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A225790型 魔方序列。 1

%I#70 2023年10月13日06:38:47

%S 1,24,961658886635521651129712646604518850562366518513856461248,

%电话:94660740554258644992488428629217633346355864797184,

%电话:19537145168705333854234591887361626239969468099409931407555976421703685806504959877872397363972563022390568681472

%N魔方序列。

%根据定义,这个序列的第n项是n×n魔方可容许位置组的阶。该组由2阶2n个元素生成:n列180度旋转,n行180度旋转。它自然是n^2符号上对称群的一个子群。这个序列是由卡洛斯·阿奎尔在肖恩·劳顿(Sean D.Lawton)指导的一个学期项目中发现的。

%C公式证明:对于任意n>0,我们将2nX2n的平方分为四部分。很容易证明一个元素(x,y)只有四个位置可以到达:(x,y),(2n-x+1,y),(x,2n-y+1)和(2n-x+1,2n-y+1)),我们称它们为a,b,c,d。通过一些旋转,我们可以在不改变其他元素的情况下对abcd进行任何偶数排列。因此,我们可以将行i和(2n-i+1)配对,并枚举其中哪些行被奇数反转;我们可以将列j和(2n-j-1)配对,枚举其中哪些被奇数反转。然后确定每个四元组(a、b、c、d)具有奇数置换或偶数置换;所以他们有12种排列方式可供选择。这会产生12^(n^2)*2^(2n)排列,但反转所有列和行会产生相同的排列,因此总共有12^_2019年8月12日任庆余

%H Qingyu Ren,n的表格,a(n)表示n=1.60(前25个术语来自Eric M.Schmidt)

%F对于任意n>0,a(2*n+1)=4*a(2*n)_埃里克·施密特(Eric M.Schmidt),2013年5月24日

%F猜想:a(2*n)=2^A142463(n)*3^(n^2)=2^ A142462(n)*3^A000290(n)_埃里克·施密特(Eric M.Schmidt),2013年11月5日

%对于任意n>0,a(2*n)=12^(n^2)*2^_2019年8月12日任庆余

%e绘制一个正方形n X n正方形数组(n X n X n魔方的一个面)。从1开始,从左到右,从上到下对数组的n^2平方进行编号。允许通过行或列的有限连续180度旋转来排列此标记。要计算序列的项,请计算允许位置组的顺序。1×1情形对应于平凡群,因此其阶为1:第一项。以下是使用计算机程序GAP对该序列的下三项进行的计算:

%e间隙>G2:=组((1,2),(3,4),(1,3),(2,4));

%e间隙>顺序(G2);24

%e间隙>G3:=组((1,3),(4,6),(7,9),(1,7),(2,8),(3,9));

%e间隙>顺序(G3);96

%e间隙>G4:=组((1,4)(2,3)、(5,8)(6,7)、(9,12)(10,11)、(13,16)(14,15)、(1,13)(5,9)、(2,14)(6,10)、(3,15)(7,11),(4,16);

%e间隙>顺序(G4);165888

%o(间隙)

%o A225790:=n->尺寸(grp(n));

%o grp:=n->组(级联(列表([1,n+1..n^2-n+1],s->翻转(s,n,1)),列表([1..n],s->flip(s,n,n)));

%o flip:=函数(start,nterms,skip)return乘积([1.Int(nterms/2)],m->(start+skip*(m-1),start+skip*(nterms-m)),());结束;#_埃里克·施密特(Eric M.Schmidt),2013年11月5日

%o(哈斯克尔)

%o a225790 1=1

%o a225790 n=12^(n1*n1)*2^(2*n1-1)*k

%o其中

%o n1=div n 2

%o k=如果是奇数n,则其他4个1--青宇人,2019年8月12日

%o(Python)

%o a1,n=1,1

%o打印(n,a1)

%o当n<12时:

%o n=n+1

%o如果n%2==0:

%o nn=无/无2

%o a=2**(2*nn*nn+2*nn-1)*3**(nn*nn)

%o a1=a

%o其他:

%o a=4*a1

%o打印(n,a)#_a.H.M.Smeets_,2019年8月15日

%K nonn公司

%O 1,2号机组

%A _ Bean D Lawton,2013年5月16日

%E更多条款,来自_Eric M.Schmidt,2013年11月5日

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