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| A217479号 |
| 提供切比雪夫S多项式奇数幂（2*m+1）生成函数分子第三项的多项式系数数组。现在的多项式称为P（m；2，x^2），m>=2。 |
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1
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-8, 6, -27, 65, -56, 15, -61, 260, -469, 415, -176, 28, -114, 736, -2104, 3214, -2838, 1456, -400, 45, -190, 1714, -6988, 15699, -21461, 18760, -10614, 3768, -760, 66, -293, 3507, -19195, 58807, -112123, 141441, -122168, 73185, -30077, 8107, -1288, 91
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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2.1个
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评论
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这个不规则三角形的行长为2*（m-1），m>=2。
对于S（m，x）^（2*m+1）的o.g.f.，m>=0，使用切比雪夫S多项式（系数三角形A049310型)请参阅上的评论A217478号G（m；z，x）=z（m；z，x）/N（m；zx，x），其中N（m；x，x a（m；k，l，x^2），k=0..m）/（x^2-4）^m，带σ缺少。此处τ（j，x）：=2*T（2*j+1，x/2）/x=R（2*j+1，x）/x（参见A127672号R（n，x）的系数）。
当前数组a（m，k）提供P（m；2，x^2）系数，并且m>=2:P（m，2，x*2）=总和（a（m；k）*x^2，k=0..（2*m-3））。
使用inclusion-exclusion可以写（x^2-4）^m*P（m；2，x^2）=
求和（T（m，k）*S（2*k，x）*（sigma（m+1；2，x^2）-求和（tau（j，x），j=0..m）*tau（k，x，。。。，m.例如，m=2:sigma（2+1；2，x^2）=τ（0，x）*τ（1，x）+τ（O，x）*τ（2，x）+τ（1,x）*tau（2，x）。标识Id（0；m，x^2）和Id（1；m，x^2）（在217478英镑)现在使用了新的身份Id（2；m，x^2）：=总和（T（m，k）*S（2*k，x）*tau（k，x）^2，k=0..m）=（x^2-4）^m*（（x^2-1）^（2*m+1）+1）/x^2。新恒等式是根据S和τ的de Moivre-Binet公式获得的，使用了2012年11月14日评论中提到的恒等式的前两倍A113187号，然后恒等式q^3-1/q^3=sqrt（x^2-4）*（x^2-1）（参见2012年10月18日关于A111125号其中x->q由（x+sqrt（x^2-4））/2定义。在除以（x^2-4）^m后，得到多项式P（2；m，x^2）=σ（m+1；2，x^ 2）-和（τ（j，x），j=0..m）*x^（2*m）+（（x^2-1）^（2%m+1）+1）/x^2，对于m>=2。
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链接
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配方奶粉
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a（m，k）=[x^（2*k）]P（2；m，x^2），m>=2，k=0..（2*m-3），P（2；m，x^2）在上面的注释中给出。
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例子
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数组a（m，k）开始：
m\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
2: -8 6
3: -27 65 -56 15
4: -61 260 -469 415 -176 28
5: -114 736 -2104 3214 -2838 1456 -400 45
6: -190 1714 -6988 15699 -21461 18760 -10614 3768 -760 66
...
行m=7:-293、3507、-19195、58807、-112123、141441、-122168、73185、-30077、8107、-1288、91。
第m=8:-427、6536、-46102、183762、-461654、780716、-926345、790773、-491397、221760、-71139、15405、-2016、120行。
第9行：-596、11346、-100077、502036、-1600280、3470116、-5352805、6051236、-510145、3256825、-1568416、564980、-148176、26770、-2976、153。
m=2:P（2；2，x^2）=τ（0，x）*τ（1，x）+τ。
S（n，x）^5的o.g.f.分子是Z（2；Z，x）=（1+Z^2）^2+（1+Z^2）*（-x*Z）*（3-4*x^2）+A217478号分母为N（2；z，x）=乘积（（1+z^2）-z*x*tau（k，x），k=0..2）。请参见以下示例A217478号.
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交叉参考
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关键词
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经核准的
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