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A163931号 x=1时高阶指数积分E(x,m=2,n=1)的十进制展开式。 74

%I#38 2023年1月25日06:06:45

%S 0,9,7,8,4,3,1,9,7.2,1,6,6,7,0,1,7,9,2,5,5,3,7,7,8,9,0,4,5,2,8,0,0,

%T 8,2,7,6,9,5,8,2,6,95,5,3,0,2,6,5,7,5,5,1,7,4,2,4,4,4,1,7,

%U 1,3,7,6,2,6,1,4,0,9,0,4,8,8,7,3,6,9,6,0,4,8,9,1,8,5,5,0,8,9,4,4,6,7,0

%N高阶指数积分E(x,m=2,N=1)在x=1时的十进制展开式。

%C我们用E(x,m,n)=x^(n-1)*Integral_{t=x.infinity}E(t,m-1,n)/t^n定义了高阶指数积分,对于m>=1和n>=1,E(x、m=0,n)=exp(-x),参见Meijer和Baken。

%C E(x,m,n)的性质类似于著名的指数积分E(x、m=1,n),参见Abramowitz和Stegun及其公式。

%C高阶指数积分的级数展开式主要由常数α(k,n)决定,见A163927,γ(k,n)=G(k,m),见A090998。

%C关于E(x,m,n)的渐近展开的信息,请参见A163932。

%C E(x,m,n)的值可以用Maple程序计算。

%H G.C.Greubel,n表,n=0..5000的a(n)</a>

%H M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,<A href=“http://www.convertit.com/Go/convertit/Reference/AMS55.ASP“>《数学函数手册》,国家标准局,应用数学系列55,第十版,1972年,第5章,第227-251页。

%H J.W.Meijer和N.H.G.Baken,<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0167-7152(87)90041-1“>指数积分分布,统计与概率快报,第5卷,第3期,1987年4月。第209-211页。

%H M.S.Milgram,<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4“>广义指数积分函数,《计算数学》,第44卷,第443-458页,1985年。

%H Eric Weisstein的数学世界,<a href=“http://mathworld.wolfram.com/ExponentialIntegral.html“>指数积分。

%F E(x=1,m=2,n=1)=伽马^2/2+Pi^2/12+和{k>=1}((-1)^k/(k^2*k!))。

%对于n>=2,F E(x=0,n,m)=(1/(n-1))^m。

%F积分_{t=0..x}E(t,m,n)=1/n^m-E(x,n,n+1)。

%F dE(x,m,n+1)/dx=-E(x,m,n)。

%F E(x,m,n+1)=(1/n)*。

%F E(x,m,n)=(-1)^m*((-x)^(n-1)/(n-1!)*求和{kz=0..floor(m/2)}(α(kz,n)*G(m-2*kz,n))+(-1)^m*((-x)^(n-1)/(n-1!)*求和{kz=0..floor(m/2)}(求和{i=1.m-2*kz}(α(kz,n)*G(m-2*kz-i,n)*对数(x)^i/i!))+(-1)^m*和{kx=0..n-2}((-x)^kx/((kx-n+1)^m*kx!)+(-1)^m*和{ky>=n}((-x)^ky/((ky-n+1)^m*ky!))。

%e e(1,2,1)=0.097843197216670179325537789045280082769582269530265765574212245。。。。

%pE:=proc(x,m,n)局部nmax,kmax,EI,k1,k2,n1,n2;选项记住:nmax:=20;kmax:=20;k1:=0:对于n1从0到nmax do alpha(k1,n1):=1 od:对于k1从1到kmax do对于n1从1到nmax do alpha(k1,n1):=(1/k1)*sum(sum(p^(-2*(k1-i1)),p=0..n1-1)*alpha(i1,n1),i1=0..k1-1)od;od:对于从0到kmax的n2 do G(0,n2):=1 od:对于从1到nmax的n 2,对于从1至kmax,do G;od:EI:=evalf((-1)^m*((-x)^(n-1)/(n-1*sum(α(kz,n)*(G(m-2*kz,n)+sum(G(m-2*kz-i,n)*ln(x)^i/i!,i=1..m-2*kz)),kz=0..楼层(m/2))+总和((-x)^kx/((kx-n+1)^m*kx!),kx=0..n-2)+总和((-x)^ky/((ky-n+1)^m*ky!),ky=无限大));返回(EI):结束:

%t连接[{0},RealDigits[N[EulerGamma^2/2+Pi^2/12-超几何PFQ[{1,1,1},{2,2},-1],104]][1](*_Jean-François Alcover_,2012年11月7日,来自第一个公式*)

%o(PARI)t=1;Euler^2/2+Pi^2/12+汇总(k=1,t*=k;(-1)^k/(k^2*t))\\查尔斯·格里特豪斯IV,2016年11月7日

%Y参考A163927(α(k,n)),A090998(γ(k,n)=G(k,m)),A163932。

%Y参考A068985(E(x=1,m=0,n)=exp(-1))和A099285(E。

%Y参考A001563(n*n!)、A002775(n^2*n。

%K cons,简单,无

%0、2

%A _Johannes W.Meijer和_ Nico Baken,2009年8月13日和17日

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