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例子
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三角形开始:
1;
1, 1;
1, 2, 2;
1、3、6、8;
1, 4, 12, 29, 50;
1, 5, 20, 69, 202, 436;
1, 6, 30, 134, 538, 1880, 4912;
1, 7, 42, 230, 1164, 5404, 22108, 68098;
1, 8, 56, 363, 2210, 12646, 67092, 315784, 1122952;
1, 9, 72, 539, 3830, 25930, 166520, 997581, 5322126, 21488640;
1, 10, 90, 764, 6202, 48386, 362556, 2591010, 17337444, 103541022, 468331252; ...
其中可以生成如下所示的行。
行多项式R_n(y)开始:
R_1(y)=y;
R_2(y)=y+y^2;
R_3(y)=y+2*y^2+2*y ^3;
R_4(y)=y+3*y^2+6*y^3+8*y^4;
R_5(y)=y+4*y^2+12*y^3+29*y^4+50*y^5。。。
其中,行n=对于k=1..n,R_{n-1}(y+y^2)中的y^k的系数;
该方法通过以下方式进行说明:
n=3:R_2(y+y ^2)=(y+2*y ^2+2*y^3)+y ^4;
n=4:R_3(y+y^2)=(y+3*y^2+6*y^3+8*y^4)+6*y^5+2*y^6;
n=5:R_4(y+y^2)=(y+4*y^2+12*y^3+29*y^4+50*y^5)+54*y^6+32*y*7+8*y^8;
其中第n行多项式R_n(y)等于R_{n-1}(y+y^2),截断为初始n项。
...
替代生成方法。
设F^n(x)表示x+x^2的第n次迭代,其中F^0(x)=x。
那么这个三角形的第n行可以由G(F^n(x))中的系数x^k生成,k=1..n,其中G(x)是A187009号以下为:
G(x)=x-x^2+2*x^3-6*x^4+20*x^5-80*x^6+348*x^7-1778*x^8+9892*x^9-64392*x^10+449596*x^11+15449192*x^12+。。。
当n>0时,满足:[x^(n+1)]G(F^n(x))=0。
G(F^n(x))中的系数表开始于:
G(x+x^2):[1,0,0,-1,2,-14,44,-348,1476,-14148,…];
G(F^2(x)):[1,1,0,-1,-2,-10,-24,-231,-654,-9276,…];
G(F^3(x)):[1,2,2,0,-6,-26,-108,-570,-3216,-22622,…];
G(F^4(x)):[1,3,6,8,0,-54,-324,-1776,-10594,-71702,…];
G(F^5(x)):[1,4,12,29,50,0,-616,-4846,-32686,-228926,…];
G(F^6(x)):[1,5,20,69,202,436,0,-8629,-84140,-680298,…];
G(F^7(x)):[1,6,30,134,538,1880,4912,0,-143442,-1672428,..];
G(F^8(x)):[1,7,42,230,1164,5404,22108,68098,0,-2762748,..];
G(F^9(x)):[1,8,56,363,2210,12646,67092,315784,1122952,0,…]。。。
这个三角形是它的下三角部分。
...
给定主对角线=A135081号= [1,1,2,8,50,436,4912,68098,...],
对角线可以相互生成,如所示:
1;
1, 1;
2, 2, 1;
8, 7, 3, 1;
50, 40, 15, 4, 1;
436, 326, 112, 26, 5, 1;
4912, 3492, 1128, 240, 40, 6, 1; ...
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