%I#21 2019年11月3日16:06:21

%S 4,4,12,20,12,28,8,36,20,44,6,52,28,60,16,68,36,76,5,84,44,92,24，

%电话：100,52108,14116,60124,32132,68140,9148,76156,40164,84172,22，

%U 180,92188,48196100204,13212108220,56228116236,30244124252,64260132268,17276140284,72292148300,38308156316,80号

%N将sin（2Pi/N）的最小多项式映射到cos（2Pi/a（N））的极小多项式。

%C处理cos（2*Pi/n）的最小多项式，例如在Lehmer、Niven和Watkins-Zeitlin参考文献中。Lehmer和Niven分别称其为psi_n（x）（等式（1）和引理3.8，第37页）。在后一个参考文献中，它们被称为Psi_n（x），我们称它们为Psi（n，x）。根据定义（Niven，第28页），这些是一元有理多项式，其根为cos（2*Pi/n），且具有最小程度。它们是不可约的（Niven p.37，引理3.8）。有关更多详细信息以及与Psi（n，x），n=1..30的链接，请参见A181875。

%C处理sin（2*Pi/n）的最小多项式，例如在Lehmer和Niven参考文献中。然而，莱默定理2是不正确的。有关反例，请参见A181872及其链接。在这个链接中，人们还可以找到这些多项式，称为Pi（n，x），n=1..30。

%序列a（n）转换这些多项式：Pi（n，x）=Psi（a（n，x），n>=1。这种转换基于三角恒等式：sin（2*Pi/n）=cos（2*Pi*r（n）），其中r（n）：=|（4-n）/（4*n）|。

%C a（n）：=分母（r（n））（最低）。注意，度数与Niven参考文献定理3.9第37页中给出的度数一致。

%D I.Niven，无理数，数学。美国协会，第二次印刷，1963年，由John Wiley and Sons发行。

%H Michael De Vlieger，n的表，a（n）表示n=1..10000</a>

%H D.H.Lehmer，<a href=“网址：http://www.jstor.org/stable/2013023“>关于三角代数数的注释，《美国数学月刊》40,3（1933）165-6。

%H Pinthira Tangsupphathawat、Takao Komatsu、Vichian Laohakosol、<a href=“https://www.emis.de/journals/JIS/VOL21/Laohakosol/lao8.html“>代数余弦值的最小多项式，II</a>，J.Int.Seq.，第21卷（2018），第18.9.5条。

%H W.Watkins和J.Zeitlin，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2324301“>cos（2Pi/n）的最小多项式</a>，《美国数学月刊》100,5（1993）471-4。

%F a（n）=分母（|（n-4）/（4*n）|），n>=1。

%F a（n）=4*n/gcd（n-4,16）。如果n是奇数，a（n）=4*n；如果n是偶数，则a（n）=2*n如果n/2==1，3，5，7（mod 8），a（n_Wolfdieter Lang，2013年12月1日

%F a（2*n）/（2*n）=1/4、1/2、1和2，对于n==2（mod 8）、6（mod 9）、0（mod 4）和1（mod 2），对于n>=1。倒数可以用在2*sin（Pi/2）（A228786）的最小多项式的零点的公式中。参见A327921_Wolfdieter Lang，2019年11月2日

%e Pi（5，x）=Psi（20，x），因为sin（2*Pi/5）=cos（2*Pi/20）。

%t阵列[4#/GCD[#-4，16]&，80]（*迈克尔·德弗里格，2019年2月7日*）

%Y参见A181872、A228786、A327921。

%K nonn，简单

%O 1,1号机组

%A Wolfdieter Lang，2011年1月11日