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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A179320型 例如,满足:A(x)=A(x/(1-x)^2)*(1-x)/(1+x),其中A(0)=0。 5
0, 2, -2, 6, -28, 160, -936, 4536, -20448, 627264, -19699200, 43908480, 17788273920, -211715112960, -41219197125120, 1301670191808000, 160057006683033600, -10037518414724505600, -1007362871616478003200 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,2
链接
保罗·D·汉纳,n=0..200时的n,a(n)表
配方奶粉
例如,A=A(x)满足:
(1) 1/(1-x)^2=1+A+A*Dx(A)/2!+A*Dx(A*Dx(A))/3!+A*Dx(A*Dx(A*D x(A)))/4!+。。。
(2) 加泰罗尼亚语(-x)^2=1-A+A*Dx(A)/2!-A*Dx(A*Dx(A))/3!+A*Dx(A*Dx(A*D x(A)))/4!-+。。。
(3) (1-x)^2/(1-3*x+x^2)^2=1+2*A+2^2*A*Dx(A)/2!+2^3*A*Dx(A*Dx(A))/3!+2^4*A*Dx(A*Dx(A*D(A)))/4!+。。。
其中Dx(F)=d/Dx(x*F)。
反演公式:
更一般地说,如果A(x)=A(G(x))*G(x,
则G(x)可以通过级数从A=A(x)得到:
G(x)/x=1+A+A*Dx(A)/2!+A*Dx(A*Dx(A))/3!+A*Dx(A*Dx(A*D x(A)))/4!+。。。其中Dx(F)=d/Dx(x*F)。
迭代公式:
设G_{n}(x)表示G(x)=x/(1-x)^2和A=A(x)的第n次迭代,则:
G_{n}(x)/x=1+n*A+n^2*A*Dx(A)/2!+n^3*A*Dx(A*Dx(A))/3!+n^4*A*Dx(A*Dx(A*D(A)))/4!+。。。
RIORDAN阵列的矩阵日志(G(x)/x,G(x
E.g.f.A(x)构成第0列A179321号,三角形的矩阵对数A078812号,其中A078812号(n,k)=C(n+k+1,n-k);中k列的g.fA078812号是[x/(1-x)^2]^(k+1)/x。
A179321号(n,k)=(k+1)*a(n-k)/(n-k!对于n>0,k>=0,其中A179321号=三角形的矩阵对数A078812号.
...
a(n)=(-1)^(n-1)*2*A027614号(n) ,其中A027614号与Clebsch-Gordan公式有关。
a(n)=2*n*b(n),其中a(0)=0,其中b(n)=(-1/(2*(n-1)))*Sum_{j=2..2*floor(n/2)}A123521号(n,j)*b(n-j+1),且b(1)=1-G.C.格鲁贝尔2022年9月1日
例子
例如:A(x)=2*x-2*x^2/2!+6*x^3/3!-28*x^4/4!+160*x^5/5!-936*x^6/6!+4536*x^7/7!-20448*x^8/8!+627264*x^9/9!-19699200*x ^10/10!+43908480*x^11/11!+17788273920*x^12/12!-+。。。
A(x/(1-x)^2)=2*x+6*x^2/2!+18*x^3/3!+68*x^4/4!+360*x^5/5!+2184*x^6/6!+13272*x ^ 7/7!+122016*x^8/8!+1541376*x^9/9!+1987200*x^10/10!-150923520*x^11/11!+16504093440*x ^12/12!+。。。
其中A(x/(1-x)^2)=(1+x)/(1-x)*A(x)。
...
相关扩展开始:
.A=2*x-2*x^2/2!+6*x^3/3!-28*x^4/4!+160*x^5/5!+。。。
.A*Dx(A)/2!=8*x^2/2!-30*x^3/3!+180*x^4/4!-1400*x^5/5!+。。。
.A*Dx(A*Dx(A))/3!=48*x^3/3!-416*x^4/4!+4280*x^5/5!+。。。
.A*Dx(A*Dx(A*D(A)))/4!=384*x^4/4!-6160*x^5/5!+98400*x^6/6!-+。。。
.A*Dx(A*Dx(A*D(A)))/5!=3840*x^5/5!-100224*x^6/6!+-。。。
其中加泰罗尼亚语(-x)^2=1-A+A*Dx(A)/2!-A*Dx(A*Dx(A))/3!+-…=1-2*x+5*x^2-14*x^3+42*x^4++A000108号(n) *(-x)^n+。。。
数学
T[n_,k_]:=T[n,k]=如果[k==0,1,如果[k==1,2*(n-1),T[n-2,k-2]+二项式[2n-k-1,2n-2k-1]];(*T=A123521号*)
b[n_]:=b[n]=如果[n==1,1,(-1/(2*(n-1))))*总和[b[n-j+1]*T[n,j],{j,2,2*楼层[n/2]}];
179320英镑[n]:=2*n*b[n];
表[A179320型[n] ,{n,0,40}](*G.C.格鲁贝尔2022年9月1日*)
黄体脂酮素
(PARI)/*示例f.满足:A(x)=(1-x)/(1+x)*A(x/(1-x)^2):*/
{a(n)=局部(a=2*x,B);对于(m=2,n,B=(1-x)/(1+x+O(x^(n+3)))*subst(a,x,x/(1-x+O
(PARI)/*1/(1-x)^2=1+A+A*Dx(A)/2!+A*Dx(A*Dx(A))/3!+…:*/
{a(n)=局部(a=0+求和(m=1,n-1,a(m)*x^m/m!),D=1,R=0);R=-1/(1-x+x*O(x^n))^2+1+求和
(PARI)/*作为三角形矩阵对数的0列A078812号: */
{a(n)=本地(A078812号=矩阵(n+1,n+1,r,c,如果(r>=c,二项式(r+c-1,r-c)),LOG,ID=A078812号^0); 对数=总和(m=1,n+1,-(ID-A078812号)^米/米);不*日志[n+1,1]}
(SageMath)
@缓存函数
定义T(n,k):#T=A123521号
如果(k==0):返回1
elif(k==1):返回2*(n-1)
else:返回T(n-2,k-2)+二项式(2*n-k-1,2*n-2*k-1)
@缓存函数
定义b(n):
如果(n==1):返回1
else:return(-1/(2*(n-1)))*sum(T(n,j)*b(n-j+1)for j in(2..2*floor(n/2))
定义A179320型(n) :如果(n==0)else为2*阶乘(n)*b(n),则返回0
[A179320型(n) 对于n in(0..40)]#G.C.格鲁贝尔2022年9月1日
交叉参考
囊性纤维变性。A027614号A078812号A179321号A261885型.
变体:1791999年.
关键词
签名
作者
保罗·D·汉纳2010年7月11日
状态
经核准的

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月29日09:42。包含371268个序列。(在oeis4上运行。)