%I#51 2023年1月6日03:22:33

%S 1,2，-3,3，-12,11,4，-30,70，-50,5，-60255，-450274,6，-105700，-2205，

%电话3248、-1764、7、-1681610、-78402007、-2626413068、8、-2523276、-22680，

%U 89796，-201852236248，-109584,9，-3606090，-56700316365，-1077302171040，-23454001026576,10，-49510560，-127050946638，-451027513667720，-252280025507152，-10628640

%N正整数部分幂和的o.g.f.s分子多项式的系数表。

%C在数组A103438中，正整数的k次幂有部分和Sum_{j=1..n}j^k，列号n>=1（不在三角形中；请参阅此处给出的数组示例；请注意，0^0已在此处设置为0）。

%C数组A103438的列号n>=1的o.g.f.是通过拉普拉斯变换从e.g.f.中获得的，该公式如下所示

%C exp（x）*（exp（n*x）-1）/（exp）-1）=和{j=1..n}exp（j*x）

%C（总和是例如f.，这是微不足道的）。

%因此，o.g.f.是Sum_{j=1..n}1/（1-j*x），它被改写为P（n，x）/Product_{j=1..n}（1-j*x）。这定义了当前三角形的行多项式P（n，x）。有关详细信息，请参阅链接。

%这个e.g.f.-o.g.f.连接证明了Simon Plouffe_的一些猜想。参见下的o.g.f.Maple程序，例如A001551（n=4）和A001552（n=5）。

%C该三角形根据Stirling2数字A048993的第n列来组织前n个正整数的幂和（参见下面给出的公式和示例以及链接）。

%C摘自Wolfdieter Lang，2011年10月12日：（开始）

%利用下面给出的公式，我们可以找到n>=1，k>=0，Sum_{j=1..n}j^k=

%C和{m=0..min（k，n-1）}（（n-m）*S1（n+1，n-m+1）*S2（k+n-m，n）），

%C的斯特林数为A048994中的S1和A048993中的S2（这个公式我在文献中还没有找到）。请参阅链接以获取证据。

%C关于用Stirling2数的第k行和n中的二项式表示前n个正整数的k次幂和的其他两个公式，请参阅A093556中给出的D.E.Knuth参考，第285页。

%C另请参阅下面给出的链接，等式（11）和（12）。（结束）

%H JoséL.Cereseda，<a href=“https://arxiv.org/abs/2301.02141“>Lang整数幂和公式的改进</A>，arXiv:2301.02141[math.NT]，2023。

%H Wolfdieter Lang，《证明和前15行多项式》，2011年。

%F a（n，m）=[x^m]P（n，x），m=0..n-1，行多项式定义为

%F（总和{j=1..n}1/（1-j*x））*Product{j=1..n}（1-j*x）（请参阅上面给出的注释）。

%F总和{j=1..n}j^k=总和{m=0..n-1}a（n，m）*S2（k+n-m，n），n>=1，k>=0，带有斯特林2三角形A048993。

%F From_Wolfdieter Lang，2011年10月12日：（开始）

%F因此，行多项式P（n，x）为

%F求和{j=1..n}（乘积{k=1..n省略k=j}（1-k*x）），n>=1。这将导致：

%F a（n，m）=（n-m）*S1（n+1，n+1-m），n-1>=m>=0，（带符号）斯特林1号A048994。有关证据，请参阅链接。

%F（结束）

%在1/（n+x）^2展开式中，类似的多项式出现在分母中有阶乘的级数中：1/（n+x）^2=-Sum_{k>=1}n/（n+k+1）！*P（k，1/x）x^（k-1）.-_Matt Majic_，2019年11月1日

%e n\m 0 1 2 3 4 5。。。

%e 1 1

%e 2 2-3

%e 3 3-12 11

%e 4 4-30 70-50

%e 5 5-60 255-450 274

%e 6 6-105 700-2205 3248-1764

%e。。。

%e n=4（A001551=2*A196836）：行多项式因式分解为2*（2-5*x）*（1-5*x+5*x^2）。

%e n=5:1 ^k+2 ^k+3 ^k+4 ^k+5 ^k，k>=0，（A001552）具有例如f.总和{j=1..5}exp（j*x）。o.g.f.是

%e Sum_{j=1.5}1/（1-j*x），这是

%e（5-60*x+255*x^2-450*x^3+274*x^4）/产品_{j=1.5}（1-j*x）。

%e n=6（A0001553）：行多项式分解为

%e（2-7*x）*（3-42*x+203*x^2-392*x^3+252*x*4）。

%e根据S2计算的前n个正整数的幂和：

%e n=4:A001551（k）=4*S2（k+4,4）-30*S2。例如，k=3:4*350-30*65+70*10-50*1=100=A001551（3）。

%e摘自Wolfdieter Lang，2011年10月12日：（开始）

%e n=3的行多项式：P（3，x）=（1-2*x）*（1-3*x）+（1-1*x）x（1-3**）+（1-1*x）x（1-2**）=3-12*x+11*x^2。

%e a（3,2）=+（sigma2（2,3）+sigma 2（1,3）+σ2（1,2））=

%e 2*3+1*3+1*1*2=11=+1*sigma_2（1,2,3）=+1*|S1（4,4-2）|。

%e S1，S2公式，n=4，k=3的幂和：

%e A001551（3）=总和{j=1..n}j^3=1*4*350-3*10*65+2*35*10-1*50*100。（结束）

%t a[n_，m_]：=（n-m）*斯特林S1[n+1，n+1-m]；扁平[表[a[n，m]，{n，1，10}，{m，0，n-1}]]（*_Jean-François Alcover_，2011年12月2日，在_Wolfdieter Lang_*之后）

%Y参见A103438、A093556/A093557（权力总和）。

%K符号，简单，tabl

%O 1,2号机组

%A Wolfdieter Lang，2011年10月10日