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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
邮编:A160487 Lambda三角 16
1,-107,10,59845,-7497,210,-6059823,854396,-35574,420,5508149745,-827924889,41094790,-765534,4620,-8781562891079,1373931797082,-75405128227,1738417252,-172190260060 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

2,2

评论

LS1矩阵的系数由LS1[2*m,n]=int(y^(2*m)/(sinh(y))^(2*n-1),y=0..infinity)/阶乘(2*m)定义,m=1,2,3。。n=1,2,3。。在n<=m的条件下。

这个定义导致LS1[2*m,n=1]=2*lambda(2*m+1),对于m=1,2,递推关系LS1[2*m,n]=((2*n-3)/(2*n-2))*(LS1[2*m-2,n-1]/(2*n-3)^2-LS1[2*m,n-1])。通常lambda(m)=(1-2^(-m))*zeta(m)和zeta(m)的Riemann-zeta函数。

这两个公式使我们能够确定所有整数m和所有正整数n的LS1[2*m,n]系数的值,但不是所有n的。如果我们选择LS1[m=0,n=1]=gamma,其中gamma是Euler-Mascheroni常数,我们可以确定它们。

LS1矩阵列中的系数,对于m=0,1,2,n=2,3,4,可以用GL(z;n)多项式生成,对于这个多项式,我们发现下面的一般表达式GL(z;n)=(h(n)*CFN2(z;n)*GL(z;n=1)+LAMBDA(z;n))/p(n)。

CFN2(z;n)多项式依赖于中心阶乘数A008956号.

LAMBDA(z;n)是导致LAMBDA三角形的LAMBDA多项式。

Lambda多项式的零模式类似于UFO。这些模式类似于Eta,Zeta和Beta多项式,见吗邮编:A160464,A1474号邮编:A160480.

第一个Maple算法生成Lambda三角形的系数。第二个Maple算法生成m=-1,-2,-3,…,的LS1[2*m,n]系数。

我们的一些结果是基于数字证据的推测。

参考文献

Mohammad K.Azarian,问题1218,Pi Mu Epsilon Journal,第13卷,第2期,2010年春季,第2页。116.解决方案发表于第13卷第3期,2010年秋季,第183-185页。

链接

n=2..22的n,a(n)表。

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册国家标准局,应用数学。55系列,第十次印刷,1972年,第23章,第811-812页。

Johannes W.Meijer,Eta,Zeta,Beta和Lambda多项式的零点,jpg公司pdf格式2013年3月3日。

公式

我们发现当n=3,4。。m=2,3。看到了吗邮编:A160488对于λ(n,m=1),并且对于n=2,3。

我们观察到ZL(n)=邮编:A160479(n) 序列也控制着齐塔三角邮编:A160474.

矩阵列中系数的生成函数GL(z;n)定义为

GL(z;n)=和(LS1[2*m-2,n]*z^(2*m-2),m=1..无穷大),n=1,2,3。

这个定义,以及我们选择的LS1[m=0,n=1]=gamma,导致GL(z;n=1)=-2*Psi(1-z)+Psi(1-(z/2))-(Pi/2)*tan(Pi*z/2),其中Psi(z)是digamma函数。此外,我们发现对于n=2,3,…,GL(z;n)=GL(z;n-1)*(z^2/((2*n-2)*(2*n-3))—(2*n-3)/((2*n-2))/((2*n-2)*(2*n-3))。使用LS1[-2,n]=(-1)^(n-1)*4*A058962号(n-1)*A002197型(一)/A002198(n-1)对于n=1,2,具有A058962号(n-1)=2^(2*n-2)*(2*n-1)。

我们找到了GL(z;n)多项式的一般表达式,对于n=2,3。。

GL(z;n)=(h(n)*CFN2(z;n)*GL(z;n=1)+λ(z;n))/p(n),其中

h(n)=6*邮编:A160476(n) 和p(n)=邮编:A160490(n) 一。

例子

三角形LAMBDA(n,m)的前几行n=2,3,。。m=1,2,。。

[1]

[-107,10]

[59845,-7497,210]

[-6059823,854396,-35574420]

前几个LAMBDA(z;n)多项式是

λ(z;n=2)=1

λ(z;n=3)=-107+10*z^2

λ(z;n=4)=59845-7497*z^2+210*z^4

前几个CFN2(z;n)多项式是

CFN2(z;n=2)=(z^2-1)

CFN2(z;n=3)=(z^4-10*z^2+9)

CFN2(z;n=4)=(z^6-35*z^4+259*z^2-225)

前几个生成函数GL(z;n)是:

GL(z;n=2)=(6*(z^2-1)*GL(z,n=1)+(1))/12

GL(z;n=3)=(60*(z^4-10*z^2+9)*GL(z,n=1)+(-107+10*z^2))/1440

GL(z;n=4)=(1260*(z^6-35*z^4+259*z^2-225)*GL(z,n=1)+(59845-7497*z^2+210*z^4))/907200

枫木

nmax=最大值7;对于从0到n的n从0到最大的做cfn2(n,0):=1:cfn2(n,n):=(双因素(2*n-1))^2 od:对于n从1到n最大做为k做k从1到n-1做cfn2(n,k):=(2*n-1)^2*cfn2(n-1,k-1)+cfn2(n-1,k)od:od:od:对于n从1到n最大的n做的三角洲(n-1):=总和((1-2^(2*K11-1 1))*(-1 1)1^(2*k1-1))*(-1-1)^(n+1+1)*伯努利(2*2*2*2*2*2*2*n-1)的诺1 k1)/(2*k1))*(-1)^(k1+n)*cfn2(n-1,n-k1,n),k1=1..n)/(2*4^(n-1)*(2*n-1)!);LAMBDA(-2,n):=sum(2*(1-2 ^(2*k1-1 1))*(-伯努利(2*k1)/(2*k1))*(-1)^(k1+n)*cfn2(n-1,n-k1),k1=1.n..n/Factoria(2*n-2)尾端do:Lcgz(2):=1/12:f(2):=1/12:f(2):=1/12:为n从3到n最大的n做Lcgz(n):=LAMBDA(-2,n-1)/((2*n-n-1)/((2*n-n-1,n-2*n-2*n-2*n-2*2)*(2*n-3)):f(n):=Lcgz(n)-((2*n-3)/(2*n-2))*f(n-1)端do:n从1到nmax do b(n):=denom(Lcgz(n+1))结束do:为n从1到nmax做b(n):=2*n*denom(Delta(n-1))/2 ^(2*n)结束do:p(2):=b(1):为n从2到n最大的做p(n+1):=lcm(p(n)*(2*n)*(2*n-1,2*n-1),b(n n))end do:为n从2到nmaxx做LAMBDA(n,1):=p(n)*f(n)结束do:mmax:=nmax:为n从2到nmax做的n LAMBDA(n,n,n):=0结束do:为n从1到n从1的1到n的n做1的n的n做:n从1到n的n的n做:n的n到nmax do b(n):=(2*n)*(2*n-1)*denom(Delta(n-1))/(2 ^(2 ^(2*n)*(2*n-1)end do:c(1):=b(1):为n从1到nmax-1做c(n+1):=lcm(c(c(n)*(2*n+2)*(2*n+2)*(2*n+1),b(n+1))EndDo:为n从1到n最大限度的做cm(n):=c(n)/(6*(2*n)!)EndDo do:为n从1到nmax-1的n做ZL(n+2):=cm(n+1)/cm(n(n)EndDo:为m从2到MMA的m做为m的最大做为n的n从m+m+m+n的n做n的n做n的n做n 1到nmax do LAMBDA(n,m):=ZL(n)*(LAMBDA(n-1,m-1)-(2*n-3)^2*LAMBDA(n-1,m))end do end do;seq(λ(n,m),m=1..n-1),n=2..nmax);

#结束第一个程序。

nmax1:=10;m: =1;ls1 row:=-2*m;对于n从0到NMX1做cfn2(n,0):=1:cfn2(n,n):=(双因素(2*n-1))^2 od:对于n从1到nmax1做k从1到n-1做cfn2(n,k-1):=(2*n-1)^2*cfn2(n-1,k-1)+cfn2(n-1,k)od:od:MMA11:=NMX1:对于从1到MMA1的m1做LS1[-2*m1,m1,1]:=2*(1-2 ^(((-2*m1+1))))*(-伯努利伯努利利利利利1(n-1,1-1-2^(-2*m1+1)))做cfn2(n,n,k):=(2*1(2*m1)/(2*m1))od:对于n从2到nmax1,对于m1从1到mmax1-n+1 do LS1[-2*m1,n]:=和((-1)^(k1+1)*cfn2(n-1,k1-1)*LS1[2*k1-2*n-2*m1,1],k1=1..n)/(2*n-2)!外径:外径:顺序(LS1[-2*m,n],n=1..nmax1-m+1);

#结束第二个程序。

交叉引用

邮编:A160488等于左第一列。

邮编:A160476等于第一个右栏和6*h(n)。

邮编:A160489等于行和。

邮编:A160490等于p(n)序列。

邮编:A160479等于ZL(n)序列。

A001620型是欧拉-马斯切罗尼常数γ。

LS1[-2,n]系数导致A002197型,A002198A096582号.

LS1[-2*m,1]系数等于(-1)^(m+1)*A036282型/A036283型.

CFN2(z,n)和CFN2(n,k)导致A008956号.

比较埃塔,泽塔和贝塔三角形邮编:A160464,邮编:A160474邮编:A160480.

囊性纤维变性。邮编:A162448(LG1矩阵)

上下文顺序:邮编:A184208 A082177号 A156020型*邮编:A178546 A096712号 邮编:A161176

相邻序列:邮编:A160484 邮编:A160485 邮编:A160486*邮编:A160488 邮编:A160489 邮编:A160490

关键字

容易的,签名,

作者

约翰内斯W.梅杰2009年5月24日,2012年9月18日

状态

经核准的

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上次修改时间:2021年12月7日07:25。包含349571个序列。(运行在oeis4上。)