|
猜想1：如果m*126+n=1729，m*126>n，则存在一个具有无限多个形式为C mod m*234=n的Carmichael项的级数。
（1） 对于m<7，我们有m*126<n；
（2） 对于m=7，公式变为C mod 882=847，其中包括Carmichael数1729、15841、1033669等。；
（3） 对于m=8，公式变为C mod 1008=721，其中包括卡迈克尔数1729、15841、41041、172081、670033、748657、825265、997633等。；
（4） 对于m=9，公式变为C mod 1134=595，其中包括Carmichael数1729、1033669等。；
（5） 对于m=10，公式变为C mod 1260=469，其中包括Carmichael数1729、1033669等。；
（6） 对于m=11，公式变为C mod 1386=343，其中包括卡迈克尔数1729、1082809等。；
（7） 对于m=12，公式变为C mod 1512=217，其中包括Carmichael数1729、41041等。；
（8） 当m=13时，公式变为C mod 1638=91，其中包括Carmichael数1729、41041、63973、670033、997633等。
猜想2：如果m*234+n=1729，m*234>n，则存在一个具有无穷多Carmichael项的级数，其形式为C mod m*234]=n。
（1） 对于m<4，我们有m*234<n；
（2） 对于m=4，公式变成C mod 936=793，其中包括Carmichael数1729、41041、46657、126217、748657、4909177、65037817、193910977、311388337、633639097等。；
（3） 对于m=5，公式变为C mod 1170=559，其中包括Carmichael数1729、1033669、1082809、7995169、26921089等。；
（4） 对于m=6，公式变为C mod 1404=325，其中包括Carmichael数1729、41041、46657、188461、314821等。；
（5） 对于m=7，公式变为C mod 1638=91，情况类似于猜想1。
猜想3:如果m*342+n=1729，m*342>n，则存在一个具有无穷多Carmichael项的级数，其形式为C mod m*342%n。
（1） 对于m<2，我们有m*342<n；
（2） 对于m=3，公式变为C mod 1026=703，其中包括Carmichael数1729、8911等。；
（3） 对于m=4，公式变为C mod 1368=361，其中包括Carmichael数：1729、126217等。；
（4） 对于m=5，公式变为C mod 1710=19，其中包括Carmichael数1729、1773289等。
结论：我们可以看到126=18*7、234=18*13和342=18*19，并且7、13和19是1729的主因子，因此这三个猜想可以一概而论。此外，随机取另一个Carmichael数8911=7*19*67，在公式m*18*67中随机取m=7，我们得到公式C mod 8442=469，这实际上导致了一系列Carmichale数：8911、1773289、8830801等，这意味着猜想可以推广：
猜想4：对于Carmichael数C1的任何素因子d，存在一个具有无穷多个Carmichale项C2的级数，满足C2 mod（m*18*d）=n，其中m*18*d+n=C1，并且m和n是自然数，使得m*18*1d<n。
最后，如果我们有一个可以被1729整除的卡迈克尔数（例如，63973；见上面的序列），我们可以看到公式C mod 62244=1729（可以看出62244+1729=63973）也会导致一系列卡迈克尔数：126217，等等。；这意味着1729可以被视为一个基本因子。这可能推广到可被其他卡迈克尔数整除的卡迈克尔数，甚至可能推广到随机选择的素因子乘积。
| 