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| A195204号 |
| 二项式多项式序列的系数三角形。 |
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4
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2, 2, 4, 6, 12, 8, 26, 60, 48, 16, 150, 380, 360, 160, 32, 1082, 2940, 3120, 1680, 480, 64, 9366, 26908, 31080, 19040, 6720, 1344, 128, 94586, 284508, 351344, 236880, 96320, 24192, 3584, 256
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1，1
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评论
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通过递归定义多项式序列P_n（x）
P_（n+1）（x）=x*（P_n（x）+P_n。
前几个多项式是
P_1（x）=2*x，P_2（x）=2*x*（2*x+1），
P_3（x）=2*x*（4*x^2+6*x+3），P_4（x）=2*x*。
下表显示了这些多项式（不包括P_0（x））以x的升幂表示的系数。特别地，如果我们用x^[n]表示P_n（x），那么我们就有了二项式展开的类似物
（x+y）^[n]=和{k=0..n}二项式（n，k）*x^[n-k]*y^[k]。
在x^[n]和单项式x^n之间还有进一步的类比。
1） Dobinski型配方奶粉
exp（-x）*Sum_{k>=0}（-k）^[n]*x^k/k！=（-1）^n*贝尔（n，2*x），
其中贝尔（或指数）多项式定义为
贝尔（n，x）：=和{k=1..n}斯特林2（n，k）*x^k。
等价地，与多项式序列{x^[n]}和{x^n}相关联的连接常数与与多项式序列}Bell（n，2*x）}和}Bell。例如，x^[4]的系数列表为[26,60,48,16]，计算结果如下
铃（4,2*x）=-26*铃（1，x）+60*铃（2，x）-48*铃（3，x）+16*铃。
2） 伯努利求和公式的模拟
伯努利关于前n个正整数的p次幂和的公式是
和{k=1..n}k^p=（1/（p+1））*和{k=0..p}（-1）^k*二项式（p+1，k）*B_k*n^（p+1-k），其中B_k=[1，-1/2,1/6,0，-1/30，…]是伯努利数序列。
这概括为
2*Sum_{k=1..n}k^[p]=1/（p+1）*Sum_{k=0..p}（-1）^k*二项式（p+1，k）*B_k*n^[p+1-k]。
多项式P_n（x）属于二项式类型的多项式序列P-n（x，t）族，依赖于参数t，由P_（n+1）（x，t）=x*（P_n。当t=0时，我们有P_n（x，0）=x^n，单项式多项式。本表是t=1的情况。情况t=-2是（最多符号）A079641号。另请参阅A195205型（情况t=2）。
三角形T（n，k）（1<=k<=n），按行读取，由（0，1，2，2，4，3，6，4，8，5，10，…）DELTA（2，0，2，0A084938号. -菲利普·德尔汉姆2011年12月22日
T（n，k）是索引=1的[n]上的二元关系R的个数，其中正好包含k个强连接分量（SCC），并且满足以下条件：如果（x，y）在R中，则x和y在相同的SCC中-杰弗里·克里策2024年1月17日
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链接
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配方奶粉
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例如：f（x，z）：=（exp（z）/（2-exp（z）））^x=Sum_{n>=0}P_n（x）*z^n/n！
=1+2*x*z+（2*x+4*x^2）*z^2/2！+（6*x+12*x^2+8*x^3）*z^3/3！+。。。。
生成函数F（x，z）满足偏微分方程d/dz（F（x，z））=x*F（x，z）+x*F（x+1，z），因此行多项式P_n（x）满足递推关系
P_（n+1）（x）=x*（P_n（x）+P_n。
在接下来的内容中，我们更改了符号，并将P_n（x）写成x^[n]。
与阶乘多项式的关系：
对于n>=1，
x^[n]=和{k=1..n}（-1）^（n-k）*Stirling2（n，k）*2^k*x^（k），
及其逆公式
2^n*x^（n）=和{k=1..n}|Stirling1（n，k）|*x^[k]，
其中x^（n）表示上升阶乘x*（x+1）**（x+n-1）。
与贝尔多项式的关系：
交替的第n行条目（-1）^（n+k）*T（n，k）是将多项式Bell（n，2*x）表示为Bell（k，x），1<=k<=n的线性组合的连接系数。
三角洲运营商：
行多项式序列为二项式。如果D表示导数算子D/dx，则此二项式多项式序列的δ算子D*由下式给出
D*=D/2-log（cosh（D/2））=log（2*exp（D）/（exp（D+1））
=（1/2）-（1/2）^2/2！+2*（D/2）^4/4！-16*（D/2）^6/6！+272*（D/2）^8/8！-。。。，
D*是行多项式的降低运算符
（D*）x^[n]=n*x^[n-1]。
相关伯努利多项式：
与多项式x^[n]相关联的广义伯努利多项式GB（n，x）可以定义为
GB（n，x）：=（（D*）/（exp（D）-1））x^[n]。
它们满足差分方程
GB（n，x+1）-GB（n，x）=n*x^[n-1]
并进行扩展
GB（n，x）=-（1/2）*n*x^[n-1]+（1/2）*求和{k=0..n}二项式（n，k）*B_k*x^[n-k]，其中B_k表示普通伯努利数。
前几个多项式是
GB（0，x）=1/2，GB（1，x）=x-3/4，GB（2，x）=2*x^2-2*x+1/12，
GB（3，x）=4*x^3-3*x^2-x，GB（4，x）=8*x^4-4*x*^2-4*x-1/60。
可以看出
1/（n+1）*（d/dx）（GB（n+1，x））=和{i=0..n}1/（i+1）*和{k=0..i}（-1）^k*二项式（i，k）*（x+k）^[n]。
这推广了伯努利多项式的一个著名公式。
与其他序列的关系：
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例子
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三角形开始
n\k|。。。。1......2......3......4......5......6......7
===================================================
..1|....2
..2|....2......4
..3|。。。。6.....12......8
..4|...26.....60.....48.....16
..5|..150....380....360....160.....32
..6|.1082...2940...3120...1680....480.....64
..7|.9366..26908..31080..19040...6720...1344....128
...
与第4行上升阶乘的关系：
x^[4]=16*x^4+48*x^3+60*x^2+26*x=2^4*x*（x+1）*（x+2）*（x+3）-6*2^3*x*A008277美元.
第4行的广义Dobinski公式：
exp（-x）*Sum_{k>=1}（-k）^[4]*x^k/k！=exp（-x）*Sum_{k>=1}（16*k^4-48*k^3+60*k^2-26*k）*x^k/k！=16*x^4+48*x^3+28*x^2+2*x=Bell（4,2*x）。
广义伯努利求和公式示例：
2*（1^[2]+2^[2]+…+n^[2]）=1/3*（B_0*n^[3]-3*B_1*n^[2]+3*B_2*n^[1]）=
n*（n+1）*（4*n+5）/3，其中B_0=1，B_1=-1/2，B_2=1/6是伯努利数。
三角形（0、1、2、2、4、3、6…）三角形（2、0、2、0，2…）开始于：
1;
0, 2;
0, 2, 4;
0, 6, 12, 8;
0、26、60、48、16；
0, 150, 380, 360, 160, 32;
0, 1082, 2940, 3120, 1680, 480, 64;
0, 9366, 26908, 31080, 19040, 6720, 1344, 128;
…（结束）
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MAPLE公司
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#将（1，0，0，…）添加为列0。
BellMatrix（n->（-1）^（n+1）*polylog（-n，2），10）#彼得·卢什尼2016年1月29日
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数学
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BellMatrix[f_Function，len_]：=使用[{t=数组[f，len，0]}，表[BellY[n，k，t]，{n，0，len-1}，{k，0，ren-1}]]；
行=12；
M=BellMatrix[（-1）^（#+1）PolyLog[-#，2]&，rows]；
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交叉参考
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