体模p（高斯更一般结果的特殊情况）。参见A014752。

%C形式为a^2+6*a+36的素数，其中a是整数。

%设p==1（mod 6）是素数。有整数c和d，上号唯一，例如4*p=c^2+27*d^2[参见爱尔兰和罗森，命题8.3.2]。这个序列列出了d=2的素数。参见A005471（案例d=1）和A349461（案例d=3）。

%形式为m^2+27的C素数p与循环三次域有几种关系：

%C（1）具有判别式4*m^2*p^2的三次多项式X^3-p*X+2*p是一个平方，根据Eisenstein准则，它在Q上是不可约的。因此，Q上多项式的Galois群是循环群C_3（应用Conrad，推论2.5）。

%C注意，立方X^3-p*X+2*p的根是模量p的立方高斯周期n_i的n_0-n_1、n_1-n_2和n_2-n_0之差。

%C（2）具有判别式64*m^2*p^2的三次2*X^3+p*（X+2）^2是一个平方，根据Eisenstein准则，它在Q上是不可约的，因此Q上多项式的Galois群是循环群C_3。

%C（3）立方X^3-（m-3）*X^2-2*（m+3）*X-8有判别式（2*p）^2，一个正方形。（这是桥本和胡西符号中的多项式g_3（m-3，0，-2；X）。）根据有理根定理，对于非零m，立方体在Q上是不可约的，因此Q上多项式的Galois群是循环群C_3。（结束）

%D.K.Ireland和M.Rosen，《现代数论经典导论》，第84卷，《数学研究生文本》。斯普林格·弗拉格。[提案8.3.2，第96页]

%D Thomas Storer，气割和差集。Markham，芝加哥，1967年，第73-76页。

%H G.C.Greubel，n的表格，n=1..1000的a（n）</a>

%H Peter Bala，关于三次高斯周期的周期多项式的注释</a>

%H Keith Conrad，<a href=“网址：http://www.ms.uky.edu/~sohum/ma561/notes/workspace/books/cubicquartic.pdf“>Galois立方和四次曲线组（不在特征2中）</a>

%H Marshall Hall Jr.，<a href=“https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1956-0082502-7“>差集调查，Proc.Amer.Math.Soc.7（1956）975-986。

%H Ki Ichiro Hashimoto和Akinari Hoshi，<a href=“https://doi.org/10.1090/S0025-5718-05-01750-3“>从高斯周期关系的几何推广中获得的循环多项式族，《数学比较》，第74卷，第251期，2005年，第1519-1530页

%H D.H.Lehmer和Emma Lehmer，<a href=“https://doi.org/10.2307/2152956“>Lehmer项目，《计算机数学》，第61卷，第203期，1993年，第313-317页。

%e对于p=31，使用x=3作为本原根，剩余集{1,2,3,4,6,8,12,15,16,17,23,24,27,29,30}是一个差集。

%e2a立方体模p:4^3==2（模31）；20^3==2（43版）；8^3==2（127版）；68^3==2（223版）。-_彼得·巴拉（Peter Bala），2021年11月19日

%t选择[Table[m^2+27，{m，0100}]，PrimeQ]

%o（PARI）对于（n=0,10^3，my（p=n^2+27）；if（i质数（p），打印1（p，“，”））；\\_Joerg Arndt_，2013年7月18日

%Y参见A005471、A014752、A349461。

%K nonn，简单

%O 1，1

%A _威廉·奥里克，2013年7月17日