%I#80 2024年3月9日11:17:08

%S 3,12,7,24,51,28,15,48,99204103,56115,60,31,96195396199408819，

%电话：412207112227460231120243124，631923877803917921587796，

%电话：39981616353276163982416518284152244519084559201843924

%N以二进制形式写入N，然后每次运行0时增加1个0，每次运行1时增加1。a（n）是结果的十进制等价物。

%C A318921以类似方式扩展管路，A318921（a（n））=A001477（n）_Andrew Weimholt，2018年9月8日

%C发件人：Chai Wah Wu_，2018年11月18日：（开始）

%C设f（k）=Sum_{i=2^k..2^（k+1）-1}a（i），即用（k+1-位二进制展开式表示所有数字的和范围。因此f（0）=a（1）=3，f（1）=a（2）+a（3）=19。

%C则f（k）=20*6^（k-1）-2^（k-1），对于k>0。

%C证明：通过对a（n）的递归关系求和（参见公式部分），我们得到f（k+2）=Sum_{i=2^k.2^（k+1）-1}（f（4i）+f（4i+1）+f。用初始条件f（1）=19求解这个一阶递推关系表明，对于k>0，f（k）=20*6^（k-1）-2^（k-1）。

%C（结束）

%H Reinhard Zumkeller，n的表，n=1..10000的a（n）</a>

%H N.J.A.斯隆，协调序列、规划数和其他最近的序列（II），实验数学研讨会，罗格斯大学，2019年1月31日，<A href=“https://vimeo.com/314786942“>第一部分，<a href=”https://vimeo.com/314790822“>第2部分，<a href=”https://oeis.org/A320487/A320487.pdf“>幻灯片。（提及此序列）

%H Chai Wah Wu，<a href=“https://arxiv.org/abs/1810.02293“>在二进制数字的运行中附加和预加位字符串，记录值</a>，arXiv:11810.02293[math.NT]，2018。

%F2n+1<=a（n）<2*（n+1/n）^2；a（n）模块4=3*（n模块2）。-_M.F.Hasler，2018年9月8日

%F a（n）<=（9*n^2+12*n）/5，当n=（2/3）*（4^k-1）=A182512（k），对于某些k，即n=10101…10二进制由N.J.A.Sloane于2018年9月9日推测，由M.F.Hasler于2018年09月12日证明

%F From _M.F.Hasler_，2018年9月12日：（开始）

%N·J·A·斯隆公式的F证明：对于给定的（二进制）长度L（N）=floor（log_2（N）+1），当且仅当N的位是交替的，即N在A020988（如果是偶数）或A002450（如果是奇数）中时，A（N）的长度是最大的，L（A（N。

%F对于n=A020988（k）（=k乘以基数2中的‘10’）=（4^k-1）*2/3，则a（n）=A108020（k）。这得出a（n）/n=（4^k+1）*6/5=（n*9+12）/5，即给定的上界。

%F对于n=A002450（k）=（4^k-1）/3，得到a（n）=A182512（k）=（16^k-1）/5，其中a（n）/n=（4^k+1）*3/5=（n*9+6）/5，小于界。

%F如果L（a（n））<2 L（n）-1，则log_2（a（n））<floor。

%F仍需考虑情况L（a（n））=2 L（n）-1。有两种可能性：

%F如果n=10…_2，则n>=2^（L（n）-1）和a（n）=1100…_2<1101_2*2^。

%F如果n=11…_2，则n>=3*2^。

%F这表明a（n）/n^2<=9/5+12/（5*n）总是成立，等式iff n在A020988中；如果n不在A020988或A002450中，则a（n）/n^2<13/8。（结束）

%F From _M.F.Hasler_，2018年9月10日：（开始）

%F A318921的右反转：A318921 o A175046=id（=A001477）。

%F a（A020988（k））=A108020（k）；a（A002450（k））=A182512（k）；a（A000225（k））=A000225。（结束）

%F From _David A.Corneth，2018年9月20日：（开始）

%F a（4*k）=2*a（2*k）。

%Fα（4*k+1）=4*a（2*k）+3。

%Fα（4*k+2）=4*a（2*k+1）。

%Fα（4*k+3）=2*a（2*k+1）+1。（结束）

%二进制中的e6是110。每次运行增加一位数，得到11100，即小数点后28。因此a（6）=28。

%t a[n_]：=（追加[#，#[[1]]]:/@Split[IntegerDigits[n，2]]）//Flatten//起始数字[#，2]&；

%t阵列[a，60]（*Jean-François Alcover_，2018年11月12日*）

%o（哈斯克尔）

%o导入数据。列表（组）

%o a175046=折叠（\b v->2*v+b）0。

%o concatMap（\bs@（b:_）->b:bs）。组。a030308_低

%o——Reinhard Zumkeller，2013年7月5日

%o（PARI）A175046（n）={对于（i=2，#n=二进制（n*2+位测试（n，0）），n[i]！=n[i-1]&&n[i-1]*=[1,1]）；从数字（concat（n），2）}\\_M.F.Hasler_，2018年9月8日

%o（Python）

%o来自重新导入拆分

%o定义A175046（n）：

%o如果d！=''，则返回int（''.join（d+'1'if'1'in d else d+'0'for d in split（'（0+）|（1+）'，bin（n）[2:]）和d！=无），2）#_Chai Wah Wu_，2018年9月24日

%o（Python）

%o定义a（n）：

%o b=箱（n）[2:]

%o返回int（b.replace（“01”，“001”）.replace（“10”，“110”）+b[-1]，2）

%o打印（[a（n）代表范围（1,55）中的n）]#_Michael S.Branicky_，2021年12月7日

%Y参考A175047、A175048、A324127（部分金额）。

%Y另请参阅A030308、A007088、A182512、A318921。

%Y记录见A319422、A319423、A319424。

%K基，nonn

%O 1，1

%A _罗伊查询，2009年12月2日

%E由雷·钱德勒于2009年12月18日延期