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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A210852型 三个7-adic整数(-1)^(1/3)中的一个的近似值高达7^n。 16
0、3、31、325、1354、1354、34968、740862、2387948、25447152、146507973、1276408969、9185715941、78392151946、2721701727760、950393245609、10445516265495、43678446835096、974200502783924、10744682090246618、221435777619761 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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这些数字是根据下面公式字段中给定的循环计算的。此递推公式由公式a(n)=3^(7^(n-1))(mod 7^n),n>=1,满足a(n)^3+1==0(mod 7^n),n>=1。a(0)=0也满足这个同余。证明可以通过证明(3^(7^(n-1))^3+1=(28-1)^(7^(n-1))+1的二项展开式中的每个项都有一个因子7^n。

a(n)==3(7型),n>=1。根据上面给出的公式,3^(7^(n-1))==3(mod 7),n>=1(归纳证明)。

数字t(n),n>=0,乘以7^n与这个序列相对应的7-adic整数(-1)^(1/3)是从线性同余3*a(n)^2*t(n)+b(n)==0(mod 7),n>=1的(唯一)解,其中b(n):=(a(n)^3+1)/7^n=A210853号(n) 一。t(0):=3,X^3+1==0的三个解之一(mod 7)。这些数字见A212152号. 7-adic编号从右到左,…31432145166042022266534314320531164212544342623643=:u。

a(n)是从以7为基数的u中读取u,再加上前n项得到的。

可以直接证明a(n)=7^n+1-y(n),n>=1,y(n)=A212153号(n) z(n)=7^n-1=6*A023000美元(n) ,n>=0。

如果a(n+1)=a(n)然后t(n)=A212152号(n) =0。

请参阅中给出的Nagell参考A210848号关于第87页的定理50和52,以及第86页的公式(6),适用于这种情况。因为X^3+1=0(mod 7)有三个简单的根3、5和6,所以对于X(n)^3+1==0(mod 7^n),每个n>=1正好有三个解,可以选择为a(n)==3(mod 7),y(n)==5(mod 7),z(n)==6(mod 7)=-1(mod 7)。y序列和z序列如中所示A212153号和6*A023000美元分别是。

对于n>0,a(n)-1(=a(n)^2(mod 7^n))和7^n-a(n)(==a(n)^4(mod 7^n))是Z/(7^n Z)中单位的两个本原立方根。-阿尔瓦尔·伊比亚斯2017年2月20日

链接

刘德华,n=0..1183的n,a(n)表

公式

重复:a(n)=a(n-1)^7(mod 7^n),n>=2,a(0)=0,a(1)=3。

a(n)==3^(7^(n-1))(模7^n)==3(模7),n>=1。

a(n+1)=a(n)+A212152号(n) *7^n,n>=1。

a(n+1)=和{k=0..n}A212152号(k) *7^k,n>=1。

a(n-1)^2*a(n)+1==0(mod 7^(n-1)),n>=1(从3*a(n)^2*A212152号(n)+A210853型(n) ==0(mod 7)和上面倒数第二个公式)。

a(n)=7^n+1-A212153号(n) ,n>=1。

例子

a(3)==31^7(7^3)==27512614111(模数343)=325。

a(3)==3^49(模7^3)=325。

a(3)=31+6*7^2=325。

a(3)=3*7^0+4*7^1+6*7^2=325。

a(3)=7^3+1-19=325。

a(5)=a(4)=1354,因为A212152号(4) =0。

枫木

a: =proc(n)选项记住:如果n=0,则0 elif n=1,然后3

else modp(a(n-1)^7,7^n)fi结束过程:[顺序(a(n),n=0..30)];

数学

a[n_]:=a[n]=其中[n==0,0,n==1,3,True,Mod[a[n-1]^7,7^n]];表[a[n],{n,0,30}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2014年3月5日,在枫树之后*)

交叉引用

囊性纤维变性。A048898号案例=5。A212153号六,六*A023000美元.

上下文顺序:A011545型 A011546号 A276195号*邮编:A152276 A136024号 A051200

相邻序列:A210849号 A210850型 A210851号*A210853号 A210854号 A210855号

关键字

,容易的

作者

狼牙2012年5月2日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年8月13日14:02。包含336451个序列。(运行在oeis4上。)